Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp 1 & ứng dụng

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp 1 & ứng dụng

1. 26/05/2017 CHƯƠNG 6 Khái niệm chung • Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm CẤP 1 & ỨNG DỤNG mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy. • Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình vi phân. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa Cấp của PTVP • Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc • Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của lập, hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của đạo hàm có mặt trong phương trình. nó gọi chung là phương trình vi phân. • Phương trình vi phân cấp một là phương trình có • Ví dụ. dạng: dy F x, y , y ' 0 hay y ' f x , y y y' x x2 y ' 0 ; 2 xy dx • Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng: F x, y , y ', y , , y n 0 • Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng: F x, y , y , y , , y n 0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Phương trình vi phân cấp 1 • Nêu cấp của các PTVP sau: • Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng: a) y y ' x x2 y ' 0 b) 2 x 1 dx x2 y 1 dy 0 dy F x, y , y ' 0 hay F x , y , 0 c) y '' 4 xy2 2 xy ' dx • Trong đó: • - F xác định trong miền G thuộc R3 • - x là biến độc lập, y là hàm cần tìm Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
2. 26/05/2017 Nghiệm của PTVP cấp 1 Nghiệm tổng quát • Nghiệm tổng quát • Dạng: y x, C • Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng • Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C quát) • Với mọi điểm (0, 0) ∈ ta đều tìm được C0 sao • Nghiệm riêng cho • Nghiệm kỳ dị y0 x 0, C 0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nghiệm tổng quát dạng ẩn Nghiệm riêng • Tên khác: tích phân tổng quát • Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng • Hệ thức Φ , , = 0 hay Φ , ) = gọi là số C0 xác định được gọi là nghiệm riêng. nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong • Nghiệm riêng: miền D nếu nó xác định nghiệm tổng quát của • Tích phân riêng: phương trình trong D. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nghiệm kỳ dị PTVP cấp 1 thường gặp • Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ • PT biến số phân ly nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C. • PT biến số phân ly được • PT đẳng cấp cấp 1 • PT tuyến tính cấp 1 • PT Bernoulli • PT vi phân toàn phần Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
3. 26/05/2017 PT biến số phân ly PT biến số phân ly được • Dạng: g(y)dy=f(x)dx • Dạng 1. fxgydy g yfxdx • Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x. 1 1 2 2 • Ta có: • Cách giải: • gydy fxdx Gy Fx C Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly • Ví dụ. • Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0 2x ydy dx 1 x 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ PT biến số phân ly được • Giải phương trình: • Dạng 2. y f ax by x2 y 1 dx x 3 1 y 1 dy 0 • Cách giải: • Đáp án: • Đặt z=ax+by 1 • Nghiệm tổng quát: lnx3 1 y 2ln y 1 C • Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz 3 • Nghiệm: y=-1 • Nghiệm: x=1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Phương trình đẳng cấp cấp 1 y • Giải phương trình sau: y 3 x y • Dạng: y f x 1 • Đáp số: Cex • Cách giải: 3x y 3 • Đặt t=y/x • Đưa về dạng biến số phân ly Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
4. 26/05/2017 Ví dụ Phương trình tuyến tính cấp 1 • Giải phương trình sau: • Dạng phương trình: x2 y 2 y p x y q x y 2xy • trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b) nào đó. • Đáp án: • Nếu q(x)=0 ta có phương trình thuần nhất. • Nếu q(x) ≠ 0 ta có phương trình không thuần y2 nhất. x 1 C y2 x 2 C x 2 1 1 x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp giải Ví dụ • B1. Giải phương trình thuần nhất • Cho phương trình vi phân: y p x y 0 1 y y 2 x • B2. Giải phương trình không thuần nhất bằng x phương pháp biến thiên hằng số • A) Giải phương trình y p x y q x q x 0 • B) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(1)=-1 • B3. Công thức nghiệm tổng quát: • Đáp số: 2 p x dx p x dx • Nghiệm tổng quát: y 2 x Cx y e q x e dx C 2 • Nghiệm riêng: y 2 x 3 x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Phương trình Bernoulli • Giải phương trình sau: • Dạng phương trình: 2 y 2 xy xe x y p x y q x y • Đáp số: • Cách giải: 2 • y x2 C e x Chia hai vế phương trình cho z • Đặt z y1 ta có: z 1 y y hay y y 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
5. 26/05/2017 Phương trình Bernoulli Ví dụ • Chú ý: • Giải phương trình sau: • Nếu > 0 thì y=0 cũng là nghiệm. y xy y2 • Nếu > 1 thì y=0 là nghiệm riêng. • Nếu 0 < < 1 thì y=0 là nghiệm kỳ dị • Đáp số: x • Nghiệm tổng quát: y x C • Nghiệm kì dị: y=0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân toàn phần Ví dụ 1 • Dạng: M x, y dx N x , y dy 0 • Giải phương trình vi phân: MN  3x2 6 xy 2 dx 6 x 2 y 4 y 3 dy 0 • Điều kiện: y  x • Ta có: • Nghiệm tổng quát: x y M x, y 3 x2 6 xy 2 N x , y 6 x 2 y 4 y 3 u x,,, y M x y dx N x y dy C 0 MN  x0 y 0 12xy x y y  x u x, y M x , y dx N x , y dy C 0 x0 y 0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 Ví dụ 2 • Nghiệm tổng quát của phương trình: • Giải phương trình vi phân: x y 2 2 2 3 a) x y 1 dx x y 3 dy 0  xy, 3 x 6 xydx 0 4 ydyC 2 0 0 b) xy .cos xy sin xy dx x cos xy dy 0 x3 3 x 2 y 2 y 4 C Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
6. 26/05/2017 Thừa số tích phân Ví dụ • Xét phương trình vi phân dạng: • Giải phương trình sau: M x, y dx N x , y dy 0 2 3 2 2xy 3 y dx 7 3 xy dy 0 • Nếu phương trình trên chưa có dạng phương trình vi phân toàn phần thì ta có thể tìm hàm (, ) • Bằng cách sử dụng thừa số tích phân dạng () sao cho phương trình:  x, y . M x , y dx  x , y . N x , y dy 0 • Chú ý: – Thừa số tích phân khá khó tìm • Là phương trình vi phân toàn phần. – Ta tìm dạng đặc biệt như () hay () • Hàm (, ) gọi là thừa số tích phân. – Sinh viên không cần trình bày cách tìm thừa số TP Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Bài tập 1 • Giải các ptvp sau a)tan ydx x ln xdy 0 b ) y 2 x y 1; y 0 1 y cxyy)2 2 xyx 2 0 dxyy ) ln ; y 1 1 x x y 1 e) y 2 xy 1 2 x2 f ) y x y 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 2 Bài tập 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
7. 26/05/2017 Bài tập 4 Bài tập 5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 6 Ứng dụng PTVP cấp 1 • Giải các phương trình vi phân sau bằng phương • Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị pháp thừa số tích phân • Tìm hàm số khi biết hệ số co giãn • Mô hình điều chỉnh giá thị trường • Mô hình tăng trưởng Domar (tự tham khảo) • Mô hình tăng trưởng Solow (tự tham khảo) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị Đồ thị pha • Tại các điểm trên trục hoành thì y’ dương nên y dy • Xét phương trình vi phân cấp 1 dạng: f y tăng theo thời gian, y đi từ trái sang phải dt • Tại các điểm dưới trục hoành thì y’ âm nên y giảm • Đồ thị pha (đồ hình pha) theo thời gian, y đi từ phải sang trái • • Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn y Tại giao điểm với trục hoành, giả sử là tại , ta có và trục tung biểu diễn y’ ta lập đồ thị hàm số f(y). y’=0. Ta gọi là trạng thái cân bằng. • Đồ thị đó được gọi là đường pha Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
8. 26/05/2017 Đồ thị pha – dạng 1 Đồ thị pha – dạng 2 y • Tại các điểm trên y • Tại các điểm trên trục hoành y đi từ trục hoành y đi từ trái sang phải trái sang phải • Tại các điểm dưới • Tại các điểm dưới trục hoành y đi từ trục hoành y đi từ y phải sang trái y phải sang trái 0 y • Tại giao điểm với 0 y • Tại giao điểm với trục hoành là trục hoành là trạng thái cân bằng. trạng thái cân bằng. • • Trạng thái cân bằng ổn định động Trạng thái cân bằng không ổn định động Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Trạng thái cân bằng ổn định Trạng thái cân bằng không ổn định y0 y0 y y y0 y0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhận xét Ví dụ • Tính ổn định của trạng thái cân bằng phụ thuộc • Xét mô hình ptvt tuyến tính cấp 1: dấu của đạo hàm tại điểm cân bằng • Trạng thái cân bằng ổn định động khi: f y 0 • Ta có: • Trạng thái cân bằng ổn định động khi và chỉ khi: p 0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
9. 26/05/2017 Tìm y(x) biết hệ số co giãn Ví dụ 1 • Ta có: • Biết hệ số co giãn của hàm cầu theo giá: x y' dy x 2  y x . 5PP 2 y dx y  P QD Q x • Giả sử: y  x • Tìm hàm cầu QD biết 10 = 500 • Ta có pt vi phân sau: • Đáp số: x y' dy  x y x  x dx y y x QPP 650 2 5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 Biến động của giá trên thị trường • Biết hệ số co giãn của hàm cầu: • Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa 2P cho bởi:  P QD 2000 2P QD  p; Q s   p • Điểm cân bằng thị trường:  • Tìm hàm cầu QD biết 0 = 2000 p   • Nếu giá ban đầu là p 0 p thì thị trường cân bằng. Còn nếu không thì thị trường sẽ đạt giá cân bằng sau một quá trình điều chỉnh nào đó. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biến động của giá trên thị trường Biến động của giá trên thị trường • Trong quá trình điều chỉnh, các Qs, Qd và p đều • Từ đó ta có: thay đổi theo t (biến thời gian). p' t k  p   p • Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t luôn  tỷ lệ với độ chênh lệch giữa cầu và cung tại thời k   p k   p p điểm đó. Nghĩa là:   • Do đó: p' t k Qd t Q s t dp k   dt ln p p k   . t ln C • Với k>0 là hằng số. p p p p C .e k0 . t p p Ce k0 . t Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
10. 26/05/2017 Biến động của giá trên thị trường Nhận xét biến động của P(t) theo t • Với t=0, ta có giá tại thời điểm ban đầu: • Nếu giá ban đầu p(0) cao hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) là hàm giảm theo t và p 0 p C C p 0 p lim p t p t • Vậy: • Nếu giá ban đầu p(0) thấp hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) k0 t p t p p 0 p e là hàm tăng theo t và lim p t p • Dễ thấy: t k0 t • Như vậy trong mọi trường hợp cùng với thời gian giá limp t lim p p 0 p e p do k0 0 t t cả sẽ dần dần trở về với giá tại điểm cân bằng. Do đó điểm cân bằng thị trường có tính chất ổn định động Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biến động của giá trên thị trường Giải • Ví dụ: Cho: • Ta có: k k   0,2. 2 3 1; p 0,6 Q 12; p Q 23; p k 0,2; p 00,4 0 d s • Vậy: 1 • Tìm thời gian t sao cho: p p C. e k0 t p 0 p . e k 0 t e t 5 1 p p  1% p p e t 0,01 e t 0,05 t ln 0,05 5 t ln 20 3 • Vậy sau 3 đơn vị thời gian thì giá thỏa mãn yêu cầu trên Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 10