Bài giảng Ước lượng các trung bình và tỷ lệ - Đinh Công Khai

Nội dung text: Bài giảng Ước lượng các trung bình và tỷ lệ - Đinh Công Khai

1. 10/26/2010 ƯỚC LƯỢNG CÁC TRUNG BÌNH VÀ TỶ LỆ GV : Đinh Công Khải – Chương trình Fulbright Môn: Các Phương pháp Định Lượng – MPP3 1. Tóm tắt các chương trước  Tổng thể và mẫu: Làm thế nào để suy luận các tham số thống kê của tổng thể dựa trên thông tin chứa trong mẫu?  Thống kê mô tả  Xác xuất và phân phối xác xuất: cơ chế để thực hiện thống kê suy luận từ mẫu.  Chọn mẫu và Định lý giới hạn trung tâm: “Một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát được chọn từ một tổng thể không chuẩn tắc có trung bình là µ và độ lệch chuẩn là σ , nếu n lớn, thì phân phối mẫu của trung bình mẫu sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc với trung bình là µ và độ lệch chuẩn  ” n 1
2. 10/26/2010 Thống kê (Nguồn: Cao Hào Thi) 3 Lấy mẫu ngẫu nhiên Tổng thể N (Cỡ) Mẫu  (Trung bình) n  (Độ lệch chuẩn) x s p (Tỷ lệ) p Ước lượng Kiểm định Giả thuyết 2. Ước lượng các tham số thống kê của tổng thể  Có 2 loại ước lượng:  Ước lượng điểm của một tham số tổng thể là cách thức tính toán một giá trị đơn lẽ trong tổng thể dựa trên dựa trên dữ liệu mẫu.  Ước lượng khoảng của một tham số tổng thể là cách thức tính toán 2 giá trị dựa trên dữ liệu mẫu, từ đó tạo nên một khoảng được kỳ vọng chứa tham số thống kê của tổng thể. 2
3. 10/26/2010 2. Ước lượng các tham số thống kê của tổng thể  Các yêu cầu cần có của ước lượng:  Không bị lệch: Ước lượng của một tham số tổng thể không bị lệch nếu trung bình của phân phối mẫu bằng với giá trị đúng của tham số đó.  Phương sai của phân phối mẫu càng nhỏ càng tốt (đảm bảo cho các ước lượng gần với giá trị đúng của tham số với một xác xuất cao)  Sai số ước lượng (error of estimation): khoảng cách giữa giá trị ước lượng và giá trị đúng của tham số được ước lượng.  Hệ số tin cậy (confidence coffeicient): Xác suất mà khoảng tin cậy bao quanh tham số được ước lượng. 3. Ước lượng cho mẫu lớn  Ước lượng điểm  Giả sử chúng ta có một ước lượng không lệch với phân phối mẫu của nó tuân theo phân phối chuẩn.  Với xác xuất là 95%, sai số ước lượng sẽ không vượt quá 1,96 lần độ lệch chuẩn (sai số biên – margin of error). 3
4. 10/26/2010 3. Ước lượng cho mẫu lớn  Ước lượng khoảng  Ước lượng khoảng được xây dựng để cho khi lấy mẫu lặp lại nhiều lần thì một tỷ lệ lớn (hệ số tin cậy – confidence coefficient) các khoảng này sẽ bao quanh tham số tổng thể mà chúng ta đang quan tâm. Khoảng được tạo ra được gọi là khoảng tin cậy (confidence interval).  Một khoảng tin cậy mẫu lớn với hệ số tin cậy (1-α) 100% dựa trên một ước lượng không bị lệch có phân phối chuẩn được tính như sau Ước lượng điểm zα/2 * Sai số chuẩn của ước lượng (giới hạn tin cậy dưới, giới hạn độ tin cậy trên) 4. Ước lượng cho mẫu lớn về số trung bình tổng thể µ  Ước lượng điểm của trung bình tổng thể µ  Ước lượng điểm: x  Sai số biên: 1,96* x 1,96* / n  Ước lượng khoảng tin cậy (1-α)100% cho mẫu lớn đối với µ  x z / 2 n Trong đó: * n là cỡ mẫu * σ là độ lệch chuẩn của tổng thể (nếu chưa biết σ có thể sử dụng một ước lượng xấp xỉ là độ lệch chuẩn của mẩu s nếu cỡ mẫu là lớn (n>= 30) 4
5. 10/26/2010 4. Ước lượng cho mẫu lớn về số trung bình tổng thể µ  Ví dụ: Một công ty được thuê để ước lượng trung bình lãi suất trái phiếu kỳ hạn 5 năm của các công ty có phát hành trái phiếu đặt tại thị trường A. Một mẫu ngẫu nhiên gồm n=100 công ty được chọn trong thị trường này và lãi suất trái phiếu được thu thập cho từng công ty. Trung bình và độ lệch chuẩn của 100 lãi suất trái phiếu lần lượt là 12%/năm và 0.5. . Hãy ước lượng trung bình lãi suất và sai số biên cho các trái phiếu 5 năm của các công ty ở thị trường A? . Tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình lãi suất trái phiếu? 5. Ước lượng cho mẫu nhỏ về số trung bình tổng thể µ  Khi cỡ mẫu nhỏ và σ chưa biết chúng ta có thể sử dụng phân phối xác xuất Student t.  Ước lượng điểm cho mẫu nhỏ  Ước lượng điểm: x  Sai số biên: 1,96 *s / n  Ước lượng khoảng tin cậy (1-α)100% cho mẫu nhỏ đối với µ s x t / 2 n Trong đó s là độ lệch chuẩn của mẫu và s / n độ lệch chuẩn của trung bình mẫu 5
6. 10/26/2010 5. Ước lượng cho mẫu nhỏ về số trung bình tổng thể µ  Ví dụ: Các biến phí chủ yếu là lao động, khiến cho chi phí xây nhà thay đổi từ đơn vị nhà ở này sang đơn vị nhà ở khác. Một công ty xây dựng nhà tiêu chuẩn cần làm ra một mức lợi nhuận bình quân vượt quá $8500 mỗi căn nhà nhằm đạt được mục tiêu lợi nhuận hàng năm. Các khoản lợi nhuận tính trên mỗi căn nhà cho 5 căn nhà mà công ty xây dựng gần đây là $8.760, $6.370, $9.620, $8.200, và $10.350. Câu hỏi: Tìm khoảng tin cậy 95% cho lợi nhuận trung bình một căn nhà ở mà công ty đã xây dựng? 6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình 2  Có 2 tổng thể 1 và 2 với các tham số thống kê lần lượt như sau: µ1, σ1 và 2 µ2, σ2 (µ1 - µ2) ?  Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm n1 đại lượng từ tổng thể 1 và n2 đại lượng từ tổng thể 2. Hai mẫu này có các trị thống kê lần lượt như sau: 2 2 x1, s1 và x2 , s2  Các đặc trưng phân phối mẫu của như sau x1 x2  Nếu các tổng thể không có phân phối chuẩn thì phân phối mẫu của là phân phối xấp xỉ chuẩn khi n1 và n2 là lớn (theo Định lý Giới hạn trung tâm) 6
7. 10/26/2010 6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình  Trung bình và độ lệch chuẩn của x 1 x 2 là    x1 x2 1 2  2  2  1 2 x1 x2 n1 n2  Nếu các tổng thể có phân phối chuẩn thì phân phối mẫu của cũng sẽ có phân phối chuẩn mà không quan tâm đền cỡ mẫu. 6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình  Ước lượng điểm của (µ1- µ2)  Trị ước lượng  Sai số biên:  2  2 1,96 1.96 1 2 x1 x2 n1 n2  Ước lượng khoảng tin cậy (1-σ)100% cho (µ1- µ2)  2  2 ( z 1 2 x1 x2) / 2 n1 n2 2 2 2 2 trường hợp σ1 và σ2 chưa biết thì chúng có thể được xấp xỉ bằng s1 và s2 với điều kiện n1 và n2 ≥ 30. 7
8. 10/26/2010 6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình Ví dụ: Một bộ phận cho vay của ngân hàng tìm thấy rằng 57 khoản cho vay mua nhà trong tháng 4 có giá trị trung bình là $78.100 và độ lệch chuẩn là $6.300. Một phân tích về khoản cho vay trong tháng 5 với tổng cộng là 66 khoản, cho thấy giá trị trung bình là $82.700 và độ lệch chuẩn là $7.100. Giả định các khoản cho vay mua nhà đại diện cho các mẫu ngẫu nhiên của những giá trị các hồ sơ xin vay mua nhà được bộ phận dịch vụ cho vay của ngân hàng chấp thuận. Tìm khoảng tin cậy 98% cho sự khác biệt trong mức trung bình của các hồ sơ xin vay mua nhà được chấp thuận từ tháng 4 đến tháng 5? 6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình  Trong trường hợp cỡ mẫu nhỏ, hai tổng thể có phân phối chuẩn với các 2 2 2 phương sai bằng nhau (σ1 = σ2 = σ ) Ước lượng khoảng tin cậy (1-σ)100% cho mẫu nhỏ đối với (µ1- µ2) 1 1 (x1 x2 ) t / 2 *s n1 n2 (n 1)s2 (n 1)s2 s 1 1 2 2 (n1 1) (n2 1) 8
9. 10/26/2010 7. Ước lượng một tỷ lệ nhị thức  Các tham số nhị thức của tổng thể: tỷ lệ nhị thức p  Trị thống kê của mẫu x pˆ n trong đó x là số lần thành trong n lần thử  Trung bình và độ lệch chuẩn của pˆ E( pˆ) p pq  pˆ n 7. Ước lượng một tỷ lệ nhị thức  Các tham số nhị thức của tổng thể: tỷ lệ nhị thức p  Trị thống kê của mẫu: tỷ lệ mẫu trong đó x là số lần thành trong n lần thử  Theo CLT, với một mẫu ngẫu nhiên có n quan sát được chọn từ tổng thể nhị thức có tham số p thì phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu này như sau  Trung bình và độ lệch chuẩn của E( pˆ)  pˆ p pq  pˆ n  Trường hợp n lớn phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc. Ước lượng xấp xỉ này là phù hợp nếu  pˆ 3 pˆ từ 0 đến 1 9
10. 10/26/2010 7. Ước lượng một tỷ lệ nhị thức  Ước lượng điểm cho p x pˆ  Trị ước lượng: n  Sai số biên: pq 1,96 1,96 pˆ n pˆqˆ 1,96 pˆ 1,96  Sai số biên ước lượng: n  Ước lượng khoảng tin cậy (1-α)100% cho p pˆqˆ pˆ z / 2 n  n phải lớn để phân phối mẫu là phân phối xấp xỉ chuẩn. 7. Ước lượng một tỷ lệ nhị thức  Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm n=100 nhà bán buôn mua ống nhựa polyvinyl chỉ ra cho thấy rằng 59 người có kế hoạch gia tăng việc mua hàng của mình trong năm tới. Hãy ước lượng tỷ lệ p của các nhà bán buôn trong tổng thể tất cả các nhà bán buôn ống nhựa polyvinyl mà có kế hoạch gia tăng việc mua hàng của mình trong năm tới và tìm sai số biên. Tìm khoảng tin cậy 95% cho p. 10
11. 10/26/2010 8. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 tỷ lệ nhị thức  Có 2 tổng thể nhị thức 1 và 2 với các tham số thống kê lần lượt như sau: p1 và p2 (p1 - p2) ?  Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm n1 đại lượng từ tổng thể 1 và n2 đại lượng từ tổng thể 2. Hai mẫu này có các trị thống kê lần lượt như sau: pˆ 1 và pˆ 2  Các đặc trưng phân phối mẫu của pˆ 1 p ˆ 2 như sau pˆ pˆ  Phân phối mẫu của 1 2 là phân phối xấp xỉ chuẩn khi n1 và n2 là lớn (theo Định lý Giới hạn trung tâm) 8. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 tỷ lệ nhị thức  Trung bình và độ lệch chuẩn của là  p p pˆ 1 pˆ 2 1 2 p q p q  1 1 2 2 pˆ 1 pˆ 2 n1 n2  Khi sử dụng phân phối chuẩn để ước lượng xấp xỉ các xác suất của nhị thức thì khoảng ( pˆ pˆ ) 2  phải được chứa trong 1 2 ( pˆ 1 pˆ 2 ) (khoảng này thay đổi từ -1 đến 1) 11
12. 10/26/2010 8. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 tỷ lệ nhị thức  Ước lượng điểm của (p1- p2)  Trị ước lượng ( pˆ1 pˆ 2 )  Sai số biên: pˆ qˆ pˆ qˆ 1,96 1.96 1 1 2 2 pˆ1 pˆ 2 n1 n2  Ước lượng khoảng tin cậy (1-σ)100% cho (p1- p2) pˆ1qˆ1 pˆ 2qˆ 2 ( pˆ1 pˆ 2 ) z / 2 n1 n2 n phải đủ lớn để phân phối mẫu của có ước lượng xấp xỉ phân phân chuẩn. Khoảng ( pˆ pˆ ) 2 được chứa trong khoảng [-1;1] 1 2 ( pˆ1 pˆ 2 ) 8. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 tỷ lệ nhị thức  Ví dụ: Một cuộc điều tra ngân hàng về các khoản chi trả thẻ tín dụng trễ hạn đã tìm thấy tỷ lệ trễ hạn trong 1 tháng đối với 414 chủ doanh nghiệp nhỏ là 5,8% so với 3,6% của 1029 nhà quản lý chuyên nghiệp (professionals). Giả định rằng dữ liệu cho 2 đối tượng sử dụng thẻ này có thể được xem như các mẫu ngẫu nhiên độc lập của những tài khoản hàng tháng đã sử dụng trong khoảng thời gian tương đối dài (1 đến 2 năm). Tìm khoảng tin cậy 95% trong các tỷ lệ về những sự trễ hạn cho 2 loại đối tượng sử dụng thẻ tín dụng này? 12
13. 10/26/2010 9. Chọn mẫu  Quy trình chọn lựa cỡ mẫu  Xác định tham số được ước lượng và độ lệch chuẩn của ước lượng điểm  Chọn B (giới hạn sai số biên) và hệ số tin cậy (1-α)  Giải phương trình zα/2 * độ lệch chuẩn của số ước lượng = B  Nếu n nhỏ hơn 30 thì chúng cần dùng tα/2 để thay thế zα/2 và sử dụng s thay thế cho σ. Quy trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi cỡ mẫu không đổi. 13