›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Hàm hai biến - Nguyễn Phúc Sơn

pdf 114 trang cucquyet12 4050
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Hàm hai biến - Nguyễn Phúc Sơn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_chuong_6_ham_hai_bien_nguyen_phuc_son.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Hàm hai biến - Nguyễn Phúc Sơn

  1. Chương 6: HÀM HAI BIẾN Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 23 tháng 10 năm 2016 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  2. Bài toán đầu tiên: Tìm miền xác định của hàm hai biến. 2 Miền xác định D này là một tập con của mặta phẳng R . Tìm miền xác định D của hàm số f (x, y) = x 2 + y 2 − 1. Khi ta cố định 1 biến, ví dụ y = y0 thì hàm 2 biến f (x, y0) bây giờ chỉ phụ thuộc biến x nên trở thành hàm một biến. Tìm miền xác định Dx khi y = y0 = 2. Hàm hai biến Ví dụ: f (x, y) = x + y − xy là một hàm hai biến. Ví dụ: z = x 2 − 2y là một hàm hai biến. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  3. a Tìm miền xác định D của hàm số f (x, y) = x 2 + y 2 − 1. Khi ta cố định 1 biến, ví dụ y = y0 thì hàm 2 biến f (x, y0) bây giờ chỉ phụ thuộc biến x nên trở thành hàm một biến. Tìm miền xác định Dx khi y = y0 = 2. Hàm hai biến Ví dụ: f (x, y) = x + y − xy là một hàm hai biến. Ví dụ: z = x 2 − 2y là một hàm hai biến. Bài toán đầu tiên: Tìm miền xác định của hàm hai biến. 2 Miền xác định D này là một tập con của mặt phẳng R . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  4. Khi ta cố định 1 biến, ví dụ y = y0 thì hàm 2 biến f (x, y0) bây giờ chỉ phụ thuộc biến x nên trở thành hàm một biến. Tìm miền xác định Dx khi y = y0 = 2. Hàm hai biến Ví dụ: f (x, y) = x + y − xy là một hàm hai biến. Ví dụ: z = x 2 − 2y là một hàm hai biến. Bài toán đầu tiên: Tìm miền xác định của hàm hai biến. 2 Miền xác định D này là một tập con của mặta phẳng R . Tìm miền xác định D của hàm số f (x, y) = x 2 + y 2 − 1. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  5. Tìm miền xác định Dx khi y = y0 = 2. Hàm hai biến Ví dụ: f (x, y) = x + y − xy là một hàm hai biến. Ví dụ: z = x 2 − 2y là một hàm hai biến. Bài toán đầu tiên: Tìm miền xác định của hàm hai biến. 2 Miền xác định D này là một tập con của mặta phẳng R . Tìm miền xác định D của hàm số f (x, y) = x 2 + y 2 − 1. Khi ta cố định 1 biến, ví dụ y = y0 thì hàm 2 biến f (x, y0) bây giờ chỉ phụ thuộc biến x nên trở thành hàm một biến. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  6. Hàm hai biến Ví dụ: f (x, y) = x + y − xy là một hàm hai biến. Ví dụ: z = x 2 − 2y là một hàm hai biến. Bài toán đầu tiên: Tìm miền xác định của hàm hai biến. 2 Miền xác định D này là một tập con của mặta phẳng R . Tìm miền xác định D của hàm số f (x, y) = x 2 + y 2 − 1. Khi ta cố định 1 biến, ví dụ y = y0 thì hàm 2 biến f (x, y0) bây giờ chỉ phụ thuộc biến x nên trở thành hàm một biến. Tìm miền xác định Dx khi y = y0 = 2. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  7. Hàm hai biến Ví dụ: f (x, y) = x + y − xy là một hàm hai biến. Ví dụ: z = x 2 − 2y là một hàm hai biến. Bài toán đầu tiên: Tìm miền xác định của hàm hai biến. 2 Miền xác định D này là một tập con của mặta phẳng R . Tìm miền xác định D của hàm số f (x, y) = x 2 + y 2 − 1. Khi ta cố định 1 biến, ví dụ y = y0 thì hàm 2 biến f (x, y0) bây giờ chỉ phụ thuộc biến x nên trở thành hàm một biến. Tìm miền xác định Dx khi y = y0 = 2. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  8. Hình minh họa Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  9. Hình minh họa Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  10. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂y y Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 ∂f Đạo hàm riêng theo x, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂x x Coi y là hằng số không đổi. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  11. ∂f Đạo hàm riêng theo y, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂y y Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 ∂f Đạo hàm riêng theo x, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂x x Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  12. Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 ∂f Đạo hàm riêng theo x, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂x x Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂y y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  13. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 ∂f Đạo hàm riêng theo x, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂x x Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂y y Coi x là hằng số không đổi. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  14. Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 ∂f Đạo hàm riêng theo x, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂x x Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂y y Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  15. Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 ∂f Đạo hàm riêng theo x, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂x x Coi y là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến x như trường hợp một biến ∂f Đạo hàm riêng theo y, ký hiệu hay z0 (x, y) ∂y y Coi x là hằng số không đổi. Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm theo biến y như trường hợp một biến Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  16. Vi phân cấp 1 Khi hàm z = f (x, y) có cả hai đạo hàm riêng tại (x, y) thì đại lượng 0 0 df (x, y) = dz(x, y) = zx (x, y)dx + zy (x, y)dy được gọi là vi phân cấp 1 của hàm z = f (x, y). Nếu z = f (x, y) có cả hai đạo hàm riêng trên toàn miền D thì ta có ký hiệu thu gọn ∂z ∂f dz = z0 dx + z0 dy hay df = dx + dy x y ∂y ∂y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  17. Vi phân cấp 1 Khi hàm z = f (x, y) có cả hai đạo hàm riêng tại (x, y) thì đại lượng 0 0 df (x, y) = dz(x, y) = zx (x, y)dx + zy (x, y)dy được gọi là vi phân cấp 1 của hàm z = f (x, y). Nếu z = f (x, y) có cả hai đạo hàm riêng trên toàn miền D thì ta có ký hiệu thu gọn ∂z ∂f dz = z0 dx + z0 dy hay df = dx + dy x y ∂y ∂y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  18. Đạo hàm và đạo hàm riêng của hàm hợp 2 biến x và y phụ thuộc t z = f (x(t), y(t)). Dùng đạo hàm hàm hơp ta có dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt hay 0 0 0 0 0 z (t) = zx · x (t) + zy · y (t), ∀t Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  19. Đạo hàm và đạo hàm riêng của hàm hợp 2 biến x và y phụ thuộc t z = f (x(t), y(t)). Dùng đạo hàm hàm hơp ta có dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt hay 0 0 0 0 0 z (t) = zx · x (t) + zy · y (t), ∀t Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  20. hay 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zu = zx · xu + zy · yu và zv = zx · xv + zy · yv Đạo hàm và đạo hàm riêng của hàm hợp 2 biến z = f (x(u, v), y(u, v)) Ở đây x và y là hai hàm theo biến u và v. Dùng đạo hàm hàm hợp, ta có ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + và = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  21. Đạo hàm và đạo hàm riêng của hàm hợp 2 biến z = f (x(u, v), y(u, v)) Ở đây x và y là hai hàm theo biến u và v. Dùng đạo hàm hàm hợp, ta có ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + và = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v hay 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zu = zx · xu + zy · yu và zv = zx · xv + zy · yv Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  22. Đạo hàm và đạo hàm riêng của hàm hợp 2 biến z = f (x(u, v), y(u, v)) Ở đây x và y là hai hàm theo biến u và v. Dùng đạo hàm hàm hợp, ta có ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + và = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v hay 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zu = zx · xu + zy · yu và zv = zx · xv + zy · yv Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  23. 0 Lấy đạo hàm riêng của zy ta được ∂2z z2 hay . yx ∂y∂x ∂2z z2 hay . y 2 ∂y 2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 0 Nếu z = f (x, y) khả vi trên D thì các đạo hàm riêng cấp 1 zx 0 và zy cũng là hàm 2 biến trên D. 0 Lấy đạo hàm riêng của zx ta được ∂2z z2 hay . x 2 ∂x 2 ∂2z z2 hay . xy ∂x∂y Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  24. Đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 0 Nếu z = f (x, y) khả vi trên D thì các đạo hàm riêng cấp 1 zx 0 và zy cũng là hàm 2 biến trên D. 0 Lấy đạo hàm riêng của zx ta được ∂2z z2 hay . x 2 ∂x 2 ∂2z z2 hay . xy ∂x∂y 0 Lấy đạo hàm riêng của zy ta được ∂2z z2 hay . yx ∂y∂x ∂2z z2 hay . y 2 ∂y 2 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  25. Đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 0 Nếu z = f (x, y) khả vi trên D thì các đạo hàm riêng cấp 1 zx 0 và zy cũng là hàm 2 biến trên D. 0 Lấy đạo hàm riêng của zx ta được ∂2z z2 hay . x 2 ∂x 2 ∂2z z2 hay . xy ∂x∂y 0 Lấy đạo hàm riêng của zy ta được ∂2z z2 hay . yx ∂y∂x ∂2z z2 hay . y 2 ∂y 2 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  26. Do đó, 2 2 2 2 2 2 2 d z = d f = zx 2 dx + 2zxy dxdy + zy 2 dy Vi phân cấp 2 Vi phân cấp 2 là 2 2 2 2 2 2 2 2 d z = d f = zx 2 dx + zxy dxdy + zyx dydx + zy 2 dy Khi z = f (x, y) thuộc lớp C2 (có đạo hàm riêng cấp 2 và các hàm này liên tục) thì 2 2 zxy = zyx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  27. Vi phân cấp 2 Vi phân cấp 2 là 2 2 2 2 2 2 2 2 d z = d f = zx 2 dx + zxy dxdy + zyx dydx + zy 2 dy Khi z = f (x, y) thuộc lớp C2 (có đạo hàm riêng cấp 2 và các hàm này liên tục) thì 2 2 zxy = zyx Do đó, 2 2 2 2 2 2 2 d z = d f = zx 2 dx + 2zxy dxdy + zy 2 dy Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  28. Vi phân cấp 2 Vi phân cấp 2 là 2 2 2 2 2 2 2 2 d z = d f = zx 2 dx + zxy dxdy + zyx dydx + zy 2 dy Khi z = f (x, y) thuộc lớp C2 (có đạo hàm riêng cấp 2 và các hàm này liên tục) thì 2 2 zxy = zyx Do đó, 2 2 2 2 2 2 2 d z = d f = zx 2 dx + 2zxy dxdy + zy 2 dy Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  29. 0 Kiểm tra Fy (x, y) 6= 0. Nếu điều kiện này thỏa thì câu trả lời là có và khi đó 0 0 Fx y (x) = − 0 Fy Ngoài ra, ¢ 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 d Fx (Fxx + Fxy y (x))Fy − (Fyx + Fyy y (x))Fx y (x) = − 0 = − 0 2 dx Fy (Fy ) Hàm ẩn và đạo hàm riêng của hàm ẩn Bắt đầu với 1 phương trình liên hệ x và y F (x, y) = 0 Trong măt phẳng 2 chiều, đây là đồ thị của một đường cong. Ta muốn trả lời câu hỏi: y có thể viết được dưới dạng 1 hàm số theo biến x, y = y(x) hay không ? Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  30. Ngoài ra, ¢ 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 d Fx (Fxx + Fxy y (x))Fy − (Fyx + Fyy y (x))Fx y (x) = − 0 = − 0 2 dx Fy (Fy ) Hàm ẩn và đạo hàm riêng của hàm ẩn Bắt đầu với 1 phương trình liên hệ x và y F (x, y) = 0 Trong măt phẳng 2 chiều, đây là đồ thị của một đường cong. Ta muốn trả lời câu hỏi: y có thể viết được dưới dạng 1 hàm số theo biến x, y = y(x) hay không ? 0 Kiểm tra Fy (x, y) 6= 0. Nếu điều kiện này thỏa thì câu trả lời là có và khi đó 0 0 Fx y (x) = − 0 Fy Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  31. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của hàm ẩn Bắt đầu với 1 phương trình liên hệ x và y F (x, y) = 0 Trong măt phẳng 2 chiều, đây là đồ thị của một đường cong. Ta muốn trả lời câu hỏi: y có thể viết được dưới dạng 1 hàm số theo biến x, y = y(x) hay không ? 0 Kiểm tra Fy (x, y) 6= 0. Nếu điều kiện này thỏa thì câu trả lời là có và khi đó 0 0 Fx y (x) = − 0 Fy Ngoài ra, ¢ 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 d Fx (Fxx + Fxy y (x))Fy − (Fyx + Fyy y (x))Fx y (x) = − 0 = − 0 2 dx Fy (Fy ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  32. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của hàm ẩn Bắt đầu với 1 phương trình liên hệ x và y F (x, y) = 0 Trong măt phẳng 2 chiều, đây là đồ thị của một đường cong. Ta muốn trả lời câu hỏi: y có thể viết được dưới dạng 1 hàm số theo biến x, y = y(x) hay không ? 0 Kiểm tra Fy (x, y) 6= 0. Nếu điều kiện này thỏa thì câu trả lời là có và khi đó 0 0 Fx y (x) = − 0 Fy Ngoài ra, ¢ 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 d Fx (Fxx + Fxy y (x))Fy − (Fyx + Fyy y (x))Fx y (x) = − 0 = − 0 2 dx Fy (Fy ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  33. Điều kiện là: 0 Fz (x, y, z) 6= 0 Tượng tự trường hợp 1 biến, đạo hàm riêng của z là 0 0 Fx zx = − 0 Fz 0 0 Fy zy = − 0 Fz Hàm ẩn hai biến Phương trình dạng: F (x, y, z) = 0 Câu hỏi đặt ra là: Có giải được tường minh z = f (x, y) hay không ? Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  34. Tượng tự trường hợp 1 biến, đạo hàm riêng của z là 0 0 Fx zx = − 0 Fz 0 0 Fy zy = − 0 Fz Hàm ẩn hai biến Phương trình dạng: F (x, y, z) = 0 Câu hỏi đặt ra là: Có giải được tường minh z = f (x, y) hay không ? Điều kiện là: 0 Fz (x, y, z) 6= 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  35. Hàm ẩn hai biến Phương trình dạng: F (x, y, z) = 0 Câu hỏi đặt ra là: Có giải được tường minh z = f (x, y) hay không ? Điều kiện là: 0 Fz (x, y, z) 6= 0 Tượng tự trường hợp 1 biến, đạo hàm riêng của z là 0 0 Fx zx = − 0 Fz 0 0 Fy zy = − 0 Fz Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  36. Hàm ẩn hai biến Phương trình dạng: F (x, y, z) = 0 Câu hỏi đặt ra là: Có giải được tường minh z = f (x, y) hay không ? Điều kiện là: 0 Fz (x, y, z) 6= 0 Tượng tự trường hợp 1 biến, đạo hàm riêng của z là 0 0 Fx zx = − 0 Fz 0 0 Fy zy = − 0 Fz Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  37. Giá trị z0 = f (x0, y0) được gọi giá trị cực tiểu/cực đại (địa phương) của hàm số f . Cực trị (tự do) địa phương của hàm hai biến Khái niệm z = f (x, y) đạt cực tiểu tự do (địa phương) tại (x0, y0) nếu f (x, y) > f (x0, y0) với mọi (x, y) xung quanh (x0, y0) (trong một lân cận của (x0, y0). z = f (x, y) đạt cực đại tự do (địa phương) tại (x0, y0) nếu f (x, y) < f (x0, y0) với mọi (x, y) xung quanh (x0, y0) (trong một lân cận của (x0, y0). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  38. Cực trị (tự do) địa phương của hàm hai biến Khái niệm z = f (x, y) đạt cực tiểu tự do (địa phương) tại (x0, y0) nếu f (x, y) > f (x0, y0) với mọi (x, y) xung quanh (x0, y0) (trong một lân cận của (x0, y0). z = f (x, y) đạt cực đại tự do (địa phương) tại (x0, y0) nếu f (x, y) < f (x0, y0) với mọi (x, y) xung quanh (x0, y0) (trong một lân cận của (x0, y0). Giá trị z0 = f (x0, y0) được gọi giá trị cực tiểu/cực đại (địa phương) của hàm số f . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  39. Cực trị (tự do) địa phương của hàm hai biến Khái niệm z = f (x, y) đạt cực tiểu tự do (địa phương) tại (x0, y0) nếu f (x, y) > f (x0, y0) với mọi (x, y) xung quanh (x0, y0) (trong một lân cận của (x0, y0). z = f (x, y) đạt cực đại tự do (địa phương) tại (x0, y0) nếu f (x, y) < f (x0, y0) với mọi (x, y) xung quanh (x0, y0) (trong một lân cận của (x0, y0). Giá trị z0 = f (x0, y0) được gọi giá trị cực tiểu/cực đại (địa phương) của hàm số f . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  40. Hình minh họa Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  41. Hình minh họa Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  42. Tính định thức Hessian AB 2 ∆ = = AC − B BC Cách tìm cực trị địa phương Bước 1: Tìm các điểm dừng của hàm z = f (x, y) bằng cách tìm nghiệm của hệ: ( 0 zx (x, y) = 0 0 zy (x, y) = 0 Gọi nghiệm của hệ là (x0, y0). Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 tại (x0, y0) 2 2 2 A = zx 2 (x0, y0), B = zxy (x0, y0), C = zy 2 (x0, y0), Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  43. Cách tìm cực trị địa phương Bước 1: Tìm các điểm dừng của hàm z = f (x, y) bằng cách tìm nghiệm của hệ: ( 0 zx (x, y) = 0 0 zy (x, y) = 0 Gọi nghiệm của hệ là (x0, y0). Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 tại (x0, y0) 2 2 2 A = zx 2 (x0, y0), B = zxy (x0, y0), C = zy 2 (x0, y0), Tính định thức Hessian AB 2 ∆ = = AC − B BC Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  44. Cách tìm cực trị địa phương Bước 1: Tìm các điểm dừng của hàm z = f (x, y) bằng cách tìm nghiệm của hệ: ( 0 zx (x, y) = 0 0 zy (x, y) = 0 Gọi nghiệm của hệ là (x0, y0). Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 tại (x0, y0) 2 2 2 A = zx 2 (x0, y0), B = zxy (x0, y0), C = zy 2 (x0, y0), Tính định thức Hessian AB 2 ∆ = = AC − B BC Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  45. Nếu A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu (địa phương) (ma trận ∆ xác định dương) Nếu A 0 thì (x0, y0) là điểm cực trị Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  46. Nếu A 0 thì (x0, y0) là điểm cực trị Nếu A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu (địa phương) (ma trận ∆ xác định dương) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  47. Nếu ∆ = 0 thì không kết luận được Cách tìm cực trị địa phương Nếu ∆ 0 thì (x0, y0) là điểm cực trị Nếu A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu (địa phương) (ma trận ∆ xác định dương) Nếu A < 0 thì (x0, y0) là cực đại (địa phương) (ma trận ∆ xác định âm) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  48. Cách tìm cực trị địa phương Nếu ∆ 0 thì (x0, y0) là điểm cực trị Nếu A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu (địa phương) (ma trận ∆ xác định dương) Nếu A < 0 thì (x0, y0) là cực đại (địa phương) (ma trận ∆ xác định âm) Nếu ∆ = 0 thì không kết luận được Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  49. Cách tìm cực trị địa phương Nếu ∆ 0 thì (x0, y0) là điểm cực trị Nếu A > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu (địa phương) (ma trận ∆ xác định dương) Nếu A < 0 thì (x0, y0) là cực đại (địa phương) (ma trận ∆ xác định âm) Nếu ∆ = 0 thì không kết luận được Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  50. Hình minh họa Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  51. Hình minh họa Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  52. Hình minh họa Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  53. Tương tự ta có thể định nghĩa cực đại có điều kiện. Cực trị có điều kiện của hàm 2 biến Bây giờ, ta xét hàm số z = f (x, y) với điều kiện ràng buộc bổ sung φ(x, y) = 0 Hàm z = f (x, y) đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) nếu φ(x0, y0) = 0 và f (x0, y0) < f (x, y) với mọi (x, y) thỏa φ(x, y) = 0 xung quanh (x0, y0). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  54. Cực trị có điều kiện của hàm 2 biến Bây giờ, ta xét hàm số z = f (x, y) với điều kiện ràng buộc bổ sung φ(x, y) = 0 Hàm z = f (x, y) đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) nếu φ(x0, y0) = 0 và f (x0, y0) < f (x, y) với mọi (x, y) thỏa φ(x, y) = 0 xung quanh (x0, y0). Tương tự ta có thể định nghĩa cực đại có điều kiện. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  55. Cực trị có điều kiện của hàm 2 biến Bây giờ, ta xét hàm số z = f (x, y) với điều kiện ràng buộc bổ sung φ(x, y) = 0 Hàm z = f (x, y) đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) nếu φ(x0, y0) = 0 và f (x0, y0) < f (x, y) với mọi (x, y) thỏa φ(x, y) = 0 xung quanh (x0, y0). Tương tự ta có thể định nghĩa cực đại có điều kiện. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  56. Hình minh họa Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  57. Điểm cực trị tư do của L chính là điểm cưc trị có điều kiện của hàm z = f (x, y). Nhân tử Lagrange Hàm Lagrange giúp đưa một bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị không có điều kiện. L = L(x, y) := f (x, y) + λφ(x, y) trong đó, λ là một tham số đưa thêm vào Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  58. Nhân tử Lagrange Hàm Lagrange giúp đưa một bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị không có điều kiện. L = L(x, y) := f (x, y) + λφ(x, y) trong đó, λ là một tham số đưa thêm vào Điểm cực trị tư do của L chính là điểm cưc trị có điều kiện của hàm z = f (x, y). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  59. Nhân tử Lagrange Hàm Lagrange giúp đưa một bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị không có điều kiện. L = L(x, y) := f (x, y) + λφ(x, y) trong đó, λ là một tham số đưa thêm vào Điểm cực trị tư do của L chính là điểm cưc trị có điều kiện của hàm z = f (x, y). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  60. Các bước tìm cực trị bằng phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1: Coi λ cũng là 1 ẩn số như x và y, giải hệ sau:  0 0  zx (x, y) + λφx (x, y) = 0  0 0 zy (x, y) + λφy (x, y) = 0  φ(x, y) = 0 Tính định thức Hessian (bordered Hessian) 2 2 L L φ0 xx xy x ¨ ¨ ¨ ¨ 2 2 0 2 0 2 2 0 0 2 0 2 H = Lyx Lyy φy = −Lxx φy +2Lxy φx φy −Lyy φx 0 0 φx φy 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  61. Các bước tìm cực trị bằng phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1: Coi λ cũng là 1 ẩn số như x và y, giải hệ sau:  0 0  zx (x, y) + λφx (x, y) = 0  0 0 zy (x, y) + λφy (x, y) = 0  φ(x, y) = 0 Tính định thức Hessian (bordered Hessian) 2 2 L L φ0 xx xy x ¨ ¨ ¨ ¨ 2 2 0 2 0 2 2 0 0 2 0 2 H = Lyx Lyy φy = −Lxx φy +2Lxy φx φy −Lyy φx 0 0 φx φy 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  62. Nếu H = 0 không kết luận được gì. Các bước tìm cực trị bằng phương pháp nhân tử Lagrange Nếu H 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm z = f (x, y) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  63. Các bước tìm cực trị bằng phương pháp nhân tử Lagrange Nếu H 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm z = f (x, y) Nếu H = 0 không kết luận được gì. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  64. Các bước tìm cực trị bằng phương pháp nhân tử Lagrange Nếu H 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm z = f (x, y) Nếu H = 0 không kết luận được gì. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  65. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} D = {(x, y) | f (x, y) = c} Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  66. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} D = {(x, y) | f (x, y) = c} Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  67. Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} D = {(x, y) | f (x, y) = c} Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  68. D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} D = {(x, y) | f (x, y) = c} Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  69. D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} D = {(x, y) | f (x, y) = c} Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  70. D = {(x, y) | f (x, y) = c} Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  71. Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} D = {(x, y) | f (x, y) = c} Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  72. Cực trị tuyệt đối của hàm hai biến 2 Cho D là một miền trong mặt phẳng R . Nếu f (x0, y0) < f (x, y), ∀(x, y) ∈ D thì giá trị m = f (x0, y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D và (X0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. Tương tự với giá trị lớn nhất của f trên D. Nếu D đóng và bị chặn, f liên tục thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f . Một số miền D đóng và bị chặn thông dụng: (c là hằng số) Hình chữ nhật D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} D = {(x, y) | f (x, y) ≤ c} D = {(x, y) | f (x, y) ≥ c} D = {(x, y) | f (x, y) = c} Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  73. Ý nghĩa của đạo hàm riêng trong kinh tế Giá trị cận biên: (theo x) Khi cố định giá trị y = y0, chúng ta muốn biết hàm z thay đổi thế nào khi x tăng thêm 1 đơn vị từ x0 lên x0 + 1 ? Đại lượng này Mzx = ∆zx được gọi là giá 0 trị z- cận biên của x và có thể được xấp xỉ bằng zx (x0, y0). Tương tự, ta có giá trị z-cận biên của y, 0 Mzy = ∆zy ≈ zy (x0, y0) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  74. Ý nghĩa của đạo hàm riêng trong kinh tế Giá trị cận biên: (theo x) Khi cố định giá trị y = y0, chúng ta muốn biết hàm z thay đổi thế nào khi x tăng thêm 1 đơn vị từ x0 lên x0 + 1 ? Đại lượng này Mzx = ∆zx được gọi là giá 0 trị z- cận biên của x và có thể được xấp xỉ bằng zx (x0, y0). Tương tự, ta có giá trị z-cận biên của y, 0 Mzy = ∆zy ≈ zy (x0, y0) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  75. Ý nghĩa của đạo hàm riêng trong kinh tế (tt) Hệ số co giãn: (theo x) Đây là tỉ số so sánh % thay đổi của z khi x tăng 1% giá trị. Công thức ∂z (x0, y0)  ≈ ∂x zx z0 x0 Tương tự, hệ số co giãn theo y ∂z (x , y ) ∂y 0 0  ≈ zy z0 y0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  76. Ý nghĩa của đạo hàm riêng trong kinh tế (tt) Hệ số co giãn: (theo x) Đây là tỉ số so sánh % thay đổi của z khi x tăng 1% giá trị. Công thức ∂z (x0, y0)  ≈ ∂x zx z0 x0 Tương tự, hệ số co giãn theo y ∂z (x , y ) ∂y 0 0  ≈ zy z0 y0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  77. Nếu Q(tK, tL) tQ(K, L) thì hiệu quả tăng theo quy mô. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Định nghĩa hàm thuần nhất Hàm z = f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc k nếu với mọi t > 0 f (tx, ty) = tk f (x, y) Hiệu quả quy mô sản xuất Hàm sản xuất Q = Q(K, L) trong đó K là vốn và L là lao động. Giả sử cả hai yếu tố đầu vào đều tăng t lần, ta muốn so sánh giữa Q(tK, tL) và tQ(K, L) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  78. Nếu Q(tK, tL) = tQ(K, L) thì hiệu quả không đổi theo quy mô. Nếu Q(tK, tL) > tQ(K, L) thì hiệu quả tăng theo quy mô. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Định nghĩa hàm thuần nhất Hàm z = f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc k nếu với mọi t > 0 f (tx, ty) = tk f (x, y) Hiệu quả quy mô sản xuất Hàm sản xuất Q = Q(K, L) trong đó K là vốn và L là lao động. Giả sử cả hai yếu tố đầu vào đều tăng t lần, ta muốn so sánh giữa Q(tK, tL) và tQ(K, L) Nếu Q(tK, tL) < tQ(K, L) thì hiệu quả giảm theo quy mô. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  79. Nếu Q(tK, tL) > tQ(K, L) thì hiệu quả tăng theo quy mô. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Định nghĩa hàm thuần nhất Hàm z = f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc k nếu với mọi t > 0 f (tx, ty) = tk f (x, y) Hiệu quả quy mô sản xuất Hàm sản xuất Q = Q(K, L) trong đó K là vốn và L là lao động. Giả sử cả hai yếu tố đầu vào đều tăng t lần, ta muốn so sánh giữa Q(tK, tL) và tQ(K, L) Nếu Q(tK, tL) < tQ(K, L) thì hiệu quả giảm theo quy mô. Nếu Q(tK, tL) = tQ(K, L) thì hiệu quả không đổi theo quy mô. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  80. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Định nghĩa hàm thuần nhất Hàm z = f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc k nếu với mọi t > 0 f (tx, ty) = tk f (x, y) Hiệu quả quy mô sản xuất Hàm sản xuất Q = Q(K, L) trong đó K là vốn và L là lao động. Giả sử cả hai yếu tố đầu vào đều tăng t lần, ta muốn so sánh giữa Q(tK, tL) và tQ(K, L) Nếu Q(tK, tL) tQ(K, L) thì hiệu quả tăng theo quy mô. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  81. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Định nghĩa hàm thuần nhất Hàm z = f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc k nếu với mọi t > 0 f (tx, ty) = tk f (x, y) Hiệu quả quy mô sản xuất Hàm sản xuất Q = Q(K, L) trong đó K là vốn và L là lao động. Giả sử cả hai yếu tố đầu vào đều tăng t lần, ta muốn so sánh giữa Q(tK, tL) và tQ(K, L) Nếu Q(tK, tL) tQ(K, L) thì hiệu quả tăng theo quy mô. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  82. Nếu k = 1 thì hiệu quả không đổi theo quy mô Nếu k > 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Hàm Cobb-Douglas Q(K, L) = aK αLβ thuần nhất bậc k = α + β, nghĩa là Q(tK, tL) = tk Q(K, L) Khi đó, hiệu quả sản xuất có thể được đánh giá qua bậc thuần nhất k. Nếu 0 < k < 1 thì hiệu quả giảm theo quy mô Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  83. Nếu k > 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Hàm Cobb-Douglas Q(K, L) = aK αLβ thuần nhất bậc k = α + β, nghĩa là Q(tK, tL) = tk Q(K, L) Khi đó, hiệu quả sản xuất có thể được đánh giá qua bậc thuần nhất k. Nếu 0 < k < 1 thì hiệu quả giảm theo quy mô Nếu k = 1 thì hiệu quả không đổi theo quy mô Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  84. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Hàm Cobb-Douglas Q(K, L) = aK αLβ thuần nhất bậc k = α + β, nghĩa là Q(tK, tL) = tk Q(K, L) Khi đó, hiệu quả sản xuất có thể được đánh giá qua bậc thuần nhất k. Nếu 0 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  85. Hàm thuần nhất và phân tích hiệu quả của quy mô sản xuất Hàm Cobb-Douglas Q(K, L) = aK αLβ thuần nhất bậc k = α + β, nghĩa là Q(tK, tL) = tk Q(K, L) Khi đó, hiệu quả sản xuất có thể được đánh giá qua bậc thuần nhất k. Nếu 0 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  86. Ta có một hàm lợi ích (utility) U = U(x, y) là mục tiêu cần tối ưu. Bài toán cực trị có điều kiện max U(x, y) sao cho p1x + p2y = m Sự lựa chọn của người tiêu dùng Giả sử có 2 loại hàng x và y mà người tiêu dùng muốn mua. Giá tương ứng là p1 và p2. Ngân sách mua sắm m. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  87. Bài toán cực trị có điều kiện max U(x, y) sao cho p1x + p2y = m Sự lựa chọn của người tiêu dùng Giả sử có 2 loại hàng x và y mà người tiêu dùng muốn mua. Giá tương ứng là p1 và p2. Ngân sách mua sắm m. Ta có một hàm lợi ích (utility) U = U(x, y) là mục tiêu cần tối ưu. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  88. Sự lựa chọn của người tiêu dùng Giả sử có 2 loại hàng x và y mà người tiêu dùng muốn mua. Giá tương ứng là p1 và p2. Ngân sách mua sắm m. Ta có một hàm lợi ích (utility) U = U(x, y) là mục tiêu cần tối ưu. Bài toán cực trị có điều kiện max U(x, y) sao cho p1x + p2y = m Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  89. Sự lựa chọn của người tiêu dùng Giả sử có 2 loại hàng x và y mà người tiêu dùng muốn mua. Giá tương ứng là p1 và p2. Ngân sách mua sắm m. Ta có một hàm lợi ích (utility) U = U(x, y) là mục tiêu cần tối ưu. Bài toán cực trị có điều kiện max U(x, y) sao cho p1x + p2y = m Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  90. Khi p1, p2 và m thay đổi, x¯ và y¯ được gọi là hàm cầu Marshall. Lưu ý: x¯ và y¯ làm cho U(¯x, y¯) đạt cực đại. Hàm cầu Marshall Túi hàng hóa (x, y) làm tối ưu hàm lợi ích chính là lượng hàng hóa mà người tiêu dùng muốn mua, do đó cũng chính là lượng cầu. Lời giải của bài toán tối ưu trên x =x ¯(p1, p2, m) y =y ¯(p1, p2, m) được gọi là lượng cầu Marshall. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  91. Lưu ý: x¯ và y¯ làm cho U(¯x, y¯) đạt cực đại. Hàm cầu Marshall Túi hàng hóa (x, y) làm tối ưu hàm lợi ích chính là lượng hàng hóa mà người tiêu dùng muốn mua, do đó cũng chính là lượng cầu. Lời giải của bài toán tối ưu trên x =x ¯(p1, p2, m) y =y ¯(p1, p2, m) được gọi là lượng cầu Marshall. Khi p1, p2 và m thay đổi, x¯ và y¯ được gọi là hàm cầu Marshall. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  92. Hàm cầu Marshall Túi hàng hóa (x, y) làm tối ưu hàm lợi ích chính là lượng hàng hóa mà người tiêu dùng muốn mua, do đó cũng chính là lượng cầu. Lời giải của bài toán tối ưu trên x =x ¯(p1, p2, m) y =y ¯(p1, p2, m) được gọi là lượng cầu Marshall. Khi p1, p2 và m thay đổi, x¯ và y¯ được gọi là hàm cầu Marshall. Lưu ý: x¯ và y¯ làm cho U(¯x, y¯) đạt cực đại. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  93. Hàm cầu Marshall Túi hàng hóa (x, y) làm tối ưu hàm lợi ích chính là lượng hàng hóa mà người tiêu dùng muốn mua, do đó cũng chính là lượng cầu. Lời giải của bài toán tối ưu trên x =x ¯(p1, p2, m) y =y ¯(p1, p2, m) được gọi là lượng cầu Marshall. Khi p1, p2 và m thay đổi, x¯ và y¯ được gọi là hàm cầu Marshall. Lưu ý: x¯ và y¯ làm cho U(¯x, y¯) đạt cực đại. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  94. Bài toán: Tìm cực tiều C = p1x + p2y với điều kiện U(x, y) = U0, U0: hằng số. Hàm cầu Hick: Nghiệm của bài toán trên x =x ˆ(p1, p2, U0) được gọi là lượng cầu Hick tương ứng với p1, p2, U0 cho trước. Tên khác: hàm cầu lợi ích không đổi Tối ưu hóa chi phí tiêu dùng Không phải người tiêu dùng nào cũng sử dụng toàn bộ thu nhập để mua sắm. Người ta có thể đặt trước một mức lợi ích mong muốn U0, sau đó đi tìm cách mua sắm với túi hàng (x, y) sao cho chi phí C = p1x + p2y nhỏ nhất Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  95. Hàm cầu Hick: Nghiệm của bài toán trên x =x ˆ(p1, p2, U0) được gọi là lượng cầu Hick tương ứng với p1, p2, U0 cho trước. Tên khác: hàm cầu lợi ích không đổi Tối ưu hóa chi phí tiêu dùng Không phải người tiêu dùng nào cũng sử dụng toàn bộ thu nhập để mua sắm. Người ta có thể đặt trước một mức lợi ích mong muốn U0, sau đó đi tìm cách mua sắm với túi hàng (x, y) sao cho chi phí C = p1x + p2y nhỏ nhất Bài toán: Tìm cực tiều C = p1x + p2y với điều kiện U(x, y) = U0, U0: hằng số. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  96. Tối ưu hóa chi phí tiêu dùng Không phải người tiêu dùng nào cũng sử dụng toàn bộ thu nhập để mua sắm. Người ta có thể đặt trước một mức lợi ích mong muốn U0, sau đó đi tìm cách mua sắm với túi hàng (x, y) sao cho chi phí C = p1x + p2y nhỏ nhất Bài toán: Tìm cực tiều C = p1x + p2y với điều kiện U(x, y) = U0, U0: hằng số. Hàm cầu Hick: Nghiệm của bài toán trên x =x ˆ(p1, p2, U0) được gọi là lượng cầu Hick tương ứng với p1, p2, U0 cho trước. Tên khác: hàm cầu lợi ích không đổi Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  97. Tối ưu hóa chi phí tiêu dùng Không phải người tiêu dùng nào cũng sử dụng toàn bộ thu nhập để mua sắm. Người ta có thể đặt trước một mức lợi ích mong muốn U0, sau đó đi tìm cách mua sắm với túi hàng (x, y) sao cho chi phí C = p1x + p2y nhỏ nhất Bài toán: Tìm cực tiều C = p1x + p2y với điều kiện U(x, y) = U0, U0: hằng số. Hàm cầu Hick: Nghiệm của bài toán trên x =x ˆ(p1, p2, U0) được gọi là lượng cầu Hick tương ứng với p1, p2, U0 cho trước. Tên khác: hàm cầu lợi ích không đổi Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  98. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  99. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  100. Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  101. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  102. Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  103. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  104. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  105. Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  106. Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  107. Tìm đầu vào của hàm sản xuất để có lợi nhuận tối đa Đặt C0: chi phí cố định. wK : giá thuê vốn. wL: công lao động. Hàm sản xuất Q = Q(K, L). Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận. Hàm chi phí: TC = wK K + wLL + C0. Hàm doanh thu TR = p · Q(K, L) Hàm lợi nhuận π = TR − TC. Đây là bài toán cực trị tự do. Ta giải bằng các tìm điểm dừng, rồi xét điều kiện để điểm dừng cực đại. Điều kiện điểm dừng: ( 0 0 ( 0 πK = pQK − wK = 0 pQK = wK 0 0 ⇐⇒ 0 πL = pQL − wL = 0 pQL = wL Ta có nhận xét gì về điều kiện này ? Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  108. Đây là bài toán tối ưu TR, cũng có nghĩa là tối ưu Q(K, L) với điều kiện B = wK K + wLL. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Marshall K = K¯ (wK , wL, B), L = L¯(wK , wL, B) Tối đa sản lượng trong điều kiện ngân sách không đổi Chi phí cố định B = wK K + wLL. Tối đa doanh thu TR = p · Q(K, L). Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  109. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Marshall K = K¯ (wK , wL, B), L = L¯(wK , wL, B) Tối đa sản lượng trong điều kiện ngân sách không đổi Chi phí cố định B = wK K + wLL. Tối đa doanh thu TR = p · Q(K, L). Đây là bài toán tối ưu TR, cũng có nghĩa là tối ưu Q(K, L) với điều kiện B = wK K + wLL. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  110. Tối đa sản lượng trong điều kiện ngân sách không đổi Chi phí cố định B = wK K + wLL. Tối đa doanh thu TR = p · Q(K, L). Đây là bài toán tối ưu TR, cũng có nghĩa là tối ưu Q(K, L) với điều kiện B = wK K + wLL. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Marshall K = K¯ (wK , wL, B), L = L¯(wK , wL, B) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  111. Tối đa sản lượng trong điều kiện ngân sách không đổi Chi phí cố định B = wK K + wLL. Tối đa doanh thu TR = p · Q(K, L). Đây là bài toán tối ưu TR, cũng có nghĩa là tối ưu Q(K, L) với điều kiện B = wK K + wLL. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Marshall K = K¯ (wK , wL, B), L = L¯(wK , wL, B) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  112. Đây là bài toán tối ưu có điều kiện. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Hick K = Kˆ (wK , wL, Q0), L = Lˆ(wK , wL, Q0) Lượng sản phẩm cố định, tối thiểu chi phí Đơn đặt hàng cố định Q = Q0. Tìm K và L để tối thiểu hóa chi phí C = wK K + wLL Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  113. Lượng sản phẩm cố định, tối thiểu chi phí Đơn đặt hàng cố định Q = Q0. Tìm K và L để tối thiểu hóa chi phí C = wK K + wLL Đây là bài toán tối ưu có điều kiện. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Hick K = Kˆ (wK , wL, Q0), L = Lˆ(wK , wL, Q0) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN
  114. Lượng sản phẩm cố định, tối thiểu chi phí Đơn đặt hàng cố định Q = Q0. Tìm K và L để tối thiểu hóa chi phí C = wK K + wLL Đây là bài toán tối ưu có điều kiện. Nghiệm tối ưu là lượng cầu Hick K = Kˆ (wK , wL, Q0), L = Lˆ(wK , wL, Q0) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 6: HÀM HAI BIẾN