Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Tích phân hàm một biến & ứng dụng

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Tích phân hàm một biến & ứng dụng

1. 18/10/2017 CHƯƠNG 4 Định nghĩa nguyên hàm • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nĩi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu: TÍCH PHÂN HÀM MỘT F x f x ,,  x a b BIẾN & ỨNG DỤNG • Ví dụ: tanxlà một nguyên hàm của 1 tan 2 x  trên R\ 2 n 1  2  ax là một nguyên hàm của a x ln a trên R. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân bất định Tính chất • Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu: i) f x dx f x f x dx ii). kfxdx k fxdx iii) fx gxdx fxdx gxdx • Được xác định như sau: f x dx F x C • F(x) là một nguyên hàm của f(x). • C: hằng số tùy ý. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cơng thức nguyên hàm cơ bản Ví dụ • Tính các tích phân sau 1. k dx 2. x dx 2x 1 a. dx b . ex e2 x 1 3 dx dx dx x x 1 3. 4.  x x x2 3 x 1 c. dx x 5. ax dx 6. e x dx Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
2. 18/10/2017 Ví dụ Ví dụ • Tính các tích phân sau • Tính các tích phân sau 3 4 a. x cos x 2 dx b . 2 x 1 dx 2 1 x a) 4 x2 dx b ) dx c. 1 x2 . x 5 dx 1 x 2 0 0 1dx 2 dx c)) d 1 x 2 2 0 2 x x 1 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Tích phân hàm mũ i ex dx e x C • Tính các tích phân sau • Cơng thức: 1 ii eax b dx e ax b C a) x ln xdx b ) 2 x 1 sin xdx a iii eu du e u C c) x cos xdx d ) x arctan xdx • Ví dụ. Tính các tích phân sau: 4 aA) 3 edx4x bB ) exdx x 4 3 I 0 2 c) C xe x dx d ) D a . e Tx dx 0 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nĩ đi 1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua qua điểm (1;0) và: điểm (2;5) và cĩ hệ số gĩc là dy/dx=2x tại mọi dy điểm. e x 3 dx 2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị 2 • Đáp án: sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x +2x. Biết chi phí cố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) và y 2 ex 3 e 2 tính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
3. 18/10/2017 Ví dụ Ví dụ • Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến • Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế nghe hàng ngày. p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi • Hiện tại đài phát thanh cĩ 27.000 người nghe 1 ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người tuần cho bởi: nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: p' x 0, 015 e 0,01x S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày. • Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá • Trong đĩ t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch. là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp. • Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát • Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$ thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng • Đáp số: lên đến 41.000 người. p x 1, 5 e 0,01x 3, 44 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân Phương trình vi phân • Tăng trưởng giới hạn • Khái niệm • Tăng trưởng khơng giới hạn dy 6x2 4 x y ' 400 e 0,01x dx dy dy ky y" xy ' x2 5 2 xy dx dx • Nghiệm của PTVP là hàm số??? Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân Phương trình vi phân • Bài tốn lãi kép liên tục • Ta cĩ mơ hình: dA1 dA 1 dA • Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu r. A r dt rdt • dt A dt A dt A là số tiền cĩ được sau thời gian t 1 dA rt ln A rtC At eert . C • Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t A bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời • Mặt khác: gian đĩ. A 0 er0 . e C P A t P . e rt • Ta cĩ mơ hình: dA r. A A 0 P A , P 0 • Ta cĩ được cơng thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r dt và t là thời gian đầu tư. • R: hằng số phù hợp Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
4. 18/10/2017 Luật tăng trưởng theo hàm mũ Phân rã phĩng xạ • Định lý. Nếu = và (0) = thì = • Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải 0 0 Nobel Hĩa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật cịn sống, chất phĩng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức khơng • Trong đĩ: đổi trong mơ của nĩ. • Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ • Q0: khối lượng tại t=0 giảm đi do sự phân rã phĩng xạ với tỷ lệ tương ứng với • r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối lượng hiện cĩ. Tốc độ phân rã là 0,0001238 • t: thời gian • Ví dụ. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địa điểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phĩng xạ • Q: khối lượng tại thời điểm t cacbon-14 ban đầu cĩ mặt, hãy ước lượng tuổi của xương • Chú ý. Nếu r<0 ta cĩ luật phân rã theo hàm mũ (làm trịn đến 100 năm). Đ/S: 18.600 năm Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tốn tăng trưởng Bài tốn tăng trưởng • Ấn Độ cĩ dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010 • Nếu quy luật tăng trưởng mũ cĩ thể áp dụng (t=0). Gọi P là dân số Ấn Độ tại thời điểm t năm sau được cho dân số Việt Nam. Hãy tìm tốc độ tăng năm 2010 (đơn vị tỷ người) và giả sử rằng tốc độ gia trưởng để sau 100 năm nữa dân số Việt Nam tăng dân số của Ấn Độ là 1,5% liên tục theo thời gian. tăng gấp đơi? • A) Tìm một phương trình biểu diện tốc độ tăng trưởng của dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ 1,5% là • Đáp số: 0,69%. tốc độ tăng trưởng lien tục. • Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãi • B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030? suất r (%/năm). Sau bao nhiêu năm thì số tiền • Đáp số: gửi tăng lên gấp đơi? • a) P=1,2.e0,0015t b) 1,6 tỷ người. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tăng trưởng giới hạn Tăng trưởng giới hạn • Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy ) ta • Một cách tương tự ta cĩ: luơn giả sử cĩ một mức kỹ năng tối đa cĩ thể dy dy k M y kdt đạt được M. dt M y dy • Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu kdt ln M y kt C M y của mức kỹ năng đã đạt được y và mức tối đa kt C C kt M. M y e M y e. e y 0 0 M e C • Ta cĩ mơ hình dy kt k M y y 0 0 y M1 e dt Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
5. 18/10/2017 Ví dụ Một số mơ hình tăng trưởng mũ • Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà người đĩ cĩ thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện tập được xấp xỉ bởi: y 50 1 e 0,04t • Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là? • Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tăng trưởng mũ Tăng trưởng mũ Đặc điểm Mơ hình PT Ứng dụng Đặc điểm Mơ hình PT Ứng dụng Tăng trưởng khơng = . Tăng trưởng ngắn hạn Tăng trưởng giới hạn = (1 − ) Bán hàng thời trang = = ( − ) giới hạn (người, vi khuẩn) Tốc độ tăng trưởng tỷ Khấu hao thiết bị Tốc độ tăng trưởng tỷ , > 0; Tăng trưởng của tiền khi lệ với hiệu của lượng , > 0; Tăng trưởng cơng ty lệ với lượng hiện tại 0 = tính lãi liên tục hiện tại và một giá trị 0 = Học tập cố định Phân rã theo hàm mũ = . Cạn kiệt tài nguyên thiên = − Tăng trưởng Logistic Tăng trưởng dân số Tốc độ phân rã tỷ lệ nhiên = ( − ) = với ượng hiện tại , > 0 Phân rã phĩng xạ Tốc độ phân rã tỷ lệ 1 + dài hạn 0 = Hấp thụ ánh sáng (trong với lượng hiện tại và , > 0 Bán hàng mới nước) hiệu của lượng hiện 0 = Sự lan truyền của Áp suất khí quyển (t là chiều tại và một giá trị cố 1 + tin đồn cao) định Tăng trưởng cơng ty Bệnh dịch Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Sự lan truyền tin đồn Sự lan truyền tin đồn • Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn cĩ xu hướng lan dx 0, 001x 400 x x 0 1 truyền với tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và số dt người chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đĩ P là tổng số người. 400 x t Một một sinh viên trong kí túc xá cĩ 400 sinh viên nghe 1 399e 0,4t được tin đồn rằng cĩ bệnh lao ở trường thì P=400 và: 400 dx x 5 7, 272889 0, 001x 400 x x 0 1 1 399e 0,4*5 dt 400 x 20 352, 7805 • Gọi t là thời gian tính theo phút. 1 399e 0,4*20 • A) Tìm cơng thức x(t) limx t 400 t • B) Sau 5 phút cĩ bao nhiêu người đã nghe được tin đồn. • • C) Tìm giới hạn: lim x t Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTX t nghe được tin đồn? Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
6. 18/10/2017 Tích phân xác định Diện tích dưới đường cong • Diện tích dưới đường • Tổng bên trái - Left Sum cong • Tổng bên phải – Right Sum • Diện tích phần hình được tơ màu là bao nhiêu? • Tính xấp xỉ bằng tổng diện tích hình chữ nhật • Ta cĩ: 11,5=L4 0, đơn điệu trên đoạn [a,b] • Cho hàm số = 9 − 0,252 • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau. • Ta cần tính diện tích hình dưới f(x) từ x=2 đến x=5. • Lấy Ln hoặc Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn bởi hàm f, trục 0x và 2 đường thẳng x=a; x=b • A) Vẽ đồ thị hàm số trong khoảng [0;6] và vẽ • Chặn trên của sai số là: các hcn trái, phải trong đoạn [2;5] với n=6 • B) Tính L ; R và sai số khi xấp xỉ b a 6 6 f b f a f b f a x • C) Để sai số xấp xỉ khơng quá 0,05 thì n tối n (Chênh lệch 2 đầu mút) thiểu là bao nhiêu? * (Độ dài 1 khoảng chia) Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
7. 18/10/2017 Tổng tích phân Tổng Riemann • Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b] • Ta cĩ: • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với các n Sfcxfcxn 1 . 2 . fcx n .  fcx k . điểm chia như sau: k 1 • c là điểm thuộc các khoảng [x ;x ] a x0 x 1 x 2 xn b k k-1 k • Khi này: n Lfxxfxx . . fx . x fx . x n 0 1 n 1  k 1 k 1 n Rfxxfxx . . fxx . fxx . n 1 2 n  k k 1 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số tổng quan trọng Ví dụ n n n 3 a).) C n C b Ca C a • Tính tổng Riemann cho hàm số = − 6  i  i i 1 i 1 i 1 n n n n n n trên đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bên c)) a b a b d a b a b  i i  i  i  i i  i  i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 phải của mỗi đoạn. nn n 1 n n n 1 2 n 1 2 • e)) i f  i Lập tổng Riemann cho hàm số trên trong i 12 i 1 6 2 trường hợp tổng quát và tính giới hạn của tổng n n n 1 3 đĩ khi n ∞ g) i  2 i 1 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định Tích phân xác định • Định lý. Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b] khi này tổng Riemann trên đoạn [a,b] cĩ giới hạn hữu hạn I khi ∞ n f c x • Giới hạn này được gọi là tích phân xác định của  k i 1 hàm số f(x) trên đoạn [a,b] b a x • Ký hiệu: b n I f x dx a b n f x dx lim f c x n  k a k 1 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
8. 18/10/2017 Ý nghĩa hình học Tích phân xác định • Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồ • Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là: b n thị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b. f x dx lim f c x n  k a i 1 (nếu giới hạn này tồn tại). • Khi đĩ ta nĩi hàm f khả tích trên [a,b]. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý Ví dụ b • Tính tích phân: ex dx : dấu tích phânf x : hàm lấy tích phân a b a • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau x h a, b: các cận lấy tích phân dx : biến độc lập x . n b • Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải. Tích phân f x dx là một số, không phụ thuộc vào x . • Ta cĩ: a b b b n n fcx faihhhe . . a h e a 2 h e a n . h  k  fxdx ftdt frdr i 1 i 1 n. h a a a a h h n 1 . h a h 1 e S h. e 1 e e e . h n 1 e h f x* x Tổng Riemann:  i i 1 h S ea h. . 1 e b a 1 e h Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ 2 • Cho n tiến đến vơ cùng ta cĩ: • Tính diện tích miền cĩ diện tích bằng giới hạn h dưới đây (khơng tính giới hạn) S ea h. . 1 e b a h 10 1 e n n a b a b a 2 2i S   e1 e e e a) lim 5 h 0 n  i 1 n n • n i Như vậy: b) lim tan n  b i 1 4n 4 n ex dx e b e a a Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
9. 18/10/2017 Ví dụ Bài b 10 • Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổng x 4ln x dx 1 Riemann. Khơng tính giới hạn n n 9 9 n 9 9 9 Rn  f x i x  f 1 i .  1 i . 4ln 1 i. n n n n n 6 10 i 1i 1 i 1 x a) dx b ) x 4ln x dx n 1 n 1 9 9 n 1 9 9 9 5 1 x Ln  f x i x  f 1 i .  1 i . 4ln 1 i . 2 1 i 0 i 0 n n i 0 n n n 10 9 6 RLSSfxxf x xf 10 f 1 c) sin 5 xdx a ) x dx n n n0 n 0 n 0 2 n Mn  f c i x i 1 n 9 9 9 n 9 9 9 9 9 Mn f 1 i . 1 i . 4ln 1 i . 2n n n  2 n n 2 n n n Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốni 1Cao cấp 1 i 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Tính chất cơ bản • Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xác Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đĩ: định trên khoảng cho trước. • Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b] n • Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b] a)lim x ln1 x2 x ,2;6 n  i i i 1 b b b n cos x b) limi x , ; 2 f()()()() x  g x dx f x dx  g x dx n    i 1 x i n a a a c) lim 2 c c2 x , 1; 8 n  i i i 1 n 2 5 d)lim 43 x 6 x x ,0;2 n  i i i 1 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất Tính chất Cho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]. Ta cĩ: • Tính chất cộng. Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b]. b Nếu f(x) khả tích trên đoạn lớn nhất thì nĩ cũng i) f x 0  x  a ; b f x dx 0 a khả tích trên các đoạn cịn lại và: b b c b ii) f x 0  x  a ; b f x dx 0 f()()() x dx f x dx f x dx a a a c b b • Tính khả tích và giá trị của tích phân khơng thay iii); f x g x  x  a b f x dx g x dx a a đổi nếu ta thay đổi giá trị hàm số tại một số Hệ quả: hữu hạn điểm. b b f x dx f x dx a a Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
10. 18/10/2017 Tính chất Định lý giá trị trung bình • Nếu m f x M,,  x  a b • Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử: b m min f M max f • thì: m b a f x dx M b a • Khi này tồn tại µ sao cho m  M a b • Và: f x dx . b a • Ví dụ. Chứng minh rằng: a 1 • 1 x2 Hệ quả. Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc e dx 1 [a;b] sao cho: e b 0 f x dx f c . b a a Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cơng thức đạo hàm theo cận trên Chứng minh • Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b]. Với a<x<b đặt: • Ta cĩ: x h x x h x x h x f t dt f t dt f t dt x f t dt a a x a • Mặt khác: • Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì: x h ftdt fchh .; ch xx h x x f x • Vậy: • Hàm () liên tục trên [a;b] x h x f c h . h f c h  h 0 f x h h Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cơng thức Newton - Leibnitz Cơng thức Newton - Leibnitz b n • Định lý. Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là một • Ta cĩ: f x dx lim f c x x n  k k k 1 nguyên hàm của f(x) thì: a k 1 • Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Ta cĩ: b b F x F x f x dx F b F a F x k k 1 a f c F' c a k k xk x k 1 • Vậy: • Tại sao lại thế??? n n lim fcxx Fx Fx FbFa n k k k 1  k k 1 k 1 k 1 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 10
11. 18/10/2017 Cơng thức Newton - Leibnitz Ví dụ • Do () là một nguyên hàm nên ta cĩ: • Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1- x x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox. x f t dt F x C a • Giải. • Ta cĩ: a 0 F a C C F a • Ta cĩ: • Vậy: b 1 b ftdt Fb C Fb Fa 1 3 2 x S 1 x dx x a 3 b 0,5 0,5 13 0, 5 3 f x dx F b F a 1 0,5 0,208333 a 3 3 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Tích phân hàm đối xứng • Tính chính xác diện tích dưới đường cong • Cho f liên tục trên [-a; a]. y=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox. i) Nếu f là hàm chẵn f x f x thì: • Giải. a a • Ta cĩ: f x dx 2 f x dx a 0 4 4 3 ii)Nếu f là hàm lẻ f x f x thì: 2 x S x 1 dx x a 3 0 0 f x dx 0 3 3 4 0 76 a 4 0 3 3 3 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số ứng dụng của tích phân Chiều dài của cung • Tính chiều dài của một cung • Ta cần tính • Diện tích hình phẳng chiều dài cung • Thể tích khối trịn xoay từ a đến b. b • Giá trị trung bình của hàm số 2 L 1 f ' x dx a n n2 2 n 2 P P x x y y x2 f' c x i i 1  i i 1 i i 1  i i 1 i 1 i 1 b n 2 2 L lim 1 f ' c . x 1 f ' x dx n  i i 1 a Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 11
12. 18/10/2017 Chiều dài của cung Chiều dài của cung • Định lý. Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dài • Định lý. Nếu đường cong cĩ phương trình dạng của dây cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là: x=g(y) và g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dài b của đường cong trên đoạn [c,d] là: 2 L 1 f ' x dx d 2 a L 1 g' y dy • Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1) c đến điểm (4;8) • Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0) đến điểm (1;1) 1 L 80 10 13 13 5 ln 5 2 27 L 2 4 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích mặt trịn xoay Diện tích mặt trịn xoay • Diện tích hình trụ Diện tích mặt nĩn Diện tích mặt nĩn cụt A 2 r . h A r. A r1 r 2  Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích mặt trịn xoay Diện tích mặt trịn xoay • Ta cĩ: • Xung quanh Ox nếu y=f(x) cĩ dấu tùy ý n b A lim y y P P 2 n  i 1 i i 1 i i 1 A 2 f x 1 f ' x dx a b 2 A 2 f x 1 f ' x dx • Xung quanh Oy nếu x=g(y) cĩ dấu tùy ý a n n 2 d y y P P y y1 f ' c x 2  i 1 i i 1 i  i 1 i k A 2 g y 1 g ' y dy i 1 i 1 n 2 c 2 .f c 1 f ' c x  k k i 1 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 12
13. 18/10/2017 Ví dụ Giá trị trung bình của hàm số 1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đường • Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] parabol y=x2 từ điểm (1;1) đến (2;4) • Giá trị trung bình của hàm f là: • A) Quanh trục Oy. 1 b • B) Quanh trục Ox f x dx b a 2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R a Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ứng dụng tích phân trong kinh tế • 1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trên • Tìm hàm khi biết hàm cận biên. Giả sử tìm hàm đoạn [-1;2] chi phí, hàm doanh thu. • 2) Cho hàm cầu như sau: • Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t) P D 1 Q 100 e 0,05Q • Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất • Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu trong đoạn [40, 60] • Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là: là: 2 3 MCQQQ 90 120 27 2 MCQQQQ 50 18 45 4 • Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200. • Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 13
14. 18/10/2017 Ứng dụng tích phân trong kinh tế Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận • Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là: biên là: MRPPPP 43 3 2 24 15 MRQQQ 32 8 30 • Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 • Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá (triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo sản lượng. theo giá. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân trong phân tích kinh tế Xác định quỹ vốn • Ví dụ 1. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức • Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹ sản lượng Q là MC=8e0,2Q và chi phí cố định là vốn K là hàm theo biến thời gian t. FC=50. Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khả • Ta cĩ: I=I(t); K=K(t) biến • Giữa quỹ vốn và đầu tư cĩ quan hệ: (lượng đầu tư tại thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm • Ví dụ 2. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi đĩ) mức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác định I(t)=K’(t) hàm tổng doanh thu. • Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ vốn như sau: K t K t dt I t dt Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân trong phân tích kinh tế Thặng dư tiêu dùng • Ví dụ 3. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đơ la • Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế của một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là người mua. K(1)=10 (nghìn đơ la). Hãy xác định hàm quỹ • Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của người vốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4 bán. đến tháng 9 • Mức sẵn lịng trả là mức giá tối đa mà người mua chấp nhận mua sản phẩm. • Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản phẩm hay dịch vụ, • Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lịng trả của người mua trừ đi mức giá mà họ thực sự trả. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 14
15. 18/10/2017 Mức sẵn lịng trả của 4 người mua Đo lường CS bằng đường cầu • Đường cầu thị trường mơ tả các mức sản lượng mà người tiêu dùng sẵn lịng và cĩ thể mua tại những mức giá khác nhau. John 100 Paul 80 George 70 Ringo 50 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biểu cầu và đường cầu Đo lường thặng dư tiêu dùng Price of Album (a) Price = $80 $100 John’s willingness to pay Price of Album 80 Paul’s willingness to pay $100 John’s consumer surplus ($20) 70 George’s willingness to pay 80 70 50 Ringo’s willingness to pay 50 Demand Demand 0 1 2 3 4 Quantity of 0 1 2 3 4 Quantity of Albums Albums Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đo lường thặng dư tiêu dùng Đo lường thặng dư tiêu dùng (a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P1 (b) Price = $70 Price Price of A • Diện tích Album $100 phía dưới John’s consumer surplus ($30) đường 80 Paul’s consumer Consumer cầu và 70 surplus ($10) surplus P trên mức Total 1 B C 50 consumer giá chính surplus ($40) là thặng Demand Demand dư tiêu 0 1 2 3 4 Quantity of dùng. Albums 0 Q1 Quantity Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 15
16. 18/10/2017 Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng Thặng dư tiêu dùng (b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P2 • Consumer’s Surplus Price A • Nếu ( ; ) là điểm trên đường cầu p=D(x) khi này thặng dư tiêu dùng CS tại mức giá là: Initial consumer x surplus CS D x p dx C Consumer surplus P 1 B 0 to new consumers x CS D x dx x. p F • CS thể hiện tổng tiết kiệm của người 0 P 2 D E Additional consumer tiêu dùng sẵn sàng trả mức giá lớn Demand Q surplus to initial hơn cho sản phẩm nhưng vẫn mua 1 consumers CS D Q dQ Q. P được sản phẩm ở mức giá . 0 0 Q1 Q2 Quantity Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư sản xuất Chi phí của 4 người bán • Producer’s Surplus • Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được trả trừ đi chi phí cho sản phẩm. • Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị trường. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dùng đường cung đo lường PS Biểu cung và đường cung • Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu. • Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 16
17. 18/10/2017 Dùng đường cung đo lường PS Đo lường PS bằng đường cung (a) Price = $600 (b) Price = $800 Price of • Diện tích Price of House House Painting Supply phía dưới Painting Supply Total mức giá và producer $900 $900 surplus ($500) 800 trên đường 800 cung chính 600 600 Georgia’s producer 500 là thặng dư 500 surplus ($200) Grandma’s producer sản xuất. surplus ($100) Grandma’s producer surplus ($300) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 Quantity of Quantity of Houses Painted Houses Painted Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất (b) Thặng dư sản xuất ở giá P2 (a) Thặng dư sản xuất ở giá P1 Price Price Supply Additional producer Supply surplus to initial producers D E P2 F B B P P 1 C 1 C Producer Initial Producer surplus surplus producer to new producers surplus A A 0 Q1 Quantity 0 Q1 Q2 Quantity Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư sản xuất Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường Price A • Producer’s Surplus D • Nếu ( ; ) là điểm trên đường cung Supply p=D(x) khi này thặng dư sản xuất PS tại mức giá là: Consumer surplus x Equilibrium E PS p S x dx price 0 Producer x surplus PS x. p S x dx • PS thể hiện tổng tăng thêm của nhà 0 Demand sản xuất sẵn sàng cung cấp sản phẩm B Q ở mức giá thấp hơn nhưng vẫn bán 1 PS Q. P S Q dQ C được sản phẩm ở mức giá . 0 0 Equilibrium Quantity quantity Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 17
18. 18/10/2017 Ví dụ Ví dụ • Sản lượng cân bằng là nghiệm của pt: • Cho các hàm cung và hàm cầu: Q 3 DQSQ 1()() 1 QPQPSD 2 1 ; 43 2. P 18 • Thặng dư của nhà sản xuất: • Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng 3 dư của người tiêu dùng. PS 18.3 Q 1 2 2 dQ 27 0 • Thặng dư người tiêu dùng: 3 CS 43 Q 2 2 dQ 18.3 0 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Dịng thu nhập liên tục 1) Tìm thặng dư tiêu dùng tại mức giá 8$ biết hàm cầu • Continuous Income Stream đảo cĩ phương trình: • Cho f(t) là tốc độ của một dịng thu nhập liên tục, khi PDQQ 1 20 0,05 đĩ tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ a 2) Tìm thặng dư sản xuất tại mức giá 20$ biết hàm cung đến b là: đảo cĩ phương trình: 1 2 PSQQ 2 0,0002 b 3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng, Total Income f t dt thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết: a DQQSQQ 1 20 0,05 ; 1 2 0,0002 2 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến FV của dịng thu nhập liên tục Lập tổng tích phân • Theo cơng thức lãi kép liên tục: • Chia khoảng thời gian T A Pert thành n phần, mỗi phần là • Nếu dịng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi Δt. suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dịng • Thu nhập trong khoảng thứ thu nhập liên tục này sau T năm là??? k (từ tk-1 đến tk) xấp xỉ với: • Chú ý. f ck . t r. T t – Trong cơng thức lãi kép liên tục thì P là cố định • Giá trị tương lai của nĩ: FVk f c k t. e – Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất • Tổng thu nhập sau T năm: – Làm sao tính tổng thu nhập cho một dịng thu nhập liên tục. n T r. T ck r T t FV lim f ck t . e f t e dt n  k 1 0 Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 18
19. 18/10/2017 FV của dịng thu nhập liên tục Ví dụ • Nếu f(t) là tốc độ dịng thu nhập đều liên tục. • Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng tự động cho bởi: • Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mức f t 5000 e0,04t lãi suất r, ghép lãi liên tục. • • Trong đĩ t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy. Khi này, giá trị tương lai của cả dịng thu nhập • A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ sau T năm đầu tư là: khi lắp đặt. TT • B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi r T t rT rt suất 12%. Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận của FV f t e dt e f t e dt máy sau 5 năm. 0 0 • C) Tìm tổng lãi thu về của dịng lợi nhuận của máy sau 5 năm đầu tư. Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 19