Bài giảng Phương pháp tính giải tích số - Chương 1: Giải phương trình f(x)=0 - Ngô Thu Lương

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp tính giải tích số - Chương 1: Giải phương trình f(x)=0 - Ngô Thu Lương

1. CChhööôônngg II :: GGiiaaûiûi pphhööôônngg ttrrììnnhh ff((xx))==00 111)))ÑÑÑòòònnnhhh nnnggghhhóóóaaa::: Khoaûng [a , b] goïi laø moät kkhhooaaûnûngg ccaaùcùchh llyy nngghhiieeämäm neáu trong khoaûng ñoù phöông trình f (x) =0 chæ coù duy nhaát moät nghie äm . ÑÑÑòòònnnhhh lllyyyùù:ù:: NNNeeeááuáuu f (x) khaû vi lieân tuïc treân [a,b] 1) f '(x) giöõ daáu treân [a,b] 2) f (a) f (b) < 0 ttthhhììì [a,b] laø khoaûng caùch ly nghieäm .
2. 4 VVVííí dduuuïï ï ::: Phöông trình x − 4x −1= 0 f (1.5)=−1.94 0 . > Haøm ñôn ñieäu trong [1.5 , 2] f '(x) 0 khoaûng caùch ly nghieäm : [1.5 , 2] khoaûng caùch ly nghieäm th ứ 2 : [−1 , 0] (BTập)
3. 22))CCooânângg tthhööùcùc ssaaii ssooá á ttooånångg qquuaaùtùt :: xd : nghieäm ñuùng cuûa f (x) =0 xgd : nghieäm gaàn ñuùng. f( x ) − ≤ gd Coâng thöùc sai soá : xgd x d m(1) Kyù hieäu : m(1) = Min f '(x) , ∀ x∈[a,b]
4. VVVííí ddduuuïï ï ::: Phöông trình x4 − 4x −1= 0 xeùt trong khoaûng caùch ly nghieäm : [1.5, 2] giaû söû xgd =1.663 . Ñaùnh giaù sai soá tuyeät ñoái f (1.663)= 0.003629 (1) m =9.5 0.003629 sai soá : 1.663−x * ≤ ≈ 0.0004 9.5
5. 333)))PPPhhhöööôôônnnggg ppphhhaaaùùpùpp ccchhhiiiaaa ñññoooââiâii ::: aaa)))NNNoooääiäii ddduuunnnggg ::: Neáu [a,b] laø khoaûng caùch ly nghieäm thì a + b a + b [a, ] hoaëc [ , b] seõ laø khoaûng caùch 2 2 ly nghieäm môùi . Laëp laïi quaù trình phaân chia naøy nhieàu laàn .
6. bbb)) ÑÑÑaaaùùnùnnhhh ggiiiaaùù ù sssaaaiii sssoooáá á :: − − ≤ (b a ) xn x d + 2n 1 ccc)))NNNhhhaaaäänänn xxxeeeùùtùtt ::: Luoân cho nghieäm gaàn ñuùng. Giaûi thuaät ñôn giaûn. Toác ñoä hoäi tuï khaù chaäm .
7. VVVííí ddduuuïï ï 111::: Phöông trình x − cos x = 0 vôùi khoaûng caùch ly nghieäm [0, 1] , chia ñoâi tôùi x4 Keát quaû cho theo baûng sau Sai soá pphhööôônngg pphhaaùùpùp cchhiiaa đđôôii laø b− a 1 = = 0.3125 25 32
8. − VVVííí ddduuuïï ï 222 ::: Giaûi phöông trình x − e x = 0 vôùi khoaûng caùch ly nghieäm [0,1] ñeán x3 0.5 0.75 0.625 0.5625
9. 222))) PPPhhhöööôôônnnggg ppphhhaaaùùpùp lllaaaëëpëpp ñññôôônnn (((ppphhöööôôônnnggg ppphhhaaaùùpùpp ñññiiieeååmåmm bbbaaaáátátt ñññoooäänännggg,,, ppphhhöööôôônnnggg ppphhhaaaùùpùpp aaaùùnùnnhhh xxxaaaïï ï cccooo ))) aaa))) NNNoooääiäii ddduuunnnggg ::: *) Ñöa phöông trình f (x) = 0 veà daïng töông ñöông x = ϕ(x) *) Kieåm tra ñññiiieeeààuàuu kkkiiieeeäänänn ñoái vôùi haøm ϕ(x) : Maxϕ '() x= q < 1 ∀ x ∈ [,] a b *) Laáy x0 laø moät giaù trò ban ñaàu tttuuuøøyøyy yyyùù ù ∈[ a, b ] Xaây döïng daõy laëp : x1=ϕ( x0 ) x2 =ϕ( x1) x3 =ϕ( x2 )
10. Laáy nnn hhhöööõõuõuu hhhaaaïïnïn xn = xgd bb)) ÑÑaaùùnùnhh ggiiaaùù ù ssaaii ssooáá á :: qn x − x 1) x − x* ≤ 1 0 n 1− q ( ñaùnh giaù ttiieeâânân nngghhiieeäämäm ) q x − x − 2) x − x * ≤ n n 1 n 1− q ( ñaùnh giaù hhaaääuäu nnngghhiieeäämäm )
11. ccc))) NNNhhhaaaäänänn xxxeeeùùtùtt ::: Coù vvvoooââ â sssoooáá á caùch choïn haøm ϕ(x) Haøm ϕ(x) coù tính chaát q < 1 goïi laø hhhaaaøømømm cccooo q laø hhheeeää ä sssoooáá á cccooo q caøng nhoû thì toác ñoä hoäi tuï caøng cao q ≥1 Khoâng söû duïng ñöôïc
12. VVVííí ddduuuïï1ï11 ::: Xeùt phöông trình x3 + x −1000 = 0 trong khoaûng caùch ly nghieäm [9,10 ] aaa))) x3 + x −1000 = 0 x =1000 − x3 ϕ(x) =1000 − x3 2 ϕ'(x) =−3x ϕ'(x) = 3x2 q = Max ϕ'(x) = 300 >>> 111 Khoâng söû duïng ñöôïc
13. bbb)) x3 + x −1000 = 0 3 x =1000 − x x = 3 1000 − x ϕ(x)= 3 1000 − x −1 ϕ'(x)= 33 (1000 − x)2 1 ϕ'(x) = 33 (1000 − x)2 1 q = Max = 0.003355742403 3 2 3 (1000 − x)
14. x0=10.0 9.966554934 9.966667166 9.966666789 9.966666791 × −12 Sai s ố hậu nghi ệm x 4 6.74 10
15. ccc))) x3 + x −1000 = 0 x3 = 1000 − x 1000 − x x2 = x 1000 − x x = x 1000 − x ϕ(x) = x = = Vôùi x0 10 ta coù xgd 9,966666791 vôùi soá böôùc laëp
16. PPhhööôônngg pphhaaùùpùp NNeewwttoonn (( PPhhööôônngg pphhaaùùpùp TTiieeáápáp ttuuyyeeáánán )) aa)) NNooääiäi dduunngg :: Ñöa f (x) = 0 veà daïng laëp f (x) x = x− = ϕ(x) . f '(x) Choïn x0 f (x0) x1= x0 − f '(x0) = − f (x1) x2 x1 f '(x1)
17. bbb))) ÑÑaaaùùnùnnhhh gggiiiaaaùù ù sssaaaiii sssoooáá á ::: Sai soá theo coâng thöùc sai soá toång quaùt f (x ) − ≤ gd xgd x * m(1) ccc)))NNNhhhaaaäänänn xxxeeeùùtùtt ::: Phöông phaùp s ử d ụng đượ c neáu f '(x) vaø f ''(x) khoâng ñoåi daáu treân khoaûng caùch ly nghieäm . Ñieåm x0 laø ñieåm Fourier neáu f (x0) cuøng daáu vôùi f''( x 0 ) = = Choïn x a, x0 b neáu a , b laø ñññiiieeeååmåmm FFFooouuurrriiieeerrr
18. VVVíííddduuuïï:ï:: Phöông trình x3 + x−1000 =0 vôùi khoaûng caùch ly nghieäm [9, 10 ] Ñieåm naøo laø ñieåm Fourier trong hai ñieåm 9 , 10 Vôùi x0 tìm ñöôïc , tính x2 . Ñaùnh giaù sai soá cuûa x2 0.3