Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến

1. 12/09/2017 CHƯƠNG 5b Ví dụ 1 • Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm và bánh dẻo. Lượng nguyên liệu đường, đậu cho một bánh mỗi loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH lãi cho một bánh mỗi loại được cho trong bảng sau: HAI BIẾN • Hãy lập mô hình bài toán tìm số lượng mỗi loại bánh cần sản xuất sao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt được cao nhất. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 Ví dụ 1 • Gọi x1,x2,x3 lần lượt là số bánh đậu xanh, bánh thập • Vậy ta có mô hình bài toán: cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất. f x f x1, x 2 , x 3 3 x 1 2 x 2 2,5 x 3 max • Điều kiện: xj ≥ 0 = 1,2,3 • Tiền lãi thu được (ngàn đồng) 0,04x 0,06 x 0,05 x 500 1 2 3 0,07x1 0,02 x 3 300 f x f x1, x 2 , x 3 3 x 1 2 x 2 2,5 x 3 x 0 j 1,2,3 • Lượng đường sử dụng và điều kiện: j 0,04x1 0,06 x 2 0,05 x 3 500 • Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính 3 biến, tìm • Lượng đậu sử dụng và điều kiện: giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu. 0,07x1 0,02 x 3 300 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 Ví dụ 2 – Đ/S • Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng • đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là Ta có mô hình sau: 90g, 130g, 10g. Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1g thức ăn A, B, C và giá mua 1kg thức ăn mỗi f x f x1, x 2 , x 3 3 x 1 4 x 2 5 x 3 min loại được cho trong bảng sau: 0,1x1 0,2 x 2 0,3 x 3 90 0,3x1 0,4 x 2 0,2 x 3 130 0,02x 0,01 x 0,03 x 10 1 2 3 xj 0 j 1,2,3 • Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu cầu dinh dưỡng mỗi ngày. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
2. 12/09/2017 Ví dụ 3 Ví dụ 3 – Đ/S • Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm là • Ta có mô hình sau: bàn, ghế và tủ. Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất và giá bán mỗi sản phẩm mỗi loại ước tính trong bảng sau: f x f x1, x 2 , x 3 260 x 1 120 x 2 600 x 3 max 2x1 x 2 3 x 3 500 100x1 40 x 2 250 x 3 40.000 6x x 1 2 • Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định số sản phẩm mỗi loại cần phải sản xuất sao cho không bị động trong sản xuất xj 0 j 1,2,3 và tổng doanh thu đạt được cao nhất, biết rằng cơ sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất là 40 triệu đồng và số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 4 Bài toán QHTT tổng quát • Bài toán lập kế hoạch sản xuất 1 f x c1 x 1 c 2 x 2 cn x n min (max) • Một trại cưa các khúc gỗ thành các tấm ván. Có hai loại ván: ván thành phẩm và ván sử dụng trong xây dựng. Giả 2 ai1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i i 1,2, , m sử, đối với: • Ván thành phẩm cần 2 giờ để cưa và 5 giờ để bào 10m ván 0 3x 0 j 1,2, , n • Ván xây dựng cần 3 giờ để cưa và 3 giờ để bào 10m ván j • Máy cưa làm việc tối đa 8 giờ trong ngày và máy bào làm tuy y việc tối đa 15 giờ trong ngày. Nếu lợi nhuận của 10m ván (1) Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu thành phẩm là 120 (ngàn đồng) và lợi nhuận của 10m (2) là hệ ràng buộc chính ván xây dựng là 100 (ngàn đồng). Trong ngày, trại cưa (3) là hệ ràng buộc dấu phải cưa bao nhiêu ván mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất. (2) và (3) gọi chung là hệ ràng buộc của bài toán Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dạng ma trận của bài toán QHTT Dạng ma trận của bài toán QHTT • Xét bài toán QHTT dạng: • Đặt: a11 a 12 a 1n b1 x 1 c 1 f x c x c x c x min (max) 1 1 2 2 n n a a a b x c A 21 22 2n b 2 x 2 c 2 a11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a a a b x c a21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n b 2 m1 m 2 mn m n n • Ta có dạng ma trận của bài toán QHTT: f cT x min max am1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n b m Ax b x j 0 • Dạng này còn gọi là dạng chuẩn của bài toán x 0 QHTT Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
3. 12/09/2017 Ví dụ Bài toán QHTT - Kinh tế n • Viết bài toán QHTT sau dạng ma trận: f x c x max  j j T j 1 f x c x min (max) n a x b (i 1,m) A. x B ( i 1, m )  ij j i j 1 x 0 ( j 1, n ) xj 0 (j 1,n) c1 x 1 b 1 a11 a 12 a 1n c x b a a a c 2 x 2 B 2 A 21 22 2n cn x n b n am1 a m 2 a mn Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài toán QHTT - Kinh tế Bài toán dạng chính tắc n n f x cj x j min f x c x min (max)  f x cT x min (max)  j j • Các ràng buộc j 1 j 1 chính đều là n a x b (i 1,m) A. x B ( i 1, m ) n  ij j i phương trình j 1 a x b (i 1,m) x 0 ( j 1, n )  ij j i • Các ẩn đều x 0 (j 1,n) j 1 j không âm xj 0 (j 1,n) c1 x 1 b 1 a11 a 12 a 1n Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài c x b a a a c 2 x 2 B 2 A 21 22 2n toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và từ c x b a a a n n n m1 m 2 mn phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối ưu của bài toán kia Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài toán dạng chính tắc Ví dụ 4 • Dạng như sau: • Bài toán sau có dạng chính tắc: 260x1 120 x 2 600 x 3 max 2x1 x 2 3 x 3 500 100x1 40 x 2 250 x 3 40000 6x1 x 2 x1, x 2 , x 3 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
4. 12/09/2017 Giải bài toán QHTT Giải bài toán QHTT • B1. Nhận dạng các biến và hàm mục tiêu • B4. Kiểm tra tập phương án để xem xét điều • B2. Diễn tả hàm mục tiêu và ràng buộc theo các kiện có nghiệm của bài toán. biến • Không có tập phương án (tập p.án rỗng) • B3. Kiểm tra các quan hệ trong hàm mục tiêu và • Tập phương án vô hạn và không có p.án tối ưu trong các ràng buộc có phải tuyến tính không. Nếu không ta tìm mô hình khác • Tập phương án vô hạn và có p.án tối ưu • B4. Kiểm tra tập phương án để xem xét điều • Tập phương án hữu hạn kiện có nghiệm của bài toán. • B5. Tìm p. án tối ưu nếu có. Phương pháp: đơn hình hoặc đồ thị Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các loại phương án Ví dụ • Định nghĩa. Vec tơ ∈ thỏa tất cả các ràng • Cho bài toán QHTT: buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính được f x 120 x1 100 x 2 max gọi là phương án chấp nhận được. 2x1 3 x 2 8 5x1 3 x 2 15 • Định nghĩa. Phương án chấp nhận được làm x1 0, x 2 0 cho hàm mục tiêu có giá trị lớn nhất (nếu là bài • toán max) hay nhỏ nhất (nếu là bài toán min) Trong các phương án sau phương án nào là thì được gọi là phương án tối ưu (PATU). phương án chấp nhận được. 1 2 1 2 u1 u 2 u 3 u 4 2 2 3 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất của tập phương án Tính chất của tập phương án • Định nghĩa. Đoạn thẳng nối hai điểm x1 và x2 được • Định lý. Cho x1 và x2 là hai phương án chấp nhận được định nghĩa: của bài toán QHTT. Điểm = 1 + 1 − 2 với 0 ≤ ≤ 1 thuộc đoạn thẳng nối hai điểm x và x . n 1 2 x R x  x1 1  x 2 , 0  1 • Khi đó: • Nhận xét • i) x cũng là phương án chấp nhận được • ii) Nếu các f(x )=f(x ) thì f(x)=f(x )=f(x ) • Nếu = 0 chúng ta có x2, = 1 chúng ta có x1. 1 2 1 2 • iii) Nếu f(x )<f(x ) thì f(x)<f(x ) • Những điểm thuộc đoạn thẳng với 0 < < 1 gọi là 1 2 2 • Nhận xét: Đối với tập các phương án chấp nhận được các điểm trong của đoạn thẳng là đoạn thẳng nối hai điểm x1, x2 thì một điểm biên có • x1, x2 gọi là các điểm biên của đoạn thẳng. giá trị hàm mục tiêu lớn nhất và điểm biên còn lại có giá trị hàm mục tiêu nhỏ nhất. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
5. 12/09/2017 Ví dụ Ví dụ • Xét bài toán QHTT • Hai phương án chấp nhận f x, y 4 x 3 y max được x1=(0,5; 7/3) và x y 4 x2=(2;1/3) có cùng giá trị hàm mục tiêu là 9. 5x 3 y 15 x, y 0 • Khi đó phương án x định bởi: • Có tập phương án được biểu diễn như hình bên 2 x  x1 1  x 2  • Ta thấy x1=(0,5; 2) và x2=(2;0,5) là các phương án chấp 3 nhận được. • Cũng có giá trị hàm mục tiêu • Điểm = 1 + 1 − 2 với =2/3 cũng là phương là 9. án chấp nhận được. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tập lồi và tính chất Định lý • Tập S gọi là tập lồi nếu với hai điểm phân biệt • Tập S tất cả các phương án chấp nhận được của bất kỳ x1 và x2 thuộc S thì đoạn nối hai điểm x1 bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là và x2 cũng nằm trong tập S. một tập lồi. S x Ax b, x 0 Tập lồi Không phải Tập lồi Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Điểm cực biên của tập hợp lồi Điểm cực biên của tập hợp lồi • Điểm x trong tập lồi S được gọi là điểm cực biên • Định lý. Điểm x của tập lồi S được gọi là điểm cực biên nếu không thể biểu diễn được dưới dạng tổ của S nếu x không là tổ hợp lồi của hai điểm của S khác hợp lồi thật sự của hai điểm phân biệt của S. x. • Nhận xét: • Nếu có x1, x2 thuộc S sao cho x  x1 1  x 2 ,  0 • Thì: x x1 x 2 A, B, C, D, E là các điểm cực biên Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
6. 12/09/2017 Tính chất tập phương án Phương án cực biên • Tập hợp các phương án của một bài toán quy • Định nghĩa. Điểm cực biên của tập các phương hoạch tuyến tính là một tập lồi đa diện. án S trong bài toán QHTT gọi là phương án cực • Nếu tập hợp lồi đa diện này không rỗng và bị biên. chặn thì đó là một đa diện lồi. Số điểm cực biên • Tính chất. của nó là hữu hạn. • Số phương án cực biên của tập phương án S trong bài toán QHTT là hữu hạn • Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có phương án tối ưu thì nó sẽ có một phương án cực biên là phương án tối ưu. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp đồ thị Phương pháp đồ thị • Dùng cho bài toán quy hoạch tuyến tính 2 biến • Ví dụ. Giải bài toán QHTT • Xét bài toán quy hoach tuyến tính : f x, y 4 x 3 y max 2 f x c x min max x y 4  j j j 1 5x 3 y 15 2 x 0, y 0 aij x j b i j 1 x j 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tập phương án Nhận xét • Miền OABC chứa tất cả các điểm thỏa mãn ràng buộc của bài toán. Đây là tập phương án • Vấn đề: tìm một điểm thuộc miền này sao cho hàm mục tiêu đạt cực đại. • Chú ý: Miền OABC bị chặn nên bài toán chắc chắn có nghiệm. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
7. 12/09/2017 Phương pháp đồ thị Phương pháp đồ thị • Xét hàm mục tiêu: • Mục tiêu: tìm đường đẳng lợi sao cho giá trị f x, y 4 x 3 y z hàm mục tiêu lớn nhất đồng thời vẫn cắt tập • Với mỗi giá trị z thì đường thẳng có phương phương án. trình f(x,y)=z gọi là đường đẳng lợi • Có nghĩa là tìm z lớn nhất sao cho đường thẳng 4 z (d) vẫn cắt tập phương án. f x, y z 4 x 3 y z y x 4 z 3 3 d : y x 3 3 • Tất cả các đường đẳng lợi đều song song với nhau và song song với • Ta vẽ các đường song song với Δ. Đường nào 4 y x cách xa gốc tọa độ mà còn cắt thì lấy đường đó. 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp đồ thị Phương pháp đồ thị • Tịnh tiến d theo phương ∆ sao cho vẫn cắt tập • Ta thấy z/3 max khi và chỉ khi (d) đi qua điểm phương án. B(3/2; 5/2). • Vậy phương án tối ưu là (x,y)=(3/2;5/2) • Giá trị hàm mục tiêu f(x,y)=27/2 • Chú ý. • Đường thẳng f(x,y)=z trong bài toán min ta gọi là đường đẳng phí. • Ta chọn đường đẳng phí gần gốc tọa độ nhất. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp đồ thị Tập phương án • Ví dụ. Giải bài toán QHTT f x, y 2 x 5 y max 3x 2 y 6 x 2 y 2 x 0, y 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
8. 12/09/2017 Phương pháp điểm cực biên • Bài toán không có • Biểu diễn các ràng buộc lên đồ thị Oxy. phương án tối • Xác định phần được giới hạn bởi các ràng buộc là tập ưu. phương án. • Xác định các điểm cực biên (đỉnh) của tập phương án thỏa mãn các ràng buộc. • Xác định giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực biên. • So sánh và suy ra phương án tối ưu • Chú ý. Phải chứng minh được bài toán có nghiệm thì mới dùng phương pháp so sánh này. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 Ví dụ 1 • • Biểu diễn đồ thị các bất đẳng Giải bài toán QHTT sau: thức lên hệ trục tọa độ ta f x, x x x min được miền các phương án là C 1 2 1 2 hình ngũ giác ABCDE. Các B 2x1 x 2 2 1 điểm có tọa độ như sau A(0,0); D B(0,2); C(1,4); D(4,1); E(2,0) là A E x1 x 2 2 2 các điểm cực biên. lần lượt x1 x 2 5 3 thay các cực biên vào hàm mục tiêu ta có f(A) = 0; f(B) = 2; x1 0, x 2 0 f(C) = 3; f(D) = -3; f(E) = -2. • Vậy phương án tối ưu x*=(4,1) tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị Min Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 Ví dụ 2 • Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng 2 loại tàu • Gọi x1, x2 lần lượt là số tàu 100 mã lực và 50 mã 100 mã lực và 50 mã lực. Trong xí nghiệp có 3 loại thợ lực cần đóng chính quyết định sản lượng kế hoạch. Thợ rèn có 2000 công, thợ sắt có 3000 công, thợ mộc có 1500 công. • Ta cần tìm x1, x2 sao cho: f(x)=100x1+50x2 Định mức lao động của mỗi loại tàu được cho trong max bản: 100 mã lực 50 mã lực • Điều kiện: Thợ sắt (3000) 150 70 150x1 70x 2 3000 Thợ rèn (2000) 120 50 120x1 50x 2 2000 Thợ mộc (1500) 80 40 80x1 40x 2 1500 • Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt x 0, x 0 tổng số mã lực cao nhất? 1 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
9. 12/09/2017 Ví dụ 3 Tìm PACB bằng pp Đại số • Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy • Xét bài toán QHTT dạng chính tắc: cán, 360 giờ máy tiện, 150 giờ máy mài để chế tạo 3 loại sản phẩm A, B, C. Để chế tạo một đơn vị sản f x cT x min (max) phẩm A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy tiện, 3 giờ máy mài; 1 đơn vị sản phẩm B cần 3 giờ máy cán, 4 A.x b giờ máy tiện; 1 đơn vị sản phẩm C cần 5 giờ máy cán. 3 giờ máy tiện, 2 giờ máy mài. Mỗi sản phẩm x 0 A trị giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng, mỗi sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng. • A là ma trận cấp m.n (giả sử m≤n) • Vấn đề đặt ra là xí nghiệp cần chế tạo bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để tổng giá trị sản phẩm • Ma trận A có hạng là m (có m dòng độc lập xí nghiệp thu được là lớn nhất, với điều kiện không tuyến tính) dùng quá số giờ hiện có của mỗi loại máy. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nghiệm cơ bản Ví dụ • Phương trình A.x=b được viết lại dạng: • Cho hệ phương trình tuyến tính 4 ẩn như sau: x1 A 1 x 2 A 2 xn A n 0 x1 x 2 x 3 4 • Chọn m cột của ma trận A độc lập tuyến tính 5x1 3 x 2 x 4 15 • Giả sử ta có các cột A1, A2, , Am • Cho các biến tương ứng với các cột còn lại bằng 0 • Tìm tất cả các nghiệm cơ bản • Giải phương trình ràng buộc với các biến còn lại • Chú ý: • Nghiệm tìm được kết hợp với các biến đã cho bằng 0 • - Ma trận có hạng là 2 Có bao nhiêu pt tạo thành nghiệm cơ bản của bài toán. • - Có 4 ẩn tìm nghiệm cơ bản Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương án cơ bản Ví dụ • Xét bài toán QHTT dạng chính tắc có tập các • Tìm tất cả các phương án cơ bản của bài toán ràng buộc: QHTT: S x Ax b, x 0 f 4 x1 3 x 2 max • Nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính • Với các điều kiện: A.x=b thỏa mãn điều kiện về dấu x≥0 được gọi là phương án cơ bản của bài toán QHTT. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
10. 12/09/2017 Phương án cực biên Kiểm tra phương án cực biên • Nghiệm cơ bản thỏa mãn điều kiện các thành phần • Chứng minh nó là phương án đều không âm gọi là phương án cực biên của bài toán. • Đặt T={Aj|xj>0} trong đó Aj là các vectơ cột của • PACB có đúng m thành phần dương gọi là PACB không ma trận hệ số A. suy biến • PACB có ít hơn m thành phần dương gọi là PACB suy • Chứng minh các vectơ của T tạo thành hệ vectơ biến. độc lập tuyến tính • Định lý. Nếu x=(x1,x2, ,xn) là PACB của tập các phương án S= {A.x=b, x≥0} thì các cột của A tương ứng với xj>0 là độc lập tuyến tính. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Chứng minh rằng x=(1,2,3,0) là PACB của bài • Tìm tất cả các phương án cực biên của bài toán toán QHTT sau: QHTT: f 4 x1 3 x 2 max • Với các điều kiện: Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Giá trị hàm Nghiệm cơ bản Phương án cực biên mục tiêu X1=(3/2; 5/2;0;0) X2=(3;0;1;0) X3=4;0;0;-5) X4=(0;5;-1;0) X5=(0;4;0;3) X6=(0;0;4;15) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 10