Bài giảng Thiết kế trên máy vi tính - Trường Đại học Phạm Văn Đồng

151 trang Gia Huy 16/05/2022 4720

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Thiết kế trên máy vi tính - Trường Đại học Phạm Văn Đồng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_thiet_ke_tren_may_vi_tinh_truong_dai_hoc_pham_van.pdf

Nội dung text: Bài giảng Thiết kế trên máy vi tính - Trường Đại học Phạm Văn Đồng

BÀI GIẢNG THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH Nguyễn Quận (CB) – Trần Văn Thùy Khoa Kỹ thuật – Công nghệ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ o0o BÀI GIẢNG THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH Bậc: Đại học – Ngành: Công nghệ kỹ thuật cơ khí Nguyễn Quận (Chủ biên) – Trần Văn Thùy
 i MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI NÓI ĐẦU v Chương 1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH 1 1.1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH 1 1.2 CÁC BÀI TOÁN TRONG KỸ THUẬT 2 1.2.1 Khái niệm chung 2 1.2.2 Một số ví dụ về các bài toán trong kỹ thuật 3 1.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) 4 1.3.1 Tổng Quan 4 1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite elemetn method - FEM) 5 1.3.3 Các bước tổng quát trong FEM 6 1.3.4 Ứng dụng của FEM 13 1.3.5 Ưu điểm của FEM 16 1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 16 1.5 CÂU HỎI ÔN TẬP 16 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG 17 2.1 GIỚI THIỆU 17 2.2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN ĐỘ CỨNG 17 2.3 XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO PHẦN TỬ LÒ XO 18 2.4 LẮP GHÉP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO HỆ LÒ XO 24 2.4.1 Lắp ghép ma trận độ cứng bằng quan hệ lực-biến dạng, quan hệ tương thích, và sự cân bằng lực nút 24 2.4.2 Lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục bằng nguyên lý chồng chất 26 2.5 ĐIỀU KIỆN BIÊN 27
 ii 2.5.1 Điều kiện biên thuần nhất 28 2.5.2 Điều kiện biên không thuần nhất 29 2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ 30 2.6.1 Ví dụ 1 30 2.6.2 Ví dụ 2 33 2.7 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 2 36 2.8 BÀI TẬP 37 Chương 3 BÀI TOÁN KHUNG GIÀN 39 3.1 GIỚI THIỆU 39 3.2 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ THANH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỤC BỘ 39 3.3 VÍ DỤ BÀI TOÁN THANH 41 3.4 CHUYỂN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ 2 CHIỀU 43 3.5 MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ TRONG HỆ TỌA ĐỘ TOÀN CỤC OXY 46 3.6 TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT PHẦN TỬ THANH TRONG MẶT PHẲNG OXY 51 3.7 CÁCH GIẢI GIÀN PHẲNG BẰNG FEM 52 3.8 PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ THANH 56 3.9 PHƯƠNG PHÁP GALERKIN TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ THANH 65 3.10 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 3 68 3.11 BÀI TẬP 69 Chương 4 BÀI TOÁN DẦM 72 4.1 GIỚI THIỆU 72
 iii 4.2 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 72 4.2.1 Ma trận độ cứng phần tử dầm theo lý thuyết Euler-Bernoulli 74 4.2.2 Ma trận độ cứng theo lý thuyết Timoshenko 80 4.3 VÍ DỤ LẮP GHÉP MA TRÂN ĐỘ CỨNG CỦA DẦM 81 4.4 GIẢI BÀI TOÁN DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG TRỰC TIẾP 83 4.5 NGOẠI LỰC PHÂN BỐ 86 4.5.1 Phương pháp công tương đương (Work-equavalence method) 87 4.5.2 Ví dụ về thay thế lực phân bố 87 4.5.3 Công thức tổng quát cho lực phân bố 89 4.6 PHẦN TỬ DẦM VỚI KHỚP XOAY BÊN TRONG 94 4.7 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ NĂNG 97 4.8 TÓM TẮT CÔNG THỨC 100 4.9 BÀI TẬP 101 Chương 5 PHẦN MỀM RDM 104 5.1 GIỚI THIỆU VỀ RDM 104 5.2 MÔĐUN FLEXION 104 5.2.1 Một số qui ước 104 5.2.2 Ứng Dụng 105 5.2.3 Các nguyên tác mô hình hóa 105 5.2.4 Thực đơn chính của RDM – FLEXION 106 5.2.5 Ví dụ 111 5.3 MÔĐUN OSSATURES 116 5.3.1 Giới thiệu 116 5.3.2 Phân loại hệ thang 116
 iv 5.3.3 Nguyên tắc mô hình hóa 117 5.3.4 Hệ tọa độ cục bộ 119 5.3.5 Thực đơn chính của RDM - OSSATURES 119 5.3.6 Ví dụ 128 5.4 MÔĐUN ELEMENTS FINIS 136 5.4.1 Ví dụ 136 5.5 TỔNG KẾT CƯƠNG 5 143 5.6 BÀI TẬP 143 TÀI LIỆU THAM KHẢO 144
 v LỜI NÓI ĐẦU Trong thời đại hiện nay, với sự phát triển của khoa học máy tính, hầu hết các vấn đề trong cuộc sống của chúng được giải quyết dưới sự trợ giúp của máy tính. Trong đó, giải quyết những vấn đề cơ khí cũng không ngoại lệ. Điều này được thể hiện rất rõ với sự hiện diện một số lượng lớn phần mềm hỗ trợ trong thiết kế, tính toán, và chế tạo trong kỹ thuật. Ví dụ như: các phần mềm AutoCad, Inventor, và Solid Edge giúp chúng ta vẽ những bản vẽ kỹ thuật nhanh chóng và chính xác trong thiết kế; các phần mềm Maltab, Ansys, Comsol, và Sap giúp kĩ sư thiết kế phân tích và tối ưu thiết kế của mình; và các phần mềm Pro Creo, Uni Graphic, MasterCAM hỗ trợ lập trình công nghệ gia công tự động và chính xác. Với sự trợ giúp của máy tính trong thiết kế và tính toán trong cuộc sống nói chung và trong ngành cơ khí chế tạo nói riêng, thời gian và chi phí thiết kế và sản xuất sản phẩm liên quan giảm đáng kể, đồng thời chất lượng của chi tiết cũng được nâng cao. Học phần “Thiết kế trên máy vi tính” là học phần khối kiến thức cơ sở, học phần này trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về thiết kế và tính toán trên máy vi tính. Cụ thể, học phần sẽ giới thiệu về tổng quan về thiết kế trên máy vi tính, phương pháp phần tữ hữu hạn: ưu điểm, phạm vi ứng dụng và cơ sở lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn. Sau đó, sinh viên sẽ được giới thiệu và hướng dẫn sử dụng phầm mềm tính toán RDM để giải quyết một số bài toán trong ngành cơ khí. Quảng Ngãi, 12/2016 Nhóm biên soạn
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  1 Chương 1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG Tổng quan về thiết kế và tính toán trên máy vi tính. Khái niệm về thiết kế trên máy vi tính và tính toán trên máy vi tính. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn. Các bước thực hiện trên phương pháp phần tử hữu hạn. Giới thiệu ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn. 1.1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH Thiết kế trên máy tính là một khoa học sử dụng máy tính để giải quyết một số công việc trong quá trình tính toán, thiết kế sản phẩm. Cụ thể hơn, thiết kế trên máy vi tính là việc sử dụng các thiết bị phần cứng như máy vi tính, máy in, máy scan và phần mềm thích hợp như: Ansys, Comsol, Maltab trong thiết kế và tính toán sản phẩm. Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc và phổ biến của các máy tính và hệ thống máy tính tốc độ cao, những bài toán từ đơn giản như: các phép cộng, trừ, nhân, chia đến các bài toán phức tạp như: dự báo thời tiết, tính toán dân số , đã có thể giải bởi những máy tính và hệ thống máy tính tốc độ cao này. Trong đó, hầu hết những vấn đề (bài toán) trong ngành cơ khí được giải quyết bằng sự trở giúp của máy tính trong thời đại hiện nay. Như một kết quả, cụm từ CA (Computer Aided: Trợ giúp bằng máy tính) trở thành thuật ngữ quên thuộc trong lĩnh vực tin học ứng dụng. Trong ngành cơ khí, cụm từ CA thường được biết đến với những thuật ngữ sau: CAD (Computer Aided Design): Thiết kế với sự trợ giúp của máy tính. CAM (Computer Aided Manufacturing): Sản xuất với sự trợ giúp của máy tính. CAE (Computer Aided Engineering): Phân tích kiểm tra với sự trợ giúp của máy tính. CAQ (Computer Aided Quality control): Giám sát chất lượng sản phẩm
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  2 CAPP (Computer Aided Process planning): Lập qui trình chế tạo. Với sự trợ giúp của máy tính, qui trình sản xuất được cải tiến rõ rệt như: cho phép rút ngắn qui trình thiết kế và chế tạo; có khả năng thích ứng linh hoạt với sự thay đổi mẫu mã và chủng loại sản phẩm; cho phép thiết kế và chế tạo những sản phẩm công nghiệp phức tạp nhất với tính năng tối ưu nhất CAD/CAM không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân tích kỹ thuật, lập qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà còn là dữ liệu để điều khiển thiết bị sản suất điều khiển số (CNC) như: các loại máy công cụ, máy gia công, người máy/tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác. Dữ liệu từ quá trình CAD là cơ sở để hoạch định sản xuất và điều khiển quá trình kiểm soát chất lượng sản phẩm. CAD được biết đến với những phần mềm thiết kế thông dụng như: AutoCAD, Solid Edge, Solid Work, Inventor . Trong đó, các sinh viên ngành Kỹ thuật cơ khí trường đại học Phạm Văn Đồng đã tiếp cận với phần mềm AutoCAD thông qua môn học AutoCAD. Đối với CAM, những phần mềm thông dụng như: MasterCAM, Emco, Pro Creo, SSCNC cũng được giới thiệu cho sinh viên ngành này thông qua môn học Công nghệ CAD/CAM/CNC. Trong môn học này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách khái quát đến sinh viên ngành Kỹ thuật cơ khí tại trường ĐH Phạm Văn Đồng về CAE, cơ sở lý thuyết phần tử hữu hạn được sử dụng trong các phần mềm CAE. Từ đó, chúng tôi cũng giới thiệu và hướng đẫn sinh viên phần mềm RDM để tính toán một số bài toán thanh đầm trong cơ khí. 1.2 CÁC BÀI TOÁN TRONG KỸ THUẬT 1.2.1 Khái niệm chung Bài toán kỹ thuật là một mô hình toán học: khi xây dựng mô hình toán học cho kết cấu thực tế thường nhận được một hay hệ phương trình vi phân và được ràng buộc bởi các điều kiện biên. Trong một bài toán kỹ thuật có hai tập hợp các thông số ảnh hưởng đến hệ thống: thứ nhất là thông số đặc trưng cho hệ thống, và thứ hai là thông số tác động vào hệ thống.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  3 1.2.2 Một số ví dụ về các bài toán trong kỹ thuật Bài toán cơ học vật rắn Bài toán hệ thanh Thông số đặc trưng: + Modun đàn hồi E. + Hệ số Poisson . Thông số tác động: + Tải trọng P. Bài toán hệ dầm Thông số đặc trưng: + Modun đàn hồi E. + Hệ số Poisson . + Momen quán tính I. Thông số tác động: + Tải phân bố q. Bài toán trục Thông số đặc trưng: + Modun đàn hồi trượt G. + Momen quán tính độc cực J. Thông số tác động: + Momen xoắn Mx. + Momen uốn Mu. Bài toán truyền nhiệt Thông số đặc trưng: + Hệ số dẫn nhiệt K. Thông số tác động: + Chênh lệch nhiệt độ t.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  4 Bài toán cơ lưu chất -Thông số đặc trưng: + Độ nhớt . + Độ nhám e. Thông số tác động: + Chênh lệch áp suất p. + Vận tốc dòng v. 1.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) 1.3.1 Tổng Quan Trong thực tế, chúng ta thường gặp những bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một hay nhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng ) trong một miền xác định. Việc giải quyết các bài toán thực tế thường được thực hiện theo sơ đồ trong Hình 1.1. Định luật vật lý Nguyên lý năng lượng Mô hình Mô hình Mô hình Kết quả Thực tế Vật lý Toán học Phương pháp giải tích. Phương pháp số Hình 1.1 Sơ đồ nguyên lý tính toán Từ sơ đồ này, chúng ta thấy rằng để giải một mô hình thực tế, chúng ta cần phải xây dựng mô hình toán học thông qua mô hình vật lý của mô hình thực tế dựa trên các định luật vật lý và những nguyên lý về năng lượng. Mô hình toán học thường ở dạng các phương trình vi phân và tích phân. Để giải những mô hình toán học này, hai phương pháp gồm phương pháp giải tích và phương pháp số được sử dụng.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  5 Phương pháp giải tích cho lời giải được thể hiện bởi những biểu thức (phương trình) toán học. Vì vậy, phương pháp giải tích tạo ra những giá trị của những đại lượng cần tìm chính xác tại bất kì vị trí nào trong miền tính toán. Tuy nhiên, mô hình toán học của những vấn đề thực tế rất phức tạp do tính phức tạp của miền tính toán, tải trọng, đặc tính vật liệu Do vậy, phương pháp giải tích không thể thực hiện trong những vấn đề này. Khi đó, chúng ta cần phải dựa vào những phương pháp số. Nhược điểm của phương pháp số đó là kết quả không chính xác (tồn tại sai số) và kết quả chỉ đạt được trên các điểm rời rác trong miền tính toán. Tuy nhiên, nó có thể giải quyết được những vấn đề rất phức tạp tồn tại trong thực tế. Do vậy, ngày nay phương pháp số được sử dụng rộng rãi để giải quyết các vấn đề vật lý nói chung cũng như những vấn đề trong ngành kỹ thuật nói riêng. Một số phương pháp số được sử dụng rộng rãi như: + Phương pháp phần tử biên (finite boundary method). + Phương pháp sai phân hữu hạn (finite differential method). + Phương pháp thể tích hữu hạn (finite volume method). + Phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method). 1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite elemetn method - FEM) Trong những phương pháp số, FEM là công cụ số rất mạnh. Nó có thể giải được hầu hết các bài toán trong kỹ thuật như: phân tích cấu trúc (structural analysis), truyền nhiệt (heat transfer), cơ chất lỏng (fluid flow), truyền chất (mass transport), thế năng điện từ (electromagnetic potential). FEM tạo ra những giá trị xấp xỉ của những đại lượng cần tìm tại một số các điểm rời rạc trong miền tính toán. Do vậy, trong quá trình mô hình hóa, một miền tính toán được chia thành một hệ thống những miền nhỏ tương đương như Hình 1.2. Những miền nhỏ tương đương này được liên kết với nhau tại những điểm chung của hai hay nhiều phần tử và/hoặc những đường biên và/hoặc những bề mặt. Quá trình chia nhỏ này được gọi là “rời rạc hóa (discretization)” và những miền nhỏ tương đượng gọi là “phần từ (element)”. Những điểm liên kết giữa các phần từ gọi là “điểm nút (nodal points)” hay “nút (nodes)”.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  6 Hình 1.2 Rời rạc miền tính toán Trong FEM, thay vì tìm lời giải trên toàn miền tính toán, chúng ta sẽ xây dựng những phương trình cho mỗi phần tử và kết hợp những phương trình này lại để đạt được lời giải của toàn miền tính toán. Một cách ngắn gọn, lời giải của những vấn đề kết cấu là việc xác định những chuyển vị tại mỗi nút và ứng suất bên trong mỗi phần tử dưới tác dụng của tải trọng. Trong những vấn đề phi kết cấu, những đại lượng chưa biết tại các nút cần tìm có thể là nhiệt độ (temperature), áp suất chất lỏng (fluid pressure), thông tượng nhiệt (heat flux) hoặc lưu lượng (fluid flux). Trong tài liệu này, lý thuyết về FEM đa phần được trích dẫn từ cuốn sách “The first course in the Finite Element Method” của Dary [1]. Các bạn cũng có thể tham khảo tài liệu về FEM của PGS. TS. Nguyễn Hoài Sơn [2, 3]. 1.3.3 Các bước tổng quát trong FEM Trong phần này, chúng tôi xin trình này những bước tổng quát liên quan đến lập công thức và lời giải của FEM trong những vấn đề kỹ thuật. Chúng tôi sử dụng những bước này để phát triển lời giải của FEM cho những bài toán trong môn học này gồm: bài toán lò xo, bài toán thanh kéo nén, và bài toán dầm. Để dễ hiểu, chúng tôi sẽ sử dụng bài toán kết cấu để trình diễn những bước trong FEM. Điển hình như vấn đề phân tích ứng suất trong kết cấu, người kỹ sư cần xác định chuyển vị và ứng suất trong kết cấu ở trạng thái cân bằng khi chịu tải trọng. Đối với nhiều cấu trúc, khó để xác định sự phân bố biến dạng bằng những phương pháp truyền thống. Vì vậy, FEM là cần thiết được sử dụng trong trường hợp này.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  7 Có hai cách tiếp cận liên quan đến FEM khi áp dụng cho những vấn đề cơ kết cấu (structural mechanics problem). Cách tiếp cận thứ nhất, được gọi là phương pháp lực (force method) hay phương pháp đàn hồi (flexibility method), sử dụng lực bên trong như những đại lượng chưa biết của vấn đề. Để đạt được phương trình chủ đạo (governing equations), phương trình cân bằng (equilibrium equations) được sử dụng trước. Những phương trình cần thiết thêm vào được tìm ra bằng cách xem xét những phương trình tương thích (coimpatibility equations). Kết quả là một hệ phương trình cho việc xác định những phản lực và lực chưa biết. Cách tiếp cận thứ hai, gọi là phương pháp chuyển vị (displacement method) hay phương pháp độ cứng (stiffness method), giả sử chuyển vị ở các nút là những đại lượng chưa biết của vấn đề. Trong cách tiếp cận này yêu cầu những phần tử được liên kết tại những nút chung, dọc trên cạnh chung, hoặc nằm trên bề mặt chung, phải được giữ liên kết này trước và sau khi biến dạng. Nói một cách khác, điều kiện tương thích phải được thỏa mãn ngay từ đầu trong cách tiếp cận này. Sau đó, phương trình chủ đạo được sử dụng để diễn tả trong những đại lượng chuyển vị nút. Việc diễn tả này sử dụng phương trình cân bằng và một số qui luật liên quan giữa lực và chuyển vị. Hai cách tiếp cận này cho ra kết quả của những đại lượng chưa biết khác nhau. Trong cách tiếp cận một, đại lượng chưa biết là lực bên trong kết cấu và trong cách tiếp cận thứ hai đó là chuyển vị tại các nút phần tử. Nhiều nghiên cứu đã chứng minh rằng, đối với mục đích tính toán, phương pháp chuyển vị mong đợi nhiều hơn vì công thức của nó đơn giản trong hầu hết các vấn đề phân tích kết cấu. Do đó, hầu hết các chương trình (phần mềm) như COMSOL, ANSYS, ABACUS đã xây dựng dựa trên phương pháp chuyển vị để giải những vấn đề phân tích kết cấu. Vì vậy, trong tài liệu này, chúng tôi chỉ giới thiệu FEM theo phương pháp chuyển vị. Bên cạnh hai phương pháp trên, một phương pháp khác được sử dụng để thiết lập công thức FEM cho cả những vấn đề cấu trúc và không cấu trúc. Đó là phương pháp biến phân (variational method). Phương pháp này cũng sẽ được giới
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  8 thiệu một các ngắn gọn trong tài liệu này để giải quyết những bài toán lực mặt và lực khối trong các vấn đề kết cấu cơ khí ở Chương 3. Trong một cách tổng quát, FEM liên quan đến mô hình hóa kết cấu bằng việc sử dụng những phần tử được liên kết bên trong với nhau, được gọi là phần tử hữu hạn (finite element). Một hàm chuyển vị liên quan đến mỗi phần tử. Mỗi phần tử được liên kết bên trong này liên kết trực tiếp hoặc gián tiếp đến những phần tử khác thông qua những phân giới chung bao gồm những nút, đường biên, hoặc mặt biên. Bằng cách sử dụng những đặc tính biến dạng-ứng suất đã biết đối với vật liệu của kết cấu, chúng ta có thể xác định đặc tính của một nút trong mối quan hệ với tính chất của phần tử trong cấu trúc. Hệ phương trình toàn cục mô tả đặc tính của mỗi nút là kết quả trong một hệ phương trình đại số (set of algegraic equation). Hệ phương trình đại số này thường được diễn tả trong dạng ma trận. Từ những nội dụng trình bày ở trên, sau đây chúng tôi trình bày những bước trong xây dựng công thức và giải quyết một vấn đề kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn như sau: Bước 1: Chọn phần tử và rời rạc miền tính toán Bước này liên quan đến việc chia nhỏ miền tính toán thành một hệ phần tử tương đương với số lượng hữu hạn. Loại phần tử phải được chọn sao cho hợp lý cho từng vấn đề cụ thể. Tổng số phần tử được sử dụng và sự biến đổi của chúng trong kích thước và loại phần tử là những vấn đề lớn trong trong phân tích kĩ thuật bằng FEM. Phần tử phải đủ nhỏ để cho kết quả đủ chính xác và không quá lớn đủ để giảm chi phí tính toán. Nói chúng, những phần tử nhỏ được sử dụng ở những vị trí mà kết quả thay đổi nhanh, ví dụ như tại nơi hình học của miền tính toán thay đổi, phần tử có kích thước lớn có thể sử dụng ở những vị trí mà kết quả thay đổi ít. Chọn loại phần tử sử dụng trong FEM phụ thuộc vào tính chất vật lý và phải phù hợp với vấn đề đang xem xét. Những loại phần tử thông dụng được sử dụng trong FEM được thể hiện ở Hình 1.3. Chúng bao gồm phần tử 1 chiều, 2 chiều, và 3 chiều với loại tuyến tính và loại bậc cao.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  9 (a) Phần tử thanh 1 chiều: phần tử tuyến tính 2 nút (hình trái) và phần tử bậc cao 3 nút (hình phải) (b) Các loại phần tử hai chiều (thường sử dụng trong những vấn đề phân tích kết cấu 2 chiều: bài toán biến dạng phẳng và bài toán ứng suất phẳng): phần tử tam giác (triangulars) và phần tử tứ giác (quadrilaterals) (c) Phần tử ba chiều (thường sử dụng trong các bái toán phân tứ ứng suất không gian 3 chiều) gồm: Phần tử tứ diện (Tetrahedral), Phần tử lục diện đều (regular hexahedral), và phần tử lục diện không đều (irregular hexahedral) (d) Phần tử đối xứng trục được sử dụng trong những vấn đề đối xứng trục Hình 1.3 Những loại phần tử khác nhau từ phần tử bậc thấp nhất với nút ở góc đến những phần tử bậc cao với những nút ở góc và bên trong.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  10 Bước 2: Chọn hàm chuyển vị Bước 2 liên quan đến chọn một hàm chuyển vị bên trong mỗi phần tử. Hàm chuyển vị được định nghĩa bên trong phần tử sử dụng giá trị tại các nút của phần tử. Đa thức tuyến tính, bậc 2, bậc 3 thường được sử dụng do chúng dễ cho việc xây dựng công thức FEM. Ngoài ra, hàm lượng giác cũng có thể sử dụng. Đối với phần tử 2 chiều, hàm chuyển vị là hàm của hệ tọa độ trong mặt phẳng của nó (thường là mặt x-y). Những hàm này được mô tả trong những đại lượng chưa biết tại nút phần tử. Hàm chuyển vị tổng quát giống nhau có thể được sử dụng lặp đi lặp lại cho mỗi phần tử. FEM là một phương pháp mà trong phương pháp này, một đại lượng liên tục, như là đại lượng chuyển vị trong miền tính toán, được xấp xỉ bởi một mô hình rời rạc được kết hợp bởi một hệ các hàm liên tục từng đoạn (picewise-continuous functions). Hệ hàm liên tục từng đoạn này được định nghĩa bên trong mỗi phần tử hoặc một số hữu hạn phần tử. Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng-chuyển vị và ứng suất-biến dạng Những quan hệ biến dạng-chuyển vị và ứng suất-biến dạng là cần thiết để xây dựng phương trình cho mỗi phần tử. Trong trường hợp biến dạng 1 chiều, chẳng hạn biến dạng trong hướng x, chúng ta có mối quan hệ ứng suất-chuyển vị trong trường hợp biến dạng nhỏ như sau: du  (1.1) x dx Hơn nữa, ứng suất liên quan đến biến dạng thông qua qui luật ứng suất-biến dạng, hay gọi là qui luật cấu thành (constitutive law). Quan hệ ứng suất-biến dạng đơn giản nhất là qui luật Hook được cho như sau: xx E (1.2) trong đó, x là ứng suất trong hướng x và E là modul đàn hồi. Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử (Element Stiffness Matrix) và phương trình phần tử (Element Equation) Việc xây dựng ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử được xây dựng bằng nhiều cách khác nhau như:
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  11 Phương pháp độ cứng trực tiếp (hay phương pháp cân bằng trực tiếp): trong phương pháp này, ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử liên quan giữa lực nút và chuyển vị nút được thiết lập thông qua việc sử dụng những điều kiện cân bằng cho một phần tử cơ bản. Phương pháp này rất phù hợp cho những phần tử thanh 1 chiều. Phương pháp này sẽ được trình bày chi tiết trong những chương tiếp theo. Phương pháp năng lượng hoặc công (Work and Engergy Methods): trong phương pháp này, ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử được xây dựng dựa trên nguyên lý công ảo (the principle of virtual work), nguyên lý cực tiểu hóa năng lượng thế năng (the principl of minimum potential engergy), hay lý thuyết Castigliano Phương pháp dư thừa trọng số (Methods of Weighted Residuals): những phương pháp này rất hữu ích trong việc pháp triển những phương trình phần tử, đặc biệt, thông dụng là phương pháp Galerkin. Điểm mạnh của phương pháp dư thừa trọng số là cho phép FEM được ứng dụng trực tiếp đến bất kỳ phương trình vi phân nào. Sử dụng một trong những phương pháp được liệt kê ở trên, phương trình phần tử mô tả đặc tính của một phần tử có thể đạt được. Những phương trình này được viết ở dạng ma trân như sau:  fd11 kkk11121 n fkkkd2212222 n   (1.3)  fdnn kkknnnn12 Hoặc ghi trong dạng ma trận rút gọn: fkd    (1.4) trong đó, {f}tơ là véc tơ lực nút, [k] là ma trận độ cứng phần tử, và {d} là véc tơ chuyển vị nút chưa biết hay còn gọi là bậc tự do chưa xác định (unknown degrees of freedom). Ở đây, đối với một vấn đề cơ học kết cấu nào đó, véc tơ chuyển vị bao gồm những đại lượng cần xác định như: chuyển vị, độ võng và góc xoay . Bước 5: Lắp ghép ma trận phần tử thành ma trận toàn cục và đưa vào những điều kiện biên.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  12 Trong bước này, những phương trình phần tử độc lập được tạo ra trong Bước 4 được lắp ghép vào trong phương trình toàn cục tương đương. Việc lắp ghép này thường được thực hiện dựa vào nguyên lý chồng chất hay còn gọi là nguyên lý cộng dồn. Ma trận toàn cục sau khi được lắp ghép có dạng ma trận như sau: F D d    (1.5) trong đó, {F} là véc tơ lực toàn cục, [K] là ma trận độ cứng toàn cục (đối với hầu hết các vấn đề, ma trận độ đứng toàn cục là ma trận vuông và đối xứng), và {d}cj bây giờ là véc tơ chuyển vị chứa các giá trị chưa biết và đã biết trong kết cấu. Điều này cho thấy rằng ở thời điểm này (thời điểm chưa đưa vào phương trình toàn cục những điều kiện biên của vấn đề), ma trận [K] bị suy biến vì định thức của nó bằng không. Để loại bỏ vấn đề suy biến này, chúng ta phải “khẩn cầu” những điều kiện biên nào đó (hoặc những ràng buộc hoặc những liên kết ngoài). Khi đó, phải chú ý rằng, việc “khẩn cầu” các điều kiện biên của kết cấu sẽ dẫn đến sử thay đổi trong phương trình toàn cục (1.5). Chúng tôi cũng nhấn mạnh rằng những lực tải trọng đã biết áp trên kết cấu cũng đã được đưa vào trong véc tơ tải toàn cục {F}. Bước 6: Giải và tìm giá trị cho những bậc tự do chưa biết trong trong véc tơ chuyển vị {d} Hệ phương trình (1.5), đã hiệu chỉnh khi đưa các điều kiện biên vào, là một hệ phương trình đại số có dạng như sau:  Fd11 KKK11121 n FKKKd2212222 n   (1.6)  Fdnn KKKnnnn12 Ở đây, n là tổng số bậc tự do nút chưa biết. Hệ phương trình này có thể giải bằng những phương pháp chính xác như: phương pháp lược bỏ (ví dụ như: phương pháp Gauss) hoặc những phương pháp lặp (phương pháp gần đúng, ví dụ như: phương pháp Gauss-Seidel, Phương pháp Newton-Raphson). Bước 7: Xác định các đại lượng khác trong phần tử Đối với vấn đề phân tích ứng suất của kết cấu, đại lượng quan trọng thứ hai sau chuyển vị là ứng suất và biến dạng. Những đại lượng này trong phần tử có thể đạt được bằng cách sử dụng những biểu thức mối quan hệ biến dạng-chuyển vị và
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  13 ứng suất-biến dạng được định nghĩa trong Bước 3 và giá trị chuyển vị được xác định trong Bước 6. Bước 8: Điều tra kết quả Mục tiêu trong phân tích kết cấu là xem xét, điều ra quá trình ứng xử của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng. Vì vậy, dựa vào kết quả từ Bước 6 và Bước 7, chúng ta có thể xác định được vị trí trong kết cấu nơi xuất hiện biến dạng và ứng xuất lớn nhất. Việc xác định này là rất quan trọng để đưa ra những quyết định trong phân tích và thiết kế. Bên cạnh đó, những chương trình được xây dựng trên FEM sẽ thể hiện những kết quả này ở dạng đồ họa trực quan. Việc này rất hữu ích cho chúng ta trong việc điều ra và phân tích kết quả. 1.3.4 Ứng dụng của FEM FEM có thể được sử dụng để phân tích cả những vấn đề cấu trúc và phi cấu trúc. Những lĩnh vực trong cơ kết cấu như: Phân tích ứng suất trên những vấn đề khung dầm như: cầu, khung nhà cao tầng, các tòa tháp Phân tích các hệ thanh như cột, khung, giàn Phân tích dao động Những vấn đề liên quan đến va đập như: phân tích tai nạn oto, các vật thể va vào nhau Những vấn đề phi cấu trúc như: Truyền nhiệt như: chip điện tử, động cơ, cánh tản nhiệt Cơ chất lỏng như: động lực học xe, chuyển động dòng chảy, sự tự đối lưu Phân bố trường điện từ như: anten, transistor . Một số vấn đề kỹ thuật cơ sinh học cũng được giải quyết bằng FM như: phân tích cột sống, hộp sọ, khớp hông, cấy ghép răng, xương hàm tim và mắt . Một số mô hình phần tử sử dụng FEM được thể hiện trong Hình 4.
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  14 (a) Mô hình tháp bằng kết cấu khung (b) Mô hình phần tử 2D ở đầu cuối của pistion thủy lực
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  15 (c) Mô hình phần tử 3D của một cơ cấu cơ khí (d) Mô hình phần tử 3D của xương khung chậu Hình 1.4 Các mô hình tính toán bằng FEM
Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  16 1.3.5 Ưu điểm của FEM Như đã đề cập trên, FEM được ứng dụng trong một số lượng lớn những vấn đề cả cấu trúc và phi cấu trúc là do phương pháp này có một số ưu điểm như sau: Có thể mô hình dễ dàng những vấn đề có biên dạng phức tạp. Thực hiện những điều kiện tải trọng không khó khăn Mô hình được nhiều miền tính toán kết hợp nhiều loại vật liệu khác nhau. Thay đổi kích thước phần tử dễ dàng Có thể ứng dụng cho những vấn đề phi tuyến do biến dạng lớn và vật liệu phi tuyến. 1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu một cách khác quát về thiết kế và tính toán trên máy vi tính bao gồm những khái niệm, sức mạnh và ưu điểm của việc thiết kế, tính toán, và phân tích những vấn đề vật lý nhờ vào máy tính. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày sơ lượt về FEM. Phương pháp được sử rộng rãi trong các phần mềm phân tích tính toán CAE. Chúng tôi cũng trình bày 8 bước cơ bản trong phân tích FEM. Hơn nữa, những ứng dụng và ưu điểm của FEM cũng được trình bày trong chương này. 1.5 CÂU HỎI ÔN TẬP 1. FEM là phương pháp gì? Dùng để làm gì? 2. Nghĩa của từ “rời rạc hóa” trong FEM? 3. Liệt kê và trình bày ngắn ngọn những bước (thực hiện) trong FEM? 4. Liệt kê những loại phần tử? 5. Bật tự do (degree of freedom) để chỉ cho cái gì trong phân tích kết cấu? 6. Chỉ ra một số lĩnh vực mà FEM được áp dụng 7. Liệt kê 4 ưu điểm của FEM?
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  17 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG Định nghĩa ma trận độ cứng. Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử lo xo. Trình bày cách lắp ghép ma trân độ cứng phần tử vào ma trận độ cứng toàn cục. Mô tả và trình bày những loại khác nhau của điều kiện biên liên quan đến hệ lò xo. 2.1 GIỚI THIỆU Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về phương pháp độ cứng (stiffness method) trong xây dựng FEM. Bài toán lò xo tuyến tính được đưa ra bởi vì tính đơn giản của nó để mô tả những khái niệm cơ bản này. Chúng tôi bắt đầu với những định nghĩa chung của ma trận độ cứng và sau đó xem xét việc xây dựng ma trận độ cứng cho phân tử lò xo biến dạng tuyến tính. Kế tiếp, chúng tôi trình bày cách lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục cho một hệ lò xo sử dụng những khái niệm cơ bản về cân bằng (equilibrium) và tương thích (compability). Chúng tôi cũng trình bày cách lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục từ các ma trận độ cứng phần tử lò xo dựa trên nguyên lý chồng chất. Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày cách áp đặt các điều kiện biên cho cả điều kiện biên thuần nhất (homogeneous) và điều kiện biên không thuần nhất (nonhomogeneous). Lời giải bao gồm chuyển vị nút và phản lực cũng được thể hiện trong chương này. 2.2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN ĐỘ CỨNG Hiểu biết về ma trận độ cứng là cần thiết cho việc hiểu về phương pháp độ cứng. Ma trận độ cứng được định nghĩa như sau: đối với một phần tử, ma trận độ cứng [k] là một ma trận để: f  k d (2.1)
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  18 trong đó, [k] liên kết véc tơ chuyển vị nút {d} với véc tơ tải {f} của một phần tử, ví dụ như lò xo trong Hình 2.1a Hình 2.1 Phần từ một lò xo (a), hệ ba lò xo (b) Đối với một môi trường liên tục hoặc môi trường kết cấu bao gồm một chuỗi các phần tử, như hệ lò xo trong Hình 2.1b, ma trận độ cứng [K] liên kết véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ toàn cục (x, y, z) với véc tơ tải trọng toàn cục {F} trong toàn miền tính toán để: FKd    (2.2) khi đó, [K] là ma trận độ cứng của toàn hệ lò xo. 2.3 XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO PHẦN TỬ LÒ XO Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng ma trận độ cứng cho một lò xo tuyến tính một chiều bằng phương pháp cân bằng trực tiếp (direct equilibrium approach). Một lò xo thỏa mãn định luật Hook và kháng lực chỉ trong một chiều của lò xo thì được cho là phần tử lò xo tuyến tính một chiều. Hình 2.2 Phần từ lo xo tuyến tính với những qui ước lực và chuyển vị dương. Xem xét một phần tử lò xo như Hình 2.2. Những điểm tham chiếu 1 và 2 được đặt ở hai điểm cuối của lò xo. Những điểm tham chiếu này được gọi là nút của phần tử lò xo. Lực nút cục bộ f1x và f2x của lò xo nằm trong hệ tọa độ cục bộ x. Chuyển vị nút cục bộ của lò xo là u1 và u2. Những chuyển vị nút này được gọi là
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  19 bậc tự do của mỗi nút. Chiều dương của lực và chuyển vị lại mỗi điểm nút được xác định theo chiều dương của x. Kí hiệu k được gọi là hệ số lò xo (spring constant) hoặc độ cứng của lò xo (spring stiffness). Chúng ta muốn phát triển mối quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút của phần tử lò xo. Mối quan hệ này sẽ là ma trận độ cứng. Do vậy, chúng ta muốn mối liên quan giữa véc tơ tải nút và véc tơ chuyển vị nút như sau: f1x kk1112 u1   (2.3) fu22x kk1112  trong đó, những phần tử trong ma trận [k] của phương trình (2.3) là cần xác định. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng những bước tổng quát như trình bày ở Chương 1 trong việc xây dựng và giải bài toán bằng FEM. Bước 1: Chọn loại phần tử Đối với vấn đề này, phần tử được chọn là phần tử lò xo tuyến tính. Phần tử lò xo này chịu một lực kéo T và di chuyển theo hướng x dọc trục lò xo, như Hình 2.3, đến khi cân bằng. Chiều dương của hệ tọa độ cục bộ x hướng từ nút 1 đến nút 2. Chiều dài gốc (chưa tác dụng lực) của lò xo là L và đặc tính vật liệu (hệ số lò xò) của lò xo là k. Hình 2.3 Lò xo tuyến tính chịu một lực kéo T Bước 2: Chọn hàm chuyển vị Trong bước tiếp theo, chúng ta phải chọn một hàm toán học để trình diễn dạng biến dạng của phần tử lò xo dưới tải tác dụng. Bởi vì rất khó để đạt được lời giải chính xác, chúng ta giả sử rằng dạng lời giải hoặc sự phân bố chuyển vị bên trong phần tử lò xo bằng cách sử dụng một hàm toán học. Hàm thông dụng nhất là hàm đa thức.
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  20 Bởi vì phần tử lò xo có những bậc tự do nút cục bộ là chuyển vị u1 và u2 dọc theo trục x, chúng ta chọn hàm chuyển vị u để trình diễn chuyển vị theo hướng trục trong toàn phần tử lò xo. Ở đây, sự biến đổi chuyển vị tuyến tính dọc theo trục x của lò xo được giả sử. Do hàm tuyến tính đi qua hai điểm cho trước là duy nhất. Do vậy, chúng ta có: u a x a x12 (2.4) Trong một cách tổng quát, tổng số hệ số ai bằng với tổng số bậc tự do của phần tử. Ở đây, tổng số bậc tự do của phần tử lò xo là hai tại hai nút cuối của lò xo. Ở dạng ma trận, phương trình (2.4) trở thành: a1 ux 1   (2.5) a2 Chúng ta cần biểu diễn u như một hàm của những chuyển vị nút u1 và u2. Điều này cho phép chúng ta thiết lập trực tiếp những điều kiện biên vật lý lên những nút chuyển vị, việc này sẽ thực hiện trong Bước 3, và sau đó tạo mối quan hệ giữa chuyển vị nút và lực tải nút trong Bước 4. Việc biểu diễn u theo u1 và u2 có thể đạt được thông qua việc giải các hệ số a1 và a2 trong phương trình (2.5) như sau: uua(0) 11 (2.6) uLuaLu() 221 (2.7) Từ phương trình (2.6) và (2.7), chúng ta xác định được a2: auuL221 () / (2.8) Thay a1 và a2 vào trong phương trình (2.4) , chúng ta được: ()uu uxu 21 (2.9) L 1 Trong dạng ma trận, phương trình (2.9) có thể viết lại như sau: xx u1 u 1  (2.10) LL u2 hoặc u1 u  N12 N   (2.11) u2 với
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  21 xx N 1 and N (2.12) 12LL Các biểu thức trong phương trình (2.12) được gọi là “hàm dạng (shape function)”, bởi vì Ni mô tả dạng của hàm chuyển vị được giả định trên toàn miền của phần tử lò xo. Chúng ta thấy rằng một tính chất đặc biệt của hàm dạng này đó là: ở bậc tự do thứ i của phần tử, hàm dạng có giá trị là một đơn vị và tất cả các bật tự do khác của phần tử đó, hàm dạng bằng không. Điều này được thể hiện trong Hình 2.4. Hình 2.4 Hàm chuyển vị u (b) của phần tử lò xo (a), giá trị hàm dạng N1 (c) và N2 (d) Trong trường hợp này, N1 và N2 là những hàm (dạng) tuyến tính. Chúng có đặc tính là N1=1 tại nút 1 và N1 = 0 tại nút 2, trong khi, N2=1 tại nút 2 và N2=0 tại nút 1. Hình 2.4(c) và (d) mô tả hàm dạng trên toàn miền của phần tử lò xo (Hình 2.4(a)). Ta thấy rằng, N1+N2 = 1 tại bất kỳ vì trí nào dọc theo trục x trong miền của lò xo. Bên cạnh đó, những hàm dạng Ni thường được gọi là hàm nội suy (interpolation function), bởi vì chúng ta sử dụng những hàm dạng này để nội suy tìm giá trị của một hàm nào đó giữa những giá trị đã cho tại các nút. Về mặt lý thuyết, hàm nội suy có thể khác với hàm thực thế, nhưng hàm nội suy và hàm thực tế phải bằng nhau về giá trị tại những nút đã cho. Điều này nói lên tính xấp xỉ
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  22 “approximation” trong FEM cũng như một số phương pháp số khác, cái mà lời giải của những phương pháp này luôn luôn có sai số so với kết quả thực tế (chính xác). Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng – chuyển vị và ứng suất – biến dạng trong phần từ xo lo. Lực kéo T sinh ra sự biến dạng dài  của lò xo. Sự dãn dài (toàn phần) của lò xo dưới tác dụng của ngoại lực kéo T được thể hiện ở Hình 2.5. Hình 2.5 Biến dạng của lò xo Ở đây, u1 có giá trị âm bởi vì chiều chuyển vị ngược chiều với chiều dương của trục x, trong khi u2 có giá trị dương. Như vậy, biến dạng của lò xo được mô tả như sau:  uLuuu()(0) 21 (2.13) Từ phương trình (2.13), chúng ta thấy rằng tổng biến dạng của lò xo khác với chuyển vị ở các nút trong phương x. Đối với lò xo, chúng ta có thể đưa ra mối quan hệ giữa lực (trong hướng lò xo) và biến dạng. Do vậy, mối quan hệ biến dạng – chuyển vị không cần thiết trong trường hợp này. Hơn nữa, mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng có thể được mô tả trong mối quan hệ giữa lực – biến dạng như sau: Tk  (2.14) Từ phương trình (2.13) và (2.14), chúng ta được mối quan hệ sau: Tkuu 21 (2.15) Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử Dựa trên qui ước về dấu cho lực tại các nút và trạng thái cân bằng, (xem Hình 2.2 và Hình 2.3), chúng ta có: fT1x fT2x (2.16)
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  23 Sử dụng phương trình (2.15) và (2.16), chúng ta thu được phương trình sau: Tfkuu 121x (2.17) Tfkuu 221x Lượt bỏ T, khai triển, và sắp xếp lại các số hạn (các vế) trong phương trình (2.17), dạng ma trận của nó được viết như sau: f1x kk u1   (2.18) fkku22x  Mối quan hệ này thỏa mãn cho lo xò theo hướng dọc trục của lò xo (hướng x). Dựa vào định nghĩa cơ bản về ma trận độ cứng được trình bày ở Mục 2.2 và sử dụng phương trình (2.1), (2.3) và (2.18), chúng ta thu được ma trận độ cứng của phần tử lò xo tuyến tính như sau: kk k (2.19) kk Ở đây, [k] còn được gọi là ma trận độ cứng cục bộ (local stiffness matrix) của phần tử. Chúng ta thấy trong phương trình (2.19) rằng, [k] là ma trận đối xứng (nghĩa là kij=kji) và là ma trận vuông (nghĩa là số hàng của ma trận bằng số cột của ma trận). Những tính chất đặc biêt của ma trận đối xứng vuông được trình bày chi tiết trong học phần toán cao cấp hay tài liệu của Kreyszig [4]. Bước 5: Lắp ghép phương trình phần tử vào phương trình toàn cục và đưa vào các điều kiện biên Ma trận độ cứng toàn cục [K] và véc tơ tải toàn cục {F} được lắp ghép bởi sử dụng những phương trình cân bằng lực, phương trình tương thích, và mối quan hệ lực – biến dạng của lò xo, và bởi sử dụng phương pháp ma trận độ cứng trực tiếp sẽ được giới thiệu ở Mục 2.4. Bước này áp dụng cho các bài toán có nhiều hơn 1 phần tử để mà: N N ()e ()e Kk  Ff   (2.20) e 1 e 1 ()e ()e trong đó, k và f  lần lượt là ma trận độ cứng phần tử và véc tơ tải phần tử và N là số lượng phần tử lò xo. Bước 6: Giải để tìm giá trị các chuyển vị nút
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  24 Sau khi áp các điều kiện biên vào bài toán, chuyển vị tại các nút có thể xác định bởi giải hệ phương trình sau: F  K d (2.21) Bước 7: Xác định lực phần tử Cuối cùng, lực phần tử cho từng phần tử lò xo được xác định bằng cách thế giá trị chuyển vị nút, được xác định từ việc giải hệ phương trình toàn cục (2.21), vào trong phương trình (2.17) hoặc (2.18). 2.4 LẮP GHÉP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO HỆ LÒ XO 2.4.1 Lắp ghép ma trận độ cứng bằng quan hệ lực-biến dạng, quan hệ tương thích, và sự cân bằng lực nút Những kết cấu như khung giàn, khung nhà, cầu được tạo từ những thành phần kết cấu đơn giản liên kết lại với nhau tạo thành kết cấu tổng thể. Để phân tích những kết cấu này bằng FEM, chúng ta phải xác định ma trân độ cứng toàn cục. Để dễ hiểu, trước khi xem xét những kết cấu này, chúng ta sẽ xem một kết cấu gồm hệ lò xo. Hơn nữa, trong phần trước, chúng ta đã xây dựng FEM cho phần tử lò xo bằng phương pháp ma trân độ cứng. Do các bước trước, chúng ta chỉ xem xét duy nhất một phần tử lò xo nên Bước 5 (lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục, phương trình toàn cục và áp điều kiện biên) không thực hiện. Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày cách xác định ma trận độ cứng toàn cục của hệ lò xo dựa trên mối quan hệ lực-chuyển vị cùng với những khái niệm cơ bản về sự cân bằng và tương thích nút (nodal equilibrium and compability). Hình 2.6 Hệ hai lò xo Chúng ta xem một ví dụ cụ thể của một hệ gồm hai lò xo ghép nối tiếp như Hình 2.6. Ví dụ này đủ để mô tả cách tiếp cận cân bằng trực tiếp (direct equilibrium approach), hay phương pháp ma trận độ cứng để đạt được ma trận độ cứng toàn cục của hệ lò xo. Trong ví dụ này (Hình 2.6), chúng ta có nút 1 được giữ cố định,
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  25 nút 2 và nút 3 được đặt hai ngoại lực theo chiều dương tương ứng là F2x và F3x. Hệ tọa độ một chiều toàn cục của hệ là x. Trong ví dụ này, trục x của mỗi phần từ lò xo trùng với hệ tọa độ x toàn cục. Đối với phần tử 1, sử dụng phương trình (2.18), chúng ta có: (1) (1)  f1x kk11 u1   (2.22) (1) kk (1) f3x 11 u3 và tương tự cho phần tử 2 (2) (1)  f3x kk22 u3   (2.23) (2) kk (1) f2x 22 u2 Chú ý rằng, ở đây chúng tôi sử dụng chỉ số trên “(i)” để kí hiệu cho phần tử thứ i và chỉ số dưới “j” để chỉ cho nút thứ j. Chúng ta thấy rằng phần tử lò xo 1 và phần tử lò xo 2 luôn được kết nối với nhau tại nút 3 khi có tải hoặc không tải. Điều này gọi là yêu cầu về tính “liên tục” hay tính “tương thích” (continuty or compability requirement). Về mặc toán học, ta có: (1)(2) uuu333 (2.24) Giản đồ lực của vật thể tự do (Free-body force diagram) (là giản đồ lực của từng thành phần trong một hệ khi tách rời) của mỗi phẩn tử lò xo được thể hiện ở Hình 2.7 Hình 2.7 Cân bằng lực tại nút và phần tử Dựa trên giản đồ lực này (Hình 2.7), chúng ta thấy rằng ngoại lực phải cân bằng với nội lực tại mỗi nút. Vì vậy, chúng ta dễ dàng xác định được phương trình cân bằng lực tại nút 1, 2, và 3 như sau: (1) (2) F3x f 3 x f 3 x (2.25)
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  26 (2) Ff22xx (2.26) ( 1 ) Ff11xx (2.27) trong đó, F1x là phản lực tại liên kết ngàm. Sử dụng các phương trình (2.22) – (2.27), chúng ta thu được: Fk311132322x uk ukuku Fkuku22322x (2.28) Fk11113x uk u Dạng ma trận của phương trình (2.28) có thể biểu diễn như sau: F1x kk110 u1 Fkku 0  2222x (2.29) F3x kkkk1212 u3 và dạng ma trận rút gọn được viết như sau: FKd    (2.30) ở đây, {F} được gọi là véc tơ tải nút toàn cục (the global nodal force vector), {d} được gọi là véc tơ chuyển vị nút toàn cục (the global nodal displacement vector), và kk110 Kkk 0   22 (2.31) kkkk1212 được gọi là ma trận độ cứng toàn cục (the global or total or system nodal stiffness). Tóm tại, để thiết lập phương trình độ cứng và ma trận độ cứng cho hệ lò xo, chúng ta sử dụng mối quan hệ lực – biến dạng (phương trình (2.22) và (2.23)), quan hệ tương thích (phương trình (2.24)), và phương trình cân bằng lực nút (phương trình (2.25) - (2.26)). Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một phương pháp đơn giản hơn để lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục. 2.4.2 Lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục bằng nguyên lý chồng chất Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận một phương pháp dễ hơn để xây dựng ma trận toàn cục. Phương pháp này dựa trên nguyên lý chồng chất hay nguyên lý cộng dồn của những ma trận độ cứng phần tử riêng lẻ.
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  27 Xem xét hệ hai lò xo như trong Mục 2.4.1, ma trận độ cứng của phần tử 1 và 2 được cho trong phương trình (2.22) và (2.23) như sau: uu 13 (1) kk11 u1 (2.32) k kk11u3 uu 32 (2) kku223 (2.33) k kku222 Trong những phương trình (2.32) và (2.33), chúng ta đã đánh dấu bậc tự do tương ứng trên các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử. Từ việc này, [K] có ( 1 ) thể xây dựng đơn giản bằng cách thêm và cộng những số hạng trong k và (2) k vào vị trí có bậc tự do tương ứng trong [K]. Cụ thể, hàng u1, cột u1 của ma trận [K] chỉ được phân bố bởi phần tử 1 bởi vì chỉ có phần tử 1 có bậc tự do u1 (1) (phương trình (2.32)), nghĩa là Kk1111 . Hàng u3, cột u3 của ma trận [K] có sự phân bố từ cả phần tử 1 và 2 bởi vì bậc tự do u3 bao gồm cả phần tử 1 và phần tử (1)(2) 2. Do vậy, Kkk332211 . Tương tự cho các hàng, cột khác của [K], chúng ta đạt được [K] như sau: uuu 123 kku 0 111 (2.34) Kkku 0   222 kkkku12123 Như vậy, chúng tôi vừa giới thiệu đến các bạn hai phương pháp xây dựng ma trận độ cứng toàn cục. Trong hai phương pháp, phương pháp thứ 2 thường được áp dung trong việc xây dựng ma trận độ cứng toàn cục cho các bài toán lớn và trong những phần mềm tính toán vì nó dễ thực hiện do tính hệ thống hóa theo bậc tự do. Việc xây dựng trực tiếp ma trận độ cứng bằng phương pháp thứ 2 này còn được gọi là phương pháp độ cứng trực tiếp (the direct stiffness method). 2.5 ĐIỀU KIỆN BIÊN Chúng ta cần phải chỉ ra những điều kiện biên hoặc liên kết (boundary or support conditions) cho bài toán (kết cấu) như hệ lò xo ở Hình 2.6. Nếu không, ma
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  28 trận [K] sẽ suy biến. Một cách tổng quát, số điều kiện biên cần thiết để [K] không bị suy biến phải bằng với số ràng buộc trong kết cấu (the number of rigid body modes). Đối với hệ lò xo, điều kiện biên liên quan đến chuyển vị nút. Những điều kiện biên này có hai loại. Điều kiện biên thuần nhất (homogeneous boundary conditions). Điều kiện này là phổ biến, tại những vị trí “chống” lại sự duy chuyển của hệ. Cụ thể, điều kiện biên thuần nhất là điều kiện biên mà chuyển vị tại biên đó bằng không. Ngược lại, điều kiện biên không thuần nhất (nonhomogeneous boundary conditions) xuất hiện tại biên mà có chuyển vị đã được cho trước. Trong ý nghĩa về toán học liên quan đến giải những vấn đề giá trị biên (boundary value problems), điều kiện biên trong những phương trình vi phân thường (ordinary differential problems), và phương trình đạo hàm riêng (partial differential problems) được phân thành 2 loại: Loại 1: điều kiện biên chính, hay điều kiện biên cần thiết, hay điều kiện biên Dirichlet (Dirichlet là tên của nhà khoa học Johann Dirichlet (1805-1859)). Điều kiện biên này là những giá trị cho (biết) trước của lời giải, như là chuyển vị và phải thỏa mãn trên biên của miền tính toán. Loại 2: điều kiện biên tự nhiên hoặc điều kiện biên Neumann (Neumann là tên của nhà khoa học Carl Neumann (1832 – 1925)). Điều kiện biên này là biết được giá trị của đạo hàm của lời giải và phải thỏa mãn trên biên của miền tính toán. 2.5.1 Điều kiện biên thuần nhất Đối với điều kiện biên thuần nhất, biết giá trị chuyển vị bằng không tại biên (nút). Trong trường hợp hệ hai lò xo như Hình 2.6, ta thấy nút 1 bị ngàm cố định, tức là u1=0. Khi đó, phương tình toàn cục (2.29) có thể viết lại như sau: kk110 u1 0 F1x 0 k k u F 2 2 2  2x  (2.35) k1 k 2 k 1 k 2 u3 F3x Về mặc toán học, để giải phương trình (2.35), chúng ta lượt bỏ hàng tương ứng với nút trùng với điều kiện biên thuần nhất cho cả {d}, và {f}. Đối với [K], chúng ta lượt bỏ cả cột và hàng tương ứng. Như vây, đối với phương trình (2.35),
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  29 chúng ta lượt bỏ hàng 1 của {d}, và {f}, tiếp theo, lượt hàng 1 cột 1 của [K]. Như vậy, chúng ta thu được: kk22 u2 F2x   (2.36) kkk212 u3 F3x Cuối cùng, với k1, k2, F2x và F3x đã biết, chúng ta có thể giải phương trình (2.36) bằng phương pháp lượt bỏ Gauss. Đối với những vấn đề lớn, số biến có thể hàng vạn và hàng triệu. Khi đó, việc sử dụng các phương pháp gần đúng, như: Newton Raphson, Conjugate Gradient , để giải hệ phương trình sẽ hiệu quả hơn. Mặt khác, những phương pháp gần đúng có thể giải những hệ phương trình phi tuyến (đối với những vấn đề phi tuyến, việc xây dựng FEM sẽ đưa đến một hệ phi tuyến). Sau khi tìm được giá trị các chuyển vị nút, chúng ta có thể tìm được các phản lực F1x và các phản lực phần tử fix 2.5.2 Điều kiện biên không thuần nhất Hình 2.8 Hệ hai lò xo với chuyển vị cho trước tại nút 1 Bây giờ, chúng ta xem xét điều kiện biên không thuần nhất. Ở đây, một hoặc nhiều chuyển vị nút được cho trước với giá trị khác không. Để dễ hiểu, chúng ta giả sử rằng u1= trong hệ 2 lò xo như Hình 2.8, trong đó,  là chuyển vị cho trước. Như vậy, phương trình toàn cục (2.29) được viết như sau: kk110 u1  F1x 0 k k u F 2 2 2  2x  (2.37) k1 k 2 k 1 k 2 u3 F3x Về mặt toán học, chúng ta không thể lượt bỏ hàng và cột tương ứng với nút chuyển vị trùng với điều kiện biên không thuần nhất. Vì như thế, số hạng  sẽ bị lượt bỏ trong phương trình (2.37). Dẫn đến lời giải của phương trình (2.37) không đúng. Đối với điều kiện biên không thuần nhất này, chúng ta chỉ bỏ hàng tương ứng trong {F}, và [K]. Khi đó, chúng ta được:
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  30 u1  0 kk22 F2x  u2 (2.38) kkkk1212 F3x u3 Sau đó, chúng ta chuyển các số hạng trong ma trận [K] nhân với  sang vào vị trí hàng tương ứng trong véc tơ tải {F} (xin nhớ rằng khi chuyển vế chúng ta cần phải đổi dấu của số hạng), trong trường hợp này là “0” chuyển vào hàng 1 của {F} và “-k1” vào hàng 2 của {F}. Chúng ta được: kk22 u2 F2x 0   (2.39) k2 k 1 k 2 u3 Fk31x () hay kk22 u2 F2x   (2.40) kkk212 u3 Fk31x  Giải phương trình (2.40), chúng ta tìm được giá trị chuyển vị của các nút còn lại. Sau đó, chúng ta tìm được các phản lực F1x và các phản lực phần tử fix 2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ 2.6.1 Ví dụ 1 Cho một hệ gồm 3 lò xo như Hình 2.9. Hãy: (a) xác định ma trận độ cứng toàn cục, (b) tìm chuyển vị tại nút 3 và 4, (c) tính phản lực tại nút 1 và 2. Biết rằng, một lực P=5000lb được đặt tại nút 4 cùng chiều của trục toa độ x. Hình 2.9 Hệ gồm 3 lò xo cho ví dụ 1 LỜI GIẢI (a) Chúng ta sử dụng phương trình (2.19) để xây dựng ma trận độ cứng phần tử như sau:
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  31 1 3 3 4 100010001 200020003 1 2 k k 100010003 200020004 (2.41) 4 2 3000 3000 4 3 k 3000 3000 2 Sử dụng nguyên lý chồng chất (hay còn gọi là phương pháp ma trận trực tiếp), chúng ta đạt được ma trận toàn cục như sau: 1 2 3 4 10000100001 03000030002 (2.42) K  10001000200020003 030002000200030004 (b) Ma trận độ cứng trong phương trình (2.42) quan hệ với lực toàn cục và chuyển vị toàn cục như sau: F1x 1000010000 u1 F2x 0300003000 u2   (2.43) F3x 1000100020002000 u3 F4x 0300020002000 3000 u4 Tiếp theo, chúng ta xem xét điều kiện của bài toán. Chúng ta thầy rằng liên kết ngàm tại nút 1 và 2. Như vậy, chúng ta có hai điều kiện biên thuần nhất tại nút 1 và 2. Nghĩa là, uu12 0 . Đồng thời, chúng ta cũng áp ngoại lực tác động vào hệ lò xo tại nút 4. Lượt bỏ hàng và cột trong ma trận độ cứng toàn cục và hàng trong véc tơ tải và véc tơ chuyển vị. Cuối cùng, chúng ta được:  030002000 u3   (2.44)  500020005000 u4 Giải phương trình (2.44), chúng ta thu được chuyển vị tại nút 3 và 4 như sau: 10 15 u in u in (2.45) 3 11 4 11 (c) Chúng ta thế các giá trị {d} vào phương trình (2.43) để đạt lực nút toàn cục:
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  32 u1 0 F1x 1000010000 u 0 2 F2x 0300003000 10   u (2.46) 3 F3x 1000100020002000 11 F4x 0300020002000300015 u 4 11 Nhân ma trận độ cứng toàn cục với véc tơ chuyển vị toàn cục, chúng ta thu được lực toàn cục tại nút: 10000 11 F1x 45000 F2x  11 lb (2.47) F 3x 0 F4x 55000 11 Chúng ta thấy rằng, tổng phản lực F1x và F2x có cường độ bằng nhau nhưng ngược hướng với lực tác dụng tại nút F4x. Kết quả này xác nhận rằng sự cân bằng lực của hệ lò xo trên. (d) Tiếp theo chúng ta sẽ tìm lực trong mỗi phần tử. Chúng ta sử dụng phương trình (2.18) để tính lực phần tử. Phần tử 1  10000 (1) 0  f1x 10001000 11   (1) 10 lb (2.48) f3x 1000100010000 11 11 Sơ đồ lực của phần tử lò xo 1 được hể hiện Hình 2.10(a). Lò xo chịu lực (1) kéo với giá trị trong phương trình (2.48). f1x cân bằng với phản lực toàn cục tại nút 1 với giá trị trong phương trình (2.47). Sơ đồ lực của nút 1 cũng được thể hiện ở Hình 2.10(b) Hình 2.10 (a) Sơ đồ lực phần tử 1 và (b) là sơ đồ lực tại nút 1 Phần tử 2
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  33  1010000 (2)  f3x 20002000 1111   (2) lb (2.49) f4x 200020001510000  1111 Sơ đồ lực phần tử 2 được thể hiện ở Hình 2.11. Hình 2.11 Sơ đồ lực phần tử 2 Phần tử 3 45000 (3) 15  f4x 30003000 11   (3) 11 lb (2.50) f2x 3000300045000 0 11 Sơ đồ lực phần tử 3 được thể hiện ở Hình 2.12(a). Như Hình 2.12(a), chúng (3) ta thấy rằng lò xo bị nén với giá trị được cho ở phương trình (2.50). f2x cân bằng với phản lực F2x tại nút 2, với giá trị trong phương trình (4.47). Sơ đồ lực tại nút 2 cũng được thể hiện ở Hình 2.12(b). Hình 2.12 (a) Sơ đồ lực phần tử 3 và (b) Sơ đồ lực tại nút 2. 2.6.2 Ví dụ 2 Một hệ lò xo như Hình 2.10. Nút 1 được ngàm cố định trong khi nút 5 được trước giá trị chuyển vị =20mm. Độ cứng lò xo là k=200kN/m. (a) xác định ma trận độ cứng toàn cục, (b) chuyển vị tại nút 2 và 4, (c) lực nút toàn cục, và (d) lực phần tử. Hình 2.13 Hệ lò xo cho ví dụ 2 LỜI GIẢI
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  34 (a) Sử dụng phương trình (2.19), chúng ta thu được ma trận độ cứng như sau: 200200 1234 kkkk (2.51) 200200 Sử dụng phương pháp độ cứng trực tiếp (nguyên lý chồng chất), chúng ta đạt ma trận độ cứng toàn cục: 200200000 20020020020000 K  02002002002000 (2.52) 00200200200200 000200200 (b) Ma trận độ cứng quan hệ với véc tơ tải toàn cục và véc tơ chuyển vị toàn cục như sau:  Fu11x  200200000 Fu22x 200 200 20020000  Fu33x  0200200 2002000 (2.53) Fu 00200200 200200 44x  Fu55x  000200200 Trong ví dụ này, chúng ta thấy rằng có hai điều kiện biên. Điều kiện biên thuần nhất là nút 1 ( u1 0 ) và điều kiện biên không thuần nhất tại nút 5 ( ummm5 200.2 ). Đưa ngoại lực tác dụng tại các nút vào phương trình (2.53), chúng ta đạt: F1x 200 200 0 0 0 0  0 200 200 200 200 0 0 u2 0  0 200 200 200 200 0 u3  (2.54) 0 0 0 200 200 200 200 u 4 F5x 0 0 0 200 200 0.02  Đối với điều kiện biên thuần nhất tại nút 1 chúng ta bỏ hàng 1 cột 1 trong ma trận [K] và hàng 1 trong {F} và {d}. Đối với điều kiện biên không thuần nhất tại nút 5 chúng ta chỉ bỏ hàng 5 trong [K] và hàng 5 trong {F}. Phương trình tương ứng với (2.53) sau khi áp điều kiện biên:
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  35 u2  040020000 u3  02004002000 (2.55) u4  00200400200 0.2 Sắp xếp lại phương trình (2.55), chúng ta đạt:  04002000  u2 0200400200 u   3 (2.56)  40000200400  u4 Giải phương trình (2.56), chúng ta thu được: um2 0 .0 0 5 um3 0 . 0 1 um4 0 .0 1 5 (2.57) (c) Chúng thay {d} vừa tìm được vào trong phương trình (2.53), chúng ta thu được lực nút toàn cục: F1x 200 200 0 0 0 0  0 200 200 200 200 0 0 0.005 0  0 200 200 200 200 0 0.01  0 0 0 200 200 200 200 0.015  F5x 0 0 0 200 200 0.02  (2.58) F1x 1000 0 0 0  0  N 0 0  F5x 1000  Giá trị từ biểu thức (2.58) nhận định rằng ngoại lực F1x ngược chiều với ngoại lực tại nút F5x, cái mà cần để dịch chuyển nút 5 một khoảng =20mm. Những kết quả này chứng thực sự cân bằng của hệ lò xo trong ví dụ 2. Chú ý rằng, nếu chuyển vị tại một nút là cho trước như trong ví dụ 2 thì lực tại nút đó là chưa biết trước. Lực tại nút đó được xác định sau khi giải véc tơ chuyển vị nút. (d) Tiếp theo, chúng ta sử dụng phương trình (2.18) để tính lực phần tử: Phần tử 1
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  36 (1)  f1x 20020001000     (1) N (2.59) f2x  2002000.0051000 Phần tử 2 (2)  f2x 2002000.0051000     (2) N (2.60) f3x  2002000.011000 Phần tử 3 (2)  f3x 2002000.011000     (2) N (2.61) f4x  2002000.0151000 Phần tử 4 (4)  f4x 2002000.011000     (4) N (2.62) f5x  2002000.0151000 2.7 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 2 Sau đây, chúng tôi xin tóm tắt một số công thức quan trọng trong chương 2. Định nghĩa ma trân độ cứng phần tử lò xo: fkd    (2.1) Định nghĩa ma trận độ cứng toàn cục: FKd    (2.2) Hàm chuyển vị được giả sử cho phần tử lò xo tuyến tính: uaxax 12 (2.4) Hàm dạng cho phần tử lò xo tuyến tính: xx N 1 and N (2.12) 12LL Phương trình ma trận cơ bản liên quan giữa lực nút và chuyển vị nút đối phần tử lò xo: f1x kk u1   (2.18) fkku22x  Ma trận độ cứng cho phần tử lò xo tuyến tính:
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  37 kk k (2.19) kk 2.8 BÀI TẬP Bài tập 1 (a) Xác định ma trận độ cứng [K] đối với hệ lò so trong Hình B2.1. (b) Nếu nút 1 và 2 được ngàm cố dịnh và lực P được áp tại nút 4 theo hướng của trục x. Tìm biểu thức chuyển vị của nút 3 và 4. (c) Xác định phản lực tại nút 1 và 2 Hình 2B.1 Bài tập 2 (a) Xác định ma trận độ cứng [K] trong Hình B2.2 (b) Xác định dịch chuyển nút 2 và 3 (c) Tìm phản lực tại nút 1 và 5 Hình B2.2 Bài tập 3 Giải vấn đề trong Bài tập 2 với P=0 và nút 5 biết trước chuyển vị  với Hình B2.3 Hình B2.3 Bài tập 4 Xác định chuyển vị nút, lực trên mỗi phần tử và phản lực tại liên kết ngoài của những vấn đề sau:
Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  38 Hình B2.4(a) Hình B2.4(b) Hình B2.4(c) Hình B2.4(d) Hình B2.4(e)
Chương 3: Bài toán khung dàn  39 Chương 3 BÀI TOÁN KHUNG GIÀN NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử thanh (bar element). Mô tả cách giải hệ thanh bằng phương pháp độ cứng. Trình bày những khái niệm về chuyển đổi hệ tọa độ. Xây dựng ma trận độ cứng cho một thanh theo hướng bất kỳ Tính toán ứng suất trong phần tử thanh. Xây dựng phương trình phần tử thanh bằng phương pháp thế năng. Xây dựng phương trình phần tử thanh bằng phương pháp Galerkin. 3.1 GIỚI THIỆU Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử thanh biến dạng tuyến tính (linear-elastic bar/truss element) trong những bước như được trình bày ở Chương 2. Chúng tôi cũng trình bày cách chuyển tử phương trình phần tử trong tọa độ cục bộ (local coordinate) sang phương trình phần tử trong tọa độ toàn cục (global coordinate). Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày cách xây dựng phương trình phần tử thanh dựa trên nguyên lý cực tiểu hóa năng lượng thế năng (principle of minimum potential engergy) và phương pháp dư thừa trọng số Galerkin. 3.2 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ THANH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỤC BỘ Trước hết, chúng ta xây dựng phương trình đặc tính (biến dạng) của thanh. Xét một phần tử thanh tuyến tính như Hình 3.1 Với tiết diện không đổi. Thanh chịu một lực kéo T trực tiếp dọc theo trục của thanh và được đặt tại nút 1 và 2. Hình 3.1 Phần tử thanh với lực kéo T
Chương 3: Bài toán khung dàn  40 Từ định luật Hooke, chúng ta có mối quan hệ biến dạng – chuyển vị và ứng suất – biến dạng như sau: du  E  (3.1) xx x dx Từ sự cân bằng lực, chúng ta có: AT x constant (3.2) Như vậy, phương trình thể hiện đặc tính biến dạng của thanh có thể viết như sau: d d u AE 0 (3.3) d x d x Tiếp theo, chúng ta xây dựng ma trận độ cứng phần tử thanh, chúng ta có một số giả thuyết sau: - Thanh không chịu lực cắt và mô men uốn. Nghĩa là fiy=mi=0. - Bất kỳ chuyển vị ngang điều được bỏ qua. - Biến dạng của thanh theo định luật Hooke. - Không có lực bên trong. Các bước xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử thanh và các bước giải bài toán thanh bằng FEM giống như phần tử lò xo trong Chương 2. Chỉ có khác biệt ở đây là chúng ta thay độ cứng lò xo k bằng AE/L. Trong đó A là tiết diện của thanh, E là Môđun đàn hồi và L là chiều dài của phần tử thanh. Như vậy, ma trận độ cứng của phần tử thanh trong hệ tọa độ cục bộ được viết như sau: AE 11 k (3.4) L 11 và phương trình phần tử thanh có dạng: f1x AE 11 u1   (3.5) fu22x L 11 
Chương 3: Bài toán khung dàn  41 3.3 VÍ DỤ BÀI TOÁN THANH Sau đây, chúng ta đi giải một bài toán thanh bằng FEM để thấy rằng cách giải quyết bài toán thanh giống như giải quyết bài toán lò xo. Xét một hệ thanh như Hình 3.2. (a) xác định ma trận độ cứng phần tử, (b) chuyển vị tại nút 2, 3 và (d) phản lực tại nút 1 và 4. Biết L=30in, phần tử 1 và có E=30.106psi và A =1in2. Phần tử 3 là E=15.106psi và A=2in2. Nút 1 và 4 được ngàm. Hình 3.2 Hệ thanh với 3 phần tử thanh LỜI GIẢI: (a) Sử dụng phương trình (3.4), chúng ta tìm được ma trận độ cứng phần tử thanh như sau: 6 (1)(2) (1)(30.10 ) 11 kk (3.6) 30 11 và 6 (3) (2)(30.10 ) 11 k (3.7) 15 11 Ở đây, chúng ta thấy rằng, hệ thanh gồm ba phần tử với bốn bậc tự do (four degrees of freedom). Như vậy, ma trận độ cứng toàn cục là ma trận vuông 4x4. Sử dụng phương pháp độ cứng trực tiếp (nguyên lý chồng chất), chúng ta đạt được ma trận độ cứng toàn cục như sau: 1100 1 110 K  106 (3.8) 1 11 1 Như vậy, phương trình toàn cục thể hiện mối quan hệ giữa ngoại lực và chuyển vị là:
Chương 3: Bài toán khung dàn  42 F1x 1100 u1 F2x 6 1110 u2   10 (3.9) F3x 111 u3 F4x 1 u4 Ta thấy rằng, hai đầu của hệ thanh (Hình 3.2) được ngàm cố định, do vậy ta có các điều kiện thuần nhất tại nút 1 và 4(các điều kiện biên này còn được gọi điều kiện biên loại 1 (hay còn gọi là điều kiện biên chính (primary conditions) hay điều kiện biên Dirichlet). Nghĩa là: uu14 0 (3.10) Thay điều kiện biên trong phương trình (3.10) và áp ngoại lực tại nút 3 vào véc tơ tải. Sử dụng qui luật lược bỏ hệ phương trình cho điều kiện biên thuần nhất. Chúng có đạt được phương trình: 6 2 1 u2 3000  10   (3.11) 1 2 u3 0  Giải phương trình (3.11), ta thu được chuyển vị u2 và u3 cuối cùng ta có véc tơ chuyển vị như sau: T d 00.0020.0010 in  (3.12) Thay véc tơ chuyển vị {d} ở phương trình (3.12) vào phương trình (3.9), chúng ta xác định được ngoại lực và phản lực tại các nút như sau: F1x 110002000   F2x 6 1 1100.0023000    10lb (3.13) F3x 1 110.0010 F4x   101000 Kết quả trong biểu thức (3.13) thể hiện rằng phản lực tại nút 1 và nút 2 ngược chiều dương. Trong khi, ngoại lực tại nút 2 chính bằng giá trị đã cho (3000lb) và ngoại lực tại nút 3 bằng không. Hơn nữa, chúng ta có thể sử dụng các giá trị chuyển vị trong ma trận {d} tương ứng cho từng phần tử và thay vào trong phương trình phần tử (phương trình (3.5)) để tính toán lực nút phần tử. Bên cạnh đó chúng ta có thể tính toán chuyển vị ở bất cứ điểm nào trên phần tử nào đó bởi phương trình (2.10).
Chương 3: Bài toán khung dàn  43 3.4 CHUYỂN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ 2 CHIỀU Trong nhiều vấn đề, chúng ta cần thể hiện cả trong hệ tọa độ cục bộ xy (local coordinate) và hệ tọa độ toàn cục xy (global coordiante). Hệ tọa độ cục bộ thường được chọn để trình diễn cho phần tử riêng lẻ (individual element). Trong khi đó, hệ tọa độ toàn cục được chọn cho toàn kết cấu (whole structure). Hình 3.3 Vec tơ chuyển vị d trong hai hệ tọa độ Bây giờ, chúng ta sẽ đi xây dựng mối quan hệ của những thành phần chuyển vị trong hệ tọa độ toàn cục với thành phần chuyển vị trong hệ tọa độ cục bộ. Để làm điều này, chúng ta sẽ xây dựng ma trận biến đổi (transformation matrix). Sau đó, sử dụng ma trận này để phát triển ma trận độ cứng toàn cục cho một phần tử thanh. Trước hết, chúng ta xét một vec tơ d như Hình 3.3. Hình 3.4 Mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ
Chương 3: Bài toán khung dàn  44 Chúng ta có thể trình diễn chuyển vị của véc tơ d trong cả hai hệ tọa độ như sau: dijij uvuv (3.14) trong đó, i và j là véc tơ đơn vị trong hệ tọa độ toàn cục x và y tương ứng; và i và j là véc tơ đơn vị trong hệ tọa độ cục bộ x và y tương ứng. Bây giờ, chúng ta tìm mối quan hệ giữa i và j với và thông quan Hình 3.4. Từ Hình 3.4 và quy tắc cộng véc tơ, chúng ta có: a + b = i (3.15) Chúng ta cũng có: | |ai | | c o s  (3.16) Bởi vì, véc tơ đơn vị i có độ lớn là một đơn vị. Do vậy, ta có: | |a 1c o s  (3.17) Tương tự: ||1sinb  (3.18) Từ Hình 3.4, chúng ta thấy a cùng hướng với và b trong hướng j . Do vậy: a =| a | ii (cos) (3.19) b ||(sin)bjj  Sử dụng phương trình (3.15) và (3.19), chúng ta có: iij (cos)sin (3.20) Tương tự, chúng ta cũng có: j (sin ) i cos j (3.21) Thay phương trình (3.20) và (3.21) vào trong phương trình (3.14), chúng ta có mối quan hệ sau: uvuv(cos )ijijij sin ) ((sin ) cos ) (3.22) Kết hợp với số hạng theo các véc tơ đơn vị và , chúng ta có:
Chương 3: Bài toán khung dàn  45 uvucossin (3.23) uvvsincos Trong dạng ma trận:  uCSu   (3.24)  vSCv trong đó, C c o s và S s i n . Phương trình (3.24) thể hiện mối quan hệ của ma trận chuyển vị toàn cục d với ma trận chuyện vị cục bộ d . Hay: d T  d    (3.25) trong đó, u u CS d  d   T  (3.26) v v SC Ma trận [T] gọi là ma trận biến đổi (transformation matrix) hay còn gọi là ma trận xoay (rotation matrix) hệ tọa độ. Đối với trường hợp phần tử thanh chỉ có chuyển vị dọc trục trong hệ tọa độ cục bộ, nghĩa là v 0 , chúng ta chỉ còn: u uCuSvCS   (3.27) v VÍ DỤ: Chuyển vị nút toàn cục (global nodal displacement) tại nút 2 được cho như sau: um2 0.1 và vm2 0.2 đối với thanh như Hình 3.5. Hãy xác định chuyển vị của nút hai trong hệ tọa độ cục bộ x
Chương 3: Bài toán khung dàn  46 Hình 3.5 Phần tử thanh trong hai hệ tọa độ LỜI GIẢI: Sử dụng phương trình (3.27), chúng ta xác định được chuyển vị u trong hệ tọa độ cục bộ x một cách dễ dàng: um cos(60)(0.1)sin(60)(0.2)0.223 3.5 MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ TRONG HỆ TỌA ĐỘ TOÀN CỤC OXY Bây giờ, chúng ta xem xét một thanh nghiêng một góc  so với trục x của hệ tọa độ toàn cục Oxy. Hướng của thanh được định nghĩa bởi hệ tọa độ cục bộ một chiều Ox với chiều dương từ nút 1 đến nút 2 như Hình 3.6 Hình 3.6 Phần tử thanh trong hướng bất kì Phương trình phần tử trong hệ tọa độ cục bộ mô tả trong phương trình (3.5) được viết lại như sau: f1 x AE 11 u1  (3.28) fu22 x L 11 
Chương 3: Bài toán khung dàn  47 Hay ở dạng ma trận rút gọn: f k  d    (3.29) Mục đích của chúng ta là xây dựng mối quan hệ giữa véc tơ tải nút trong hệ tọa độ toàn cục, f  , và véc tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ toàn cục, d , đối với một phần tử thanh có hướng bất kì trong hệ tọa độ toàn cục Oxy như Hình 3.6. Mối quan hệ này sẽ tạo ra một ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục k . Nghĩa là, chúng ta muốn tìm để: f1x u 1 f1y v1  k  (3.30) f 2x u2 f 2 y v2 hoặc trong dạng ma trận rút gọn: f k d    (3.31) Từ Hình 3.6 và phương trình (3.27), chúng ta có mối quan hệ sau: uuv cossin 111 (3.32) uuv222 cossin hay viết dưới dạng ma trận: u1 uv11 CS00   (3.33) uu22 00CS v2 hoặc ở dạng rút gọn: CS00 d   T d với T  (3.34) 00CS Tương tự, ta cũng có: f1x f1 CS00 f1y   (3.35) f f2 00CS 2x f2 y
Chương 3: Bài toán khung dàn  48 hoặc ở dạng rút gọn: f T  f    (3.36) Thay phương trình (3.34) và (3.36) vào phương trình (3.29), chúng ta đạt được: TfkTd      (3.37) Chuyển ma trận T  vế bên trái sang vế bên phải trong phương trình (3.37) và đặt kTkT   1   , chúng ta đạt kết quả như phương trình (3.31). Chúng ta thấy rằng khi chuyển vế bên trái sang vế bên phải trong phương trình (3.37), chúng ta cần tính ma trận nghịch đảo của , nghĩa là tìm T  1 . Tuy nghiên, không phải là ma trận vuông. Do vậy, điều này không thể thực hiện được. Để thực hiện điều này, chúng ta cần mở rộng các phương trình (3.33) và (3.35) như sau: uu11  CS00  vv11 SC 00   (3.38) uu22 00CS vv22  00 SC  và  ff11 xx CS00 ff11 yy SC 00   (3.39) ff 22xx 00CS  ff22yy 00 SC trong đó, ma trận được mở rộng thành ma trận vuông 4 4 như sau: CS00 SC 00 T  (3.40) 00CS 00 SC Bên cạnh đó, chúng ta cũng mở rộng phương trình phần tử trong hệ tọa độ cục bộ như sau:
Chương 3: Bài toán khung dàn  49 f1 x 1010 u1 f1 y AE 0000v1   (3.41) f 2x L 1010 u2 f 2 y 0000 v2 Chúng ta thấy rằng, việc mở rộng ma trận T  và phương trình (3.41) không làm thay đổi bản chất kết quả của phương trình phần tử. Hơn nữa, chúng ta thấy rằng ma trận là ma trận trực giao (orthogonal matrix). Do vậy, chúng ta có tính chất đặc biệt sau: TT 1  T . Khi đó, chúng ta dễ dàng tính toán ma trận kTkT   1   . Kết quả đạt được như sau: CCSCCS22 AE SCSS22 k (3.42) L CCS2 2 SymS Chúng ta nhớ rằng, các thành phần của phương trình độ cứng phần tử trong hệ tọa độ cục bộ có kích thước của f  và d  là 2 1 và k  là 2 2. Trong khi, trong hệ tọa độ toàn cục, chúng có kích thước của f  và d là 4 1 và k là 4 4. Sau khi đạt được các ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục. Chúng ta tiếp tục tiến hành lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục, áp điều kiện biên và giải phương trình để tìm các chuyển vị của thanh trong hệ tọa độ toàn cục. Tiếp theo, chúng ta sử dụng các giá trị chuyển vị trong véc tơ để tìm các chuyển vị trong hệ tọa đọa cục bộ bởi phương trình (3.33) và lực phần tử bởi phương trình (3.28). Đối với hệ tọa độ không gian Oxyz, bằng cách tương tự trình bày ở trên, chúng ta có thể thiết lập được mối quan hệ giữa vec tơ tải với véc tơ chuyển vị trong không gian. Trong một cách ngắn ngọn, ma trận biến đổi có dạng: CCCx y z 0 0 0 T  (3.43) 0 0 0 CCCx y z
Chương 3: Bài toán khung dàn  50 và ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục Oxyz là: 22 CCxxyxzxxyxz CC CCC CC C 22 CCyyzxyyyz CC CCC C 22 AE CCzxzyzz CC CC k 2 (3.44) L CCxxyxz CC C CC2 C yyz 2 SymC z trong đó, Cxx c o s , Cyy c o s , Czz c o s là cosin của Ox trong Oxyz như Hình 3.7 Hình 3.7 Phần tử thanh trong không gian Oxyz VÍ DỤ: Cho một thanh như Hình 3.8. Có A=2in2, L=60in, E=30.106psi. Xác định ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục Oxy.
Chương 3: Bài toán khung dàn  51 Hình 3.8 Phần tử thanh LỜI GIẢI: Từ Hình 3.7, chúng ta có: 3  300 C c o s3 0 S s i n3 0 0 . 5 2 Sử dụng phương trình (3.42), ma trận độ cứng phần tử thanh trong hệ tọa độ toàn cục Oxy đạt được như sau: 3 3 3 3 4 4 4 4 1 3 1 6 2 3.10 444lb k 60 33 in 44 1 Sym 4 3.6 TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT PHẦN TỬ THANH TRONG MẶT PHẲNG OXY Từ lý thuyết biến dạng [5, 6], chúng ta có ứng suất trong thanh kéo nén như sau: ff  12xx (3.45) AA Giả sử chúng ta sử dụng f2 x , chúng ta có:
Chương 3: Bài toán khung dàn  52 AE u1 f2 x  11  (3.46) L u2 Vậy ứng suất trong thanh có thể viết trong biểu thức sau: EEE u1   111111    dTd      (3.47) LLL u2 hay ở dạng rút gọn:  Cd   (3.48) Với EE CS00 CCSCS  11  (3.49) LL 00CS 3.7 CÁCH GIẢI GIÀN PHẲNG BẰNG FEM Bây giờ, chúng tôi sẽ mô tả sử dụng những phương trình được xây dựng trong Mục 3.5 và Mục 3.6 cùng với phương pháp độ cứng trực triếp để để xây dựng phương trình phần tử cũng như ma trận độ cứng phần tử và giải chúng thông qua một số ví dụ cụ thể. Chúng ta nên ôn lại kiến thức về khung giàn phẳng (plane truss). Một khung giàn phẳng là “một kết cấu kết hợp nhiều thanh tại với nhau trong một mặt phẳng và liên kết với nhau bằng những khớp quay không ma sát”. VÍ DỤ 1: Cho một khung giàn phẳng như Hình 3.9. Ngoại lực được áp tại nút 1 với các thông số đặc trưng như sau: E 30.106 psi và A 2in2 cho tất cả các thanh. Chiều dài thanh như Hình 3.9.
Chương 3: Bài toán khung dàn  53 Hình 3.9 Ví dụ 1: Khung giàn phẳng LỜI GIẢI VÍ DỤ 1: Trước hết, chúng ta sử dụng phương trình (3.42) để xây dựng ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục (Oxy). Để làm điều này, chúng ta cần xác định góc  của từng phần tử trước. Từ Hình 3.9, giá trị cosin của các phần tử thể hiện trong Bảng 3.1: Bảng 3.1 Thông số cosin của các phần tử dầm trong Hình 3.9 Phần tử  C S C2 S2 CS 1 90 0 1 1 0 1 2 45 2 1 2 2 3 0 1 0 1 0 0 Như vậy, sử dụng phương trình (3.42) và Bảng 3.1, chúng ta xây dựng các phương trình phần tử thanh cho phần tử 1 trong hệ tọa độ toàn cục như sau: 00 0 0 30.1026 1 01 k 1 (3.50) 120 00 Sym 1 Tương tự, đối với phần tử 2, chúng ta có:
Chương 3: Bài toán khung dàn  54 0.50.50.50.5 30.1026 0.50.50.5 k 2 (3.51) 1202 0.50.5 Sym 0.5 và đối với phần tử 3: 1010 30.1026 000 k 3 (3.52) 120 10 Sym 0 Tiếp theo, chúng ta xây dựng ma trận độ cứng toàn cục cho hệ giàn phẳng (Hình 3.9). Chúng thấy rằng, hệ giàn trong Hình 3.9 gồm 3 thanh với 4 nút. Như vậy số bậc tự do trong hệ tọa độ toàn cục là 8. Nghĩa là ma trận độ cứng toàn cục sẽ là ma trận vuông 4 4. Sử dụng nguyên lý chồng chất (đã trình bày ở Chương 2) trên cơ sở phương pháp độ cứng trực tiếp, chúng ta xây dựng được ma trận toàn cục như sau: 1354 354 0 0 354 354 1 0 1354 0 1 354 354 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 K  500 (3.53) 354 354 0 0 354 0 0 10 Sym 0 Áp ngoại lực cho các nút tương ứng và những điều kiện biên ràng buộc về chuyển vị (điều kiện biên loại 1 hay điều kiện biên Dirichlet), chúng ta có phương trình toàn cục như sau:
Chương 3: Bài toán khung dàn  55 0 13543540035435410 u1 10000 13540135435400 v 1 F2 y 000000 u2 0 F 2 y 01000 v2 0   500 (3.54) F 35435400 u 0 3x 3 F3y 35400 v3 0 F 10u 0 4x 4 F 4 y Sym 0 v4 0 Ở đây, chúng ta có 6 điều kiện biên thuần nhất là chỉ cần tìm giá trị của 2 chuyển vị u1 và v1 ở nút 1. Áp dụng nguyên lý lượt bỏ các hàng và cột tương ứng với các điều kiện thuần nhất hay điều kiện biên loại 1 (đã trình bày trong Chương 2). Phương trình lượt bỏ còn lại như sau:  01354354 u1   500 (3.55)  100003541354 v1 Giải phương trình (3.55), chúng ta tìm được: 2 2 uin1 0.41410 vin1 1.5910 (3.56) Ở đây, giá trị âm của v1 ngụ ý rằng chuyển vị trong phương y của nút 1 là ngược chiều với chiều của trục Oy trong hệ tọa độ toàn cục Oxy. Sử dụng phương trình (3.48), chúng ta dễ dàng xác định ứng suất hướng trục trong các thanh như sau: 0.414 10 2 6 2 1 30 10 1.59 10  01003965psi  (3.57) 120 0 0 0.414 10 2 6 2 2 30 10  2 2 2 2 1.59 10    1471psi (3.58) 120 2 2 2 2 2 0 0
Chương 3: Bài toán khung dàn  56 0.41410 2 6 2 3 3010 1.5910  10101035psi  (3.59) 120 0 0 3.8 PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ THANH Trong Chương 2 và đầu Chương 3, chúng tôi đã mô tả cách xây dựng và giải một bài toán bằng FEM bằng phương pháp độ cứng trực tiếp. Chúng ta thấy rằng, tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ lò xo ở Chương 2 cũng như hệ thanh ở Chương 3 là những lực tập trung và tại các nút. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều hệ thanh chịu cả lực tập trung, lực phân bố, và lực khối. Như vậy, để giải quyết dạng bài toán hệ thanh có cả ba loại lực trên bằng FEM, chúng ta cần phải biến đổi lực phân bố và lực khối thành các lực tập trung tại nút. Để xử lý quá trình biến đổi lực này và cũng như giới thiệu thêm một phương pháp mới trong xây dựng bài toàn FEM, chúng tôi xin giới thiệu một cách tiếp cận khác trong xây dựng bài toàn FEM cho phần tử thanh. Đó là cách tiếp cận dựa trên năng lượng thế năng (Potential Energy Apporch) hay còn gọi là phương pháp thế năng (Potential Energy Method). Tổng thế năng của hệ p được định nghĩa như tổng năng lượng biến dạng U và thế năng của ngoại lực : p U  (3.60) Hình 3.10 Nội lực bên trong thanh 1 chiều do ngoại lực F Để đánh giá năng lượng biến dạng trong thanh, chúng ta chỉ xem xét công được thực hiện bởi nội lực bên trong suốt quá trình biến dạng. Chúng ta đang xem
Chương 3: Bài toán khung dàn  57 xét thành 1 chiều (one-dimensional bar), nội lực (internal forces) trên một phần tử vô cùng nhỏ hay phần tử vi phân (differential element) có các mặt, x , y , z , được cho như Hình 3.10. Chuyển vị của mặt x là x  x và tại mặt xx là xd xx . Trong đó, d x là sử thay đổi vô cùng nhỏ (differential change) trong biến dạng (strain) trong khoản chiều dài . Theo lý thuyết, vi phân năng lượng biến dạng (differential strain energy) bằng nội lực nhân với chuyển vị và được mô tả như sau: dUxyzd xx()()() (3.61) Phương trình (3.61) có thể viết lại sau: d U d d Vxx với dVxyz ()()() (3.62) Xét toàn thanh (whole bar), năng lượng biến dạng là:   x UddV  với xx (3.63) V 0 Sử dụng qui luật Hooke (Hooke’s law) cho vật liệu đàn hồi tuyến tính (linear-elastic material), xx E , chúng ta được:   x 11 UEddVdVdV  xxx  xx x (3.64) 22 VVV 0  Biểu thức cuối cùng trong phương trình (3.64) là năng lượng biến dạng đối với ứng suất 1 chiều theo hướng trục của phần tử thanh. Trong trường hợp tiết diện của thanh là hằng số. Biểu thức cuối trong phương trình (3.64) có thể đơn giản thành: A Udx . xx (3.65) 2 x Thế năng của ngoại lực tác dụng lên thanh được mô tả như sau: M  X udV T u dS f u b x s ix i (3.66) i 1 VS1 trong đó, tích phân thứ nhất, nhứ nhì và thứ ba trong phương trình (3.66) trình diễn thế năng của (1) lực thể tích Xb, ví dụ như trọng lực của thanh, làm chuyển vị một
Chương 3: Bài toán khung dàn  58 lượng u, (2) lực mặt, ví dụ như lực phân bố dọc trục, làm chuyển vị một lượng us, trong đó, us là chuyển vị trên cả mặt S1, và (3) ngoại lực tập trung fix làm chuyển vị một lượng ui. Chú ý rằng, các lực Xb, T, fix tác động theo hướng x (Hình 3.11). Đối với phần tử thanh tuyến tính có 2 nút với 1 bậc tự do trên mỗi nút, do vậy, M=2. Dấu trừ trong phương trình (3.66) có nghĩa rằng thế năng bị mất khi công được thực hiện bởi ngoại lực. Hình 3.11 Ngoại lực tác dụng lên phần tử thanh. Bây giờ, chúng ta sẽ mô tả công thức FEM của phương trình phần tử thanh bởi sử dụng nguyên lý cực tiểu hóa năng lượng thế năng (the principle of minimum potential energy). Những bước sau đây được thực hiện khi sử dụng nguyên lý cực tiểu hóa thế năng để xây dựng phương trình phần tử: 1. Xây dựng biểu thức đối với tổng thế năng. 2. Giả sử chuyển vị thay đổi với một tập hợp hữu hạn những tham số chưa biết. Những tham số chưa biết này được thay vào biểu thức tổng thế năng. 3. Tạo ra một tập hợp các phương trình cực tiểu hóa đối với những tham số nút. Phương phương trình này là phương trình phần tử. Chúng ta sử dụng ba bước trên để xây dựng phương trình và ma trận độ cứng phần tử thanh. Xét thanh dầm ở Hình 3.11 có chiều dài L với tiết diện cố định
Chương 3: Bài toán khung dàn  59 là A. Sử dụng phương trình (3.65) và (3.66), chúng ta tìm được tổng năng lượng thế năng của phần tử thanh như sau: A L pxxbxsxx . dxX udVT u dSfufu 1122 (3.67) 2 0 VS1 Như phương trình (2.11) và (2.12) trong Chương 2, chúng ta có hàm chuyển vị được mô tả trong hàm dạng và chuyển vị nút như sau: u N d   và u Nss d   (3.68) trong đó, xx N 1 (3.69) LL Ns  là véc tơ hàm dạng được đánh giá trên toàn mặt phẳng chịu lực tải mặt và u1 d  (3.70) u2 Sử dụng mối quan hệ biến dạng – chuyển vị,  x dudx/ , chúng ta có thể viết biến dạng trục trong dạng ma trận như sau: 11  x d (3.71) LL hay 11  x Bd  với B (3.72) LL Chúng ta có mối quan hệ biến dạng - ứng suất trong hướng trục ở dạng ma trận như sau: xxx DE     với DE   (3.73) trong đó, E là Môđun đàn hồi (modulus of elasticity). Thay phương trình (3.72) vào trong phương trình (3.73), chúng ta được:  x D B d (3.74) Như vậy, phương trình (3.67) viết dưới dạng ma trận:
Chương 3: Bài toán khung dàn  60 L A TTTT pxxsxb  dxdPuTdSuXdV       (3.75) 2 0 SV1 trong đó, Ptrình diễn cho ngoại lực tập trung ở nút. Thay các phương trình (3.68), (3.72), và (3.74) và phương trình (3.75), chúng ta đạt được: L A TTTT dBDBddxdP          p 2 0 (3.76) dNTdSdNXdVTTTT   sxb      SV1 Như vậy, chúng ta thấy rằng hàm thế năng là một hàm của biến chuyển vị T d u u 12 , hay pp (uu , )12. Chúng ta thấy rằng u1 và u2 không phải làm hàm của x. Do vậy, chúng ta thực hiện tích phân cho biểu thức đầu tiên bên phải của phương trình (3.75) một cách dễ dàng. Chúng ta được: AL TTTT dBDBddf          (3.77) p 2 trong đó, fPNTdSNXdV TT    sxb     (3.78) SV1 Từ phương trình (3.87), chúng ta thầy rằng ba loại lực tách biệt nhau gồm lực tập trung tại nút, lực kéo bề mặt (surface traction force), và lực khối (body force). Như vậy, một lần nữa, chúng ta thầy rằng phương pháp thế năng trong xây dựng phương trình phần tử cho thanh chứa cả ba loại lực tổng quát. Trong khi, phương pháp độ cứng trực tiếp chỉ xem xét lực tập trung ở nút. Chúng ta có thể định nghĩa lực kéo bề mặt và lực thể tích như sau: f NT T dS s  s x S 1 (3.79) f NT X dV bb    V Cực tiểu hàm p để tìm phương trình phần tử. Về mặt toán học, chúng ta có:
Chương 3: Bài toán khung dàn  61   p 0 và p 0 (3.80) u1 u2 Để dễ hiểu, chúng ta mô tả phương trình (3.77) dạng rõ ràng như sau: 1 AL L 11 u1 pxx uuEufuf121122     (3.81) 2 1 LL u2 L Nhân các ma trận với nhau, chúng ta đạt được: AE 22 p u1 2 u 1 u 2 u 2 u 1 f 1 x u 2 f 2 x (3.82) 2L Dạo hàm phương trình (3.81) theo u1 và u2, chúng ta được:  p AE 22uuf121 x uL2 1 (3.83)  p AE 22uuf122 x uL2 2 Cực tiểu hóa phương trình (3.83), chúng ta tìm được phương trình phần tử thanh như sau:  p AE 110  u1 f1x    (3.84)  dL 110  uf22 x Sắp xếp và lượt bỏ phương trình (3.84), phương trình (3.84) có thể viết lại: AE 11 u1 f1x   (3.85) L 11 uf22 x Đây chính là phương trình phần tử thanh như phương trình (3.5). Và ma trận độ cứng phần tử thanh là: AE 11 k (3.86) L 11 Như đã nói, việc xây dựng phương trình phần tử thanh bằng cách tiếp cận thế năng nhằm mục đích giới thiệu thêm một phương pháp khác trong xây dựng các phương trình phần tử hữu hạn. Mục đích chính đó là chúng ta đã xây dựng được phương trình (3.79). Phương trình này dùng để tính toán các lực kéo bề mặt
Chương 3: Bài toán khung dàn  62 và lực khối trong phần tử thanh. Chúng ta sẽ có ví dụ về các bài toàn thanh với lực kéo bề mặt. VÍ DỤ: Cho một thanh với tải trọng phân bố đường như Hình 3.12 với E 3 0 . 1 0 p6 s i , A 2 i n2 và L 6 0 i n . Xác định chuyển vị và ứng suất trục trong hai trường hợp: (a) sử dụng 1 phần tử và (b) sử dụng một phần tử. Hình 3.12 Thành chịu tải trọng phân bố tuyến tính LỜI GIẢI: (a) Sử dụng một phần tử (Hình 3.13). Hình 3.13 Một phần tử thanh Sử dụng công thức đầu tiên trong phương trình (3.79) cho lực phân bố, chúng ta có: L F  NT T dx (3.87) 0 0 x trong đó, Tx =10x là lực phân bố đường và fF00 . Như vậy, chúng ta được: T x 1 L L F 10 x dx (3.88) 0 0 x L Tích phân phương trình (3.88), chúng ta đạt được như sau:
Chương 3: Bài toán khung dàn  63 2  1010LL22 1060 F1x 236    (3.89) F 10L22 2x 1060 3 3 Sử dụng phương trình (3.86), chúng ta tìm được ma trận độ cứng như sau: 6 11 k 10 (3.90) 11 Như vậy, phương trình toàn cục là: 1060 2 6 11 u1 6 10   (3.91) 11 u 2 2 1060 R 2x 3 Chú ý rằng, tại nút hai chúng ta có hai lực một lực tập trung tương đương đạt được từ phương trình (3.91) và một phản lực do liên kết ngàm. Chúng ta có điều kiện biên thuần nhất tại nút 2. Nghĩa là u2 0 . Như vậy giá trị của u1 có thể đạt được một cách dễ dàng: 1060 2 u 0.006in (3.92) 1 6.106 Tiếp theo, chúng ta sử dụng phương trình (3.74) để tính ứng suất của thanh: 11 u1  x DBdE  BdE     LL u2 (3.93) 6 11  0.006 = 30.103000psi  6060 0 (b) Sử dụng hai phần tử (Hình 3.14).
Chương 3: Bài toán khung dàn  64 Hình 3.14 Hai phần tử. Trước tiên, chúng ta phải xác định phương trình lực phân bố Tx cho từng phần tử. Đối với phần tử 1: Txx 10 (3.94) và phần tử 2 là: Txx 1 0 3 0 0 (3.95) Sử dụng công thức (3.87) cho phần tử thứ nhất, chúng ta có: T 2 x  10 30 (1) 1  f1x L L 6  1500 10    x dx (1)2 0 x 3000 (3.96) f2x 10 30  L 3 Chú ý rằng, L trong công thức (3.94) là chiều dài của phần tử (L=30in, một nữa chiều dài của thanh). Tương tự cho phần tử 2, chúng ta đạt: T x (1) 1  f1x L L 10  300 xdx  (1) 0 x f2x L L 1010300xxx232 (3.97) (1) 300x  f1x 232 LL  6000   (1)32 7500 fxx2x 10300  32LL 0 Chúng ta cũng đạt được các ma trận phần tử như sau:
Chương 3: Bài toán khung dàn  65 11 12 6 kk 2.10 (3.98) 11 Sử dụng nguyên lý chồng chất, chúng ta đạt được phương trình toàn cục như sau: 1101500 u1 2.10121300060006 u  2 (3.99) 0117500 u3 0 R3x Ở đây chúng ta thấy, tại nút 2 gồm có hai lực tập trung của phần tử 1 (- 3000lb) và của phần tử 2 (-6000lb). Chuyển vị tại nút 3 bằng không (điều kiện biên thuần nhất). Giải hệ phương trình (3.99), chúng ta đạt được: u 0.006 in 1 (3.100) u 0.005252 in Sử dụng công thức (3.74), chúng ta đạt được ứng suất phần tử như sau: 11 11 u 0.006  x  E 750psi 3030 u2 0.00525 (3.101) 2 11 u2 0.00525  x  E 5250psi 3030 u3 0 3.9 PHƯƠNG PHÁP GALERKIN TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ THANH Chúng tôi đã trình bày hai phương pháp để xây dựng phương trình phần tử của lò xo và phần tử thanh. Đó là phương pháp độ cứng trực tiếp (direct stiffness method) và phương pháp thế năng (potential energy method). Trong lý thuyết, phương pháp thế năng là một trong những phương pháp biến phân (variational methods). Tuy nhiên, trong nhiều vấn đề vật lý, ngoài cơ học vật rắn và cơ học kết cấu như cơ chất lỏng (fluid mechanics), truyền nhiệt (heat transfer) , có khả năng là phương pháp biến phân, tương tự như nguyên lý cực tiểu hóa thế năng, không tồn tại hoặc không biết. Vì vậy, chúng ta không thể sử dụng phương pháp thế năng như được trình bày ở trên.
Chương 3: Bài toán khung dàn  66 Điểm mạnh của phương pháp dư thừa trọng số hay phương pháp dư thừa Galerkin là ứng dụng trực tiếp vào phương trình vi phân để phát triển phương trình phần tử. Trong phần này, chúng tôi sẽ mô tả tổng quát và ngắn gọn phương pháp dư thừa Galerkin và ứng dụng nó cho phần tử thanh. Mục đích của phần này là để giới thiệu đến các bạn về phương pháp dư thừa Galerkin. Phương pháp này ứng dụng hầu hết các vấn đề vật lý phức tạp trong xây dựng phương trình phần tử. Trong phương pháp dư thừa trọng số, một hàm thử hoặc một hàm xấp xỉ (trial or approximation function) được chọn để xấp xỉ biến độc lập, chẳng hạn như chuyển vị trong bài toán kết cấu hay nhiệt độ trong bài toán truyền nhiệt. Nhìn chung, hàm thử này sẽ không thỏa mãn phương trình vi phân của vấn đề. Nghĩa là, chúng ta thay hàm thử vào phương trình vi phân sẽ cho ra kết quả khác không trên toàn miền tính toán. Về mặt toán học, chúng ta có thể viết như sau: RdV minimum (3.102) V Trong phương pháp dư thừa trọng số, chúng ta mong muốn rằng một giá trị trọng số (weighted valued) để cực tiểu hóa phương trình (3.102). Hàm trọng số (weighted function) cho phép tích phân có trọng số của dư thừa bằng không. Nếu chúng ta kí hiệu W là hàm trọng số, dạng tổng quát của tích phân dư thừa trọng số là: RWdV 0 (3.103) V Trong phương pháp Gakerkin, chúng ta chọn một hàm nội suy, chẳng hạng như phương trình (2.12), liên quan tới hàm dạng Ni đối với biến độc lập trong phương trình vi phân. Nói chung, việc thay thế hàm dạng này tạo ra R 0 . Theo tiêu chuẩn Galerkin (Galerkin criterion), hàm hạng Ni được chọn đóng vai trò của hàm trong số W. Vì vậy, tại nút i, chúng ta có: RN dV 0 i với in 1,2 (3.104) V Phương trình (3.104) sẽ tạo ra n phương trình. Chú ý rằng phương trình (3.104) được ứng dụng những điểm bên trong của miền tính toán và không dính dáng tới các điều kiện biên như ngoại lực và chuyển vị. Để đưa điều kiện biên vào,
Chương 3: Bài toán khung dàn  67 chúng ta sẽ tích phân từng phần phương trình (3.104). Khí đó tích phân sẽ bao gồm miền và biên của vấn đề tính toán. Phương pháp Galerkin cho phần tử thanh Bây giờ, chúng tôi sẽ mô tả chi tiết sử dụng phương pháp Galerkin để xây dựng phần tử thanh. Như trình bày ở phương trình (3.3), chúng ta có: d du AE 0 (3.105) dx dx Giả sử E và A là hằng số. Ứng dụng tiêu chuẩn Galerkin từ phương trình (3.104) vào phương trình (3.105), chúng ta có: L ddu AENdx 0 i với i=1, 2 (3.106) 0 dxdx Sử dụng tích phân từng phần: udvuvvdu (3.107) Chúng ta đặt: du dN u N i dx i dx dx (3.108) d du du dv AE dx v AE dx dx dx Thay phương trình (3.108) vào phương trình (3.107), chúng ta có: L duL du dN N AE AEi dx 0 i (3.109) dx0 0 dx dx Từ phương trình (3.109), chúng ta thấy rằng việc tích phân từng phần đã du L đưa thành phần liên quan đến điều kiện biên NAEi vào phương trình (3.109). dx 0 Chúng ta có: du dN dN u  N d 12 u u (3.110) dx dx12 dx và
Chương 3: Bài toán khung dàn  68 x x N 1 và N (3.111) 1 L 2 L hay du 11 u1  (3.112) dxLL u2 Đưa phương trình (3.112) vào trong phương trình (3.109), chúng ta có L L dN 11 u1 du AEdxNAEi (3.113)  i 0 dxLLdx u2 0 Phương trình (3.113) gồm hai phương trình. Trước tiên, sử dụng hàm trọng số NNi 1 , chúng ta có: L L dN 11 u1 du AEdxNAE1 (3.114)  1 0 dxLLdx u2 0 Thay dNdxL1 /1/ và N1 1 tại x=0 và N1 0 tại x=L, chúng ta đạt: L 1 1 1 u1 du du AE dx  0 . AE 1 . AE (3.115) 0 L L L u2 dx dx Tích phân phương trình (3.115), chúng ta được: AE uuf (3.116) L 121 x trong đó, f1x AE(/) du dx . Tương tự, đối với NNi 2 , chúng ta cũng đạt: AE uuf (3.117) L 122 x trong đó, fAE2x dudx(/) . Chúng ta thấy rằng, khi ghép hai phương trình (3.116) và (3.117), chúng ta đạt được phương trình phần tử như phương trình (3.5) và (3.85). 3.10 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 3 Một số công thức quan trọng trong chương này gồm: Ma trận độ cứng phần tử thanh:
Chương 3: Bài toán khung dàn  69 AE 11 k (3.4) L 11 Ma trận chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ CS T  (3.26) SC Ma trận độ cứng phần tử thanh trong hệ tọa độ toàn cục: CCSCCS22 AE SCSS22 k (3.42) L CCS2 2 SymS Ứng suất trục trong thanh:  Cd   (3.48) trong đó, EE CS00 CCSCS  11  (3.49118) LL 00CS Công thức tính lực mặt và lực thể tích: f NT T dS s  s x S 1 (3.79) f NT X dV bb    V 3.11 BÀI TẬP Xác định (a) chuyển vị nút, (b) lực mỗi phần tử, và (c) phẩn lực đối với các hệ thanh trong các Bài tập 1-3: Bài tập 1 Hình 3B. 1
Chương 3: Bài toán khung dàn  70 Bài tập 2 Hình 3B. 2 Bài tập 3 Hình 3B. 3 Bài tập 4: Tính toán ma trận độ cứng trong hệ tọa độ toàn cục trong trường hợp sau. Hình 3B. 4
Chương 3: Bài toán khung dàn  71 Bài tập 5: Tính chuyển vị tại nút 1 theo phương x và y trong hệ giàn phẳng sau. Đánh giá lại sự cân bằng lực. Với L=100 in, A=1 in2, và E=10 106 psi. Hình 3B. 5 Bài tập 6: Tính chuyển vị tại nút 1 theo phương x và y trong hệ giàn phẳng sau. Xác định ứng suất phần tử. Với A=4 10-4 m2, và E=210 Gpa. (a) (b) Hình 3B. 6
Chương 4: Bài toán dầm  72 Chương 4 BÀI TOÁN DẦM NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG Nhắc lại những khái niệm cơ bản về dầm uốn. Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử dầm. Lắp ghép và giải bài toán dầm bằng phương pháp trực tiếp. Dầm với ngoại lực phân bố. Phần tử dầm với khớp quay bên trong. Xây dựng phương trình phần tử dầm bằng phương pháp thế năng. . 4.1 GIỚI THIỆU Trong chương này, chúng tôi sẽ phát triển ma trận độ cứng cho phần tử thanh bị uốn. Những phần tử này hiện diện trong rất nhiều kết cấu cơ khí như nhà, cầu, tháp và những kết cấu cơ khí khác. Chúng ta sẽ xem xét phần tử dầm thẳng và có tiết diện không đổi và phát triển ma trận độ cứng cho phần tử dầm bởi sử dụng những nguyên lý được phát triển từ lý thuyết dầm. Sau đó, chúng tôi sẽ trình bày ví dụ đơn giản để mô tả cách lắp ghép ma trận độ cứng phần tử dầm vào ma trận độ cứng toàn cục và giải những vấn đề dầm bằng phương pháp ma trận độ cứng trực tiếp. Lời giải của một bài toán dầm gồm chuyển vị và góc xoay tại nút. Chúng tôi cũng trình bày cách tính toán lực cắt và mô men uốn tại nút và giản đồ lực cắt và mô men uốn như là một phần của lời giải. Tiếp theo, chúng tôi sẽ thảo luận thủ tục thực hiện cho lực phân bố trên phần tử dầm. Từ đó, chúng tôi sẽ trình bày lời giải của dầm chịu tải trọng phân bố. Chúng tôi cũng phát triển ma trận độ cứng của phần tử dầm với một khớp nối và lời giải của bài toán dầm với một khớp nối bên trong. Để tiếp cận xa hơn về lý thuyết FEM, chúng tôi sẽ phát triển phần tử dầm bằng phương pháp năng lượng thế năng. 4.2 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM Trước hết, chúng ta cần nắm dầm là phần tử như thế nào? Dầm là một kết cấu dài, thon chịu một lực ngang. Lực ngang này làm cho dầm bị uốn (trái ngược
Chương 4: Bài toán dầm  73 với xoắn trục và lực dọc trục của thanh). Sự biến dạng của dầm được xác định thông qua chuyển vị ngang và góc xoay. Như vậy, bậc tụ do tại mỗi nút của phần tử dầm gồm chuyển vị ngang (transverse displacement) và góc xoay. Xem xét phần tử dầm như Hình 4.1. Dầm có chiều dài L với trục tọa độ dọc trục x và trục tạo độ ngang là y. Chuyển vị ngang cục bộ là vi và góc xoay là i. Lực nút cục bộ là fiy và mô men uốn là mi. Chúng ta bỏ qua tất cả những ảnh hưởng dọc trục. Hình 4.1 Phần tử dầm và các thông số của nó. Trong FEM, chúng ta qui ước về dấu của lực và mô men uốn cho tất cả các nút như sau: - Mô men là dương khi hướng quay ngược chiều kim đồng hồ. - Góc xoay (góc uốn) là dương khi hương xoay người chiều kim đồng hồ. - Lực là dương theo chiều dương của trục y. - Chuyển vị là dương theo chiều dương của trục y. Trong tính phân tích lực, qui ước về dấu của lực cắt V và mô men uốn m được thể hiện trong Hình 4.2. Hình 4.2 Qui ước dấu của lực cắt và mô men uốn
Chương 4: Bài toán dầm  74 4.2.1 Ma trận độ cứng phần tử dầm theo lý thuyết Euler-Bernoulli (a) Trước khi biến dạng (b) Sau khi biến dạng (c) Phần tử dầm vô cùng nhỏ Hình 4.3 Dầm dưới tải lực phân bố Lý thuyết Euler – Bernoulli giả sử rằng tiếp diện ngang của dầm trước và sau khi biến dạng uốn đều vuông góc với trục của dầm. Điều này được minh họa ở Hình 4.3(a). Tiết diện đi qua đường a-c vuông góc với trục x trước khi biến dạng và mặt phẳng này xoay một góc  (Hình 4.3(b)) và vẫn vuông góc với trục x (tại vị trí này) sau khi biến dạng uốn. Điều này chỉ dúng khi dầm tồn tại duy nhất một mô men uốn. Tuy nhiên, điều này có thể sử dụng để xây dựng phương trình để mô tả tương đối chính xác đặc tính của dầm trong các vấn đề thực tế [1]. Xem xét phần dầm như Hình 4.3 chịu một lực phân bố w(x). Từ sự cân bằng lực và mô men của một phần tử dầm như Hình 4.3(c), chúng có được những phương trình cân bằng (Equilibrium equations) như sau: Fy 0: V ( V dV ) w ( x ) dx 0 (4.1) Rút gọn phương trình (2.41), ta được: dV wdx dV 0 hay w (4.2) dx dx dM MVdx 0 :( dM )0 w x dx ; V (4.3)  2 2 dx
Chương 4: Bài toán dầm  75 Bởi vì dx là vô cùng nhỏ. Do đó, dx2 gần bằng không. Vì vậy, số hạng cuối cùng ở phương trình (4.3) có thể bỏ qua. Rút gọn lại biểu thức thứ nhất trong phương trình (4.3), chúng ta được biểu thức thứ hai trong phương trình (4.3). Độ uốn , bằng nghịch đảo của bán kính uốn , của dầm quan hệ với mô men theo biểu thức sau hay còn gọi là phương trình cấu thành (Constitutive Equation): 1 M  (4.4) EI trong đó, là bán kính uốn của dầm (như Hình 4.4), E là Môđun biến dạng đàn hồi và I=bh3/12 là mô men quán tính (the principal moment of inertia) đối với trục z (Hình 4.4(c)). (a) Một phần uốn của dầm (b) Bán kính uốn của dầm (c) Thông số tiết diện ngang của dầm Hình 4.4 Dầm bị uốn Đối với góc uốn nhỏ, phương trình động học (Kinematic equation) mô tả mối quan hệ giữa v(x), ,  như sau:
Chương 4: Bài toán dầm  76 dv dv2   (4.5) dx dx2 Sử dụng phương trình (4.4) và (4.5), chúng ta thu được mối quan hệ sau: d v2 M (4.6) d x E2 I Tiếp theo, sử dụng phương trình (4.2), (4.3) và (4.5), chúng ta đạt được phương trình uốn như sau: ddv22 22 EIwx () (4.7) dxdx Trong trường hợp EI là hằng số và chỉ có lực và mô men tập trung tại nút, phương trình (4.7) trở thành dv2 EI 0 (4.8) dx2 Việc xây dựng những công thức này được trình trình chi tiết trong môn học “Sức bền vật liều” hoặc tài liệu “Mechanics Material” của Hibbeler [6]. Người đọc có thể tham khảo những tài liệu này để nắm rõ hơn về những phương trình (4.1) – (4.8). Bây giờ, chúng tôi sẽ thực hiện những bước tổng quát để xây dựng ma trận độ cứng và phương trình cho phần tử dầm. Sau đó, chúng tôi sẽ trình bày lời giải của phần tử dầm. Bước 1: Chọn phần tử Phần tử dầm một chiều với 2 nút tại hai đầu được đánh số như Hình 4.1. Bước 2: Chọn hàm chuyển vị Giải sử rằng hàm chuyển vị của phần tử dầm được mô tả bởi đa thức bậc 3 như sau: 3 3 i 3 2 vx()  axi ax1 ax 2 ax 3 a 4 (4.9) i 0 Chúng ta sử dụng hàm đa thức bậc ba bởi vì phần tử dầm có bốn bậc tự do, bao gồm 2 chuyển vị theo phương y và 2 góc quay (nhỏ) , ở hai đầu nút của phần tử dầm. Bên cạnh đó, hàm đa thức bậc 3 cũng thỏa mãn phương trình đạo hàm của
Chương 4: Bài toán dầm  77 dầm và cũng thỏa mãn tính liên tục trong chuyển vị và độ dốc (slope) tại những nút chung của hai phần tử. Tương tư như Mục 2.3, chúng ta mô tả v như hàm của những bậc tự do nút v1, v2, 1 và 2 như sau: v v(0 a ) 14 dv(0)  a dx 13 (4.10) 32 vLva() LaLaLa21234 dvL()  32aLaLa2 dx 2123 Giải phương trình (4.10), chúng ta thu được các hệ số ai của v(x) ở dạng: 21 v()()() x v v  x3 LL321 2 1 2 (4.11) 31 + (v v ) (2  ) x2  x v LL2 1 2 1 2 1 1 Trong dạng ma trận, phương trình (4.11) được viết như sau: vNd    (4.12) trong đó, v1 1 d  (4.13) v2 2 và NNNNN  1234  (4.14) với 1 1 N (2 x3 3 x 2 L L 3 ) Nx Lx LxL(2)32 23 1 L3 2 L3 (4.15) 1 1 N ( 2 x32 3 x L ) N () x3 L x 2 L 2 3 L3 4 L3
Chương 4: Bài toán dầm  78 Các biểu thứ Ni trong phương trình (4.15) gọi là hàm dạng của phần tử dầm. Hàm dạng bậc ba này còn được gọi là hàm nội suy bậc ba Hermite (Hermite cubic interpolation function) hoặc hàm nội suy Spline bậc ba (cubic spline function). Cho ta thấy rằng, đối với phần tử dầm, N1=1 khi đánh giá tại nút 1 và bằng 0 tại nút 2. Do N2 liên quan tới góc 1, dó đó, dN2/dx=1 khi đánh giá tại nút 1. Những hàm dạng N3 và N4 có kết quả tương tự đối với nút 2. Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng – chuyển vị và ứng suất – biến dạng Mối quan hệ giữa ứng suất – chuyển vị được mô tả trong biểu thức sau: du  (,)xy (4.16) x dx Hình 4.5 Đoạn dầm dx: (a) trước biến dạng và (b) sau biến dạng; (c) góc xoay của tiết diện ngang ABCD trong đó, u là chuyển vị dọc hướng dầm (chuyển vị theo trục x) (như Hình 4.5(a)). Từ cấu hình biến dạng của dầm được thể hiện trong Hình 4.5, chúng ta có mối quan hệ giữa chuyển vị dọc và chuyển vị ngang (theo trục y) như sau: dv uy (4.17) dx Sử dụng phương trình (4.16) và (4.17), chúng ta đạt được biểu thức sau: