Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

1. 19/09/2017 CHƯƠNG 2 Đạo hàm tại một điểm • Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là: f x f a f' a lim ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG x a x a (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn). • Chú ý: đặt h=x-a, ta cĩ: f a h f a f' a lim h 0 h Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Đạo hàm phải – trái • Tìm đạo hàm của hàm: f x x2 8 x 9 • Đạo hàm trái của f(x) tại a là: tại a=2 theo định nghĩa. f x f a f a h f a f' a lim lim x a x a h 0 h f 2 h f 2 Ta xét giới hạn sau: lim h 0 h • Đạo hàm phải của f(x) tại a là: 2 2 h 8 2 h 9 3 h2 4 h f x f a f a h f a lim lim 4 f' a lim lim h 0h h 0 h x a x a h 0 h Vậy: f ' 2 4 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Ví dụ • Định lý: Hàm số f(x) cĩ đạo hàm tại điểm a khi và • Cho hàm số: 1/x chỉ khi nĩ cĩ đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và e, x 0 Tìm f' 0 ; f ' 0 f x hai đạo hàm này bằng nhau. 0 ,x 0 f''' a L f a f a L Ta cĩ: f 0 h f 0 e1/h 0 u • Định lý: Nếu hàm số f(x) cĩ đạo hàm tại a thì hàm f '0 lim lim lim 0 h 0 h h 0 h u e u số liên tục tại a. Chiều ngược lại cĩ thể khơng 1/h f 0 h f 0 e 0 f ' 0 lim lim đúng. h 0 h h 0 h f' a L lim f x f a x a Vậy khơng tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
2. 19/09/2017 Ý nghĩa đạo hàm tại điểm Hàm số đạo hàm f a h f a • Ta cĩ: f' a lim slopesecantline • Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). h 0 h • Là hsg của tiếp tuyến tại • Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho điểm (a;f(a)). f’(x) tồn tại. Nĩ cĩ thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x). • f’(a+): hsg của nửa tiếp • Ký hiệu: tuyến bên phải điểm (a; f(a)) Lagrange:f '; y ' df dy d • f’(a-): hsg của nửa tiếp Leibnitz: ; ; f x tuyến bên trái điểm (a; dx dx dx f(a)) Cauchy :Dy ; Df x • Thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số tại a. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 Qui tắc tính đạo hàm 1 • Tìm (hàm số) đạo hàm của hàm y=x2. • Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đĩ đạo hàm theo x của các hàm sau là: • Ta cĩ: iuv.'''.'.' uv iiku ku 2 f x h f x x h x 2 u u' ' v u v lim lim 2x iiiuv '' '. uvuv iv h 0h h 0 h 2 v v • Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc • Đạo hàm dạng:uv u ' TXĐ. uv u v v'. ln u v . u • Vậy đạo hàm của hàm số: • Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số: y' 2 x y u v Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm 2 Ví dụ • Đạo hàm của hàm hợp: • Tìm f’(x) biết: 1 x 2 f x y • Ta cĩ: 3 4 7 y f0 g x yx f g. g x x. sin x • Ví dụ: Hàm y ln cos x là hàm hợp của 2 hàm: 4 lny ln1 x2 ln x 7lnsin x f x ln x ; g x cos x 3 y' 2 x 4 7 cos x Vậy: 2 1 y1 x 3 x sin x y f . g . sin x tan x x g x cos x • Vậy: 1 x 2 2x 4 7 cos x y '. 3 2 x 4. sin 7 x 1 x 3xs in x Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
3. 19/09/2017 Đạo hàm của hàm ngược Đạo hàm của hàm ngược • Định lý. Giả sử hàm y=f(x) khả vi liên tục trên • Khi đĩ: 1 1 đoạn (a,b) và f’(x)≠0 trên (a;b) x y -1 y x • Khi này cĩ hàm ngược: x=g(y) hay x=f (y) yx x y • Chú ý: f:;; a b f a f b • Ví dụ 1: Hàm y=arccotx cĩ hàm ngược x=cotny x f x y 1 1 1 g:;; f a f b a b yx y f 1 y x x 2 2 y 1 cot y 1 x Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Hàm ẩn • Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx • Hàm y=f(x) với x (a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng • Ta cĩ: 1 x 1; y thức đúng. 2 2 • Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x (a;b). • Ta biết: y arcsin x x sin y 2 2 • Ví dụ: Phương trình: F x, y x y 1 2 2 x' cos y 1 sin y 1 x xác định hai hàm ẩn: • Vậy: y 1 x2 , x 1;1 1 1 1 y ' x x ' 2 y 1 x2 , x 1;1 y 1 x 2 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm hàm ẩn • Cho phương trình: F(x;y)=0 • B1. Lấy đạo hàm theo x 3 2 y • Để tính: y’x x ln y x e 0 x • B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. y ' 3x2 2 x .e y e y .y ' . x 2 0 * Chú ý y là hàm theo x. y • B2. Giải phương trình tìm y’. • B2. Giải tìm y’ 2y 2 y • B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. * 3x y y' 2 xy . e x ye . y ' 0 2y 2 y Ví dụ: Cho phương trình: 3x y 2 xy . e y ' 1 x ye 0 2 y 3 2 y 3x y 2 xy . e x ln y x e 0 y ' 2 y Tính đạo hàm của y theo x. x ye 1 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
4. 19/09/2017 Đạo hàm hàm ẩn Vi phân • B3. Tính y’(0). Cho y f x và x x2 x 1 ta cĩ: y y2 y 1 f x 1 x f x 1 x3 ln y x 2 e y 0 f x h f x x 0 ln y 0 y 1 y 0 f' x lim h 0 h f x x f x y • Ta cĩ: f' x lim lim 3x2 y 2 xy . e y x 0 x x 0 x y ' 2 y x ye 1 y f'. x x • Thay x=0 và y(0)=1 vào ta cĩ: Vi phân của f(x) 3.0 .1 2. 0 . 1 .e 1 y ' 0 0 0.1.e 1 1 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân của hàm số Vi phân của hàm số • Vi phân của hàm số y=f(x) là biểu thức: • Nếu y=f(x)=x thì: f'. x x dx f' x x x '. x x • Ký hiệu vi phân là dy hay df. Do đĩ: • Như vậy ta thường ghi dx=Δx. Do đĩ: dy dy f '. x x d f dy f'.' x dx f x dx • Vi phân là một hàm số, phụ thuộc 2 biến là x và • Điều này giải thích tại sao ta cịn ký hiệu đạo Δx hàm là dy/dx Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa vi phân Ví dụ • Tính xấp xỉ giá trị hàm số khi biến độc lập thay • Cho hàm số: f x x 3 đổi một lượng khá nhỏ a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 f x0 x f x 0 f'. x 0 x Giải: 1 1 • hay f x df x dx 2x 3 2 x 3 f x f x f'. x x x 0 0 0 1 1 1 df 1 dx dx x 1 2 1 3 4 4 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
5. 19/09/2017 Ví dụ Vi phân của hàm hợp • Cho hàm số: f x x 3 • Xét hàm số: y f x a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 • Ta cĩ: dy f'x dx b) Tính gần đúng: 4, 03 • Giả sử x là hàm số theo biến t, chẳng hạn x=g(t) Giải: • Khi này hàm số y cĩ thể đưa về theo t. Do đĩ: 1 f x f 1 x 1 dy f' dt 4 t 1 0, 03 4,03 f 1,03 f 1 1,03 1 2 2,0075 • Ta cĩ: 4 4 dy f'.'.'.'.t dt f x xdt t f x dx Nếu tính bằng máy tính: 4,03 2,00748599 • Do đĩ vi phân cấp 1 cĩ tính bất biến. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI e x 1 • Cho hàm số y ln . Hãy tìm dy? • Cực trị địa phương e x 1 • Định lý Ferma • Hãy tính: • Định lý Rolle d cos x • Định lý Lagrange ? d sin x • Định lý Cauchy Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị địa phương Cực trị địa phương • Cho hàm y=f(x) xác định trong khoảng (a,b) • Xét điểm c thuộc (a,b) • Hàm số đạt cực đại địa phương tại c nếu tồn tại số δ>0 sao cho: f(x)≤f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+ δ) • Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại c nếu tồn tại số δ>0 sao cho: f(x)≥f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+ δ) Các điểm cực trị địa phương của hàm số là??? • Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
6. 19/09/2017 Định lý Fermat Định lý Rolle • Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận c. • Hàm f(x) liên tục trên [a,b], • Nếu f(x) đạt cực trị tại c và cĩ đạo hàm tại c thì: • Hàm f(x) khả vi trên (a,b) • f(a)=f(b) f' c 0 • Khi đĩ: tồn tại ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0 • Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle cĩ nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số cĩ ít nhất một nghiệm của đạo hàm. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Lagrange (ĐL số gia hữu hạn) Định lý Cauchy • Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì • Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: f b f a f' c f b f a f' c b a g b g a g' c • Trên dây cung AB tìm được tiếp tuyến song song với AB Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Đạo hàm, vi phân cấp cao 3 x 2 • , 0 x 1 • Cho hàm số: Đạo hàm cấp cao f x 2 1 • Vi phân cấp cao ,1 x x • Cơng thức Taylor • Tìm giá trị trung gian c của cơng thức số gia hữu hạn đối với hàm số f(x) trên đoạn [0;2] Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
7. 19/09/2017 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao • Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu cĩ) của f’ gọi • Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). hàm cấp (n-1). n 1 n • Ký hiệu: n n 1 d d f d f 2 f f d df d f n 1 n f f dx dx dx 2 dx dx dx • Ví dụ: Cho hàm: f x x. e x • Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. hàm cấp 2. Giải: 2 3 d d f d f f f x x x x x 2 3 fx xexe. . exe . x 1 e dx dx dx Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao thường gặp n • Ta cĩ: n i) x a 1 n 1 x a f x x 1 ex e x x 1 e x x 2 e x n 1 n 1 ii) 1 n ! n 1 x a x a • Tương tự: n iii). eax a n e ax x 4 x f x x 3 e ; f x x 4 e n n 1 n 1 ! iv) ln x 1 x n n n • Tổng quát: v) sin ax a . sin ax n 2 n x n f x x n e n vi) cos ax a . cos ax n 2 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý Ví dụ n n • Tính đạo hàm cấp n của: i) ax b 1 n 1 ax b .a n 1 1 n n 1 n 1 ! a)) f x b g x iv) ln ax b 1 .a n 2 n x 1 x x 3 x 2 ax b n n v) sin ax b a . sin ax b n 2 n n vi) cos ax b a . cos ax b n 2 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
8. 19/09/2017 Cơng thức Leibnitz Ví dụ • Dễ thấy: • Tính đạo hàm cấp 3 của: y x2 1 sin x f g f g g f • Đặt f x2 1 ; g sin x fg. fggf . . fg . 2 fg fg . • Ta cĩ: • Mở rộng: y 3 f 3 g 3 f 2 g ' 3 f ' g 2 f . g 3 n n f g Ck f k g n k • Thay thế ta cĩ:  n k 0 y 3 6cos x 6sin x x x2 1cos x Gần giống khai triển nhị thức Newton • Đạo hàm cấp 10 của y là??? Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Vi phân cấp cao • Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau • Cho f là hàm số khả vi cấp n y x. f ' x a 3 f a x • Vi phân cấp 2 của hàm f, ký hiệu: d2f xác định bằng cơng thức sau: d2 f d df • Tổng quát, vi phân cấp n của hàm f: dn f d d n 1 f Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao Ví dụ • Vi phân cấp 2: x là biến độc lập dx như hằng số • Tính vi phân cấp 2 của: a) y arctan x dfx2 ddf df ' xdx b) y arctan; x x sin t dxdf.' x dxf xdx f xdx 2 • Vi phân cấp 2: x là biến phụ thuộc dx biến thiên • Giải. 2x a) d2 y dx 2 2 dfx2 ddf df'.' '.' xdt dtdf x 2 x t x t 1 x dtf.''.'.' xx f '.'' x dt fxdx .2 fxdx '. 2 xx t t x tt 2x sin t b). d2 y dx 2 dt 2 2 2 • Vi phân cấp cao khơng cĩ tính bất biến 1 x 2 1 x Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
9. 19/09/2017 Cơng thức Taylor Cơng thức Taylor • Nếu hàm f khả vi tại x0 thì: • Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản f x0 h f x 0 f' x 0 h 0 h • Trong đĩ O(h) là vơ cùng bé bậc cao hơn so với • Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. h. • Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0 • Cơng thức này cho ta cách tính giá trị f(x) trong 2 5 2n 1 x xn 1 x lân cận của điểm x khi đã biết f(x ) và f’(x ). arctanx x 1 0 x 2n 0 0 0 3 5 2n 1 • Vấn đề: nếu biết thêm các đạo hàm cấp cao của x2 x 3 x n ex 1 x 0 x n hàm f(x) tại x0 thì ta cĩ thể tính chính xác hơn 2 ! 3 !n ! giá trị hàm f(x) trong lân cận x0 hay khơng? Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cơng thức Taylor Phần dư trong cơng thức Taylor Cho hàm số f(x): • Dạng Lagrange: • Liên tục trên [a,b] • Cĩ đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) n 1 f c n 1 • Xét x (a,b). Khi đĩ trên [a,b] ta cĩ: R x x 0 n n 1 ! 0 f'" x f x 2 f x f x 0 x x 0 x x 01! 0 2 ! 0 • Dạng Peano: (thường dùng hơn) n n 1 f x n f c n 1 0 x x x x n ! 0 n 1 ! 0 n Rn lim 0 Rn 0 x x 0 • Với c là điểm nằm giữa x và x x n 0 x x 0 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cơng thức Maclaurin Ví dụ Cho hàm số f(x): • Khai triển Maclaurin các hàm số sau: • Liên tục trên [a,b] x • Cĩ đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) a) e b )sin x c )ln1 x d )1 x • Xét x =0 (a,b). Khi đĩ trên [a,b] ta cĩ: 0 • Chú ý. f x n k n sinx sin x cos x ??? n f' 0 f " 0 f 0 2 n f0 x x2 xn 0 x n n n n ! ln 1 x 1 1 x ??? 1! 2 !n ! n 1 1 x Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
10. 19/09/2017 Ví dụ Khai triển Maclaurin • Khai triển hàm y=ex. Ta cĩ: f x ex f n x e x f n 0 e0 1,  n • Thay vào cơng thức khai triển: f' 0 f " 0 f n 0 f x f 0 x x2 xn 0 x n 1! 2 !n ! x x2 x n ex 1 0 x n 1! 2 !n ! • Nhận xét: phải tính được đạo hàm cấp cao tại 0 của hàm số cần khai triển. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cơng thức L’Hospital CÁC HÀM KINH TẾ 0 • Áp dùng tìm giới hạn dạng: ; • Hàm chi phí 0 • Hàm thu nhập f x 0 Định lý: Chogiới hạn: lim có dạng ; • Hàm cung và hàm cầu x a g x 0 f x f x Nếu lim LL thì lim x ag x x a g x f x f x lim lim L x ag x x a g x Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến HÀM CHI PHÍ HÀM CHI PHÍ • Tổng chi phí: (Total Cost – TC) • Ta cĩ: TC FC VC – Chi phí cố định (Fixed Cost – FC) AC AFC AVC – Chi phí biến đổi(Variable Cost- VC) QQQ • Ta cĩ: TC=f(Q), Q là sản lượng • FC là chi phí một xí nghiệp nhất thiết phải trả dù khơng sản xuất gì • VC là chi phí tăng lên cùng với mức tăng của sản lượng • Chi phí cận biên (Marginal Cost – MC) chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm • Chi phí bình quân (Average Cost – AC) Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 10
11. 19/09/2017 Hàm thu nhập Hàm lợi nhuận • Tổng thu nhập • Lợi nhuận: Total Profit – TP (Total Revenue – • Thường ký hiệu là π=TR-TC TR) • TR=f(Q)=P.Q • Điểm hịa vốn (Break – Even Point): mức sản lượng mà tại đĩ TR=TC Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm cầu Quan hệ giá và lượng cầu • Thường gọi là đường cầu (Demanded Curve) • Giá tăng thì lượng cầu giảm và ngược lại • Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cầu của • Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng một mặt hàng của lượng cầu với các thay đổi về giá. • Ký hiệu: QD=f(P) • Tương quan giữa giá và lượng cầu là nghịch biến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm cung Quan hệ giá và lượng cung • Thường gọi là đường cung (Supply Curve) • Giá tăng thì lượng cung tăng và ngược lại • Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cung • Độ dốc của đường cung phản ánh mức đáp ứng của một mặt hàng khi các giá trị khác được giữ của lượng cung với các thay đổi về giá. nguyên • Ký hiệu: QS=f(P) • Tương quan giữa giá và lượng cung là đồng biến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 11
12. 19/09/2017 Sự cân bằng cung cầu Ứng dụng hàm liên tục • Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường • Cho mơ hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong cầu. Giao điểm của đường cung và đường cầu đĩ: là điểm cân bằng 50 QPPQ 0,12 5 10; . • Ở điểm cần bằng ta cĩ giá cân bằng và lượng SD P 2 cân bằng • Chứng minh rằng mơ hình trên cĩ giá cân bằng • Trên thực tế cung và cầu khơng phải lúc nào thuộc khoảng (3;5) cũng trong trạng thái cân bằng, nhưng xu lướng các thị trường đều tiến tới cân bằng Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. Ý nghĩa của đạo hàm • 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hĩa là • 2. Giá trị cận biên p=50-Q2 • 3. Hệ số co dãn • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1. Ý nghĩa của đạo hàm 2. Giá trị cận biên • Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại hàng hĩa là • Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x) = 45 − 2 • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi My x f' x • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4 • Ta thường chọn xấp xỉ () ≈ ∆ tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thay đổi một đơn vị ∆=1 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 12
13. 19/09/2017 Giá trị cận biên của chi phí Ví dụ • Cho hàm chi phí C=C(Q) • Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản • Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q) phẩm là: 500 • Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn ACQQ 0,00012 0,02 5 vị Q • A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm. • B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý nghĩa khi Q=50. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải Giá trị cận biên của doanh thu • Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản • Cho hàm doanh thu R=R(Q) phẩm: • Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q) CQACQQQ . 0,00013 0,02 2 5 500 • Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 • Giá trị cận biên của chi phí: đơn vị dC MCQQ 0,00032 0,04 5 dQ • Khi Q=50 thì MC(50)=3,75. Như vậy nếu Q tăng lên 1 đơn vị (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Tiêu dùng và tiết kiệm cận biên • Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe • Cho hàm tiêu dùng C=C(I) trong đĩ I là tổng thu bus được cho bởi cơng thức: nhập kinh tế quốc dân. • Q 10000 125 p Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) là tốc độ thay đổi của tiêu dùng theo thu nhập. • A) Xác định hàm tổng doanh thu • Hàm tiết kiệm: S=I-C. • B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và • Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I) p=32 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 13
14. 19/09/2017 Ví dụ Giải • Cho hàm tiêu dùng là: • Ta cĩ: 3 3 5 2I 3 5 II 30 3 C MCI 2 I 10 I 10 • Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu hướng tiết kiệm cận biên khi I=100. • Khi I=100 ta cĩ: MCMS 100 0,536 100 0,464 Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối Hệ số co dãn • Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng • Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay Δx thì ta nĩi: đổi tương đối của y và của x thay đổi một lượng • Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x Δx. ∆ • Ký hiệu: • Tỷ số . 100% gọi là độ thay đổi tương đối y/ y y x f' x của x y x x x/ x x y f x • Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Lựa chọn tối ưu trong kinh tế • Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khi • Trong kinh tế ta quan tâm các bài tốn sau: p=3 • + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa • Giải • + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa 4 2P 2PP 2 • Q P Ta cĩ: P 2 2 • + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) 30 4PPPP 4 30 Q P 3 3, 333 • Ta đưa các bài tốn trên về dạng tìm cực trị của • Vậy tại thời điểm P=3, nếu tăng giá 1% thì cầu hàm một biến số đã học. giảm 3,3%. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 14
15. 19/09/2017 Ví dụ 1 Ví dụ 2 • Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q3- • Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q3- 19Q2+333Q+10 25Q2+184Q+15 • Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. • Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 3 • Một loại thuốc kích thích sinh sản được tác động đến một loại vi khuẩn. Say t phút, số lượng vi khuẩn xấp xỉ: N t 1000 30 t2 t 3 0 t 20 • A) Khi nào tố độ tăng trưởng N’(t) tăng; giảm? • B) Tìm các điểm cực trị của N? • C) Tốc độ tăng trưởng lớn nhất là bao nhiêu? Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 15