Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị (Phần 2) - Nguyễn Huy Hoàng

131 trang Gia Huy 19/05/2022 1750

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị (Phần 2) - Nguyễn Huy Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_danh_cho_kinh_te_va_quan_tri_phan_2_nguyen_h.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị (Phần 2) - Nguyễn Huy Hoàng

Chươ ng 3 Áp d ụng phép toán vi phân hàm nhi ều bi ến vào phân tích kinh t ế và kinh doanh 3.1. Các hàm s ố nhi ều bi ến trong phân tích kinh t ế 3.1.1. Hàm s ản su ất Khi phân tích ho ạt độ ng s ản xu ất, các nhà kinh t ế quan tâm đế n hai y ếu t ố đầ u vào quan tr ọng là v ốn (capital) và lao động (labor) và chúng được ký hi ệu là K và L. Do đó, hàm s ản xu ất có d ạng: Q= f( K,L ). Ý ngh ĩa. Hàm s ản xu ất bi ểu di ễn s ự ph ụ thu ộc c ủa s ản l ượng hàng hoá vào hai y ếu t ố đầ u vào vốn (t ư b ản) và lao động. Một hàm s ản xu ất mà kinh t ế h ọc th ường s ử d ụng là hàm s ản xu ất d ạng Cobb – α β Douglas có d ạng: Q= aK L Trong đó: a,α , β là các h ằng s ố d ươ ng. 3.1.2. Hàm doanh thu, chi phí, l ợi nhu ận 3.1.2.1 Hàm chi phí +) Hàm chi phí ph ụ thu ộc đầ u vào: TC= TC( K,L) . Nếu tính theo các y ếu t ố s ản xu ất thì hàm chi phí là hàm s ố c ủa các y ếu t ố s ản xu ất và có d ạng: = + + TCK,L( ) pKK pL L C. 0 Trong đó: pK : Giá thuê m ột đơn v ị v ốn (t ư b ản). pL : Giá thuê m ột đơn v ị lao độ ng. C0 : Chi phí c ố đị nh. = +) Hàm chi phí k ết h ợp: TC TCQ,Q( 1 2 ) . Trong đó Q1: S ố đơn v ị hàng hóa 1; 79
Q2 : S ố đơn v ị hàng hóa 2. 3.1.2.2. Hàm doanh thu và hàm l ợi nhu ận +) Nếu doanh nghi ệp là doanh nghi ệp c ạnh tranh thì t ổng doanh thu c ủa doanh nghi ệp ph ụ thu ộc vào K, L và có d ạng: TR= P ⋅ f( K,L) = TR( K,L ) ( P : là giá s ản ph ẩm) +) Hàm doanh thu g ộp: =+ = + = TR TR1 TR 21122 P.Q P.Q TRQ,Q( 12 ) Với P1 : là giá s ản ph ẩm m ặt hàng 1, P2 : là giá s ản ph ẩm m ặt hàng 2. 3.1.2.3. Hàm l ợi nhu ận Hàm l ợi nhu ận: π =TR − TC +) Hàm l ợi nhu ận ph ụ thu ộc đầu vào π= − + + =π P.fK,L( ) ( pKk pL L C 0 ) ( K,L ) +) Hàm l ợi nhu ận ph ụ thu ộc đầ u ra π = − (Q,Q12) TRQ,Q( 12) TCQ,Q( 12 ) . 3.1.3. Hàm l ợi ích Gi ả s ử c ơ c ấu tiêu dùng c ủa ng ười tiêu dùng g ồm có n m ặt hàng. M ỗi gi ỏ hàng là = một b ộ g ồm n số th ực X( x1 ,x 2 , ,x n ) , trong đó x1 là l ượng hàng hoá T1 , x 2 là l ượng hàng hoá T2 , ,x n là l ượng hàng hoá Tn . Hàm l ợi ích là hàm s ố đặ t t ươ ng ứng v ới m ỗi túi = hàng X( x1 ,x 2 , ,x n ) với m ột giá tr ị U nh ất đị nh theo quy t ắc: Gi ỏ hàng nào được ưa chu ộng nhi ều h ơn thì gán giá tr ị l ợi ích l ớn h ơn. Hàm l ợi ích có d ạng t ổng quát nh ư sau: = U U( x1 ,x 2 , ,x n ) Hàm l ợi ích hay được s ử dụng là hàm Cobb – Douglas: α α α = 1 2 n α α α U ax1 x 2 x n (1 , 2 , , n là các h ằng s ố d ươ ng). 3.1.4. Điểm cân b ằng +) Mức thu nh ập qu ốc dân cân b ằng Y ph ụ thu ộc vào chi tiêu c ủa Chính ph ủ G0 , = lượng đầ u t ư I0 và xu ất kh ẩu X0 : Y fG,I,X( 0 0 0 ) . +) Mức lãi su ất cân b ằng r ph ụ thu ộc vào chi tiêu c ủa Chính ph ủ G0 và l ượng cung ti ền M0 : 80
= r gG,M( 0 0 ) . 3.1.5. Hàm cung, c ầu th ị tr ường n hàng hóa liên quan Mức cung và m ức c ầu đố i v ới m ột lo ại hàng hoá trên th ị tr ường không nh ững ch ỉ ph ụ thu ộc vào giá hàng hoá đó mà còn b ị chi ph ối b ởi giá c ủa các hàng hoá liên quan và thu nh ập c ủa ng ười tiêu dùng. Trên th ị tr ường n hàng hoá liên quan hàm cung và hàm c ầu đố i với hàng hoá i có d ạng (gi ả thi ết thu nh ập không thay đổ i): Q= S( P,P, ,P ) Si i12 n Q= D( P,P, ,P ) Di i12 n Trong đó, Q là l ượng cung hàng hoá i, Q là l ượng c ầu hàng hoá i, P là giá c ủa Si Di i hàng hoá i ( i= 1, 2,3, , n ) . =− =− Ví d ụ 1. Cho các hàm c ầu: Q1 40 P 12 ; Q 30 0,5P 2 . Hãy l ập hàm doanh thu. Gi ải Từ hai hàm c ầu thu ận ta suy ra hai hàm c ầu đả o nh ư sau: =− =− P1 40 Q 12 ; P 60 2Q 2 Hàm doanh thu g ộp TRQ,Q( ) = PQ + PQ 12 11 22 =− + − (40 Q)Q11 (60 2Q 22 )Q hay =−−2 2 + + TRQ,Q( 12) Q 1 2Q 2 40Q 1 60Q 2 = 0,3 0,4 = Ví d ụ 2. Cho hàm s ản xu ất: QK,L( ) 10K L . Giá thuê m ột đơ n v ị vốn pK 3 USD, = = giá thuê m ột đơ n v ị lao động pL 2 USD và giá s ản ph ẩm là P 4 USD. Hãy l ập hàm lợi nhu ận. Gi ải Hàm doanh thu: TR( K,L) = PQ = 40K0,3 L 0,4 Hàm chi phí : = + =+ TCK,L( ) pKK pL L 3K 2L Hàm l ợi nhu ận: π=(K,L) TRK,L( ) − TCK,L( ) = 40K0,3 L 0,4 −− 3K 2L. 81
3.2. Áp d ụng đạo hàm riêng và vi phân toàn ph ần vào phân tích kinh t ế và kinh doanh 3.2.1. Đạo hàm riêng và giá tr ị cận biên = ( ) Xét mô hình hàm kinh t ế: w f x1 ,x 2 , ,x n trong đó x1 ,x 2 , ,x n ,w là các bi ến kinh t ế. ( ) Đạo hàm riêng c ủa hàm s ố w theo bi ến xi tại điểm X x1 ,x 2 , ,x n được g ọi là giá tr ị c ận biên c ủa hàm w theo bi ến x tại điểm đó. Ngh ĩa là, w/ ( x ,x , ,x ) bi ểu di ễn i xi 12 n xấp x ỉ l ượng thay đổ i giá tr ị c ủa bi ến w khi giá tr ị xi thay đổi 1 đơ n v ị trong điều ki ện giá tr ị các bi ến độ c l ập còn l ại không thay đổ i. 3.2.1.1. Hàm s ản xu ất: Q= f( K,L ) Có các đạo hàm riêng: ∂Q ∂ Q Q/= ;Q / = K∂K L ∂ L được g ọi t ươ ng ứng là hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa v ốn (t ư b ản) (ký hi ệu: MPK ) và hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa lao độ ng (ký hi ệu: MPL ) t ại điểm (K,L ). Ý ngh ĩa của các đạ o hàm riêng /= / ( ) +) QK f K K,L : bi ểu di ễn x ấp x ỉ l ượng s ản ph ẩm hi ện v ật gia t ăng khi s ử d ụng thêm m ột đơn v ị v ốn (t ư b ản) và gi ữ nguyên m ức s ử d ụng lao độ ng. /= / ( ) +) QL f L K,L : bi ểu di ễn x ấp x ỉ l ượng s ản ph ẩm gia t ăng khi s ử d ụng thêm m ột đơ n v ị lao độ ng và gi ữ nguyên m ức sử d ụng v ốn. Ví d ụ 3. Gi ả s ử hàm s ản su ất c ủa m ột doanh nghi ệp là: 1 3 Q() K,L= 20K4 L 4 Trong đó: K, L, Q là m ức s ử d ụng v ốn, m ức s ử d ụng lao độ ng và s ản l ượng hàng ngày. a) Gi ả s ử doanh nghi ệp đó đang s ử d ụng 16 đơ n v ị v ốn và 81 đơ n v ị lao độ ng trong một ngày t ức K= 16, L = 81. Sản l ượng c ận biên c ủa v ốn là: ( ) =/( ) =− 0,750,75 = MPK16,81 fK 16,81 5.16( 81) 16,875 Sản l ượng c ận biên c ủa lao độ ng là: 82
()()=/ = 0,25− 0,25 = MPL16,81 fL 16,81 15.16( 81) 10 Ngh ĩa là, n ếu doanh nghi ệp t ăng m ức s ử d ụng v ốn K từ 16 lên 17 đơ n v ị và gi ữ nguyên m ức s ử d ụng lao độ ng L= 81 trong m ột ngày, thì s ản l ượng t ăng thêm x ấp x ỉ 16,875 đơn v ị s ản ph ẩm. T ươ ng t ự, n ếu gi ữ nguyên m ức s ử d ụng v ốn K= 16 và t ăng m ức sử d ụng lao độ ng L từ 81 lên 82 trong m ột ngày thì s ản l ượng t ăng thêm x ấp x ỉ 10 đơ n v ị sản ph ẩm. = = b) T ại K0 16, L 0 81 , n ếu gi ảm v ốn K xu ống 0,5 đơ n v ị và tăng lao động L lên 2 đơ n v ị thì Q sẽ thay đổ i nh ư th ế nào? ∆≈( ) /( ) ∆+ / ( ) ∆ Q fK00 K,L Kf L00 K,L L hay 135 185 ∆()Q ≈ .( − 0,5) +⋅= 10 2 > 0 8 16 Vậy Q sẽ t ăng x ấp x ỉ 185/16 đơn v ị. = ( ) 3.2.1.2. Hàm l ợi ích: U U x1 ,x 2 , ,x n Đạo hàm riêng c ủa hàm l ợi ích đố i v ới các bi ến độ c l ập là: ∂U MU= (i = 1,2, ,n) i ∂ xi MUi : được gọi là l ợi ích c ận biên c ủa hàng hoá th ứ i. ( ) Ý ngh ĩa. Đạo hàm riêng MU i tại điểm X x1 ,x 2 , ,x n bi ểu di ễn x ấp x ỉ l ợi ích tăng thêm khi ng ười tiêu dùng có thêm m ột đơn v ị hàng hoá th ứ i trong điều ki ện s ố đơn vị các hàng hoá khác không thay đổi. Ví d ụ 4. Gi ả s ử hàm tiêu dùng hàng ngày c ủa m ột ng ười tiêu dùng đối v ới hai lo ại hàng hoá được cho nh ư sau: ( ) = 3 Ux,x12 2 x 12 x Trong đó: x1 , x 2 lần l ượt là m ức s ử d ụng hàng hoá 1 và hàng hoá 2, U là l ợi ích c ủa ng ười tiêu dùng hàng ngày. Gi ả s ử ng ười tiêu dùng đang s ử d ụng 64 đơ n v ị hàng hóa 1 và 25 đơ n v ị hàng hoá 2 trong m ột ngày. +) Lợi ích c ận biên c ủa hàng hoá 1 đối v ới ng ười tiêu dùng là: 83
2 1 ∂U 2−  5 MU=() 64,25 = 64253 2  =≈ 0,21 1 ∂   x1 3  24 +) Lợi ích c ận biên c ủa hàng hoá 2 đối v ới ng ười tiêu dùng là: 1 1 ∂U −  MU=() 64,25 = 64253 2  = 0,8 2 ∂   x2   = Ngh ĩa là, n ếu ng ười tiêu dùng t ăng m ức s ử d ụng hàng hoá 1 thêm m ột đơn v ị x1 65 và gi ữ nguyên m ức s ử d ụng hàng hoá 2 trong m ột ngày thì l ợi ích t ăng thêm kho ảng 0,21 đơ n v ị. T ươ ng t ự, n ếu gi ữ nguyên m ức s ử d ụng hàng hoá 1 và t ăng m ức s ử d ụng hàng hoá 2 thêm 1 đơ n v ị trong m ột ngày thì l ợi ích t ăng thêm kho ảng 0,8 đơ n v ị. Ví d ụ 5. Ng ười ta ước l ượng hàm s ản xu ất hàng ngày c ủa m ột doanh nghi ệp nh ư sau: Q( K,L) = 80 K.3 L . a) V ới K= 25 và L= 64 hãy cho bi ết m ức s ản xu ất hàng ngày c ủa doanh nghi ệp. b) B ằng các đạ o hàm riêng c ủa Q, cho bi ết n ếu doanh nghi ệp: +) Sử d ụng thêm m ột đơn v ị lao độ ng m ỗi ngày và gi ữ nguyên m ức K= 25 thì sản l ượng s ẽ thay đổ i là bao nhiêu? +) Ng ược l ại, n ếu s ử d ụng thêm m ột đơn v ị v ốn m ỗi ngày và gi ữ nguyên m ức L= 64 thì s ản l ượng s ẽ thay đổ i b ằng bao nhiêu? c) N ếu giá thuê m ột đơn v ị v ốn K là 12 USD, giá đơ n v ị L là 2,5 USD và doanh nghi ệp s ử d ụng các y ếu t ố đầ u vào ở m ức nêu trong câu a) thì doanh nghi ệp nên s ử d ụng thêm m ột đơn v ị K hay thêm m ột đơn v ị L mỗi ngày? Gi ải a) M ức s ản xu ất hàng c ủa doanh nghi ệp khi K= 25 và L= 64 là: Q= 80. 25.3 64 = 80.5.4 = 1600 (đvsp). b) Các đạo hàm riêng c ủa hàm s ản xu ất: +) Đạo hàm riêng c ủa Q theo K và c ủa Q theo L : / () = 1 1 3 QK K,L 80 L; 2 K / () = 1 1 QL K,L 80 K . 3 3 L2 84
Tại m ức K= 25 và L= 64 , ta có 25 Q/()() 25,64= 32; Q / 25,64 = ≈ 8,3 K L 3 +) N ếu gi ữ nguyên m ức s ử d ụng v ốn K= 25 và s ử d ụng thêm m ột đơn v ị lao động m ỗi ngày thì s ản l ượng t ăng m ột l ượng x ấp x ỉ là 8,3 đơ n v ị. +) N ếu gi ữ nguyên m ức s ử d ụng lao độ ng L= 64 và sử d ụng thêm m ột đơn v ị vốn m ỗi ngày thì s ản l ượng thay đổ i m ột l ượng x ấp x ỉ là 32 đơ n v ị. c) V ới các gi ả thi ết đã cho thì doanh nghi ệp nên s ử d ụng thêm m ột đơn v ị lao độ ng MPL 25/3 MPK 32 mỗi ngày. Vì ta có = > = . pL 2,5 p K 12 3.2.2. Đạo hàm riêng và h ệ số co dãn = ( ) Cho mô hình hàm kinh t ế: w f x,x1 2 , ,x n ( ) Hệ s ố co dãn c ủa w theo bi ến xi tại điểm x1 ,x 2 , ,x n là s ố đo l ượng thay đổ i tính b ằng ph ần tr ăm c ủa w khi xi thay đổi 1% trong điều ki ện giá tr ị c ủa các bi ến độ c lập khác không thay đổ i, được ký hi ệu và xác định nh ư sau: ∂f( x ,x , ,x ) x ε = 1 2 n .i . w x i ∂ () xi f x,x, ,x 12n Ví d ụ 6. Gi ả s ử hàm c ầu c ủa hàng hoá 1 trên th ị tr ường hai hàng hoá liên quan có d ạng = −2 − 5 2 sau: Q() P,P 6300 2P1 P . Trong đó, P , P tươ ng ứng là giá c ủa hàng hoá 1, 2 D121 3 2 1 2 . Tính h ệ s ố co dãn c ủa c ầu theo giá t ại điểm (20,30 ) . Gi ải ( ) Hệ s ố co dãn c ủa c ầu theo giá P1 đối v ới giá c ủa hàng hoá đó t ại th ời điểm P1 ,P 2 ∂Q ε =D1 P1 =− P 1 4P1 . QD P 1 ∂ 1 P1 Q D −2 − 5 2 1 6300 2P1 P 3 2 Hệ s ố co dãn c ủa c ầu đố i v ới hàng hoá th ứ nh ất theo giá hàng hoá th ứ hai P2 tại th ời ( ) điểm P1 ,P 2 là: 10 P ε = − P . 2 Q P 2 D1 2 3 −2 − 5 2 6300 2P1 P 3 2 85
Tại điểm ( ) ta có: ε =−0,4; ε =− 0,75 . 20,30 QP QP D11 D2 1 Điều này có ngh ĩa là khi hàng hoá 1 đang ở m ức giá 20 và hàng hoá 2 ở m ức giá 30 nếu t ăng giá hàng hoá 1 lên 1% còn giá hàng hoá 2 không đổi thì c ầu đố i v ới hàng hoá 1 sẽ gi ảm 0,4 %, t ươ ng t ự, n ếu giá c ủa hàng hoá 1 không thay đổi nh ưng giá c ủa hàng hoá hai t ăng thêm 1% thì c ầu đố i v ới hàng hoá 1 cũng gi ảm 0,75 %. Ví d ụ 7. Gi ả s ử hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp có d ạng: 1 2 Q() K,L= 120K3 L 3 . a) Khi đó h ệ s ố co dãn c ủa s ản l ượng theo v ốn t ại th ời điểm (K,L ) là: 2 2 − K 40 1 ε=40KL.3 3 == . QK 1 2 120 3 120K3 L 3 Khi đó h ệ s ố co dãn c ủa s ản l ượng theo lao độ ng t ại th ời điểm (K,L ) là: 1− 1 ε=3 3 L == 80 2 QL 80KL. . 1− 2 120 3 120K3 L 3 Nh ận xét Nếu mô hình hàm s ố kinh t ế có d ạng mô hình hàm Cobb –Douglass thì h ệ s ố co dãn của w theo xk đúng b ằng lu ỹ th ừa c ủa xk . b) T ại m ức s ử d ụng (K,L ) nếu gi ảm v ốn K xu ống 2% và tăng lao động L lên 3% thì Q sẽ thay đổ i nh ư th ế nào? Ta có 1 2 4 ∆≈−εQ(2). +ε 3. =− (2). + 3. => 0 QK QL 3 3 3 Do đó s ản l ượng Q tăng x ấp x ỉ (4/3)%. c) Tại m ức s ử d ụng (K,L ) nếu tăng v ốn K lên 2% và gi ảm lao độ ng L xu ống 3% thì Q sẽ thay đổ i nh ư th ế nào? Ta có 1 2 4 ∆≈εQ2. −ε 3. = 2. − 3. =−< 0 QK QL 3 3 3 Do đó s ản l ượng Q gi ảm x ấp x ỉ (4/3)%. 86
3.2.3. Đạo hàm riêng c ấp 2 và quy lu ật l ợi ích biên gi ảm d ần Xét mô hình hàm kinh t ế hai bi ến s ố: z= f( x,y ). /= / ( ) +) zx f x x,y: là hàm c ận biên c ủa mô hình hàm kinh t ế trên theo bi ến x. /= / ( ) +) zy f y x,y: là hàm c ận biên c ủa mô hình hàm kinh t ế trên theo bi ến y. Trong kinh t ế h ọc, quy lu ật l ợi ích c ận biên gi ảm d ần nói r ằng: giá tr ị z − cận biên của bi ến x gi ảm d ần khi x tăng y không đổi. T ươ ng t ự, cho giá tr ị z − cận biên c ủa bi ến y gi ảm d ần khi y tăng và x không đổi (Chú ý: chúng ta xét trong điều ki ện giá tr ị c ủa các bi ến x, y là đủ l ớn). Cơ s ở toán h ọc: /= / ( ) //= // ( ) , 0 ) Hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa v ốn: /( ) = α α− 1 β QK K,L aK L. Hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa lao độ ng: /( ) = β α β− 1 QL K,L aKL . Bi ểu hi ện c ủa quy lu ật l ợi ích c ận biên gi ảm d ần:  //( ) =αα−( ) α− 2 β 0). Hàm s ố trên có tuân theo quy lu ật l ợi ích c ận biên gi ảm d ần hay không. Gi ải Đạo hàm riêng c ấp 1 của hàm U theo bi ến x và theo y 87
/( ) =− / ( ) =− Ux x,y 15y 4x;U y x,y 15x 6y Đạo hàm riêng c ấp 2 của hàm U theo x và theo y //( ) =− 0;0 − 1; 1)     Luôn là hàm thu ần nh ất c ấp 1. Vì ∀t ≠ 0 . Ta tính toán giá tr ị c ủa hàm Q( K,L ) tại điểm (tK, tL ) − β −1 − 1  β β Q(tK,tL)= A α .(tK) +−α (1 )(tL)      − β −1 − 1  β β ⇔Q(tK,tL) =α+−α tA .K (1 )L  = tQ(K,L)     2xy Ví d ụ 12. Hàm s ố z() x,y = là hàm thu ần nh ất c ấp 0. Vì ∀t ≠ 0 . x2− y 2 Ta tính toán giá tr ị c ủa hàm z( x,y ) tại điểm (tx, ty ) . 2(tx)(ty) 2xy z(tx,ty)= = = tz(x,y)0 (tx)2− (ty) 2 x 22 − y 3.2.4.2. Vấn đề hi ệu qu ả c ủa quy mô 88
Xét hàm s ản xu ất Q= f( K,L.) Với K, L là các y ếu t ố đầ u vào; Q là y ếu t ố đầ u ra +) Nếu Q( mK,mL) > mQ( K,L ) thì chúng ta nói hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả t ăng theo quy mô. +) Nếu Q( mK,mL) 1 thì hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả t ăng theo quy mô. +) Nếu k 1 thì nó có hi ệu qu ả t ăng theo quy mô. +) Nếu (α + β ) < 1 thì nó có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô. +) Nếu (α + β ) = 1 thì nó có hi ệu qu ả không đổ i theo quy mô. 3.2.4.4. Liên h ệ v ới đạ o hàm riêng – Công th ức Euler Định lý (Công th ức Euler). Hàm s ố z= f( x,y ) là hàm thu ần nh ất c ấp k khi và ch ỉ ⋅/( ) +⋅ / ( ) =⋅ ( ) khi xzx x,y yz y x,y kzx,y. Với z= f( x,y ) được gi ả thi ết là hàm liên t ục và có các đạo hàm riêng liên t ục. 3.2.5. Đạo hàm của hàm ẩn và áp d ụng phân tích kinh t ế 3.2.5.1. Khái ni ệm hàm ẩn Nếu giá tr ị c ủa hai bi ến x, y quan h ệ v ới nhau b ởi h ệ th ức F( x,y) = 0 (*), trong đó F( x,y ) là hàm hai bi ến xác đị nh trên mi ền D ⊂ ℝ2 . Nếu ∀x ∈ X, tồn t ại hàm s ố y= f( x ) th ỏa mãn h ệ th ức (*), thì ta nói h ệ th ức này xác định hàm ẩn y= f( x ) trên t ập X. 89
Ví d ụ 15. Xét h ệ th ức Fx,y( ) = x2 + y 2 −= 1 0 ( ) Với ∀x ∈[ − 1,1 ] ta có yx() = ± 1x − 2 Vậy hàm y= 1 − x 2 với ∀x ∈[ − 1,1 ] và hàm y= − 1 − x 2 với ∀x ∈[ − 1,1 ] là các hàm ẩn xác đị nh b ởi h ệ th ức ( ). 3.2.5.2. Định lý hàm ẩn ( ) Cho hàm hai bi ến F( x,y ) xác định trong một lân c ận c ủa điểm x0 , y 0 và ( ) = ( ) / ( ) ≠ F x0 , y 0 0, gi ả thi ết r ằng F x,y có các đạo hàm riêng liên t ục và Fy x,y 0 tại m ọi ( ) = điểm (x, y ) thu ộc hàm lân c ận c ủa x0 , y 0 ; Khi đó t ồn t ại duy nh ất hàm liên t ục y f( x ) xác định trong m ột lân c ận c ủa x0 th ỏa mãn điều ki ện: = ( ) ( )  = y0 fx 0 ,Fx,fx  0 F/ ( x,y ) và y/ = − x (công th ức đạ o hàm c ủa hàm ẩn) x / () Fy x,y Ví d ụ 16. Cho hàm s ố: Fx,y( ) = x2 + y 2 −= 1 0 ( ) Xác định hai hàm ẩn liên t ục y= 1 − x 2 và y= − 1 − x 2 với ∀x ∈[ − 1,1] . ( ) = ( ) = = − 2 Tại điểm x0 , y 0 0,1 ta có F( 0,1) 0. Khi đó ch ỉ có hàm ẩn y 1 x tho ả mãn điều ki ện y0( ) = 1. Sử d ụng công th ức tính đạo hàm c ủa hàm ẩn. Tính đạo hàm c ủa y theo x. Đạo hàm riêng c ủa F theo x và theo y /( ) = / ( ) = Fx x,y 2x;F y x,y 2y Đạo hàm c ủa y theo x: F/ ( x,y ) x y/ =−x =− x / () Fy x,y y () = − 2 / =−x =− x +) Nếu yx 1x thì yx 1− x 2 y 90
() = − − 2 / =x = − x +) Nếu yx 1x thì yx 1− x 2 y = ( ) Ví d ụ 17. Cho hàm c ầu D D P,Y 0 (v ới P là giá, Y 0 là m ức thu nh ập) và hàm cung S= S( P ) với các gi ả thi ết D/ 0 , S/ > 0 . P Y0 Gi ả s ử giá cân b ằng P ph ụ thu ộc m ức thu nh ập Y0 là hàm ẩn bi ểu di ễn b ởi h ệ th ức: ( ) =( ) −( ) = FP,Y0 DP,Y 0 SP 0 ( ) Khi đó: F/( P,Y) D / ( P,Y ) P/ =−Y00 = Y0 0 > 0 Y0 /() /() − / () FP0 P,Y S P D P0 P,Y điều đó nói nên r ằng giá cân b ằng s ẽ thay đổ i cùng chi ều v ới thu nh ập (ch ẳng h ạn khi thu nh ập Y0 tăng thì s ẽ kéo theo giá cân b ằng t ăng). Ví d ụ 18. Giá m ột lo ại hàng P và chênh l ệch cung – cầu S liên h ệ v ới nhau b ởi ph ươ ng trình: SP− 0,1P2 lnS = c (c là h ằng s ố) Sử d ụng công th ức đạ o hàm c ủa hàm ẩn để tính t ốc độ thay đổ i c ủa giá khi chênh lệch cung c ầu thay đổ i? Gi ải: Đặt: FP,S( ) =− SP 0,1P2 lnS −= c 0 Ta có Đạo hàm riêng c ủa F theo S : 1 F/() S,P= P − 0,1.P 2 . S S Đạo hàm riêng c ủa F theo P : / ( ) = − FP S,P S 0,2P.lnS. Tốc độ thay đổ i c ủa giá khi chênh l ệch cung c ầu thay đổ i: − 2 1 ∂ ∂P 0,1.P . − 2 / =−F / S =−S =− P.S 0,1P PS . ∂F / ∂ P S − 0,2P.lnS S2 − 0,2.P.S.lnS 91
3.2.6. Hai hàng hóa có tính ch ất thay th ế ho ặc b ổ sung =( ) = ( ) Gi ả s ử Q1 D 112 P,P ;Q 2 D 212 P,P là hàm c ầu c ủa hai lo ại hàng hóa, P1 ,P 2 th ứ t ự là giá c ủa hai hàng hóa đó. Theo tính ch ất c ủa hàm c ầu hàng hóa thông th ường: giá t ăng thì c ầu gi ảm, chúng ta có: ∂D ∂ D 1 0 & 2 > 0 thì hai hàng hóa có tính ch ất thay th ế. ∂ ∂ P2 P 1 Ví d ụ 19. Gi ả s ử hàm c ầu c ủa hai hàng hóa cho b ởi: 8 DP,P() = 300 + − 4P; 112+ 2 P1 2 7 DP,P() = 2003P − + . 212 1 + P2 4 ∂D Đạo hàm riêng c ủa D theo P : 1 ()P,P= − 4 1 2 ∂ 1 2 P2 ∂D Đạo hàm riêng c ủa D theo P : 2 ()P,P= − 3 2 1 ∂ 1 2 P1 ∂D ∂ D Chúng ta có 1=− 10& 2 => 20 , do đó hai hàng hóa này có tính ch ất thay ∂ ∂ P2 P 1 th ế được cho nhau. 92
3.2.7. Bài t ập Bài s ố 1. Cho hàm l ợi ích : Ux,y( ) = 12xy −− 2x2 y 2 ( x,y > 0 ) = = 1) Tại x0 50, y 0 60 , n ếu x tăng thêm 1 đơ n v ị và y không đổi thì lợi ích thay đổi nh ư th ế nào? = = 2) Tính MU y tại x0 50, y 0 60 và gi ải thích ý ngh ĩa k ết qu ả nh ận được. =MU x () = = 3) Tính t ỉ số MRTSyx x 0 50,y 0 60. MU y = = 4) Tại x0 50, y 0 60 , n ếu x tăng thêm 0,5 đơ n v ị và y gi ảm 1,5 đơ n v ị thì lợi ích thay đổi nh ư th ế nào? ( ) = ( ) = Đáp s ố : 1) MUx 50,60 520; 2) MUy 50,60 1480; 13 3) MRTS() 50,60= ; 4) ∆U( 50,60) = − 460. yx 12 = 0,2− 0,3 Bài s ố 2. Cho hàm c ầu : QD 0,4Y P ( Y là thu nh ập, P là giá). Hãy tính h ệ s ố co dãn c ủa c ầu theo giá và c ủa c ầu theo thu nh ập. Đáp s ố : ε =0,2; ε =− 0,3. Q|YD Q|P D Bài s ố 3. Cho hàm s ản xu ất có d ạng: QK,L( ) = 12KL −− 2K2 3L 2 ( K,L > 0.) Hàm s ản xu ất trên có hi ệu qu ả t ăng, gi ảm hay không đổ i theo quy mô? Gi ải thích. Đáp s ố : Hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả t ăng theo quy mô. 2 1 Bài s ố 4. Cho hàm s ản xu ất có d ạng: QK,L() = 120K3 L2 () K,L > 0 1) Tính MPK và MPL tại K = 1000 và L = 225. Nêu ý ngh ĩa k ết qu ả nh ận được. MPK 2) Tính t ỉ số MRTS= ,() K = 1000,L = 225. LKMPL 0 0 3) Tính h ệ số co dãn c ủa s ản l ượng theo v ốn K và theo lao động L. 4) Nếu gi ữ nguyên m ức s ử dụng v ốn K, tăng m ức s ử dụng lao động L thêm 4% thì s ản lượng Q thay đổi nh ư th ế nào? 5) Nếu t ăng m ức s ử dụng v ốn K thêm 3% và gi ảm m ức s ử dụng lao động L xu ống 2% thì s ản l ượng Q thay đổi nh ư th ế nào? ( ) =( ) = = Đáp s ố : 1) MPK 1000,225 120; MPL 1000,225 400; 2) MRTSLK 0,3; 93
2 1 3) ε =; ε = ; 4) Sản l ượng s ẽ t ăng 2%; 5) S ản l ượng s ẽ t ăng 1%. Q|K3 Q|L 2 1 2  2 Bài s ố 5. Cho hàm s ản xu ất có d ạng: QK,L() = K0,5 + L 0,5  với K là v ốn và L là 3 3  lao động. 1) Tìm hàm n ăng su ất c ận biên c ủa v ốn và lao động. 2) Hàm s ản xu ất trên có hi ệu qu ả tăng theo qui mô không? 112 − 212   − Đáp s ố : 1) MPK=+ K0,5 LK;MPL 0,5  0,5 =+  K 0,5 LL; 0,5  0,5 333  333   2) Hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô. Bài s ố 6. Gi ả s ử hàm c ầu c ủa hai hàng hóa cho b ởi: = − − = − − Q1 55 2P 1 P 2 ; Q2 40 P 1 P 2 Sử d ụng đạ o hàm riêng cho bi ết hai hàng hóa có tính ch ất thay th ế hay bổ sung? Đáp s ố : Hàng hóa có tính b ổ sung. Bài số 7. Cho hàm s ản xu ất Y(t)= 0,7K0,5 L 0,7 . Với K=+ 120 0,2t; L =+ 100 0,1t 1) Tính h ệ số tăng tr ưởng c ủa v ốn K, lao động L và Y. 2) Tính h ệ số co dãn c ủa Y theo K và Y theo L. 3) Hãy cho bi ết hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất trong tr ường h ợp này. 0,2 0,1 0,1 0,07 Đáp s ố : 1) r= ;r = ;r =+ ; K120+ 0,2t L 100 + 0,1t Y 120 ++ 0,2t 100 0,1t ε = ε = 2) YK0,5; YL 0,7 ; 3) Tăng quy mô s ản xu ất có hi ệu qu ả. Bài s ố 8. Thu nh ập qu ốc dân (Y) của m ột qu ốc gia có d ạng: Y= 0,48K0,4 L 0,3 NX 0,01 Trong đó: K là v ốn, L là lao động và NX là xu ất kh ẩu ròng. 1) Khi t ăng 1% lao động s ẽ ảnh h ưởng nh ư th ế nào đến thu nh ập qu ốc dân? Có ý ki ến cho r ằng gi ảm m ức lao động xu ống 2% thì có th ể tăng xu ất kh ẩu ròng 15% mà thu nh ập v ẫn không đổi, cho bi ết điều này đúng hay sai? 2) Cho nh ịp t ăng tr ưởng c ủa NX là 4%, c ủa K là 3%, c ủa L là 5%. Xác định nh ịp tăng tr ưởng c ủa Y. = Đáp s ố: 1) Thu nh ập qu ốc dân t ăng 0,3%; sai; 2) rY 2,74%. 94
3.3. Mô hình c ực tr ị không có điều ki ện ràng bu ộc (t ự do) nhi ều bi ến trong kinh t ế 3.3.1. Xác định qu ỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, l ợi nhu ận Cho hàm s ản xu ất Q= f( K,L ) và giá bán s ản ph ẩm P. Bi ết giá thuê m ột đơn v ị vốn là pK và giá thuê m ột đơn v ị lao động là pL . Bài toán 1. Xác định m ức s ử d ụng v ốn K và lao động L để s ản l ượng Q cực đại/t ối đa. Bài toán được đưa v ề bài toán c ực tr ị t ự do c ủa hàm s ản xu ất v ới hai bi ến K và L. Bài toán 2. Hãy xác định m ức s ử d ụng v ốn K và lao động L để l ợi nhu ận c ực đạ i /t ối đa. Chúng ta c ần xác đị nh hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm l ợi nhu ận. +) Hàm doanh thu : TR( K,L) = P.Q = P.f( K,L ) = ⋅+ ⋅ +) Hàm chi phí : TCK,L( ) pK K p L L π =−=⋅ −⋅−⋅ +) Hàm l ợi nhu ận : (K,L) TR TC PQK,L( ) pK K p L L Bài toán được đưa v ề bài toán c ực tr ị t ự do c ủa hàm l ợi nhu ận v ới hai bi ến K và L. Ví d ụ 21. Ước l ượng hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp có d ạng: QK,L( ) =−−+ K3 8L 3 3KL + 200,( K > 0,L > 0 ) Hãy xác định m ức s ử d ụng v ốn và lao động để s ản l ượng c ực đạ i. Gi ải +) Bước 1. Tính các đạo hàm riêng c ấp 1 và c ấp 2 Đạo hàm riêng c ấp 1 /= − 2 + QK ( K, L) 3K 3L; /= − 2 + QL ( K,L) 24L 3K. Đạo hàm riêng cấp 2 //=− // =− QKK( K,L) 6K;Q LL ( K,L) 48L; //= // = QKL( K,L) Q LK ( K,L) 3. +) Bước 2 . Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng  / =  2 QK () K,L 0  −3K + 3L = 0 ⇔  /() = − 2 = QL K,L 0 3K 24L 0 95
 = 1 2  K L= K  2 K= 0 ⇔ ⇔  hay  (lo ại vì K> 0,L > 0 ) −4 = 1 L= 0 K 8K 0 L =  4 1 1  Hàm s ố có m ột điểm dừng M ,  2 4  1 1  +) Bước 3. Ki ểm tra điều ki ện đủ t ại M ,  2 4  1 1  1 1  A= Q//  ,  =− 30. KL24 LK  24 Xét định th ức −3 3 D= = 270 > và A< 0 3− 12 1 1  1 1  1601 Vậy hàm s ố đạ t c ực đạ i t ại M ,  với QQ,=  = . 2 4  max 2 4  8 Ví d ụ 22. Tìm K, L để hàm l ợi nhu ận sau đạ t giá tr ị c ực đạ i 2 1 π()K,L = 300K3 L4 −− 100K 150L Gi ải +) Bước 1. Tính các đạo hàm riêng c ấp 1 và c ấp 2 Đạo hàm riêng c ấp 1 −1 1 π/ =3 4 − K ()K, L 200K L 100; 2 − 3 π/ =3 4 − L ()K, L 75K L 150 Đạo hàm riêng c ấp 2 4 1 2 7 200 − 225 − π// ()K,L = − KL;3 4 π// ()K,L = − KL;3 4 KK 3 LL 4 −4 −3 π// =π // = 3 4 KL()()K,L LK K,L 50K L. +) Bước 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng 96
 −1 1 π/ = 3 4  K ()K,L 0 200K L− 100 = 0 ⇔  π/ () = 2 − 3 L K,L 0   75KL3 4 − 150 = 0  −1 1 200K3 L4 = 100() 1 ⇔   2 − 3  75KL3 4 = 150() 2 Lập t ỷ số hai ph ươ ng trình ta suy ra được: K= 4L (3) Th ế (3) vào (2), ta được 2 −3 − 1 −2 75() 4L3 L4= 150 ⇔ L 12 =⋅ 2 43 ⇔= L 16 (4) Thay (4) vào (3), ta được: K= 64 Hàm s ố có m ột điểm d ừng M( 64,16 ) +) Bước 3. Ki ểm tra điều ki ện đủ t ại M( 64,16 ) 4 1 200− 25 A=π// () 64,16 =− (64)(16)3 4 =− 0. KL LK 16 Xét định th ức − 25 25 48 16 625 D = = và A< 0 25− 225 512 16 32 π =π = Vậy hàm s ố đạ t c ực đạ i t ại M( 64,16 ) với max (64,16) 800. Ví d ụ 23. Cho hàm s ản xu ất c ủa doanh nghi ệp: QK,L( ) = 15K0,4 L 0,4 , trong đó Q là s ản lượng, K là v ốn và L là lao động. Vi ết hàm l ợi nhu ận. Tìm giá tr ị c ủa K và L th ỏa mãn điều ki ện c ần để c ực đạ i hàm l ợi nhu ận bi ết giá thuê m ột đơn v ị v ốn là 2 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là 4 USD và giá bán s ản ph ẩm là 1 USD . Gi ải Hàm l ợi nhu ận 97
π =−=− +=0,4 0,4 −− (K,L) TR TC PQ( pKK pL L ) 15K L 2K 4L +) Bước 1. Tính các đạo hàm riêng c ấp 1 và c ấp 2 Đạo hàm riêng c ấp 1 π/ =− 0,60,4 −π / = 0,40,6− − K(K,L) 6K L 2; L ( K,L) 6KL 4 . Đạo hàm riêng c ấp 2 π// =−− 1,60,4// π =− 0,41,6− KK(K,L) 3,6K L ; LL ( K,L) 3,6K L ; π// =π // = − 0,60,6 − KL(K,L) LK ( K,L) 2,4K L . +) Bước 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng − π/ ()K,L = 0   6K0,6 L 0,4 − 2 = 0 K ⇔  π/ () = 0,4− 0,6 − =  L K,L 0 6KL 4 0 − 6K0,6 L 0,4 = 2 (1) ⇔   − 6KL0,4 0,6 = 4 (2) Lập t ỷ s ố ph ươ ng trình (1) và ph ươ ng trình (2) ta được: K= 2L (3) Thế (3) vào (2), ta có − − 4 6(2L)0,4 L 0,6=⇔ 4 L 0,2 = ⇔= L 30,375(4) 6⋅ 2 0,4 Thay (4) vào (3), ta được: K= 60,75 Hàm s ố có m ột điểm d ừng M( 60,75; 30,375 ) +) Bước 3 . Ki ểm tra điều ki ện đủ t ại M( 60,75; 30,375 ) =π// =− −1,6 0,4 AKK ( 60,75; 30,375) 3,6(60,75) (30,375) ; =π// =− 0,4− 1,6 CLL ( 60,75; 30,375) 3,6(60,75) (30,375) ; = π// = −0,6 − 0,6 BKL ( 60,75; 30,375) 2,4(60,75) (30,375) . Xét định th ức A B − − D= = 7,2(60,75)1,2 (30,375) 1,2 > 0 và A< 0 B C 243 Vậy hàm s ố đạ t c ực đạ i t ại M( 60,75; 30,375 ) , v ới π=π()60,75;30,375 = . max 5 98
3.3.2. Xác định c ơ c ấu s ản ph ẩm để tối thi ểu hóa chi phí, t ối đa hóa doanh thu, l ợi nhu ận Bài toán 1. Hãng độc quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm v ới giá bán/hàm c ầu th ứ t ự = là P1 , P 2 và hàm chi phí kết h ợp TC TCQ,Q( 1 2 ) . Hãy xác định c ơ c ấu s ản ph ẩm/s ản lượng c ủa t ừng lo ại s ản ph ẩm để hãng có doanh thu/ l ợi nhu ận t ối đa. Chúng ta c ần xác đị nh hàm doanh thu/ l ợi nhu ận = + +) Hàm doanh thu : TRQ,Q( 1 2) P.Q 11 PQ 22 π = − +) Hàm l ợi nhu ận: (Q,Q12) TRQ,Q( 12) TCQ,Q( 12 ) Bài toán được đưa v ề bài toán c ực tr ị t ự do c ủa hàm doanh thu/hàm l ợi nhu ận v ới hai bi ến Q1 ;Q 2 . Bài toán 2. Hãng độc quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm nh ưng tiêu th ụ ở hai th ị = tr ường phân bi ệt v ới hàm c ầu ở t ừng th ị tr ường th ứ t ự l ần l ượt là P1 P(Q,Q 1 1 2 ) ; = = P2 P(Q,Q) 2 1 2 và hàm chi phí k ết h ợp TC TCQ,Q( 1 2 ) . Hãy xác định l ượng cung ở từng th ị tr ường để hãng có doanh thu/ l ợi nhu ận t ối đa. Chúng ta c ần xác đị nh hàm doanh thu/ l ợi nhu ận = + +) Hàm doanh thu : TRQ,Q( 1 2) PQ 11 PQ 22 π = − +) Hàm l ợi nhu ận: (Q,Q12) TRQ,Q( 12) TCQ,Q( 12 ) Bài toán được đưa v ề bài toán c ực tr ị t ự do c ủa hàm doanh thu/hàm l ợi nhu ận v ới hai bi ến Q1 , Q 2 . Ví d ụ 24. Một hãng độc quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. Cho bi ết hàm c ầu đố i v ới hai lo ại s ản ph ẩm đó nh ư sau: = − =− Q1 1300 P 12 ; Q 675 0,5P 2 =2 + + 2 và hàm chi phí k ết h ợp là TCQ,Q( 12) Q 1 3QQ 12 Q 2 . Hãy cho bi ết m ức s ản l ượng Q1 ,Q 2 và các giá bán t ươ ng ứng để doanh nghi ệp đó thu được l ợi nhu ận t ối đa. Gi ải +) Bước 1. Lập hàm l ợi nhu ận Từ các hàm c ầu thu ận ta suy ra hàm c ầu đả o: = − = − P1 1300 Q 12 ; P 1350 2Q 2 Hàm l ợi nhu ận c ủa doanh nghi ệp 99
π =+ − (Q,Q12) PQ 1122 PQ TCQ,Q( 12 ) Hay π =−−+2 2 + − (Q,Q12) 2Q 12 3Q 1300Q 1 1350Q 212 3QQ π Vậy bài toán tr ở thành tìm điểm c ực đạ i c ủa hàm (Q1 ,Q 2 ) . +) B ước 2. Tính các đạ o hàm riêng c ấp 1 và c ấp 2 π/ =−− + Q12(Q ,Q) 4Q 1 3Q 2 1300; 1 π/ ()Q ,Q =−− 3Q 6Q + 1350; Q122 1 2 π//(Q ,Q) =−π 4; //( Q ,Q) =−π=− 6; // 3. QQ1211 QQ 22 12 QQ 12 +) Bước 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng π/ ( ) =  QQ,Q 1 2 0 −−+4Q 3Q 1300 = 0  Q = 250 1 ⇔ 1 2 ⇔  1 / −−+= = π()Q,Q = 0 3Q1 6Q 2 1350 0  Q 2 100  Q2 1 2 Vậy hàm s ố có m ột điểm d ừng là M( 250,100) . Bước 4. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại M( 250,100) . A=π//( 250,100) =−=π 4; C // ( 250,100) =− 6; QQ1 1 QQ2 2 B=π//( 250,100) =π // ( 250,100) =− 3. QQ12 QQ 21 Xét định th ức −4 − 3 D= = 150 > và A= − 4 < 0 −3 − 6 nên M( 250, 100 ) là điểm c ực đạ i c ủa hàm π . Bước 5. Kết lu ận: Doanh nghi ệp c ần bán hàng v ới m ức s ản l ượng cho m ỗi s ản ph ẩm và giá c ả t ươ ng ứng là = = −= Q1 250; P 1 1300 250 1050 ; = = −= Q2 100; P 2 1350 200 1150 để thu được l ợi nhu ận t ối đa là π=π = max (250,100) 230000. Ví d ụ 25. Cho bi ết hàm l ợi nhu ận c ủa m ột doanh nghi ệp s ản xu ất ba lo ại s ản ph ẩm là π=−−−2 2 2 + + + + Q123 3Q 7Q 300Q 2 1200Q 313 4Q Q 20 100
Hãy tìm m ức s ản l ượng Q1 ,Q 2 ,Q 3 để doanh nghi ệp thu được l ợi nhu ận t ối đa. Gi ải +) Bước 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng π/ = Q 0 − + = =  1 2Q1 4Q 3 0 Q1 400    π=⇔−+/ 0  6Q 300 =⇔ 0  Q = 50 Q2 2 2  −++=  = π/ = 0  14Q3 4Q 1 1200 0 Q 3 200  Q3 Vậy hàm số có m ột điểm d ừng là M( 400,50,200) . +) Bước 2. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại M( 400,50,200) . a=π// ( 400,50,200) =− 2; 11 Q1 Q 1 a=π// () 400,50,200 =− 6; 22 Q2 Q 2 a=π// () 400,50,200 =− 14; 33 Q3 Q 3 a==π a// ( 400,50,200) = 0; 12 21 Q1 Q 2 a==π a// () 400,50,200 = 4; 13 31 Q1 Q 3 a= a = π // () 400,50,200. 23 32 Q2 Q 3 Xét ma tr ận Hess t ại điểm d ừng M( 400,50,200 ) −2 0 4  = −  H 0 6 0    4 0− 14  Từ ma tr ận H thành l ập các ma tr ận con t ươ ng ứng −2 0  =− = = H1 (2);H 2  ;H 3 H 0− 6  =− =−< Ta có H1 2 0;H 2 12 0;H 3 72 0 =−< =− < Xét H12 H 24 0; H 23 H 864 0 nên M( 400,50,200 ) là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố π . +) Bước 3 . Kết lu ận : Doanh nghi ệp c ần bán các m ặt hàng v ới s ố l ượng = = = Q1 400; Q 2 50; Q 3 200 để thu được l ợi nhu ận t ối đa là : π=π = max (400,50,200) 127520. 101
3.3.3. Bài t ập Bài s ố 1. Cho bi ết hàm l ợi nhu ận c ủa m ột doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm được cho nh ư sau: π = −−2 −+ 2 − (Q,Q12) 160Q 11 3Q 2QQ 12 2Q 2 120Q 2 18 . Hãy tìm m ức s ản l ượng Q1 ,Q 2 để doanh nghi ệp đạ t được l ợi nhu ận t ối đa. π =π = Đáp s ố : max (20;20) 2782. Bài s ố 2. Một hãng độc quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. Cho bi ết hàm c ầu đố i v ới hai =− =− lo ại s ản ph ẩm đó nh ư sau: Q1 25 0,5P 12 ; Q 30 P 2 . Với hàm chi phí k ết h ợp =+2 ++ 2 TC Q1 2Q 12 Q Q 2 20. Hãy xác định mức s ản l ượng Q1 , Q 2 và giá bán t ươ ng ứng để hãng đạt lợi nhu ận t ối đa. π =π = Đáp s ố : max (7;4) 215. =− =− Bài s ố 3. Tr ả l ời câu h ỏi c ủa bài t ập s ố 2 v ới: Q1 50 0,5P 12 ; Q 76 P 2 và =2 + + 2 + TC 3Q1 2Q 12 Q 2Q 2 105 π =π = Đáp s ố : max (8;10) 675. Bài s ố 4. Cho hàm s ản xu ất c ủa hãng Q( K,L) = 10K0,3 L 0,4 , bi ết giá thuê m ột đơn v ị vốn K bằng 0,03, giá thuê m ột đơn v ị lao độ ng L bằng 2, giá s ản ph ẩm b ằng 4. Hãy xác định mức s ử d ụng K và L để hãng thu được l ợi nhu ận t ối đa. π=π = Đáp s ố : max (2560000,51200) 76800. Bài s ố 5. Một doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. G ọi Q1 và Q2 là s ản l ượng t ươ ng π= + −2 − 3 ứng c ủa các lo ại s ản ph ẩm đó. Gi ả s ử hàm l ợi nhu ận là: 15Q1 12Q 2 3Q 12 Q Q 1 . Hãy xác định mức sản l ượng c ần s ản xu ất Q1 và Q2 sao cho doanh nghi ệp thu được l ợi nhu ận t ối đa. π =π = Đáp s ố : max (2,1) 28. Bài s ố 6. Doanh nghi ệp c ạnh tranh có hàm s ản xu ất d ạng: QK,L( ) =−+−++ 2K2 3KL 3L 2 30K 20L (K,L > 0) 1) Hãy xác định m ức s ử dụng vốn K và lao động L để doanh nghi ệp thu được s ản lượng c ực đại. 102
2) Cho bi ết giá th ị tr ường c ủa s ản ph ẩm là P= 2 USD, giá thuê một đơ n v ị vốn là = = pK 4 USD, giá thuê một đơ n v ị lao động pL 22 USD. Hãy xác định m ức s ử dụng K và L để hãng thu được l ợi nhu ận t ối đa. 34  1060 Đáp s ố : 1) Q= Q 16,  = ; 2) π =π(13,8) = 436. max 3  3 max Bài s ố 7. Một hãng độc quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. Cho bi ết hàm c ầu đố i v ới hai lo ại s ản ph ẩm đó nh ư sau: = − − = − − Q1 75 3P 1 P 2 ; Q2 60 2P 1 P. 2 =2 + ++ 2 Với hàm chi phí k ết h ợp TC 2Q1 Q 12 Q Q 2 300. Hãy xác định mức s ản l ượng Q1 ,Q 2 và giá bán t ươ ng ứng để hãng đạt lợi nhu ận t ối đa. 45 105  795 Đáp s ố : π=π,  = . max 11 22  11 Bài s ố 8. Một xí nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền hai lo ại s ản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu c ủa hai lo ại sản ph ẩm trên l ần l ượt là : Q= 40 − 2P + P và Q= 15 + P − P . D1 1 2 D2 1 2 =2 + + 2 Với hàm t ổng chi phí là : TC Q1 Q 12 Q Q 2 . Hãy định các m ức s ản l ượng Q1 và Q2 để doanh nghi ệp đạ t l ợi nhu ận t ối đa. 23 Đáp s ố: Q= 8, Q = . 1 2 3 Bài s ố 9. Doanh nghi ệp c ạnh tranh có hàm s ản xu ất d ạng: QK,L( ) = K0,5 + L 0,5 1) Đánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất. 2) Tính MPK và MPL tại điểm (16,25 ) và nêu ý ngh ĩa. 3) Cho bi ết giá th ị tr ường c ủa s ản ph ẩm là P= 2 USD, giá thuê một đơ n v ị vốn là = = pK 0,25 USD, giá thuê một đơ n v ị lao động pL 0,2 USD. Hãy xác định m ức sử dụng K và L để hãng thu được l ợi nhu ận t ối đa. Đáp s ố : 1) Doanh nghi ệp có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô; 1 1 2) MPK() 16,25= ;MPL() 16,25 = 3) π =π(16,25) = 9. 8 10 max 103
3.4. Mô hình c ực tr ị có điều ki ện ràng bu ộc nhi ều bi ến trong kinh t ế 3.4.1. T ối đa hóa l ợi ích trong điều ki ện ràng bu ộc v ề ngân sách dành cho chi tiêu Bài toán. Cho hàm l ợi ích c ủa ch ủ th ể nh ư sau: U= U( X,Y ) . Bi ết r ằng giá m ặt hàng hóa X là PX , giá m ặt hàng hóa Y là PY và ngân sách dành cho chi tiêu c ủa ch ủ th ể là I. Hãy xác định s ố l ượng m ặt hàng X, Y sao cho t ối đa hóa l ợi ích c ủa ch ủ th ể. Mô hình bài toán. Tìm (X,Y ) sao cho U(X,Y) đạt giá tr ị l ớn nh ất th ỏa mãn điều ⋅ +⋅ = ki ện: X PX Y P Y I. Ví d ụ 26. Cho bi ết hàm l ợi ích tiêu dùng: Ux,y( ) = x0,4 y 0,6 . Gi ả s ử giá c ủa các m ặt hàng tươ ng ứng là 2 USD, 3 USD và thu nh ập dành cho tiêu dùng là 130 USD. Hãy xác định lượng cầu đố i v ới m ỗi m ặt hàng để ng ười tiêu dùng thu được l ợi ích t ối đa. Gi ải Gọi x là s ố l ượng m ặt hàng 1; y là s ố l ượng m ặt hàng 2. +) Bước 1. Mô hình bài toán. Tìm (x, y) sao cho Ux,y( ) = x0,4 y 0,6 đạt giá tr ị t ối đa th ỏa mãn điều ki ện g(x,y)= 2x + 3y = 130 . +) Bước 2. Lập hàm Lagrange Lx,y,( λ=) x0,4 y 0,6 +λ( 130 −− 2x 3y ) +) Bước 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng  /()λ=− 0,60,6 −λ=  −0,6 0,6 Lx x,y, 0,4x y 2 0 x y= 5 λ (1)  /()λ= 0,40,4− −λ=⇔ 0,40,4 − =λ Lx,y,y 0,6xy 3 0  xy 5 (2)   / λ= −− = 2x+ 3y = 130 (3) Lλ () x,y, 130 2x 3y 0  Từ (1) và (2) suy ra y= x , thay vào ph ươ ng trình th ứ (3) ta có 2x+ 3.x = 130 ⇔= x 26⇒ y= 26; λ = 0,2 Vậy hàm s ố có m ột điểm d ừng M( 26,26 ) ứng v ới λ = 0,2. +) Bước 4. Ki ểm tra điều ki ện đủ . Xét t ại điểm d ừng M( 26,26 ) với λ = 0,2. =/( ) == / ( ) = g1x g 26,26 2; g 2y g 26,26 3; − 3 L= L//() 26;26;0,2 =− 0,24(26) 1,60,6 (26) =−< 0; 11 xx 325 104
− 3 L= L//() 26;26;0,2 =− 0,24(26) 0,4 (26) 1,4 =− 0. 12 21 xy 325 Xét định th ức 0 2 3 3 H= 2L L =−−=> 12L 9L 4L 0 11 12 12 11 22 13 3 L21 L 22 nên M( 26,26 ) là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố. +) Bước 5. Kết lu ận : Ng ười tiêu dùng c ần mua m ặt hàng 1 và m ặt hàng 2 đều v ới số l ượng 26 đơn v ị để thu được l ợi ích t ối đa là U( 26,26) = 260,4 .26 0,6 = 26. Ví d ụ 27. Một h ộ gia đình có hàm l ợi ích tiêu dùng v ới hai lo ại hàng hóa nh ư sau ( ) =0,45 0,55 > > Ux,x12 20x 12 x ,(x 1 0,x 2 0) = = Trong đó x1 ,x 2 tươ ng ứng là s ố đơn v ị c ủa hai lo ại hàng hóa v ới giá p1 6, p2 11. Ngân sách tiêu dùng là I= 600 . a) Lập hàm Lagrange để tìm c ực tr ị hàm lợi ích trong điều ki ện ràng bu ộc ngân sách dành cho tiêu dùng. b) Tìm gói hàng c ực đạ i hàm l ợi ích. c) Khi ngân sách tiêu dùng t ăng 1 đơ n v ị thì m ức l ợi ích c ực đạ i t ăng bao nhiêu đơ n vị? Gi ải ( ) ( ) =0,45 0,55 > > a) L ập bài toán: Tìm x1 , x 2 sao cho Ux,x12 20x 12 x (x 1 0,x 2 0) đạt ( ) = + = giá tr ị t ối đa th ỏa mãn điều ki ện: gx,x12 6x 1 11x 2 600. Lập hàm Lagrange: ( λ=) 0,45 0,55 +λ( −− ) Lx,x,12 20x 12 x 600 6x 12 11x . b) Điều ki ện c ần: − L/(x,x,λ=) 9x 0,55 x 0,55 −λ 6; x121 1 2 − L/( x ,x ,λ=) 11x 0,450,45 x −λ 11 ; x122 12 / ( λ=) − − Lλ x,x,12 600 6x 12 11x. 105
Xét h ệ ph ươ ng trình:  / ( λ) = − 0,55 0,55 Lx x,x, 1 2 0  9x x− 6 λ = 0  1  1 2   − L/ () x,x,λ = 0 ⇔11x0,45 x0,45 −λ= 11 0 x2 1 2 1 2   − − = / ()λ = 600 6x1 11x 2 0  Lx,x,λ 1 2 0   0,45− 0,45 − λ = 11x1 x 2 11 0  =  x1 45 x 2  ⇔2 =⇔=  x 30 x 3 2 1  0,45  − − =  λ =()1,5 = 1,2  600 9x2 11x 2 0 Vậy hàm s ố có 1 điểm d ừng M( 45,30 ) với λ = 1,2 Điều ki ện đủ : Xét t ại điểm M( 45,30 ) với λ = 1,2 g= g/(45,30) == 6; g g / ( 45,30 ) = 11; 1x1 2x 2 − L=L//( 45;30;1,2) =−⋅ 4,95 45 1,55 30 0,55 4,95 45 0,55 30 0,45 0. 12 21 x1 x 2 Lập ma tr ận Hess 0g1 g 2  06 11  =  =  HgLL1 11 12  6LL 11 12     g2 L 21 L 22  11L 21 L 22  Ta có = − − > H 132L12 121L 11 36L 22 0 Vậy điểm M( 45,30 ) là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố, v ới gói hàng (45, 30) thì hàm l ợi ích đạt c ực đạ i b ằng 720,099. c) Ý ngh ĩa c ủa nhân t ử Lagrange λ . Khi ngân sách tiêu dùng t ăng lên 1 đơ n v ị thì gi ỏ giá tr ị l ợi ích c ực đạ i t ăng lên m ột lượng x ấp x ỉ b ằng λ = 1,2 đơ n vị. 3.4.2. Tối đa hóa s ản l ượng trong điều ki ện ràng bu ộc v ề ngân sách dành cho s ản xu ất Bài toán. Cho hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp: Q= Q( K,L ) . Bi ết r ằng giá thuê m ột đơn v ị v ốn là pK , giá thuê m ột đơn v ị lao độ ng là pL và ngân sách dành cho s ản 106
xu ất c ủa doanh nghi ệp là I. Hãy xác định m ức s ử d ụng K, L sao cho doanh nghi ệp t ối đa hóa s ản l ượng. Mô hình bài toán. Tìm (K,L ) sao cho Q( K,L ) đạt giá tr ị tối đa th ỏa mãn điều ⋅ +⋅ = ki ện : K pK L p L I. Ví d ụ 28. Một doanh nghi ệp có hàm s ản xu ất: QK,L( ) = K0,4 L 0,3 a) Hãy đánh giá hi ệu qu ả c ủa vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất. b) Gi ả s ử giá thuê m ột đơn v ị v ốn là 4 USD, giá thuê m ột đơn v ị lao độ ng là 3 USD và doanh nghi ệp ti ến hành s ản xu ất v ới ngân sách c ố đị nh là 1050 USD. Hãy cho bi ết doanh nghi ệp đó s ử d ụng bao nhiêu đơ n v ị v ốn và bao nhiêu đơ n v ị lao độ ng thì thu được sản lượng t ối đa? Gi ải a) Ta th ấy 0,3+ 0,4 = 0,7 < 1 nên doanh nghi ệp s ản xu ất có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô. b) Lập mô hình bài toán. Tìm (K,L ) sao cho Q= K0,4 L 0,3 đạt giá tr ị t ối đa th ỏa mãn điều ki ện 4K+ 3L = 1050. Đặt g( K,L) = 4K + 3L = 1050. +) Bước 1. Để tránh nh ầm l ẫn, trong bài này ta ký hi ệu hàm Lagrange là fK,L,( λ=) K0,4 L 0,3 +λ( 1050 −− 4K 3L ) +) Bước 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  /=− 0,60,3 −λ=  −0,6 0,3 = λ fK 0,4K L 4 0 K L 10 (1)   /= 0,40,7− −λ=⇔ 0,40,7 − =λ fL 0,3K L 3 0  K L 10 (2)   / = −− = 4K+ 3L = 1050 (3) fλ 1050 4K 3L 0  Từ (1) và (2) suy ra K= L , thay vào ph ươ ng trình th ứ (3) ta có 1 7K= 1050 ⇔ K = 150⇒ L= 150; λ = 10.150 0,3 1 Vậy hàm s ố có m ột điểm d ừng M( 150,150 ) ứng v ới λ = . 10.150 0,3 1 +) Bước 3. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại M( 150,150 ) ứng v ới λ = 10.150 0,3 107
=/( ) == / ( ) = g1K g 150,150 4;g 2L g 150,150 3; =//( λ=−) − 1,3 f12 f 21 f KL 150,150, 0,12.150 0. Xét định th ức: 0 4 3 42 − H= 4F F =−−=⋅ 24f 9f 16f 1501,3 > 0 11 12 12 11 22 5 3 F21 F 22 nên M( 150,150 ) là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố. +) Bước 4. Kết lu ận: Doanh nghi ệp c ần s ử d ụng 150 đơn v ị v ốn và 150 đơ n v ị lao =( ) = 0,7 động để thu được s ản l ượng t ối đa là Qmax Q150,150 150 . Ví d ụ 29. Công ty M chuyên s ản xu ất m ột m ặt hàng A, có hàm s ản xu ất ph ụ thu ộc hai y ếu tố v ốn K và lao động L nh ư sau: Q( K,L) = 40K0,4 L 0,6 trong đó Q là s ản l ượng và > > = = K 0, L 0. Cho bi ết gi ỏ v ốn và lao động l ần l ượt là pK 11 , pL 20 , v ới kh ả n ăng chi phí t ối đa cho v ốn và lao động là 6600. Hãy s ử d ụng ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange tìm K và L sao cho s ản l ượng Q đạt c ực đạ i. Gi ải +) Bước 1. L ập mô hình bài toán. Tìm (K, L ) sao cho Q( K,L) = 40K0,4 L 0,6 đạt giá tr ị lớn nh ất th ỏa mãn điều ki ện: g( K,L) = 11K + 20L = 6600 +) Bước 2. L ập hàm Lagrange: f( K,L,λ=) 40K0,4 L 0,6 +λ( 6600 −− 11K 20L ) +) Bước 3. Điều ki ện c ần: Đạo hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm f /( λ=) − 0,60,6 −λ fK K,L, 16K L 11; /( λ=) 0,40,4− −λ fL K,L, 24K L 20; / fλ ( K,L,λ=) 6600 − 11K − 20L. 108
Xét h ệ ph ươ ng trình  / ( λ) =  −0,6 0,6 − λ = fK K,L, 0 16KL 11 0   / ()λ = ⇔0,4− 0,4 −λ= fL K,L, 0 24KL 20 0   / λ = 6600− 11K − 20L = 0 fλ () K,L, 0  16 −0,6 0,6 = λ   K L  11 =  K0 240 33  ⇔=LK ⇔=  L 198 40 0   0,6 33  λ = 16 33  6600− 11K − 20. K = 0  0 .   40  11 40  Vậy hàm s ố có m ột điểm d ừng: 16 33  0,6 M() 240, 198 ;λ = .  > 0 0 11 40  +) Bước 4. Điều ki ện đủ : Đạo hàm riêng c ấp 2 c ủa hàm f //( λ) = − − 1,60,6 fKK K,L, 9,6K L ; //( λ) = − 0,41,4− fLL K,L, 9,6K L ; //( λ) = − 0,60,4 − fKL K,L, 9,6K L . Đạo hàm riêng c ấp 1 c ủa g =/ == / = gg1K(240,198) 11;gg 2L ( 240,198 ) 20. 16 33  0,6 Xét t ại điểm d ừng tại M240,198;() λ = .  > 0 0 11 40  Ta có =// ( λ=−) −1,6 0,6 f12 f 21 f KL 240,198, 0 9,6(240) (198) 0. Lập ma tr ận Hess t ại điểm d ừng: 0 g1 g 2  0 1120  =  =  H gf1 11 f 12  11f 11 f 12     gf2 21 f 22  20f 21 f 22  109
Ta có = − − >( ><< ) H 440f12 400f 11 121f 22 0, f 12 0;f 11 0;f 22 0 Vậy điểm M( 240,198 ) là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố, t ức là v ới m ức v ốn K= 240, lao động L= 198 thì s ản l ượng Q đạt m ức t ối đa là 8553,49. 3.4.3. Tối thi ểu hóa chi tiêu trong điều ki ện gi ữ mức l ợi ích Bài toán. Cho hàm l ợi ích c ủa ch ủ th ể nh ư sau: U= U( X,Y ) . Bi ết r ằng giá m ặt hàng hóa X là PX , giá m ặt hàng hóa Y là PY và mức l ợi ích đị nh tr ước của ch ủ th ể là U0 . Hãy xác định s ố l ượng m ặt hàng X, Y sao cho t ối thi ểu hóa chi tiêu cho ch ủ th ể. ( ) ( ) = ⋅ +⋅ Mô hình bài toán. Tìm X,Y sao cho CX,Y XPX YP Y đạt giá tr ị nh ỏ ( ) = nh ất th ỏa mãn điều ki ện : UX,Y U.0 ( ) = + ( ) = Ví d ụ 30. Cho hàm chi tiêu Cx,x12 px 11 px 22 và hàm l ợi ích Ux,x12 xx 12 . a) Hãy c ực ti ểu hàm chi tiêu trong điều ki ện gi ữ m ức lợi ích b ằng U0 . = = = b) Áp d ụng : v ới p1 8,p 2 4, U 0 8 . c) V ới d ữ ki ện câu b) n ếu m ức l ợi ích U0 tăng 1 đơ n v ị thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu t ăng bao nhiêu đơ n v ị. d) Với d ữ ki ện câu b). N ếu m ức l ợi ích U0 tăng 1% thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu tăng bao nhiêu %. Gi ải = + = = a) Tìm (x1 ,x 2 ) sao cho C px11 px 22 đạt giá tr ị nh ỏ nh ất th ỏa : g xx1 2 U 0 λ= + +λ( − ) +) Bước 1. L ập hàm Lagrange: L(x,x,)12 px 11 px 22 U 0 xx 12 Đạo hàm riêng c ấp 1 L/ (x,x,)λ = p −λ x; L/ (x,x,)λ = p −λ x; x121 1 2 x122 2 1 / / / L(x,x,)λ λ = U − xx; g= x;g = x. 12 0 12 x1 2x 2 1 Đạo hàm riêng c ấp 2 L// (x,x,)λ= 0;L // (x,x,) λ= 0; xx1211 xx12 22 L// (x,x,)λ=−λ= L // (x,x,). λ xx1212 xx12 21 +) Bước 2. Tìm điểm d ừng cùng giá tr ị λ , t ừ h ệ ph ươ ng trình sau 110
 p1  λ =  / = −λ = x Lx p 1 x0 2  2  1   p L/ = p −λ x0 =⇔λ=  2 x2 2 1   x1 / = − = Lλ U0 xx 1 2 0  x x= U  1 2 0    p λ = p1 x= 2 U  1p 0  x2  1    ⇔=⇔=p1 p 1 () > x2 x 12  x Ux,x0 012 p2  p 2   2 = p2 p p x1 U 0  λ = 1 2  p  1  U0 Hàm s ố có m ột điểm d ừng :   p2 p 1λ = pp 12 > M U;U;0 0  0 0. p1 p 2  U 0 +) Bước 3. Ki ểm tra điều ki ện đủ t ại điểm d ừng   p2 p 1λ = pp 12 > M U;U;0 0  0 0. p1 p 2  U 0 Ta có p p g= g/ =1 U > 0; g= g/ =2 U > 0. 1 x1 0 2 x2 0 p2 p1 = = = =−λ=−p1 p 2 < L0;L11 22 0;L 12 L 21 0 0. U0 Xét định th ức: 0 g1 g 2 = −λ=−λ =− < Hg1 0 0 2gg 012 2ppU0 120 −λ g2 0 0   p2 p 1 Vậy điểm M U;0 U 0  là điểm c ực ti ểu c ủa hàm chi tiêu. p1 p 2  = = = b) Áp d ụng : v ới p1 8,p 2 4, U 0 8 thì 111
 =p2 =⋅= 4 x1 U 0 82  p1 8   =p1 =⋅= 8 x2 U 0 84  p2 4  pp 84⋅  λ=1 2 = = 2   U0 8 ( ) λ = > Vậy M2,4;0 2 0 là điểm c ực ti ểu c ủa hàm chi tiêu. c) V ới d ữ ki ện câu b). N ếu m ức l ợi ích U0 tăng 1 đơ n v ị thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu t ăng bao nhiêu đơ n v ị? ∂C Theo ý ngh ĩa c ủa nhân t ử Lagrange: =λ =2 > 0 ∂U 0 Vậy n ếu n ếu m ức l ợi ích U0 tăng 1 đơ n v ị thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu s ẽ t ăng xấp x ỉ 2 đơn v ị. d) V ới d ữ ki ện câu b). N ếu m ức l ợi ích U0 tăng 1% thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu tăng bao nhiêu % Ngân sách chi tiêu c ực ti ểu: = Cmin 2ppU 1 2 0 Do đó : ∂C p p = 1 2 ∂ U0 U 0 Hệ s ố co dãn c ủa hàm chi tiêu theo l ợi ích t ại điểm t ối ưu ∂CU p p U ε=⋅=C 01 2 0 =>0,5 0 U0 ∂ U0 C min U 0 2 pp1 2 U 0 Vậy ngân sách chi tiêu c ực ti ểu t ăng x ấp x ỉ 0,5%. 3.4.4. T ối thi ểu hóa chi phí trong điều ki ện gi ữ mức s ản l ượng Bài toán. Cho hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp: Q= Q( K,L ) . Bi ết r ằng giá thuê m ột đơn v ị v ốn là pK , giá thuê m ột đơn v ị lao độ ng là pL và m ức s ản l ượng yêu c ầu định tr ước c ủa doanh nghi ệp là Q0 . Hãy xác định m ức s ử d ụng K, L sao cho doanh nghi ệp tối thi ểu hóa chi phí. 112
( ) ( ) = ⋅ +⋅ Mô hình bài toán. Tìm K,L sao cho TCK,L KpK Lp L đạt giá tr ị nh ỏ ( ) = nh ất th ỏa mãn điều ki ện : QK,L Q.0 Ví d ụ 31. Gi ả sử hàm s ản xu ất doanh nghi ệp có d ạng: Q= 25K0,5 L 0,5 . Bi ết r ằng giá thuê = = một đơ n v ị vốn là pK 12 , giá thuê m ột đơ n v ị lao động là pL 3 . a) Định m ức s ử dụng K,L tối ưu để sản xu ất được m ức s ản l ượng Q= 1250. b) Tính h ệ số co dãn c ủa t ổng chi phí theo s ản l ượng t ại điểm t ối ưu và nêu ý ngh ĩa. Gi ải a) Định m ức s ử dụng K, L t ối ưu để sản xu ất được m ức s ản l ượng Q= 1250. +) Bước 1. L ập mô hình bài toán. Tìm (K, L ) sao cho TC( K,L) = 12K + 3L đạt giá tr ị nh ỏ nh ất th ỏa mãn điều ki ện: gK,L( ) = 25K0,5 L 0,5 = 1250 +) Bước 2. L ập hàm Lagrange: f() K,L,λ= 12K + 3L +λ( 1250 − 25K0,5 L 0,5 ) +) Bước 3. Điều ki ện c ần: Đạo hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm f /( λ=) − λ − 0,5 0,5 fK K,L, 12 12,5K L ; /( λ=−) λ 0,5− 0,5 fL K,L, 3 12,5K L ; / 0,5 0,5 fλ ( K,L,λ) = 1250 − 25K L . Xét h ệ ph ươ ng trình  / ( λ) =  − λ−0,5 0,5 = fK K,L, 0 12 12,5 K L 0   / ()λ = ⇔−λ0,5− 0,5 = fL K,L, 0 3 12,5 K L 0   / λ = −0,5 0,5 = fλ () K,L, 0 1250 25K L 0 − 12,5λ K0,5 L 0,5 = 12  =  K 25 −  ⇔12,5 λ K0,5 L 0,5 =⇔ 3  L = 100   0,5 0,5 = λ = 0,48 25K L 1250  Vậy hàm s ố có m ột điểm d ừng: M( 25,100) ;λ = 0,48 113
+) Bước 4. Điều ki ện đủ : Đạo hàm riêng c ấp 2 c ủa hàm f //( λ) = λ − 1,5 0,5 fKK K,L, 6,25K L ; //( λ) = λ 0,5− 1,5 fLL K,L, 6,25K L ; //( λ=−) λ − 0,5 − 0,5 fKL K,L, 6,25K L . Đạo hàm riêng c ấp 1 c ủa g /=−0,5 0,5 / = 0,5 − 0,5 gK 12,5KL ; g L 12,5 KL Xét t ại điểm d ừng M( 25,100) ;λ = 0,48 Ta có =/ == / = gg1K(25, 100) 25;g 2L g( 25, 100 ) 6,25 6 f=f // () 25;100;0,48 = = 0,24; 11 KK 25 3 f= f// () 25;100;0,48 = = 0,015; 22 LL 200 3 f== f f// () 25;100;0,48 =−=− 0,06. 12 21 KL 50 Lập ma tr ận Hess t ại điểm d ừng M( 25,100) ;λ = 0,48 0 g1 g 2  0 25 6,25  =  = −  H g1 f 11 f 12  25 0,24 0,06   −  g2 f 21 f 22  6,25 0,06 0,015  Ta có: H= − 37,5 < 0. Vậy điểm M( 25, 100 ) là điểm c ực ti ểu của hàm s ố, t ức là = = = với m ức v ốn K 25, lao động L 100 với TCmin 600 . b) Tính h ệ số co dãn c ủa t ổng chi phí theo s ản l ượng t ại Q và nêu ý ngh ĩa Q Ta có: ε = TC/ () Q TC/Q TC() Q λ= = = Tại điểm t ối ưu, 0,48, Q 1250, TCmin 600 thì ε =λQ = ⋅ 1250 = TC/Q 0,48 1 TCmin 600 Ý ngh ĩa. T ại điểm t ối ưu, n ếu s ản l ượng tăng 1% thì chi phí t ối thi ểu t ăng 1%. 114
3.4.5. T ối đa hóa l ợi nhu ận c ủa hãng độc quy ền, trong tr ường h ợp không phân bi ệt giá bán ở hai th ị tr ường Bài toán. Gi ả s ử m ột công ty độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm và bán s ản =( ) = + ph ẩm đó ở hai th ị tr ường khác nhau. Bi ết hàm t ổng chi phí TC TCQ,(Q Q1 Q) 2 =( ) = ( ) và c ầu c ủa hai th ị tr ường l ần l ượt là Q1 DP,Q 12 DP. 2 Hãy xác định s ản l ượng và giá bán trên m ỗi th ị tr ường để công ty thu được l ợi nhu ận t ối đa. Bi ết r ằng giá bán tại hai th ị tr ường là nh ư nhau. ( ) π = π ( ) Mô hình bài toán. Tìm Q1 ,Q 2 sao cho hàm l ợi nhu ận Q1 ,Q 2 đạt giá tr ị = lớn nh ất th ỏa mãn điều ki ện : P1 P 2 . Ph ươ ng pháp gi ải. =( ) = ( ) Bước 1. Từ hai hàm c ầu thu ận Q1 DP,Q 12 DP, 2 ta suy ra hai hàm c ầu đả o =−1( ) = − 1 ( ) P1 D Q,P 12 D Q. 2 Bước 2. Lập hàm doanh thu: ( ) =+=−1( ) + − 1 ( ) TRQ,Q12 PQ 1122 PQ D QQ 11 D QQ. 22 Bước 3. L ập hàm l ợi nhu ận: π( ) =( ) − ( ) Q,Q12 TRQ,Q 12 TCQ,Q 12 . Bước 4. T ừ gi ả thi ết giá bán hai th ị tr ường là nh ư nhau, ngh ĩa là = ⇔−1( ) = − 1 ( ) PP12 DQ 1 DQ. 2 π = π ( ) Bước 5. Kh ảo sát c ực tr ị c ủa hàm lợi nhu ận Q1 ,Q 2 với điều ki ện ràng bu ộc −1( ) = − 1 ( ) là : D Q1 D Q. 2 Ví d ụ 32. Một công ty độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm và bán s ản ph ẩm đó ở hai =+ =+ th ị tr ường khác nhau. Bi ết hàm t ổng chi phí TC 35 40Q, (Q Q1 Q 2 ) và c ầu c ủa hai =− =− th ị tr ường l ần l ượt là Q1 24 0,2P 12 , Q 10 0,05P 2 . Hãy xác định s ản l ượng và giá bán trên m ỗi th ị tr ường để công ty thu được l ợi nhu ận t ối đa. Bi ết r ằng giá bán tại hai th ị tr ường là nh ư nhau. Gi ải =− =− Từ hai hàm c ầu thu ận Q1 24 0,2P 12 ; Q 10 0,05P 2 , ta có suy ra hai hàm c ầu đả o =− =− P1 120 5Q 12 , P 200 20Q 2 115
+) Hàm doanh thu: ( ) =+ = −+2 − 2 TRQ,Q121122 PQ PQ 120Q 1 5Q 1 200Q 2 20Q 2 +) Hàm l ợi nhu ận: π( ) =( ) −( ) =−+−2 2 Q,Q12 TRQ,Q 12 TCQ,Q 12 80Q 11 5Q 160Q 2 20Q 2 +) Theo gi ả thi ết: =⇔ − = − ⇔−+ = P12 P 120 5Q 1 200 20Q 212 Q 4Q 16 +) Bước 1. L ập mô hình bài toán. ( ) π( ) Tìm Q1 ,Q 2 sao cho Q1 ,Q 2 đạt giá tr ị lớn nh ất th ỏa mãn điều ki ện: ( ) =− + = gQ,Q12 Q 1 4Q 2 16 +) Bước 2. L ập hàm ph ụ Lagrange: ( λ=) −2 + − 2 +λ+−( ) fQ,Q,12 80Q 11 5Q 160Q 22 20Q 16 Q 12 4Q +) Bước 3. Điều ki ện c ần: Đạo hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm f f / (Q ,Q ,λ=) 80 − 10Q +λ ; Q121 1 f / (Q ,Q ,λ=) 160 − 40Q −λ 4 ; Q122 2 / ( λ=) + − fλ Q,Q,12 16 Q 12 4Q. Xét h ệ ph ươ ng trình  / ( λ) = fQQ,Q, 1 2 0 − +λ=  1 80 10Q1 0   f / ()Q,Q,λ = 0 ⇔160 − 40Q −λ= 4 0 Q2 1 2 2   + − = / ()λ = 16 Q1 4Q 2 0  fλ Q,Q,1 2 0  = 32 Q1 − λ = 5 10Q1 80  ⇔ +λ=⇔=  28 40Q2 4 160  Q 2   5 −Q + 4Q = 16  1 2  λ = − 16   32 28  Vậy hàm s ố có m ột điểm d ừng: M ,  ;λ = − 16 5 5  +) Bước 4. Điều ki ện đủ : 116
Đạo hàm riêng c ấp 2 c ủa hàm f f // (Q ,Q ,λ) = − 10; f // (Q ,Q ,λ) = − 40; QQ1 1 1 2 QQ2 2 1 2 f/(Q,Q,λ=) f / ( Q,Q, λ=) 0. QQ12 12 QQ 21 12 Đạo hàm riêng c ấp 1 c ủa g g/(Q,Q) =− 1 ; g / ( Q,Q) = 4 Q112 Q 2 12 32 28  Xét t ại điểm d ừng M ,  ;λ = − 16 5 5  Ta có 32 28  g= g/ ,  = − 1 ; 1 Q 1 5 5  32 28  g= g / ,  = 4; 2 Q 2 5 5  32 28  f=f //  ,,16 −=−  10; 11 Q1 Q 1 5 5  32 28  f= f//  , , −=− 16  40; 22 QQ2 2 5 5  32 28  f== f f//  ,,16 −=  0. 12 21 Q1 Q 2 5 5  32 28  Lập ma tr ận Hess t ại điểm d ừng M ,  ;λ = − 16 5 5  − 0gg1 2  0 14  =  =−−  Hgf1 11 f 12  1100   −  gf2 21 f 22  4 0 40  Ta có định th ức c ủa ma tr ận Hess 0− 1 4 detH() =−− 1 10 0 = 200 > 0. 4 0− 40 32 28  32 28 Vậy hàm s ố đạ t c ực đạ i t ại điểm M ,  , ngh ĩa là sản l ượng Q= , Q = 5 5  1 5 2 5 = = π = và giá bán t ươ ng ứng P1 P 2 88 thì công ty đạt được lợi nhu ận t ối đa với max 576. 117
3.4.6. Bài t ập ( ) = + + Bài s ố 1. Cho bi ết hàm l ợi ích tiêu dùng: Ux,x12 xx 12 x 1 x. 2 Trong đó x1 , x 2 = lần l ượt là kh ối l ượng hai m ặt hàng. Gi ả s ử giá bán c ủa các m ặt hàng t ượng ứng là P1 2 = = USD, P2 5 USD và thu nh ập dành cho ng ười tiêu dùng là I 500 USD. Hãy xác định lượng c ầu đố i v ới m ỗi m ặt hàng n ếu ng ười tiêu dùng mu ốn tối đa hóa l ợi ích c ủa mình. Nếu thu nh ập c ủa ng ười tiêu dùng t ăng 1% thì l ợi ích t ối đa thay đổ i nh ư th ế nào? 503 497  Đáp s ố : U= U ;  ; ε = 1,973. max 4 10  U M ( ) = 0,6 0,25 Bài s ố 2. Cho bi ết hàm l ợi ích tiêu dùng: Ux,x12 x 1 x 2 . Trong đó x1 , x 2 lần l ượt = là kh ối l ượng hai m ặt hàng. Gi ả s ử giá bán c ủa các m ặt hàng t ượng ứng là P1 8 USD, = = P2 5 USD và thu nh ập dành cho ng ười tiêu dùng là I 680 USD. Hãy xác định l ượng cầu đố i v ới m ỗi m ặt hàng n ếu ng ười tiêu dùng mu ốn tối đa hóa l ợi ích c ủa mình. N ếu thu nh ập dành cho ng ười tiêu dùng t ăng thêm 1 USD, thì l ợi ích t ối đa thay đổ i nh ư th ế nào? ∂U Đáp s ố : U= U(60;40) = 29,34; = 0,037. max ∂M Bài s ố 3. Một doanh nghi ệp có hàm s ản xu ất: QK,L( ) = K0,3 L 0,5 1) Đánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất 2) Gi ả sử giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 6 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao động là 2 USD và doanh nghi ệp ti ến hành s ản xu ất v ới ngân sách c ố định là 384 USD. Hãy cho bi ết doanh nghi ệp đó s ử dụng bao nhiêu đơ n v ị tư b ản và bao nhiêu đơ n v ị lao động thì thu được s ản l ượng t ối đa. Đáp s ố : 1) Doanh nghi ệp có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô; =( ) = 2) Qmax Q 24,120 28,422. Bài s ố 4. Một doanh nghi ệp có hàm s ản xu ất: Q( K,L) = 10K0,7 L 0,1 1) Đánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất. 2) Gi ả sử giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 28 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao động là 10 USD và doanh nghi ệp ti ến hành s ản xu ất v ới ngân sách c ố định là 4000 USD. Hãy cho 118
bi ết doanh nghi ệp đó s ử dụng bao nhiêu đơ n v ị tư b ản và bao nhiêu đơ n v ị lao động thì thu được s ản l ượng t ối đa. Đáp s ố : 1) Doanh nghi ệp có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô; = ( ) 2) Qmax Q 125,50 =434,244. Bài s ố 5. Cho hàm s ản xu ất c ủa m ột hãng QK,L( ) = 10K0,3 L 0,4 . 1) Đánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất. 2) Biết rằng giá thuê m ột đơ n v ị vốn K b ằng 0,03 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao động bằng 2 USD. Hãy xác định m ức s ử dụng K và L để hãng t ối thi ểu hóa chi phí, bi ết rằng hãng mu ốn gi ữ mức s ản l ượng là 1200. =( ) = Đáp s ố: 1) T ăng quy mô s ản xu ất không hi ệu qu ả ; TCmin TC 8750,175 612,5. Bài s ố 6. Tối thi ểu hóa hàm chi phí TC( x,y) =+ 3x 4y,(x > 0,y > 0) , trong điều ki ện gi ữ mức l ợi ích U( x,y) = 2xy = 337,5. Nếu m ức l ợi ích t ăng thêm 1 đơ n v ị thì chi phí t ối thi ểu thay đổ i nh ư th ế nào? ∂TC 2 Đáp s ố : TC= TC(15;11,25) = 90; =λ= . min ∂U 15 Bài s ố 7. Tối thi ểu hóa hàm chi phí TCx,y( ) =+−+ x2 4y 2 3xy 10,(x > 0,y > 0) , trong điều ki ện gi ữ m ức doanh thu TR( x,y) = 5x + 7y = 508. = = Đáp s ố : TCmin TC(61,29) 1788. Bài s ố 8. Một công ty độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm và bán s ản ph ẩm đó ở hai th ị = + = + tr ường khác nhau. Bi ết hàm chi phí c ận biên MC 1,75 0,05Q , (Q Q1 Q) 2 và c ầu = − = − của hai th ị tr ường l ần l ượt là P1 12 0,15Q 1 , P2 9 0,075Q 2 . Hãy xác định s ản l ượng và giá bán trên m ỗi th ị tr ường để công ty thu được l ợi nhu ận t ối đa. Bi ết r ằng giá bán hai th ị là nh ư nhau và chi phí c ố đị nh là 100. 695 310 293 Đáp s ố : Q= ,Q = ;PP == thì l ợi nhu ận được đạ i. 127 2 27 12 36 Bài s ố 9. Một công ty có hàm s ản xu ất: Q( K,L) = 0,5K(L − 2), trong đó K, L lần l ượt là = vốn và lao động. Bi ết giá thuê một đơn v ị v ốn là pK 120 USD và giá thuê một đơn v ị lao = động là pL 60 USD. Nếu doanh nghi ệp chi s ố ti ền 3000. 119
1) Tính m ức s ử dụng v ốn và lao động để tối đa hóa s ản l ượng. 2) Nếu s ố ti ền doanh nghi ệp chi t ăng 10% thì s ản l ượng t ối đa thay đổi nh ư th ế nào? =( ) = Đáp s ố : 1) Qmax Q12,26 144; 2) S ản l ượng t ối đa t ăng 20,833%. Bài s ố 10. Một nhóm dân c ư có hàm th ỏa d ụng UX,Y( ) = 2X0,6 Y 0,2 . = = Bi ết r ằng giá các m ặt hàng t ươ ng ứng lần l ượt là PX 240, P Y 4. Hãy xác định ph ươ ng án tiêu dùng cho c ụm dân c ư trên để có th ể đặ t được độ th ỏa d ụng là 40 v ới chi phí bé nh ất. =( ) = Đáp s ố : TCmin U 20,400 6400. Bài s ố 11. Một công ty độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm và bán s ản ph ẩm đó ở hai = +( =+ ) th ị tr ường khác nhau. Bi ết hàm t ổng chi phí TC 2000 10Q, Q Q1 Q 2 và c ầu c ủa =− =− hai th ị tr ường l ần l ượt là Q1 21 0,1P 12 ; Q 50 0,4P 2 . Hãy xác định s ản l ượng và giá bán trên m ỗi th ị tr ường để công ty thu được l ợi nhu ận t ối đa. Bi ết r ằng giá bán tại hai th ị tr ường là nh ư nhau. 67 98  Đáp s ố : π=π;  = 178;P == P 76. max5 5  1 2 Bài s ố 12. Cho hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp có d ạng: Q( K,L) = K(L + 5), trong đó K, L lần l ượt là v ốn và lao động. Bi ết giá thuê một đơn v ị v ốn là 70 USD và giá thuê một đơn v ị lao độ ng là 20 USD. 1) Nếu doanh nghi ệp nh ận được h ợp đồng cung c ấp 5600 s ản ph ẩm. Tính m ức s ử dụng vốn và lao động sao cho vi ệc s ản xu ất l ượng s ản ph ẩm theo h ợp đồng t ốn ít chi phí nh ất? 2) Tính h ệ số co dãn c ủa hàm t ổng chi phí theo s ản l ượng Q tại th ời điểm t ối ưu? Nêu ý ngh ĩa c ủa h ệ số đó? 28 Đáp s ố : 1) TC= TC( 40,135) = 5500; 2) ε = . min TC|Q 55 Bài s ố 13. Một công ty có hàm s ản xu ất: QK,L( ) = K3/4 L 1/2 ( K – vốn, L – lao động). 120
Bi ết giá thuê m ột đơn v ị v ốn là 30 USD và giá thuê m ột đơn v ị lao độ ng 5 USD. 1) Công ty cần s ản xu ất 2048 s ản ph ẩm, khi đó công ty nên s ử dụng bao nhiêu đơ n v ị vốn và lao động để tối thi ểu hóa chi phí 2) Tại th ời điểm t ối thi ểu hóa chi phí, n ếu s ản l ượng t ăng lên 2% thì chi phí s ẽ thay đổi nh ư th ế nào? 3) Đánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất. =( ) = Đáp s ố : 1) TCmin TC 256,1024 12800; 2) 1,6%; 3) T ăng quy mô hi ệu qu ả Bài s ố 14. Một ng ười mu ốn dùng s ố ti ền 178000 ngàn đồng để mua hai m ặt hàng có đơ n giá t ươ ng ứng là 400 ngàn đồng và 600 ngàn đồng. Hàm h ữu d ụng c ủa hai m ặt hàng trên là TUX,Y( ) =( X + 20)( Y + 10 ) ( X, Y lần l ượt là s ố l ượng c ủa hai m ặt hàng). Hãy xác định s ố l ượng c ần mua c ủa hai lo ại m ặt hàng trên để hàm h ữu d ụng đạ t giá tr ị cao nh ất. =( ) = Đáp s ố : TUmax TU 220,150 38400. Bài s ố 15. Mỗi cá nhân s ẽ được l ợi t ừ thu nh ập (INCOME) và ngh ỉ ng ơi (LEISURE). Gi ả sử m ỗi ngày có 12 gi ờ để chia ra th ời gian làm vi ệc và ngh ỉ ng ơi. Ti ền l ươ ng cho m ỗi gi ờ làm vi ệc là 3 USD và hàm l ợi ích c ủa cá nhân là TUL,I( ) = L0,5 I 0,75 trong đó: L : là s ố gi ờ ngh ỉ ng ơi; I : là thu nh ập. Cá nhân này s ẽ cân đố i gi ữa th ời gian ngh ỉ ng ơi và làm vi ệc th ế nào để t ối đa hóa l ợi ích c ủa mình? 24108  240,5 108  0,75 Đáp s ố : TUTU,=  =  . max 55  5 5  Bài s ố 16. Cho hàm l ợi ích tiêu dùng c ủa m ột ch ủ th ể có d ạng nh ư sau: ln TU( x,y)  = 0,7lnx + 0,3lny Cho bi ết x, y là kh ối l ượng các hàng hóa. Cho p, q là giá các hàng hóa t ươ ng ứng, I là ngân sách tiêu dùng. 1) Có ý ki ến cho r ằng, n ếu ch ủ th ể trên t ăng kh ối l ượng hàng hóa x lên 1% và gi ảm kh ối l ượng hàng hóa y đi 3% thì l ợi ích tiêu dùng không đổi. Điều đó đúng hay sai. 2) Xác định kh ối l ượng hàng hóa x, y để lợi ích tiêu dùng có l ợi nh ất cho ch ủ th ể đó. 7M 3M  Đáp s ố : 1) Sai ; 2) TU= TU ;  . max 4p 4q  121
Thuật ngữ chính chương 3 Tiếng Anh Tiếng Việt Constant Return to Scale Hiệu quả không đổi theo quy mô Capital Vốn Cost minimization Tối thiểu hóa chi phí Decreases Returns to Scale Hiệu quả giảm theo quy mô Increases Returns to Scale Hiệu quả tăng đổi theo quy mô Labor Lao động Marginal Product of Labor Sản phẩm cận biên của lao động Marginal Product of Capital Sản phẩm cận biên của vốn Manufacturing Efficiency Hiệu quả sản xuất Maximization of Utility Tối đa hóa lợi ích Method of Lagrange Multipliers Phương pháp nhân tử Lagrange Marginal Analysis Phân tích cận biên Revenue Maximization Tối đa hóa doanh thu Profit Maximization Tối đa hóa lợi nhuận Partial Derivatives Đạo hàm riêng Total Differential Vi phân toàn phần The Partial Coefficient Elasticity Hệ số co dãn riêng phần The Function homogeneous of degree k Hàm thuần nhất bậc k The Hessian Matrix Ma trận Hessian 122
PH Ụ LỤC Ph ụ lục 1. Ma tr ận, định th ức, h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính 1.1. Các khái ni ệm c ơ b ản v ề ma tr ận 1.1.1. Một b ảng g ồm (m× n ) số th ực được s ắp thành m dòng (hàng) và n cột được g ọi là ma tr ận có c ấp m× n . a11 a 12 a 1n    a a a Ký hi ệu: A=21 22 2n  = () a   ij m× n   am1 a m2 a mn  với i : g ọi là ch ỉ số dòng. j : gọi là ch ỉ số cột. aij : là ph ần t ử nằm ở dòng i và c ột j trong ma tr ận A. 1.1.2. Ma tr ận có s ố dòng b ằng s ố cột (m= n ) được g ọi là ma tr ận vuông c ấp n Ký hi ệu: A= ( a ) . ij m× n Với a11 ,a 22 , ,a nn được g ọi là các ph ần t ử nằm trên đường chéo chính. 1.1.3. Hai ma tr ận được g ọi là b ằng nhau n ếu chúng cùng cấp và có t ất c ả các ph ần t ử tươ ng ứng v ị trí b ằng nhau. Cho hai ma tr ận: A= ( a ) và B= ( b ) ij m× n ij m× n = aij b ij A= B ⇔  ∀=i 1,2, ,m; ∀= j 1, 2, ,n 1.1.4. Cho ma tr ận A= ( a ) , ma tr ận ký hi ệu AT nh ận được t ừ ma tr ận A ij m× n bằng cách đổi dòng thành c ột ho ặc đổi c ột thành dòng, được g ọi là ma tr ận chuy ển v ị của ma tr ận A . −1 2 0  Ví d ụ 1. Cho ma tr ận A = −  3 5 6  2× 3 Ma tr ận chuy ển v ị của ma tr ận A là 123
−1 3  T = −  A 2 5  0 6    3× 2 T Dễ nh ận th ấy (AT ) = A . 1.1.5. Ma tr ận d ạng tam giác và d ạng hình thang. a) Ma tr ận tam giác trên là ma tr ận vuông mà m ọi ph ần t ử nằm phía d ưới đường chéo đều b ằng 0. a11 a 12 a 1n    0 a a 22 2n      0 0 a nn  b) Ma tr ận tam giác d ưới là ma tr ận vuông mà m ọi ph ần t ử nằm phía trên đường chéo đều b ằng 0. a11 0 0    a a 0 21 22      an1 a n2 a nn  c) Ma tr ận hình thang (ma tr ận b ậc thang) là ma tr ận ứng v ới hai dòng b ất k ỳ số hạng khác không đầu tiên của dòng d ưới ph ải n ằm bên ph ải s ố hạng khác không đầu tiên của dòng trên. aa11 12⋯ a 1r ⋯ a 1n    0a22⋯ a 2r ⋯ a 2n  ⋮ ⋮⋱⋮ ⋮ ⋮    00⋯ arr ⋯ a rn  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋱⋮    00⋯ 0 ⋯ 0  < với r n và a11 ,a 22 , ,a rr gọi là các ph ần t ử chéo. 1.1.6. Ma tr ận vuông c ấp n có t ất c ả các ph ần t ử trên đường chéo chính b ằng 1, các ph ần t ử còn l ại đều b ằng 0, được g ọi là ma tr ận đơ n v ị cấp n. Ký hi ệu là In . 124
1 0 0  1 0  = =   I2  ;I 3  010  0 1    0 0 1  1 0 0    0 1 0 I =   n     0 0 1  1.1.7. Cho ma tr ận A= ( a ) , ma tr ận ký hi ệu −A =( − a ) gọi là ma tr ận ij m× n ij m× n đối c ủa ma tr ận A. 1.1.8. Ma tr ận có t ất c ả các ph ần t ử bằng 0 được g ọi là ma tr ận không. 1.2. Hai phép toán tuy ến tính đối v ới ma tr ận 1.2.1. Nhân m ột s ố th ực với ma tr ận là nhân s ố đó v ới t ất c ả các ph ần t ử của ma tr ận: Cho ma tr ận A= ( a ) và ∀k ∈ ℝ ta có: ij m× n = ⋅ kA (k aij ) m× n Đặc bi ệt (− 1)A =− A =−( a ) ij m× n 1.2.2. Cộng hai ma tr ận cùng cấp là c ộng các ph ần t ử tươ ng ứng các vị trí với nhau: Cho hai ma tr ận : A= ( a ) và B= ( b ) . Ta có AB+ =( a + b ) ij m× n ij m× n ij ij m× n 1.2.3. Các tính ch ất Cho ba ma tr ận A, B, C cùng c ấp và ∀α, β∈ ℝ . a) A+ B = B + A b) (A+ B) += C A + (B + C) c) A+ 0 = A d) A+ (A) − = 0 e) 1⋅ A = A f) (α+β )A =α A +β A g) α(A + B) =α A +α B 125
h) (αβ )A =αβ (A) =βα (A) 1.3. Phép nhân hai ma tr ận 1.3.1. Chúng ta s ẽ làm quen khái ni ệm này b ằng bài toán th ực t ế nh ư sau: b ạn mua ba m ặt hàng v ới s ố lượng l ần l ượt là 7, 6, 5 và giá bán t ươ ng ứng là 2, 3, 4 thì s ố ti ền b ạn ph ải tr ả được tính b ằng: 7.2 + 6.3 + 5.4 = 52. 1.3.2. Cho hai ma tr ận A= ( a ) và B= ( b ) ij m× n jk n× p = ( ) Khi đó AB c ik m× p với b1k    b n =2k  = caaik() i1 i2⋯ a in∑ ab ijjk ⋮  =   j 1 bnk  với: i= 1,2, ,m ; k= 1,2, ,p . = ( ) đượ ọ ủ ậ AB c ik m× p c g i là tích c a 2 ma tr n A và B. Nh ận xét: - Tích hai ma tr ận t ồn t ại khi s ố cột c ủa ma tr ận đứng tr ước b ằng s ố dòng ma tr ận đứng sau. - Ma tr ận tích có s ố dòng b ằng s ố dòng c ủa ma tr ận đứng tr ước và có s ố cột b ằng số cột c ủa ma tr ận đứng sau. 1.3.3. Các tính ch ất a) (AB)C= A(BC) Với gi ả thi ết s ố cột c ủa A b ằng s ố dòng c ủa B và s ố cột c ủa B b ằng s ố dòng c ủa C. Đặc bi ệt, n ếu A là ma tr ận vuông ta định ngh ĩa: 2 k A= A.A; ; A = A.A A k b) A(B+ C) = AB + AC ; (A+ B)C = AC + BC Với gi ả thi ết cấp của các ma tr ận A, B, C ph ải phù h ợp v ới phép toán. c) α(AB) =α( A) B =α A( B ) . d) ()ABT = BT A T . e) Ik = I (I là ma tr ận đơ n v ị). 126
f) N ếu A= ( a ) thì AI= A; I A = A . ij m× n n m 1.4. Các phép bi ến đổi s ơ c ấp trên dòng c ủa ma tr ận 1.4.1. Ba phép bi ến đổi s ơ c ấp trên dòng c ủa ma tr ận a) Đổi ch ỗ 2 dòng c ủa ma tr ận. / A→(i)∼ (i ) B b) Nhân một s ố th ực khác không v ới m ột dòng. =α A→(i): (i) B α≠ 0 c) Thay 1 dòng bất k ỳ bằng chính nó rồi c ộng v ới m ột s ố th ực nhân cho dòng khác. = +α / A→(i): (i) (i ) B 1.4.2. Liên h ệ với phép nhân ma tr ận 1 0⋯ 0    0 1 ⋯ ⋮  Cho A= ( a ) và ma tr ận đơ n v ị: I = ij m× n m ⋮ ⋮ ⋱ 0    0⋯ 0 1  Định ngh ĩa: 1    ⋱  0 1  dong i   I(i, j) = ⋱  1 0  dong j   ⋱    1  1    ⋱  I(i,α ) = α  dong i   ⋱    1  127
1    ⋱  1 α  dong i   I(i,j,α ) = ⋱  0 1  dong j   ⋱    1  - Phép đổi ch ỗ 2 dòng c ủa A được coi là th ực hi ện phép nhân ma tr ận I(i, j)× A - Phép nhân 1 dòng v ới s ố α ≠ 0 được coi là phép nhân ma tr ận I(i,α ) × A . Cộng vào dòng i dòng j đã nhân v ới α (i≠ j ) được coi là phép nhân ma tr ận I(i, j,α ) × A . 1.5. Quy t ắc th ực hành tính định th ức c ấp hai và c ấp ba a b 1.5.1. =ad − bc c d Tích hai ph ần t ử trên đường chéo chính tr ừ tích hai ph ần t ử trên đường chéo ph ụ. 1− 2 Ví d ụ 2. Tính định th ức =⋅14 −⋅− 3( 2) = 10 . 3 4 a1 b 1 c 1 = ++ − ++ 1.5.2. a2 b 2 c 2()() abc 123 bca 123 cab 123 cba 123 bac 123 acb 123 a3 b 3 c 3 Tổng đầu g ồm 3 tích s ố lấy theo đường chéo chính và 2 đường song song v ới nó nhân v ới ph ần t ử đối di ện. Tổng sau cùng c ũng g ồm 3 tích s ố nh ưng l ấy theo đường chéo còn l ại và 2 đường song song v ới nó nhân v ới ph ần t ử đối di ện. Cụ th ể: Ví d ụ 3. Tính định th ức 128
2− 3 4 1 2 3=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=− 222 335 414 425 312 234 63 5− 4 2 1.6. Một s ố tính ch ất c ơ b ản c ủa định th ức 1.6.1. Định th ức c ủa ma tr ận vuông A= ( a ) bằng định th ức ma tr ận chuy ển ij m× n vị của nó, A= A T Ví d ụ 4. 1− 2 13 = = 10 3 4− 24 2− 34 200 0 3 1=− 33 0 =− 30 00− 5 415 − 1.6.2. Định th ức b ằng 0 n ếu trong định th ức có m ột dòng toàn các ph ần t ử bằng 0. Ví d ụ 5. 4 5− 6 34 1= 0 0 0 0 1.6.3. Định th ức đổi d ấu m ỗi khi đổi ch ỗ 2 dòng c ủa định th ức và gi ữ nguyên các dòng còn l ại. Ví d ụ 6. Tính định th ức 2− 3 4 0 3 1 0 3 1= − 30 và 2− 3 4 = 30 0 0− 5 0 0− 5 1.6.4. Định th ức b ằng 0 n ếu trong định th ức có hai dòng có ph ần t ử gi ống nhau. Ví d ụ 7. a1 b 1 c 1 = a2 b 2 c 2 0 a1 b 1 c 1 1.6.5. Th ừa s ố chung của m ột dòng có th ể đư a ra ngoài d ấu định th ức (hay nhân 1 s ố với định th ức là nhân s ố đó ch ỉ với m ột dòng c ủa định th ức) 129
Ví d ụ 8. αab α ab ab = α = cd cdα cd α 1.6.6. Định th ức b ằng 0 n ếu định th ức có hai dòng t ỉ lệ Ví d ụ 9. a1 b 1 c 1 α α α= a1 b 1 c 1 0 a3 b 3 c 3 1.6.7. Nếu trong định th ức có 1 dòng các ph ần t ử được tách thành t ổng 2 s ố thì định th ức c ũng được tách thành t ổng c ủa hai định th ức t ươ ng ứng. Ví d ụ 10. acbd+ + a b c d 1111= 1 1 + 1 1 ++ ++ ++ acbd2222 acbd 2222 acbd 2222 1.6.8. Định th ức không thay đổi khi ta sử dụng phép bi ến đổi lo ại 3 Ví dụ 11. aa ai1i2 in a i1 a i2 a in = α+ α+ α+ ak1 a k2 a kn a i1 a k1 a i2 a k2 a in a kn Chú ý: Các tính ch ất nêu trên c ũng v ẫn đúng v ới c ột c ủa định th ức. 1.6.9. Nếu A và B là hai ma tr ận vuông cùng c ấp thì: AB= A B = BA Nói riêng: Ak = A . A A = A k k 1.7. Ph ần bù đại s ố và ma tr ận ph ụ hợp Cho ma tr ận A= ( a ) vuông c ấp n. ij n 1.7.1. Định th ức c ấp (n− 1) thu được t ừ A b ằng cách xóa b ớt dòng i và c ột j, l ấy dấu (+) n ếu (i+ j) ch ẵn, l ấy d ấu (–) n ếu (i+ j) lẻ, được g ọi là ph ần bù đại s ố của ph ần ∀ = tử aij ( i, j 1,2, ,n ), ký hi ệu là Aij . 130
1.7.2. Ma tr ận ký hi ệu A* , được định ngh ĩa nh ư sau: A11 A 21 A n1    A A A A* = 12 22 n2  ⋮ ⋮ ⋮    A1n A 2n A nn  ∀ = Trong đó: Aij ( i,j 1,2, ,n) là ph ần bù đại s ố của ph ần t ử aij , được g ọi là ma tr ận ph ụ hợp c ủa ma tr ận A. Chú ý: Nếu A là ma tr ận vuông c ấp n thì A* cũng là ma tr ận vuông c ấp n. Ví d ụ 12. Tính các ma tr ận ph ụ hợp a11 a 12  A11 A 21  a) Cho A =   thì A* =   a21 a 22  A12 A 22  =+ =− =− =+ Với A11 a;A 22 12 a;A 21 21 a;A 12 22 a 11 a− a  ngh ĩa là A* = 22 12 −  a21 a 11  b) Cho ma tr ận − 2 3 4  B11 B 21 B 31  =   * =   B 1 0 5  thì B B12 B 22 B 32  −    3 2 2  B13 B 23 B 33  Với 0 5 −3 4 −3 4 B=+ =− 10 ; B= − = 2 ; B=+ =− 15 11 2− 2 21 2− 2 31 0 5 1 5 2 4 2 4 B= − = 17 ; B=+ =− 16 ; B=− =− 6 12 3− 2 22 3− 2 32 1 5 1 0 2− 3 2− 3 B= + = 2 ; B=− =− 13 ; B= + = 3 13 3 2 23 3 2 33 1 0 Hay −10 2 − 15  * = − −  B 17 16 6    2− 13 3  c) Cho ma tr ận sau 131
−2 0 0 3    1− 1 2 − 2 C =   2 3 5 1    3 4− 2 4  Hãy tìm ph ần t ử nằm ở dòng 4 c ột 1 trong ma tr ận ph ụ hợp c ủa C. 1− 1 2 * ==− = C41 C 14 2 3 547 3 4− 2 1.8. Ph ươ ng pháp tính định th ức 1.8.1. Tính định th ức b ằng khai tri ển theo 1 dòng ho ặc 1 c ột c ủa định th ức. Cho ma tr ận vuông c ấp n: A= ( a ) , ký hi ệu D= A , khi đó D có th ể được ij n n n tính b ởi m ột trong hai công th ức d ưới đây. = + ++ Dn aA i1i1 aA i2i2⋯ aA inin (1) = + ++ Dn aA 1j1j aA 2j2j⋯ aA njnj (2) ∀ = Với Aij là ph ần bù đại s ố của aij ( i,j 1,2, ,n) (1) g ọi là công th ức khai tri ển định th ức theo dòng i . (2) g ọi là công th ức khai tri ển định th ức theo c ột j. Chú ý: − Các ph ần bù đại s ố Aij là các định th ức c ấp ( n 1 ), nên ý ngh ĩa c ủa công th ức − (1) và (2) là có th ể tính định th ức c ấp n ( Dn ) thông qua các định th ức c ấp (n 1 ) ( Aij ). 1.8.2. Ví d ụ 13. a) Tính định th ức c ủa ma tr ận: −2 0 0 3    1− 1 2 − 2 C =   2 3 5 1    3 4− 2 4  Chúng ta khai tri ển định th ức này theo dòng 1 132
−2 0 0 3 1− 1 2 − 2 D== C =−+ 2C 3C 4 2 3 5 1 11 14 3 4− 2 4 −1 2 − 2 1− 1 2 = + = = − = C11 3 5 114 ; C14 2 3 547 4− 2 4 3 4− 2 Vậy = =−⋅ +⋅ = D4 C 214 347 113 Chú ý: Có th ể có l ợi n ếu khai tri ển định th ức theo dòng (c ột) có nhi ều ph ần t ử bằng 0. N ếu ma tr ận ch ưa có dòng (c ột) nh ư v ậy thì có th ể dùng các tính ch ất c ủa định th ức để tạo ra. 1.9. Ma tr ận ngh ịch đảo 1.9.1. Định ngh ĩa: Cho ma tr ận vuông c ấp n: A= ( a ) . ij n = = Nếu X là ma tr ận vuông cùng cấp với A và tho ả mãn điều ki ện: AX XA I n , thì X được g ọi là ma tr ận ngh ịch đảo c ủa ma tr ận A. − Ký hi ệu: X= A 1 Nh ận xét: Ma tr ận ngh ịch đảo c ủa ma tr ận vuông A= ( a ) (n ếu có) là duy ij n nh ất. 1.9.2. Định lý: Cho A= ( a ) là ma tr ận vuông c ấp n. ij n Điều ki ện c ần và đủ để A có ma tr ận ngh ịch đảo là định th ức c ủa A khác 0. Tr ước khi gi ới thi ệu công th ức tính ma tr ận ngh ịch đảo, chúng ta quay l ại v ới khái ni ệm ma tr ận ph ụ hợp ở mục (1.7). Ví d ụ 14. Cho ma tr ận a a  a− a  A = 11 12 thì A* = 22 12   −  a21 a 22  a21 a 11  Gi ả sử: a a =11 12 = − ≠ A aaaa011 22 12 21 a21 a 22 133
Nh ận xét: aa  a− a  1 0 A.A* =11 12 22 12 = A = A I  −  aa21 22  a 21 a 11  0 1 (I : là ma tr ận đơ n v ị) Tươ ng t ự: a− a  aa  1 0 A* .A=22 12 11 12 = A = A I −   a21 a 11  a 21 a 22  0 1 Vậy chúng ta có: A.A*= A * .A = A .I Do A≠ 0 nên:    1*= 1 * = A. .A  .A  .A I A  A  1 Hay theo định ngh ĩa .A * là ma tr ận ngh ịch đảo c ủa ma tr ận A. A Công th ức tính ma tr ận ngh ịch đảo: Nếu A= ( a ) là ma tr ận vuông c ấp n không suy bi ến ( A≠ 0 ), thì ma tr ận ngh ịch ij n đảo c ủa nó được tính b ởi công th ức sau: − 1 A1= .A * A Ở đây, A * là ma tr ận ph ụ hợp c ủa ma tr ận A. 2− 1 3  =   −1 Ví d ụ 15. Cho A 0 31  . Tìm ma tr ận A .   5− 2 4  Gi ải Đầu tiên tính: 2− 1 3 A= 0 31 =−≠ 220 5− 2 4 Ti ếp theo, xác định ma tr ận ph ụ hợp A*: 3 1 −1 3 −1 3 A= = 14 ; A=− =− 2 ; A= = − 10 11 −2 4 21 −2 4 31 3 1 134
0 1 2 3 2 3 A= − = 5 ; A= = − 7 ; A=− =− 2 12 5 4 22 5 4 32 0 1 0 3 2− 1 2− 1 A= = − 15 ; A=− =− 1 ; A= = 6 13 5− 2 23 5− 2 33 0 3 Vậy ma tr ận ph ụ hợp c ủa ma tr ận A là: 14− 2 − 10  * = − −  A 57 2    −15 − 1 6  Ma tr ận ngh ịch đảo c ủa A được xác định b ởi: 14− 2 − 10  − 14210  −1 =−1 −−=  1 −  A 572  572  22  22  −15 − 1 6  1516 −  0,2 0,3  Ví d ụ 16. Cho A =   0,1 0,4  Hãy tìm ma tr ận ngh ịch đảo c ủa ma tr ận ( I− A ). Gi ải Ta có: 1 0 0,2 0,3  0,8− 0,3  I−= A  −  =  0 1 0,1 0,4 − 0,1 0,6  0,8− 0,3 I− A = = 0,45 −0,1 0,6 Vậy ma tr ận ph ụ hợp c ủa ma tr ận A là: * 0,6 0,3  (I− A) =   0,1 0,8  Ma tr ận ngh ịch đảo c ủa A được xác định b ởi: −1 1 0,6 0,3  (I− A) =   0,45 0,1 0,8  135
1. 10. Hệ ph ươ ng trình tuy ến tính t ổng quát 1.10.1. Các ví d ụ 2x− 3y = 4 a)  gọi là h ệ 2 ph ươ ng trình 2 ẩn x+ 5y = − 1 2− 3  4  Gọi: A =   là ma tr ận h ệ số (c ủa ẩn); b =   là c ột h ệ số tự do 1 5  −1  x  2− 3 4  X =   là c ột ẩn; A= (Ab) =   là ma tr ận h ệ số mở rộng. y  1 5− 1  x+ 2x − 3x =− 4 b) 1 2 3 gọi là h ệ 2 ph ươ ng trình 3 ẩn.  + = 3x1 4x 3 5 1 2− 3  Gọi: A =   là ma tr ận h ệ số (c ủa ẩn) 3 0 4  x  −4  1 = =   b   là c ột h ệ số tự do; X x 2  là c ột ẩn 5    x3  12− 3 − 4  A= (Ab) =   là ma tr ận h ệ số mở rộng. 3 0 4 5  x+ 2y = 3  c) 2x− 3y = 0 gọi là h ệ 3 ph ươ ng trình 2 ẩn  3x+ 4y = − 1 Ta có 1 2  = −  A 2 3  ma tr ận h ệ số (c ủa ẩn)   3 4  3  x  =   = b 0  cột h ệ số tự do; X   là c ột ẩn   y  −1  1 2 3    A= 2 − 30  ma tr ận h ệ số mở rộng   3 4− 1  Nh ận xét: 136
- Cho m ột h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính, chúng ta có th ể bi ểu di ễn nó thông qua ma tr ận hệ số mở rộng (ma tr ận m ở rộng). Ng ược l ại, n ếu cho tr ước ma tr ận h ệ số mở rộng và ký hi ệu ẩn chúng ta s ẽ khôi ph ục l ại được h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính. - Các h ệ ph ươ ng trình trên có th ể vi ết d ưới d ạng ma tr ận: AX= b . 1.10.2. Các định ngh ĩa 1. Hệ ph ươ ng trình tuy ến tính là m ột h ệ th ống g ồm m ph ươ ng trình b ậc nh ất theo n ẩn s ố có d ạng t ổng quát nh ư sau : + ++ =  ax11 1 ax 12 2 ax 1n n b 1  ax+ ax ++ ax = b  211 222 2nn 2 (*)   + ++ = axm11 ax m22 ax mnn b m ∈ ∈ trong đó x,x1 2 , ,x n là các ẩn cần tìm, aij ℝ (g ọi là các hệ số) và bi ℝ (g ọi là các hệ số tự do ), i= 1,m; j = 1,n . Đặt a11 a 12⋯ a 1n  x1  b1        a a⋯ a x b A = 21 22 2n  , X = 2  , B = 2  , ⋯ ⋯ ⋯ ⋯  ⋮  ⋮        am1 a m2⋯ a mn  xn  bm  a a a b  11 12 1n 1  a a a b A=() A B = 21 22 2n 2  ,     am1 a m2 a mn b m  trong đó ta g ọi A là ma tr ận các h ệ số, A là ma tr ận b ổ sung (ma tr ận các h ệ số mở rộng ), X là ma tr ận ẩn và B là ma tr ận các h ệ số tự do . Khi đó, h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính (1.1) được vi ết l ại d ưới d ạng ph ươ ng trình ma tr ận là AX= B . (ma tr ận m ở rộng) Chúng ta có th ể bi ểu di ễn h ệ ph ươ ng trình (*) d ưới d ạng:  n = ∑aijj x b i  j= 1 (D ạng vi ết g ọn) ( )  i= 1,2, ,m Ho ặc d ạng ma tr ận: AX= b ( ) 137
= = = = = 2. Nếu bb1 2⋯ b0 m khi đó h ệ (*) có d ạng AX 0 , nó được g ọi là h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính thu ần nh ất. α=αα( α ) 3. Bộ n s ố th ực có th ứ tự 1, 2 , , n được g ọi là m ột nghi ệm c ủa h ệ =α =α =α ph ươ ng trình (*) n ếu khi chúng ta thay x1 12 ,x 2 , ,x n n , thì t ất c ả các ph ươ ng trình trong h ệ (*) đều tr ở thành đẳng th ức đúng. Nh ận xét: H ệ thu ần nh ất luôn nh ận b ộ số θ = (0,0, ,0) làm nghi ệm (g ọi là nghi ệm t ầm th ường). 4. Hai h ệ ph ươ ng trình có cùng s ố ẩn được g ọi là t ươ ng đươ ng n ếu t ập h ợp nghi ệm c ủa chúng là b ằng nhau. Chú ý: Hai h ệ ph ươ ng trình cùng vô nghi ệm c ũng được coi là t ươ ng đươ ng. Nh ận xét: Vi ệc gi ải m ột h ệ ph ươ ng trình chính là đư a h ệ ban đầu thành h ệ mới tươ ng đươ ng nh ưng đơ n gi ản h ơn. Sau đây, s ẽ gi ới thi ệu hai h ệ ph ươ ng trình được coi là đơ n gi ản và các phép bi ến đổi h ệ ph ươ ng trình để đư a h ệ ban đầu thành h ệ mới t ươ ng đươ ng. 1.10.3. H ệ ph ươ ng trình d ạng tam giác và d ạng hình thang a) H ệ ph ươ ng trình d ạng tam giác Hệ gồm n ph ươ ng trình, n ẩn có d ạng: + ++ = axax11 1 12 2⋯ ax 1n n b 1   a x+⋯ + a x = b  222 2nn 2   =  ann x n b n ≠ Với a11 ,a 22 , ,a nn 0 được g ọi là h ệ ph ươ ng trình d ạng tam giác. Chú ý: Ma tr ận h ệ số A có d ạng tam giác có th ể được vi ết nh ư sau: a11 a 12 a 1n    0 a a A = 22 2n      0 0 a nn  Dễ dàng nh ận th ấy h ệ có duy nh ất nghi ệm. + − = x1 4x 2 3x 3 5  + = − Ví d ụ 17.  2x2 x 3 1  =  3x3 9 138
Chúng ta gi ải ng ược t ừ ph ươ ng trình cu ối lên ph ươ ng trình đầu. = =− = Hệ có duy nh ất nghi ệm ( x1 22, x 2 2, x 3 3 ) Nh ận xét: Hệ ph ươ ng trình thu ần nh ất có d ạng tam giác ch ỉ có duy nh ất nghi ệm tầm th ường. b) H ệ ph ươ ng trình d ạng hình thang Hệ gồm r ph ươ ng trình, n ẩn (v ới r < n) có d ạng: + ++ ++ = ax111 ax 122 ax 1rr ax 1nn b 1   a x++ a x ++ a x = b  222 2rr 2nn 2   + + =  arr x r a rn x n b r ≠ Với a11 ,a 22 , ,a rr 0 , được g ọi là h ệ ph ươ ng trình d ạng hình thang. Chú ý: Ma tr ận h ệ số A có d ạng hình thang có th ể được vi ết nh ư sau: a11 a 12 a 1r a 1n    0 a a a A = 22 2r 2n      0 0 arr a rn  Để gi ải h ệ hình thang đầu tiên chúng ta gi ữ lại v ế trái các ẩn x1 ,x 2 , , x r (g ọi là các ẩn chính) và chuy ển sang v ế ph ải các ẩn xr1+ ,x r2 + , ,x n (g ọi là các ẩn t ự do). Khi đó h ệ có d ạng: + ++ =− −− axax111 122⋯ axbax 1rr 1 1r1r1+ + ⋯ ax 1nn   a x++⋯ a x =− b a+ x + −− ⋯ a x  222 2rr 2 2r1r1 2nn   =− −−  arr x r b r a rr+ 1 x r + 1⋯ a rn x n Cho các ẩn t ự do nh ận m ột b ộ giá tr ị tùy ý: =α =α =α ∀α α α ∈ xr1+ r1r2 ++ ,x r2 + , ,x n n ( r1+, r2 + , , n ℝ) Khi đó h ệ mới nh ận được có d ạng tam giác, gi ải h ệ ta có được: =α =α =α x1 12 ,x 2 , ,x r r Tuy nhiên, c ứ với m ỗi b ộ giá tr ị của các ẩn t ự do chúng ta l ại thu được m ột b ộ giá tr ị của các ẩn chính, nên h ệ ban đầu có vô s ố nghi ệm. Ví d ụ 18. Cho h ệ ph ươ ng trình có d ạng hình thang sau 139
x+−+= 4x x 2x 0  x +=− 4x x 2x 1234⇔ 1234 +−=  =−+  2x234 3x x 0  2x 234 3x x Ch ọn x1 , x 2 làm ẩn c ơ s ở và x3 ,x 4 làm ẩn t ự do . =α =β ∀αβ∈ Gán cho x3 ,x 4 ( , ℝ) ta thu được h ệ ph ươ ng trình d ạng tam giác: x+ 4x =α−β 2 1 2  =− α+β  2x2 3 −3 α+β Suy ra: x= ;x74 =α−β 22 1 Vậy h ệ ban đầu có vô s ố nghi ệm d ạng: −3 α+β   W= 74, α−β ,, αβαβ∈  , ℝ  2   Ta còn g ọi nghi ệm này là nghi ệm t ổng quát. Nh ận xét: Hệ thu ần nh ất có d ạng hình thang s ẽ có nghi ệm khác nghi ệm t ầm th ường. 1.10.4. Các phép bi ến đổi t ươ ng đươ ng h ệ ph ươ ng trình Ba phép bi ến đổi d ưới đây s ẽ bi ến đổi h ệ ban đầu thành h ệ mới t ươ ng đươ ng: 1. Đổi ch ỗ hai ph ươ ng trình trong h ệ. 2. Nhân hai v ế của m ột ph ươ ng trình v ới cùng m ột s ố khác 0. 3. Cộng vào hai v ế, hai v ế tương ứng c ủa m ột ph ươ ng trình khác đã nhân v ới cùng m ột s ố. Nh ận xét: Vi ệc th ực hi ện các phép bi ến đổi t ươ ng đươ ng h ệ ph ươ ng trình, th ực ch ất là làm trên các h ệ số. Do đó, t ươ ng ứng v ới 3 phép bi ến đổi t ươ ng đươ ng hệ ph ươ ng trình chúng ta có 3 phép bi ến đổi sơ c ấp trên dòng đối v ới ma tr ận h ệ số mở rộng A nh ư sau: 1'. Đổi ch ỗ 2 dòng c ủa ma tr ận. 2'. Nhân 1 dòng v ới m ột s ố khác 0. 3'. Cộng vào m ột dòng c ủa ma tr ận m ột dòng khác đã nhân v ới m ột s ố. Ví d ụ 19. Cho h ệ ph ươ ng trình: 3x− 4y = 5  x+ 2y = 6 Ta bi ến đổi t ươ ng đươ ng h ệ này nh ư sau: 140
3x4y5−=(1)  x2y6 +=(2)  x2y6 += ⇔  ⇔  x2y6+=  3x4y5 −=  010y −=− 13 (1) Đổi ch ỗ 2 ph ươ ng trình. (2) C ộng vào 2 v ế của ph ươ ng trình th ứ hai, hai v ế tươ ng ứng c ủa ph ươ ng trình đầu tiên đã nhân v ới (-3). Tươ ng ứng đối v ới ma tr ận h ệ số mở rộng. Chúng ta có các phép bi ến đổi s ơ c ấp trên dòng. 345− (a) 126  (b) 1 26  A =  →  →  126  3− 45  0 − 1013 −  (a) Đổi ch ỗ 2 dòng ma tr ận. (b) C ộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân v ới (–3). Do v ậy, để "ti ết ki ệm" khi bi ến đổi t ươ ng đươ ng h ệ ph ươ ng trình chúng ta ch ỉ cần th ực hi ện trên ma tr ận h ệ số mở rộng. 1.11. Ph ươ ng pháp kh ử ẩn liên ti ếp Gauss 1.11.1. N ội dung Để gi ải m ột h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính chúng ta s ẽ sử dụng các phép bi ến đổi tươ ng đươ ng h ệ ph ươ ng trình để đư a h ệ ban đầu v ề hệ ph ươ ng trình có d ạng tam giác ho ặc d ạng hình thang (hay ma tr ận h ệ số A có d ạng tam giác ho ặc hình thang) c ụ th ể đối v ới h ệ ph ươ ng trình nh ư sau: + ++ =  ax11 1 ax 12 2 ax 1n n b 1  ax+ ax ++ ax = b  211 222 2nn 2 (*)   + ++ = axm11 ax m22 ax mnn b m Không m ất t ổng quát, chúng ta luôn có gi ả thi ết a 11 ≠ 0 (vì n ếu ch ưa có ta có th ể đổi ph ươ ng trình khác để có điều đó). Để ma tr ận h ệ số A có d ạng tam giác ho ặc hình thang, đầu tiên, chúng ta làm cho các ph ần t ử ở cột th ứ nh ất, dòng th ứ hai tr ở đi bi ến thành 0 b ằng cách nhân dòng a  1 v ới − i1  rồi c ộng vào dòng i ( i= 2,3, ), sau ( m− 1 ) phép bi ến đổi nh ư v ậy chúng a11  ta thu được h ệ ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng. 141
+ ++ = ax11 1 ax 12 2 ax 1n n b 1   a' x+ + a x = b '  222 2nn 2 ( )   '+ + ' = '  am22 x a mnn x b n ' = − ai1 Trong đó: aij a ij a ij a11 ' = − ai1 = = bi b i b 1 (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n ) a11 Ở đây, ta còn nói "kh ử ẩn x 1", ti ếp theo b ằng cách t ươ ng t ự, chúng ta "kh ử ẩn x2" t ừ ph ươ ng trình th ứ ba tr ở đi đối v ới h ệ ( ). Sau đó, l ại "kh ử ẩn x 3" t ừ ph ươ ng trình th ứ tư tr ở đi (n ếu có) Quá trình "kh ử ẩn" theo cách nêu trên là quá trình l ặp, sau h ữu h ạn b ước bi ến đổi quá trình s ẽ dừng l ại ở một trong các tr ường h ợp sau đây: 1. Hệ nh ận được có d ạng tam giác (h ệ có duy nh ất nghi ệm) hay ma tr ận h ệ số A có d ạng tam giác. 2. Hệ nh ận được có d ạng hình thang (h ệ có vô s ố nghi ệm) hay ma tr ận h ệ số có dạng hình thang. 3. Trong h ệ xu ất hi ện ph ươ ng trình d ạng: + ++ = ≠ 0x1 0x 2⋯ 0x n b , v ới b 0 . Khi đó, h ệ vô nghi ệm. Chú ý: - Trong quá trình bi ến đổi trong h ệ có th ể xu ất hi ện ph ươ ng trình d ạng : + ++ = 0x1 0x 2⋯ 0x n 0 Khi đó chúng ta có th ể lo ại b ỏ ph ươ ng trình này ra kh ỏi h ệ ph ươ ng trình. - Về mặt th ực hành, để gi ải h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính b ằng ph ươ ng pháp kh ử ẩn liên ti ếp ta làm nh ư sau: Đầu tiên, xác định ma tr ận h ệ số mở rộng A= ( A b ). Ti ếp theo, s ử dụng các phép bi ến đổi s ơ c ấp trên dòng để bi ến đổi sao cho ma tr ận h ệ số A chuy ển thành d ạng tam giác ho ặc hình thang. B ạn đọc có th ể theo dõi c ụ th ể qua các ví d ụ minh h ọa d ưới đây. 1.11.2. Ví d ụ 20. Gi ải các h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp kh ử ẩn liên ti ếp Gauss: 142
+ − = 2x1 x 2 3x 3 4  − + = 1.  x1 2x 2 x 3 0  − = − 3x1 2x 3 1 Bước 1: L ập ma tr ận m ở rộng A 2 1− 34    A=() Ab = 1 − 2 10    3 0− 21 −  Bước 2. Bi ến đổi A để đư a A v ề dạng tam giác ho ặc hình thang: 2134−  1210 −   (1)  AAb==−()  1210 → 2134 −     3021−−  3021 −−    1210−   1210 −  (2)   (3)   →0554−  →  0554 −  0651− −   00129    −  5  (1) Đổi ch ỗ dòng 1 và 2. (2) C ộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân v ới (-2). Cộng vào dòng 3 dòng 1 đã nhân v ới (-3). 6  (3) C ộng vào dòng 3 dòng 2 đã nhân v ới −  . 5  Bước 3. Khôi ph ục l ại h ệ ph ươ ng trình:  x− 2x + x = 0  1 2 3 − =  5x2 5x 3 4  29  x = −  3 5 Đây là h ệ ph ươ ng trình d ạng tam giác, t ươ ng đươ ng v ới h ệ ban đầu. H ệ có duy nh ất nghi ệm là: 19 24 29  W=− , − , −  5 5 5  143
+− + = 2x12 x 3x 3 4x 4 1   x− 3x + x − x =− 2 2. 1 2 3 4  − − + =− 3x1 2x 2 2x 3 3x 4 1  + − + = x1 4x 2 4x 3 5x 4 3 Bước 1. Xác định ma tr ận h ệ số mở rộng A : 2 1− 3 41    1− 3 1 − 12 − A=() A b =   3− 2 − 2 31 −    1 4− 4 53  Bước 2. Bi ến đổi A sao cho ma tr ận h ệ số A đư a được v ề dạng tam giác ho ặc hình thang. 21341−  13112 −−−     13112− −−(1) 21341 − A=() A b =  →  32231−− −  32231 −− −     14453−  14453 −  13112− −−  13112 − −−     (2)07565− (3) 07565 − →  →  07565−  00000     07565−  00000  (1) Đổi ch ỗ dòng (1) và dòng (2). (2) C ộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân v ới (-2). Cộng vào dòng 3 dòng 1 đã nhân v ới (-3). Cộng vào dòng 4 dòng 1 đã nhân v ới (-1). (3) C ộng vào dòng 3 dòng 2 đã nhân v ới (-1). Cộng vào dòng 4 dòng 2 đã nhân v ới (-1). Bước 3. Khôi ph ục l ại h ệ ph ươ ng trình: x− 3x + x − x =− 2 1 2 3 4  − + =  7x2 5x 3 6x 4 5 Hệ ph ươ ng trình có d ạng hình thang, nó t ươ ng đươ ng v ới h ệ: x− 3x =−− 2 x + x 12 34  = + −  7x2 5 5x 3 6x 4 144
Ch ọn x1 , x 2 làm ẩn c ơ s ở và x3 ,x 4 làm ẩn t ự do. =α =β( ∀αβ∈ ) Gán cho x3 ,x 4 , ℝ ta có: x− 3x =− 2 −α+β 1 2  = + α− β  7x2 5 5 6 Hệ có vô s ố nghi ệm d ạng: 18+α− 11 β 55 +α−β 6   W= , ,,, αβαβ∈  ℝ 7 7   − + = x1 3x 2 2x 3 5  + − = 3. 4x1 x 2 3x 3 2 − − + =  3x1 4x 2 5x 3 1 Bước 1. Xác định ma tr ận m ở rộng A 1− 3 25    A=() Ab = 4 1 − 32    −3 − 4 51  Bước 2. Bi ến đổi ma tr ận A 1− 3 25    A=() Ab = 4 1 − 32    −3 − 4 51  1325−  1325 −  (1)  (2)  →0 13−− 11 18  → 0 13 −− 11 18     0− 13 1116  0 0 0 − 2  (1) C ộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân v ới (-4) Cộng vào dòng 3 dòng 1 đã nhân v ới 3. (2) C ộng vào dòng 3 dòng 2 đã nhân v ới 1. Trong h ệ xu ất hi ện ph ươ ng trình có d ạng: + + =− 0x1 0x 2 0x 3 2 Ph ươ ng trình này vô nghi ệm, do đó h ệ ph ươ ng trình c ũng vô nghi ệm. 1.12. Hệ ph ươ ng trình Cramer 1.12.1. Định ngh ĩa Hệ gồm n ph ươ ng trình, n ẩn có d ạng: 145
+ ++ = ax11 1 ax 12 2 ax 1n n b 1  ax+ ax ++ ax = b  211 222 2nn 2 (*)   + ++ = axn11 ax n22 ax nnn b n Với a11 a 12 a 1n a a a A=21 22 2n ≠ 0 an1 a n2 a nn được g ọi là h ệ ph ươ ng trình Cramer. 1.12.2. Ví d ụ 21. Xét các h ệ sau 2x− 3y = 4 1.  x+ 4y = − 1 Hệ ph ươ ng trình trên là h ệ gồm 2 ph ươ ng trình, 2 ẩn và 2− 3 A= = 110 ≠ , 1 4 nên nó là h ệ ph ươ ng trình Cramer. + − = 4x1 3x 2 2x 3 7  + = 2. x1 x 2 5  + = 3x1 x 3 4 Hệ ph ươ ng trình trên là h ệ gồm 3 ph ươ ng trình 3 ẩn và 4 3− 2 A= 11 070 = ≠ 3 0 1 nên nó là h ệ ph ươ ng trình Cramer. 1.12.3. D ạng ma tr ận c ủa h ệ ph ươ ng trình Cramer – Ph ươ ng pháp ma tr ận ngh ịch đảo gi ải h ệ Cramer Ký hi ệu: aa a11 12 1n  x 1 b 1   aa a x b A=2122 2n  ;X;b = 2 = 2  ⋮ ⋮   aa an1 n2 nn  x n b n 146
Khi đó, h ệ ph ươ ng trình Cramer (*) có th ể vi ết d ưới d ạng ma tr ận nh ư sau: AX= b  ( )  A≠ 0 Ph ươ ng trình này có nghi ệm duy nh ất xác định b ởi công th ức: − X= A1 b Ví d ụ áp d ụng: a) Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp ma tr ận ngh ịch đảo: 2x− 3y = 4  x+ 4y = − 1 Ta có: 2− 3  x  4  A =   ; X =   ; b =   1 4  y  −1  Bước 1. Tìm ma tr ận ngh ịch đảo A –1 2− 3 A= = 110 ≠ 1 4 * 4 3  A =   −1 2  −1 1 4 3  A =   11 −1 2  Bước 2. Nghi ệm c ủa h ệ được tính b ởi công th ức: 13    x−1 1  434  1  13 11 X=== A .b   =  =   y11 − 121  − 11  − 66 −    11  Vậy h ệ có nghi ệm duy nh ất 13− 6  x= ; y =  11 11  b) Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp ma tr ận ngh ịch đảo. + − = 4x1 3x 2 2x 3 7  + = x1 x 2 5  + = 3x1 x 3 4 147
Ta có: − 432  x1   7 =  =  =  A 11 0;X  x;b2   5     301  x3   4 − Bước 1. Tìm ma tr ận ngh ịch đảo A 1 4 3− 2 A= 11 0 = 70 ≠ 3 0 1 1− 3 2  * = − −  A 110 2    −3 9 1  1− 3 2  −1 =1  − −  A 110 2  7   −3 9 1  Bước 2. H ệ có duy nh ất nghi ệm được tính b ởi công th ức: − x1   1327   00   − 1  1  X== x A.b1 =− 110 − 25 = 35 = 5 2  7  7    −   x3   3914   284 Hay = = = ( x1 0, x 2 5, x 3 4 ). 1.12.4. Quy t ắc Cramer (Ph ươ ng pháp định th ức gi ải h ệ ph ươ ng trình Cramer) Quy t ắc Cramer: H ệ ph ươ ng trình Cramer (*) có duy nh ất nghi ệm được tính theo công th ức: Dx x=j , (j = 1,2, ,n) j D Với a11 a 12 a 1n a a a D= A = 21 22 2n an1 a n2 a nn 148
Các D nh ận được t ừ D b ằng cách thay c ột h ệ số của ẩn x bởi c ột h ệ số tự do x j j b (j= 1,2, ,n) . Ch ẳng h ạn: ba1 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b 1 ba a a a a b D=2 22 2n , ,D = 2122 2n 2 x1 x n ban n2 a nn a n1 a n2 a nn b n * Ví d ụ áp d ụng: Gi ải các h ệ ph ươ ng trình sau b ằng quy t ắc Cramer (ph ươ ng pháp định th ức): ax+ by = k a) 1 1 1 gi ả thi ết ab− ab ≠ 0  + = 12 21 ax2 by 2 k 2 Ta có a b =1 1 =−≠ D abab012 21 a2 b 2 k b =1 1 = − Dx kbkb 1221 k2 b 2 a k =1 1 = − Dy akak 1221 a2 k 2 Hệ có nghi ệm duy nh ất:  D kbkb−D akak −  x==x 1221 ; y ==y 1221  − −   D ab1221 ab D ab 1221 ab  3x+ 4y = − 5 b)  2x− y = 6 Ta có 3 4 −5 4 D= =−≠ 110 ; D= = − 19 2− 1 x 6− 1 3− 5 D= = 28 y 2 6 D19Dy 28  Hệ có nghi ệm duy nh ất: x=x = ; y = =−  D 11 D 11  149
+ + = ax1 by 1 cz 1 k 1  + + = c) ax2 by 2 cz 2 k 2  + + = ax3 by 3 cz 3 k 3 Ta có a1 b 1 c 1 k1 b 1 c 1 = ≠ = Da2 b 2 c 2 0 ; Dx k 2 b 2 c 2 ; a3 b 3 c 3 k3 b 3 c 3 a1 k 1 c 1 a1 b 1 k 1 = = Dy a 2 k 2 c 2 ; Dz a 2 b 2 k 2 . a3 k 3 c 3 a3 b 3 k 3 Hệ có nghi ệm duy nh ất: DDy D  x=x ;y = ;z = z  D D D  d) Chúng ta gi ải l ại ví d ụ b) trong m ục 1.3.3. + − = 4x1 3x 2 2x 3 7  + =  x1 x 2 5  + = 3x1 x 3 4 Ta có: 4 3− 2 7 3− 2 D= 11 0 = 70 ≠ ; D= 51 00 = x1 3 0 1 4 0 1 4 7− 2 4 3 7 D= 15 0 = 35 ; D= 115 = 28 x2 x3 3 4 1 3 0 4 Hệ có nghi ệm duy nh ất là:  D0 D 35D 28  =x1 == = x 2 == =x3 ==  x1 0; x 2 5; x 3 4   D7 D7 D7  150
Ph ụ lục 2. Đạo hàm và vi phân hàm s ố một bi ến 2.1. Đạo hàm c ủa hàm s ố một bi ến 2.1.1. Các định ngh ĩa = – Cho hàm s ố y f(x) xác định trong m ột lân c ận điểm x0 (m ột kho ảng đủ nh ỏ ch ứa x0 ). ∆ = − ∆ – Ký hi ệu x x x 0 gọi là s ố gia c ủa đối s ố (v ới x đủ nh ỏ), t ươ ng ứng ∆= +∆ − y f(x0 x) f(x) 0 được g ọi là s ố gia c ủa hàm s ố. Nếu t ồn t ại gi ới h ạn h ữu h ạn : ∆y f(x)− f(x) f(x +∆− x) f(x) lim= lim0 = lim 0 0 ∆→∆ → − ∆→ ∆ x0x xx0 xx0 x0 x thì hàm s ố f (x) được g ọi là có đạo hàm t ại điểm x0 và k ết qu ả của gi ới h ạn này, được / / gọi là đạo hàm c ủa hàm s ố f (x) tại điểm x0 , ký hi ệu là f (x0 ) hay y (x0 ) . Ví d ụ 1. Sử dụng định ngh ĩa, xây d ựng công th ức tính đạo hàm c ủa hàm s ố y= f(x) = x 2 = Tập xác định c ủa hàm s ố : Df R −2 − 2 ∈ f(x) f(x)0= x x 0 = Với x0 R , xét gi ới h ạn lim lim 2x 0 xx→− xx → − 0xx0 0 xx 0 / = 2 / = ∀ ∈ Vậy f (x0 ) 2x 0 hay (x) 2x(xR ) 1− cos3x  khi x ≠ 0 Ví d ụ 2. Cho hàm s ố: f (x) =  x . Tính đạo hàm f/ (0). 0 khi x= 0. Gi ải 1− cos3x2 3x f (x)− f (0) 1 − cos3x2sin 9 Xét lim= limx = lim = lim 2 = . x0→x0x− x0 → x0 →x2 x0 → x 2 2 9 Vậy hàm s ố có đạo hàm f(0)/ = . 2 Ví d ụ 3. Dùng định ngh ĩa xây d ựng công th ức tính đạo hàm c ủa hàm s ố: y= f (x) = 3x + 1. Gi ải 151
= −1 +∞  Tập xác định c ủa hàm s ố : Df  ; . 3  ∈ −1 +∞  ∆= +− + Xét x0  ; . Ta có: y 3x1 3x0 1, do đó : 3  ∆y 3x+ 1 − 3x + 1 lim= lim0 . ∆ →∆ → − x0x xx 0 x x 0 1 Khi x > − gi ới h ạn trên t ồn t ại và nh ận giá tr ị hữu h ạn: 0 3 3x+ 1 − 3x + 1 3 lim0 = . x→ x − + 0 x x 0 2 3x0 1 1 Khi x = − , gi ới h ạn trên không t ồn t ại h ữu h ạn. 0 3 3 Do đó, đạo hàm c ủa hàm s ố là: f(x)/ = . 2 3x+ 1 – Đạo hàm m ột phía: + Đạo hàm bên trái c ủa hàm s ố f (x) tại điểm x0 : dn f(x+ ∆ x) − f(x) / = 0 0 ế ớ ạ ồ ạ ữ ạ f− (x0 ) lim − (n u gi i h n này t n t i và h u h n) ∆x → 0 ∆x + Đạo hàm bên ph ải c ủa hàm s ố f (x) tại điểm x0 : dn f(x+ ∆ x) − f(x) / = 0 0 ế ớ ạ ồ ạ ữ ạ f+ (x0 ) lim + (n u gi i h n này t n t i và h u h n) ∆x → 0 ∆x Hàm s ố có đạo hàm t ại điểm x0 khi và ch ỉ khi hàm s ố có đạo hàm trái, đạo hàm ph ải t ại x0 , đồng th ời hai đạo hàm này b ằng nhau : / ⇔ /= / f (x0 ) tồn t ại f(x)−0 f + (x) 0 – Đạo hàm trên m ột kho ảng : + Hàm s ố f (x) được g ọi là có đạo hàm trên kho ảng (a,b) nếu nó có đạo hàm t ại mọi điểm trên kho ảng này. + Hàm s ố f (x) được g ọi là có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm trên kho ảng (a,b) và có đạo hàm bên ph ải t ại a, đạo hàm bên trái t ại b. 2.1.2. Liên h ệ với tính liên t ục 152
– Nếu hàm s ố f (x) có đạo hàm t ại điểm x0 thì f (x) liên t ục t ại x0 , điều ng ược l ại không ch ắc đã đúng. = = Ví d ụ 4. Hàm s ố f(x) x liên t ục t ại x0 0 nh ưng không có đạo hàm t ại điểm đó. 2.1.3. ý ngh ĩa hình h ọc c ủa đạo hàm – Đạo hàm c ủa hàm s ố f (x) tại điểm x0 là h ệ số góc ti ếp tuy ến v ới đồ th ị hàm s ố = / = α y f(x) tại điểm M0( x;f 0( x 0 )). Ta có f (x0 ) tan − =/ − Ph ươ ng trình ti ếp tuy ến đó là: y f(x)0 f( x 0)( x x 0 ). 1 Ví d ụ 5. Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến v ới đồ th ị hàm số y= f(x) = x 2 tại điểm x = 0 2 Gi ải. Ta có     / = = 1 1= 1 / 1 = f (x) 2x . T ại x0 , ta có f   và f  2 2 2  2 2    = 1 −1 = − 1 Ph ươ ng trình ti ếp tuy ến t ại điểm x0 là : y 2 x  . 2 2 2  2.1.4. Ý ngh ĩa c ủa đạo hàm / / f (x0 )hayy (x 0 ) bi ểu th ị tốc độ thay đổi c ủa giá tr ị hàm s ố f (x) tại điểm x0 , khi đối s ố x thay đổi m ột l ượng nh ỏ. Nói cách khác, t ại x0 khi đối s ố x thay đổi m ột l ượng / nh ỏ, thì giá tr ị hàm s ố f (x) sẽ thay đổi m ột l ượng x ấp x ỉ bằng f (x0 ) . 153
2.2. Đạo hàm c ủa các hàm s ơ c ấp c ơ b ản Dưới đây là b ảng công th ức đạo hàm c ủa m ột s ố hàm s ố sơ c ấp c ơ b ản α α− 1. (c)/ = 0 (clà h ằng s ố) 2. (x)/= α x 1 ;(x) / = 1. 1 1 3. (a)x/= a x lna;(e) x/ = e. x 4. (log x)/= ; (ln x) / = . a x ln a x 5. (sinx)/ = cosx. 6. (cos x)/ = − sin x. 1 1 7. (tan x)/ = . 8. (cot x)/ = − . cos2 x sin2 x 1 1 9. (arcsin x)/ = . 10. (arccos x)/ = − . 1− x 2 1− x 2 1 1 11. (arctan x)/ = . 12. (arccotx)/ = − . 1+ x 2 1+ x 2 2.3. Các quy t ắc tính đạo hàm 2.3.1. Đạo hàm c ủa t ổng, hi ệu, tích, th ươ ng c ủa các hàm s ố Nếu các hàm s ố u= u(x) và v= v(x) cùng có đạo hàm thì: 1. (ku)/= ku / (k là h ằng s ố). 2. (u± v)/ = u / + v. / 3. (uv)/= uv / + uv. / u  / uv/− uv / 4.   =(v ≠ 0). v  v2 2.3.2. Đạo hàm c ủa hàm s ố hợp = ϕ = Nếu hàm s ố u (x) có đạo hàm t ại điểm x0 và hàm s ố y f(u) có đạo hàm t ại = ϕ = ϕ điểm u0 (x) 0 thì hàm h ợp y f[ (x) ] có đạo hàm t ại điểm x0 và giá tr ị của đạo hàm được tính theo công th ức: /= / / yx yu. u x Áp d ụng quy t ắc đạo hàm c ủa hàm h ợp, n ếu u= ϕ (x) là m ột hàm s ố có đạo hàm thì các công th ức đạo hàm được s ử dụng nh ư sau: 154
α α− 1 1. (u)/= α u 1 .u. / 6. (tan u)/= .u / . cos2 u 1 2. (au/ )= (a u lna)u;(e) / u/ = eu. u/ 7. (cot u)/= − .u / . sin2 u 1 /= 1 / 8. /= / 3. (loga u) .u ; (arcsin u) .u . u ln a 1− u 2 / u /1 / (ln u)/ = . 9. (arccos u)= − .u . u 1− u 2 1 4. (sin u)/= cosu.u / . 10. (arctan u)/= .u / . 1+ u 2 1 5. (cosu)/= − sinu.u / . 11. (arccot u)/= − .u / . 1+ u 2 2.4. Khái ni ệm vi phân và liên h ệ với đạo hàm = ∈ Định ngh ĩa: Cho hàm s ố y f(x) xác định trên X. Gi ả sử f (x) liên t ục t ại x0 X. Nếu s ố gia c ủa hàm s ố f (x) tại x0 có th ể bi ểu di ễn được d ưới d ạng: ∆ = ∆+α∆ f(x)0 A.x ( x) trong đó, A là m ột h ằng s ố, α( ∆ x) là m ột vô cùng bé b ậc cao h ơn ∆x thì ta nói ∆ hàm s ố f (x) kh ả vi t ại x0 và giá tr ị A. x được g ọi là vi phân c ủa hàm s ố f (x) tại điểm = ∆ x0 , ký hi ệu là: df (x0 ). Nh ư v ậy, df (x0 ) A. x. Định lý: Hàm s ố f (x) kh ả vi t ại x0 khi và ch ỉ khi hàm s ố f (x) có đạo hàm t ại x0 =/ ∆ và khi đó: df (x0 ) f (x 0 ). x. – Nếu hàm s ố kh ả vi t ại m ọi điểm trong kho ảng X thì ta nói hàm s ố kh ả vi trong X. Khi đó, ta có m ột hàm s ố xác định trên X gọi là bi ểu th ức vi phân c ủa hàm s ố, ký hi ệu là: df (x) ho ặc dy. df(x)= dy = A. ∆ x. Đặc bi ệt n ếu y= x thì dx= ∆ x. Do đó, bi ểu th ức vi phân c ủa hàm s ố y= f(x) th ường được vi ết d ưới d ạng: df(x)= f/ (x)dx. 2.5. Các quy t ắc tính vi phân = = Nếu các hàm s ố u u(x) và v v(x) kh ả vi t ại điểm x0 thì t ại điểm đó ta có: 1. d(u± v) = du ± dv. 155
2. d(ku)= kdu (k là hằng s ố). 3. d(uv)= vdu + udv. u  vdu− udv 4. d  = (v0). ≠ v  v2 x π Ví dụ 6. Tính vi phân c ủa hàm s ố y= x cos tại x = khi ∆x = 0,01. 2 0 2 Gi ải xxxπ 1  π  Ta có: ycos/= − sin⇒ y / =  1 −  . 222 22  4  π  π0,01(4 −π ) 4 −π Vậy, dyyx=/  ∆= = . 2  2 42 4002 Ví d ụ 7. Tìm bi ểu th ức vi phân c ủa các hàm s ố: a) y= ax + b. b) y= x(ln x − 1). 1 x− 6 c) y= sin . 12 x+ 6 Gi ải / a) Ta có: y/ =[] ax + b) = a . Do v ậy, dy= adx / b) Ta có: y/=[] x(lnx −= 1) x(lnx / −+ 1) x(lnx −= 1) / lnx. Do v ậy, dy= lnxdx . 1x6− / 1 x6x6 −−  / 1 x6 − c) Ta có: y/ = sin  = cos .  = cos . 12x6+  12 x6x6 ++  (x+ 6) 2 x6 + 1 x− 6 Do v ậy, dy= ydx/ = cos dx. (x+ 6) 2 x+ 6 * Tính b ất bi ến c ủa bi ểu th ức vi phân c ấp 1: Xét hàm s ố hợp y= f(x),x = x(t). Bi ểu th ức vi phân c ủa hàm s ố là: =/ = // = / dy yt dt (y xt .x )dt y x .dx. Nh ư v ậy, bi ểu th ức vi phân gi ữ nguyên d ạng trong tr ường h ợp x là bi ến độc l ập, cũng nh ư x là bi ến trung gian. 2.6. Các định lý c ơ b ản v ề hàm s ố kh ả vi và áp d ụng 156
2.6.1. B ổ đề Fermat Gi ả sử hàm s ố f (x) xác định trong kho ảng (a,b) và đạt giá tr ị cực đại (ho ặc giá tr ị cực ti ểu) t ại điểm c thu ộc kho ảng (a,b). Khi đó, n ếu t ại c hàm s ố có đạo hàm thì f/ (c)= 0. 2.6.2. Định lý Rolle Gi ả sử hàm s ố f (x) xác định, liên t ục trên [a,b ] và kh ả vi trên (a,b) . Nếu f(a)= f(b) thì t ồn t ại điểm c∈( a,b ) sao cho: f/ (c)= 0. 2.6.3. Định lý Lagrange Nếu hàm s ố f (x) xác định, liên t ục trên [a,b ] và kh ả vi trên (a,b ) thì t ồn t ại điểm c∈( a,b ) sao cho f(b)− f(a) = f/ (c)(b − a) . 2.6.4. Định lý Cauchy Nếu các hàm s ố f (x), g(x) xác định, liên t ục trên [a,b] , kh ả vi trên (a,b ) và g(x)≠ 0, ∀ x ∈ (a,b) thì t ồn t ại điểm c∈( a,b ) sao cho : f/ (c) f(b)− f(a) = . g/ (c) g(b)− g(a) Ví d ụ 8. Ch ứng minh b ất đẳng th ức: sina− sin b ≤ a − b . Gi ải Ta có hàm s ố f(x)= sinx xác định và liên t ục trên [a,b] , có đạo hàm y/ = cos x trên (a,b) . Theo công th ức Lagrange, t ồn t ại c∈( a,b ) sao cho f(a)− f(b) = f/ (c)(a − b) Hay sina− sinb = (a − b).cosc Do cosc≤ 1 nên ta suy ra sina− sinb = cosca −≤− b a b. Ví d ụ 9. Cho f(x)=−+ (x2 3x 2)ln(x 2 + 1). 157