›
›

Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị - Nguyễn Huy Hoàng

pdf 78 trang Gia Huy 19/05/2022 3050
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị - Nguyễn Huy Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_danh_cho_kinh_te_va_quan_tri_nguyen_huy_hoan.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán dành cho kinh tế và quản trị - Nguyễn Huy Hoàng

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN THỐNG KÊ Giáo Trình TOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ (Dành cho chương trình chất lượng cao) Mã số : GT – 01 – 18 Nhóm biên soạn: Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên) Nguyễn Trung Đông THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2018
  2. MỤC LỤC Trang Lời mở đầu 5 Một số ký hiệu 7 Chương 1. Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng trong phân tích kinh tế .8 1.1. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Output của Leontief) 8 1.1.1. Giới thiệu mô hình 8 1.1.2. Phương pháp giải 9 1.1.3. Các ví dụ 10 1.1.4. Bài tập 14 1.2. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 18 1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan 18 1.2.2. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân 21 1.2.3. Mô hình IS – LM 25 1.2.4. Bài tập 29 Thuật ngữ chính chương 1 33 Chương 2. Áp dụng phép tính vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân vào phân tích kinh tế và kinh doanh .34 2.1. Bài toán lãi suất và hiệu quả đầu tư 34 2.1.1. Giới hạn e và bài toán lãi suất 34 2.1.2. Đánh giá hiệu quả đầu tư 36 2.1.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ 37 2.1.4. Bài tập 39 2.2. Áp dụng đạo hàm và phân tích kinh tế và kinh doanh 41 2.2.1. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế và kinh doanh 41 2.2.2. Đạo hàm và giá trị cận biên 43 2.2.3. Đạo hàm và hệ số co dãn 45 2.2.4. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần 46 2.2.5. Khảo sát hàm bình quân 47 2.2.6. Bài toán tối ưu hàm một biến 49 2
  3. 2.2.7. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) 58 2.2.8. Bài tập 60 2.3. Áp dụng tích phân vào phân tích kinh tế và kinh doanh 64 2.3.1. Bài toán tìm hàm tổng khi biết hàm cận biên 64 2.3.2. Bài toán tìm hàm quỹ vốn khi biết hàm đầu tư 67 2.3.3. Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng .68 2.3.4. Bài tập 69 2.4. Phương trình vi phân và áp dụng kinh tế .73 2.4.1. Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn của cầu theo giá 73 2.4.2. Biến động của giá trn thị trường theo thời gian 74 2.4.3. Bài tập 77 Thuật ngữ chính chương 2 78 Chương 3. Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân tích kinh tế và kinh doanh 79 3.1. Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế 79 3.1.1 Hàm sản xuất .79 3.1.2. Hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận 79 3.1.3. Hàm lợi ích (hàm thoả dụng) 80 3.1.4. Điểm cân bằng 80 3.1.5. Hàm cung, cầu thị trường n hàng hóa liên quan 81 3.2. Áp dụng đạo hàm riêng và vi phân toàn phần vào phân tích kinh tế và kinh doanh.82 3.2.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên 82 3.2.2. Đạo hàm riêng và hệ số co dãn 85 3.2.3. Đạo hàm riêng cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần 87 3.2.4. Hàm thuần nhất và vấn đề hiệu quả của quy mô 88 3.2.5. Đạo hàm của hàm ẩn và áp dụng phân tích kinh tế 89 3.2.6. Hai hàng hóa có tính chất thay thế hoặc bổ sung 92 3.2.7. Bài tập 93 3.3. Mô hình cực trị không có điều kiện ràng buộc (tự do) nhiều biến trong kinh tế 95 3.3.1. Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận 95 3.3.2. Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận 99 3.3.3. Bài tập 102 3
  4. 3.4. Mô hình cực trị có điều kiện ràng buộc nhiều biến trong kinh tế 104 3.4.1. Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho chi tiêu 104 3.4.2. Tối đa hóa sản lượng trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho sản xuất 106 3.4.3. Tối thiểu hóa chi tiêu trong điều kiện giữ mức lợi ích 110 3.4.4. Tối thiểu hóa chi phí trong điều kiện giữ mức sản lượng 112 3.4.5. Tối đa hóa lợi nhuận của hãng độc quyền, trong trường hợp không phân biệt giá bán ở hai thị trường 115 3.4.6. Bài tập 118 Thuật ngữ chính chương 3 122 Phụ lục 123 Phụ lục 1. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 123 Phụ lục 2. Đạo hàm và vi phân hàm số một biến 151 Phụ lục 3. Bài toán tối ưu hàm một biến .159 Phụ lục 4. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính tích phân 166 Phụ lục 5. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 177 Phụ lục 6. Bài toán cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện ràng buộc (cực trị tự do) 187 Phụ lục 7. Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc phương trình (phương pháp nhân tử Lagrange) 195 Phụ lục 8. Phương trình vi phân 200 Một số đề tham khảo . 204 Tài liệu tham khảo 209 4
  5. LỜI MỞ ĐẦ U Sinh viên đại h ọc kh ối ngành Kinh t ế và Qu ản tr ị kinh doanh, khi h ọc môn Toán cao cấp th ường đặ t câu h ỏi: môn h ọc có ứng d ụng gì trong phân tích kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh hay không? Nh ằm tr ả l ời cho câu h ỏi này, chúng tôi biên so ạn giáo trình: Toán dành cho kinh t ế và qu ản tr ị. Giáo trình ti ếp thu t ư t ưởng c ủa các tài li ệu đang được gi ảng d ạy cho các tr ường đạ i h ọc danh ti ếng trên th ế gi ới nh ư: 1. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2001. 2. Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business, Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc. Graw - Hill Companies, Inc (Expanded 10 th ed), 2010. Cũng nh ư các tài li ệu trong n ước, phù h ợp điều ki ện, ch ươ ng trình đào t ạo c ủa Vi ệt Nam nh ư: 1. Nguy ễn Huy Hoàng – Toán c ơ s ở cho kinh t ế, NXB Thông tin và Truy ền thông, 2011& NXB GD, 2014. Nội dung cu ốn giáo trình, được trình này d ưới d ạng mô hình và ph ươ ng pháp gi ải bao g ồm 3 ch ươ ng và một ph ụ l ục Toán cao c ấp, cùng một s ố đề tham kh ảo để sinh viên, có th ể tự rèn luy ện. Đố i t ượng chính của giáo trình là sinh viên hệ đào t ạo ch ất l ượng cao, nên ở m ỗi ch ươ ng chúng tôi có gi ới thi ệu thu ật ng ữ Anh – Vi ệt, giúp sinh viên d ễ dàng đọc sách tham kh ảo b ằng ti ếng Anh. Nội dung cụ th ể giáo trình : Ch ươ ng 1. Một s ố mô hình đại s ố tuy ến tính nh ư mô hình cân đối liên ngành, mô hình IS – LM, các mô trình cân b ằng th ị tr ường Ch ươ ng 2. Sử d ụng đạ o hàm trong phân tích kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh nh ư: phân tích hàm c ận biên, h ệ s ố co dãn, h ệ s ố t ăng tr ưởng, t ối ưu hàm m ột bi ến Trình bày ph ươ ng pháp s ử d ụng công c ụ tích phân trong kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh nh ư: tìm hàm tổng khi biết hàm c ận biên, hàm qu ỹ v ốn khi bi ết hàm đầu t ư, tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất và c ủa ng ười tiêu dùng và ph ươ ng trình vi phân áp d ụng phân tích kinh t ế nh ư: tìm hàm c ầu khi bi ết h ệ s ố co dãn, 5
  6. Ch ươ ng 3. Trình bày các ứng d ụng đạ o hàm riêng và vi phân toàn ph ần trong phân tích kinh t ế nh ư phân tích c ận biên, h ệ s ố co dãn riêng, m ột s ố hình t ối ưu hàm nhi ều bi ến trong kinh t ế nh ư t ối đa hóa l ợi nhu ận, t ối thi ểu hóa chi tiêu, Các mô hình t ối ưu có điều ki ện ràng bu ộc: t ối đa hóa l ợi ích v ới ràng bu ộc ngân sách chi tiêu, Để thu ận l ợi trong vi ệc tra c ứu các ki ến th ức c ơ b ản v ề Toán cao c ấp, ph ục v ụ vi ệc gi ải thích các ki ến th ức n ền cho phân tích kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh chúng tôi đưa vào ph ần ph ụ l ục Toán cao c ấp. Giáo trình do TS. Nguy ễn Huy Hoàng và ThS. Nguy ễn Trung Đông là các gi ảng viên có nhi ều n ăm kinh nghi ệm gi ảng d ạy toán dành cho sinh viên kh ối ngành kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh, cùng biên t ập. Giáo trình ch ắc ch ắn còn nhi ều thi ếu sót, r ất mong được s ự góp ý c ủa các đồng nghi ệp cùng các em sinh viên. M ọi ý ki ến đóng góp xin g ởi v ề đị a ch ỉ email: hoangtoancb@ufm.edu.vn và nguyendong@ufm.edu.vn . Xin trân tr ọng c ảm ơn! Các tác gi ả 6
  7. MỘT SỐ KÝ HIỆU 1. Q : Sản lượng. 2. D : Cầu. 3. S : Cung. 4. QD : Lượng cầu. 5. QS : Lượng cung. 6. P : Giá bán. 7. L : Lao động (nhân công). 8. MPL : Hàm sản phẩm cận biên của lao động. 9. K : Vốn (tư bản). 10. : Lợi nhuận. 11. TR : Tổng doanh thu. 12. MR : Doanh thu biên. 13. TC : Tổng chi phí. 14. FC : Chi phí cố định. 15. VC : Chi phí biến đổi (chi phí khả biến). 16. MC : Chi phí biên. 17. AC : Chi phí trung bình (chi phí bình quân). 18. T : Tổng thuế. 19. t : thuế trên một đơn vị sản phẩm. 20. TU : Tổng hữu dụng. 21. MU : Hữu dụng biên. 22. YX : Hệ số co giãn của Y theo X. 23. rY : Hệ số tăng trưởng của Y (nhịp tăng trưởng của Y). 24. Yd : Thu nhập khả dụng. 25. I : Nhu cầu đầu tư của dân cư. 26. G : Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ. 27. X : Nhu cầu xuất khẩu. 28. M : Nhu cầu nhập khẩu. 29. IS – LM : Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền. 7
  8. Chương 1 Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng trong phân tích kinh tế 1.1. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Output của Leontief) Trong phần này, chúng tôi xin giới thiệu một mô hình kinh tế, công cụ chủ yếu để giải mô hình này là các phép toán đối với ma trận và định thức. 1.1.1. Giới thiệu mô hình Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa nào đó (output) đòi hỏi phải sử dụng các loại hàng hóa khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào (input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng, nó bao gồm: – Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất. – Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, Nhà nước, các tổ chức xuất khẩu, Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1,2, ,n. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả các loại hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền. Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i (i 1, 2, , n) được ký hiệu, xi và xác định bởi: xi x i1 x i2  x in b i (i 1,2, ,n) (1.1) Trong đó: xik : là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho quá trình sản xuất của mình (giá trị cầu trung gian). bi : là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu (giá trị cầu cuối cùng). Tuy nhiên, trong thực tế, ta thường không có thông tin về giá trị cầu trung gian xik , nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào của sản xuất. 8
  9. Gọi aik : là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm của ngành i, nó được tính bởi công thức: xik aik i 1, 2, , n xk Trong đó +) 0 aik 1, và ở đây, giả thiết aik là cố định đối với mỗi ngành sản xuất i, k 1,2, ,n . Người ta còn gọi aik là hệ số chi phí đầu vào và ma trận. +) A aik n được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào (ma trận hệ số kỹ thuật). +) Giả sử aik 0,3 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm của mình, ngành k đã phải chi 0,3 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quá trình sản xuất. Đặt b1 b B 2  bn Ta gọi X là ma trận tổng cầu và B là ma trận cầu cuối cùng. Khi đó, từ đẳng thức (1.1), thay xik a ik  x k chúng ta có: xi a i1  x 1 a i2  x 2  a in  x n b i (i 1, 2, , n) Hay biểu diễn dưới dạng ma trận: x1 a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 x a a a x b 2 21 22 2n 2 2    xn a n1 a n2 a nn x n b n Tức là X AX B (1.2) 1.1.2. Phương pháp giải Từ (1.2), ta có IAXB Trong đó, I là ma trận đơn vị cấp n, nếu IA không suy biến thì: 9
  10. 1 XIAB (1.3) Công thức (1.3) được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu. +) Ma trận IA được gọi là ma trận Leontief. Như vậy, nếu chúng ta biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của các ngành sản xuất. 1 +) Ma trận C I A c , và gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ. Hệ số c ij n n ij cho biết: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j, thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij . 1.1.3. Các ví dụ Ví dụ 1. Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất: ngành 1 và ngành 2 có ma trận hệ số kỹ thuật là: 0,2 0,3 A 0,4 0,1 Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 thứ tự là 10, 20 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành. Giải Gọi x1 X là ma trận tổng cầu. x2 Với x1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x2 là giá trị tổng cầu của ngành 2. Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: 10 B 20 Ta có: 0,8 0,3 IA 0,4 0,9 Ma trận phụ hợp tương ứng 0,9 0,3 IA* 0,4 0,8 10
  11. Ma trận nghịch đảo của IA 1 1 0,9 0,3 IA 0,6 0,4 0,8 Áp dụng công thức (1.3) để tính ma trận tổng cầu: 1 XIAB Vậy ma trận tổng cầu là: 25 1 0,9 0,3 10 1 15 X 100 0,6 0,4 0,8 20 0,6 20 3 Hay: Giá trị tổng cầu của ngành 1 là x1 25 tỉ đồng. 100 Giá trị tổng cầu của ngành 2 là x tỉ đồng. 2 3 Ví dụ 2. Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Biết ma trận hệ số kĩ thuật là: 0,4 0,1 0,2 A 0,2 0,3 0,2 0,1 0,4 0,3 và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành thứ tự là 40, 40 và 110 (đơn vị tính: nghìn tỉ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất. Giải Gọi x1 X x2 là ma trận tổng cầu. x3 Với x1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x2 là giá trị tổng cầu của ngành 2, x3 là giá trị tổng cầu của ngành 3. Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: 40 B 40 110 11
  12. Ta có: 1 0 0 0,4 0,1 0,2 0,6 0,1 0,2 I A 0 10 0,2 0,3 0,2 0,2 0,7 0,2 0 0 1 0,1 0,4 0,3 0,1 0,4 0,7 Định thức của ma trận IA 0,6 0,1 0,2 I A 0,2 0,7 0,2 0,2 0,1 0,4 0,7 Ma trận phụ hợp tương ứng 0,41 0,15 0,16 I A * 0,16 0,40 0,16 0,15 0,25 0,40 Ma trận nghịch đảo của IA 0,41 0,15 0,16 1 1 (I A) 0,16 0,40 0,16 0,2 0,15 0,25 0,40 Áp dụng công thức (1.3) để tính ma trận tổng cầu: 1 XIAB 0,41 0,15 0,16 40 200 1 X 0,16 0,40 0,16 40 200 0,2 0,15 0,25 0,40 110 300 Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x1 200 (nghìn tỉ đồng), x2 200 (nghìn tỉ đồng) và x3 300 (nghìn tỉ đồng). Ví dụ 3. Trong mô hình input – output mở biết ma trận kỹ thuật số như sau 0,2 m 0,3 A 0,3 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2 a) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A. b) Tìm yêu cầu của ngành kinh tế mở khi m 0,2 biết sản lượng của 3 ngành là 300, 250, 220. 12
  13. c) Tìm m biết rằng khi sản lượng của 3 ngành là 400, 400, 300 thì ngành kinh tế thứ nhất cung cấp cho ngành kinh tế mở là 130. d) Với m tìm được ở câu c). Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận này. Giải a) Ý nghĩa a21 0,3 : Hệ số này cho biết để sản xuất ra một đơn vị giá trị ngành 1 thì ngành 2 phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm có giá trị là 0,3. b) Gọi X là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành. 300 Từ giả thiết đề cho, ta có X 250 220 124 Giá trị sản lượng cầu cuối: B I A X 91 41 c) Gọi Y là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành 400 X1 Y 400 X2 300 X3 Từ giả thiết đề bài, ta có: X1 a 11 X 1 a 12 X 2 a 13 X 3 b 1 400 0,2  400 400m 0,3  300 130 m 0,25. d) Với m 0,25. Ta có 0,2 0,25 0,3 A 0,3 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2 Ma trận hệ số chi phí toàn bộ: 1,751 0,769 0,849 1 C I A 0,743 1,538 0,663 0,716 0,769 1,711 Hệ số c32 0,769 cho biết: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành 2 thì ngành 3 cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là 0,769 . 13
  14. 1.1.4. Bài tập Bài số 1. Trong mô hình cân đối liên ngành cho ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối. Hãy xác định ma trận tổng cầu: 0,2 0,4 200 1) A;B 0,1 0,3 300 0,4 0,2 0,1 40 2) A 0,1 0,3 0,4 ; B 110 0,2 0,2 0,3 40 0,3 0,5 0,3 20000 3) A 0,2 0,2 0,3 ; B 10000 0,4 0,2 0,3 40000 200 265178,6 500 Đáp số: 1) X ; 2) X 300 ; 3) X 175892,9 . 500 200 258928,6 Bài số 2. Cho dòng 3 trong ma trận hệ số kỹ thuật của mô hình cân đối liên ngành gồm bốn ngành sản xuất là 0,2 0,1 0,2 0,3 Hãy xác định số tiền mà ngành 4 phải trả cho ngành 3 để mua sản phẩm của ngành 3 làm nguyên liệu đầu vào của sản xuất, biết tổng giá trị sản phẩm của ngành 4 là 200 nghìn tỷ đồng. Đáp số: 60. Bài số 3. Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0,1 0,3 0,2 A 0,4 0,2 0,1 0,2 0,3 0,3 1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A. T 2) Cho ma trận cầu cuối B 110 52 90 . Tìm sản lượng của mỗi ngành. 3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm T được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là B 124 66 100 14
  15. 270 286 Đáp số: 1) a21 0,4; 2) X 239 ; 3) X 230 . 308 323 Bài số 4. Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t là: 0,2 0 0,3 A 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 1) Nếu ý nghĩa phần tử nằm ở dòng 1, cột 3 của ma trận A. 2) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ. T 3) Cho biết ma trận cầu cuối của các ngành là B 800 1500 700 . Tìm sản lượng của mỗi ngành. 0,79 0,06 0,27 1592,7 1 Đáp số: 1) a13 0,3; 2) C 0,11 0,66 0,11 ; 3) X 2019,2 . 0,572 0,2 0,16 0,72 1580,4 Bài số 5. Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ và ma trận tổng cầu như sau: 1,5625 0,3125 0,3125 150 C 0,3977 1,5341 0,625 ; X 200 0,5398 0,6534 1,5625 150 1) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận C. 2) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật. 3) Tìm ma trận cầu cuối. 0,3 0,1 0,2 55 Đáp số: c23 0,625 ; 2) A 0,1 0,2 0,3 ; 3) B 100 . 0,1 0,3 0,2 45 Bài số 6. Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0,3 0,1 0,1 A 0,1 0,2 0,3 0,2 0,3 0,2 1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận A. T 2) Cho ma trận cầu cuối B 70 100 30 . Tìm sản lượng mỗi ngành. 15
  16. 3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 2 tiết kiệm T được 50% nguyên liệu lấy từ ngành 3 và ma trận cầu cuối là B 50 80 20 150 102,7 Đáp số: 1) a23 0,3; 2) X 200 ; 3) X 141,8 . 150 77,3 Bài số 7. Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0,1 0,3 0,2 A 0,4 0,2 0,3 0,2 0,3 0,1 1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận A. T 2) Cho ma trận cầu cuối B 118 52 96 . Tìm sản lượng của mỗi ngành. 3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm T được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là B 118 52 96 300 276,3 Đáp số: 1) a32 0,3; 2) X 320 ; 3) X 264,7 . 280 256,3 Bài số 8. Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t như sau: 0,3 0,2 0,3 A 0,1 0,3 0,2 0,3 0,3 0,2 1) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t. Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận này. 2) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận này. 3) Năm (t 1) nhu cầu sản phẩm cuối cùng của các ngành lần lượt là 180, 150, 100 (tỷ VNĐ). Tính giá trị sản lượng của các ngành, biết rằng các hệ số chi phí năm (t 1) và năm t như nhau. 2 1 1 610 Đáp số: 1) a23 0,2 ;2) C 0,56 1,88 0,68 , c23 0,68 ; 3) X 450,8 . 0,96 1,08 1,88 522,8 16
  17. Bài số 9. Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 4 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho ở bảng sau (đơn vị tính : triệu USD). Ngành cung ứng Ngành ứng dụng sản phẩm Cầu cuối sản phẩm (Input) cùng (Output) 1 2 3 4 1 80 20 110 230 160 2 200 50 90 120 140 3 220 110 30 40 0 4 60 140 160 240 400 Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật (tính xấp xỉ 3 chữ số thập phân). 600 0,133 0,033 0,275 0,23 600 0,333 0,083 0,225 0,12 Đáp số: X ; A . 400 0,367 0,167 0,075 0,04 1000 0,1 0,233 0,4 0,24 Bài số 10. Xét nền kinh tế có hai ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp là 0,1 0,15 A 0,2 0,1 1 1) Tính định thức của ma trận B với BA. 3 6 2) Cho biết mệnh đề sau đúng hay sai? 1 1 AIAIIA 3) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ. 4) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm T được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là b 20 40 . 1 5 1,1538 0,1923 30,5 Đáp số: 1) B  10 ; 2) Sai; 3) C ; 4) X . 45 0,2564 1,1538 49,5 17
  18. 1.2. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế Trong phần này, chúng tôi xin giới thiệu với bạn đọc một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế, công cụ toán học được sử dụng chính ở đây là hệ phương trình tuyến tính. 1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan 1.2.1.1. Giới thiệu mô hình Giả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hóa có liên quan: hàng hóa 1, 2, , n. Khái niệm này được hiểu là khi giá của một mặt hàng nào đó thay đổi thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung Q và lượng cầu Q của bản thân Si Di mặt hàng đó, mà nó còn ảnh hưởng tới giá và lượng cung, lượng cầu của các mặt hàng còn lại. Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá của các hàng hóa bởi hàm cung và hàm cầu như sau: QS S i P 1 , P 2 , ,P n , i 1,2, ,n; i Q D P , P , ,P , i 1,2, ,n. Di i 1 2 n Trong đó P1 , P 2 , , P n là ký hiệu thứ tự là giá của hàng hóa 1, 2, , n. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan (cân bằng cung cầu) được xác định bởi: Q Q , i 1, 2, , n (1.4) SDi i Nếu giả thiết các Q và Q i 1, 2, , n có dạng tuyến tính, thì mô hình trên Si Di chính là một hệ gồm có n phương trình và n ẩn P1 , P 2 , , P n . Giải hệ phương trình chúng ta tìm được bộ giá cân bằng thị trường: P P1 , P 2 , , P n Thay vào Q (hoặc Q ) chúng ta thu được bộ lượng cân bằng thị trường: Si Di Q Q1 , Q 2 , , Q n 1.2.1.2. Các ví dụ Ví dụ 3. Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hóa như sau: Q 2 3P ; Q 8 2P P S1 1 D 1 1 2 Q 1 2P ; Q 11 P P S2 2 D 2 1 2 18
  19. Với Q ,Q là lượng cung hàng hóa 1 và 2. S1 S2 Q ,Q là lượng cầu hàng hóa 1 và 2. D1 D2 P,P1 2 là giá của hàng hóa 1 và 2. Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là P1 và P2 . Sử dụng quy tắc Cramer (phương pháp định thức) xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng. Giải Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: QQ SD1 1 2 3P1 8 2P 1 P 2 5P 1 P 2 10 Q Q 1 2P 11 P P P 3P 12 S2 D 2 2 1 2 1 2 Giải hệ bằng quy tắc Cramer: 5 1 10 1 5 10 D 14 ; D 42 ; D 70 1 3 P1 12 3 P2 1 12 DD PP142 2 70 Vậy bộ giá cân bằng là: P1 3; P 2 5 D 14 D 14 Lượng cân bằng là: Q Q Q 2 3P 2 3.3 7 1 D1 S 1 1 Q Q Q 1 2P 1 2.5 9 2 D2 S 2 2 Ví dụ 4. Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa: hàng hóa 1 và hàng hóa 2 có hàm cung và cầu như sau: Q 2 2P ; Q 1 P P S1 1 D1 1 2 Q 5 3P ; Q 2 5P P S2 1 D2 1 2 trong đó: Q (i 1, 2) : là lượng cung hàng hóa i. Si Q (i 1, 2) : là lượng cầu hàng hóa i. Di Pi (i 1, 2) : là giá hàng hóa i. 19
  20. Bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, hãy xác định bộ giá và lượng cân bằng thị trường của hai hàng hóa nói trên. Giải Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: QQ SD1 1 2 2P1 1 P 1 P 2 Q Q 5 3P 2 5P P S2 D 2 2 1 2 hay 3P1 P 2 3 5P 4P2 7 Giải hệ phương trình trên bằng quy tắc Cramer Đặt các ma trận sau: 3 1 3 P1 A;B;X 5 4 7 P2 Ta có 3 1 1 1 4 1 A 7 ; A 5 4 7 5 3 Hệ phương trình trên tương đương: AX B Suy ra 19 1 1 4 1 3 1 19 7 X A .B 7 5 3 7 7 36 36 7 Vậy bộ giá cân bằng là: 19 36 P;P1 2 7 7 tương ứng với bộ lượng cân bằng là: 19 24 Q Q Q 2 2 1 D1 S 1 7 7 36 73 Q Q Q 5 3 2 D2 S 2 7 7 Ví dụ 5. Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa gồm chè, cafe, cacao có hàm cung và hàm cầu tương ứng như sau: 20
  21. Q 10 P ; Q 20 P P (chè) S1 1 D 1 1 3 Q 2P ; Q 40 2P P (café) S2 2 D 2 2 3 Q 53P;Q 10PP P (ca cao) S3 3 D 3 1 2 3 Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của ba loại hàng hóa trên. Sử dụng quy tắc Cramer xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường. Giải Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: QQ SD1 1 2P1 P 3 30 Q Q 4P P 40 S2 D 2 2 3 QQ P1 P 2 4P 3 15 SD3 3 Xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường bằng quy tắc Cramer: 2 0 1 2 30 1 D 0 4 1 30 ; D 0 40 1 280 P2 1 1 4 1 15 4 Vậy giá cafe ở trạng thái cân bằng thị trường là: D 280 28 P P2 2 D 30 3 và lượng cân bằng là: 28 56 Q Q 2. . 2 S2 3 3 1.2.2. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân 1.2.2.1. Giới thiệu mô hình Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản, với các ký hiệu: Y là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư hộ gia đình và C là tiêu dùng của các hộ gia đình. Chúng ta giả thiết rằng chi tiêu Chính phủ và đầu tư là cố định GG 0 và II 0 , còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính: C aY b 0 a 1, b 0 . Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình, 2 ẩn Y và C: 21
  22. YGIC OO YCGI OO C aY b aY C b Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế. 1 1 D 1 a 0 (do 0 a 1) a 1 G I 1 D OO G I b ; Y b 1 OO 1 G I D OO b a G I C a b OO Vậy D G I b Y Y OO D 1 a D b a G I C C OO D 1 a Tiếp theo, xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t% (thường biểu diễn dưới dạng thập phân). Khi đó, thu nhập sau thuế là: Yd Y tY 1 t Y và hàm chi tiêu khi đó có dạng: C aYd b a 1 t Y b Ngoài ra, chúng ta cũng xem xét mô hình với ảnh hưởng của yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu M. Khi đó, mô hình có dạng: YGICXM OO C a 1 t .Y b Chú ý Hai yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu M có thể cho dưới dạng hàm của thu nhập Y hoặc là giá trị cố định cho trước. Chúng ta vẫn biến đổi đưa mô hình về hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và C. 1.2.2.2. Các ví dụ Ví dụ 6. Cho mô hình sau: 22
  23. C 0,8Yd 250 ; II 0 ; GG 0 ; Yd 1 t Y ( t là thuế suất thu nhập). a) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng. b) Tính mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng với I0 150, G0 500 (đơn vị: tỉ VNĐ) và t 0,15 (15%). Giải Đầu tiên ta xác định mô hình cân bằng: YGIC OO C 0,8Y 250 Hay YCGI OO 0,8 1 t Y C 250 Ta có 1 1 D 1 0,8 1 t ; 0,8 1 t 1 G I 1 D OO G I 250; Y 250 1 OO 1 G I D OO 250 0,8 1 t G I . C 0,8 1 t 250 OO a) Vậy thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là: D G I 250 Y Y OO D 1 0,8 1 t D 0,8 1 t G I 250 C C OO D 1 0,8 1 t Nhận xét: Y và C phụ thuộc vào I,G0 0 và t. b) Với I0 150, G0 500 , t 0,15 chúng ta có: 23
  24. 150 500 250 900 Y 2812,5 (tỉ VNĐ) 1 0,8 1 0,15 0,32 0,8 1 0,15 150 500 250 692 C 2162,5 (tỉ VNĐ). 1 0,8 1 0,15 0,32 Ví dụ 7. Xét mô hình cân bằng: YCIGXM 0 0 0 Với C a 1 t Y, 0 a 1 , t là thuế suất M b 1 t Y, 0 b 1 a) Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng Y , C bằng quy tắc Cramer. b) Tính Y và C khi t 0,1; a 0,85; b 0,1; I0 250; G0 400 và X0 100 . Đơn vị tính I,G,X0 0 0 là tỉ VNĐ; t là %. Giải a) Ta thiết lập hệ 2 phương trình 2 ẩn Y và C : Ta có Y C IOOO G X b 1 t Y C a 1 t Y 1 b 1 t Y C IOOO G X a 1 t Y C 0 Các định thức 1 b 1 t 1 D 1 1 t b a ; a 1 t 1 I G X 1 DIGX OOO ; Y 0 1 OOO 1 b 1 t I G X D OOO a 1 t G I X . C a 1 t 0 OOO Vậy thu nhập và chi tiêu quốc dân cân bằng là: D GIX Y Y OOO D 1 1 t b a 24
  25. D a 1 t G I X C C OOO D 1 1 t b a b) Khi t 0,1; a 0,85; b 0,1; I0 250; G 0 400 và X0 100 . Ta có: 250 400 100 750 Y 2307,6923(tỉ VNĐ) 1 1 0,1 0,1 0,85 0,325 0,85 1 0,1 250 400 100 573,75 C 1765,3846(tỉ VNĐ). 1 1 0,1 0,1 0,85 0,325 1.2.3. Mô hình IS – LM Trong tiếng Anh, IS – LM là viết tắt của Investment/Saving – Liquidity preference/Money supply (Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền) 1.2.3.1. Giới thiệu mô hình Mô hình IS – LM phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế, chúng ta xét cả hai thị trường hàng hóa và tiền tệ. Mục tiêu là chúng ta xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng thái cân bằng. +) Xét thị trường hàng hóa dịch vụ với các yếu tố gồm  Chi tiêu chính phủ : GG 0  Chi tiêu hộ gia đình : C aY b,0 a 1,b 0  Đầu tư : I d cr, c, d 0 với r là lãi suất.  Phương trình cân bằng thị trường hàng hóa, dịch vụ (Phương trình đường IS) YCIG 0 aYbcrdG 0 1 a Y cr b d G0 +) Xét thị trường tiền tệ với các yếu tố  Lượng cầu tiền: L LY,r mY nr, m,n 0  Lượng cung tiền: MM 0  Phương trình cân bằng thị trường tiền tệ (Phương trình đường LM) L M mY nr M0 Để xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng Y và r chúng ta thiết lập hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và r (mô hình IS – LM) 25
  26. IS (1 a)Y cr b d G0 LM mY nr M0 Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta có: 1 a c D n 1 a mc ; m n b d GO c DY n b d GOO cM ; MO n 1 a b d GO Dr 1 a MOO m b d G . m MO Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là: D n b d G cM Y Y OO D n 1 a mc D 1 a M m b d G r r OO . D n 1 a mc 1.2.3.2 Các ví dụ Ví dụ 8. Xét mô hình IS – LM với: C 0,6Y 35 ; I 65 r ; GG 0 ; L 5Y 50r ; MM 0 . a) Sử dụng quy tắc Cramer xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng. b) Tính Y, r khi G0 70; M 0 1500 (nghìn tỉ VNĐ). Giải a) Phương trình đường IS: Y C I G0 0,6Y 35 65 r G 0 0,4Y r 100 G0 Phương trình đường LM: L M0 5Y 50r M 0 Chúng ta xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng từ hệ 2 phương trình, 2 ẩn Y và r . 26
  27. IS 0,4Y r 100 GO LM 5Y 50r MO Ta có 0,4 1 D 25 5 50 100 GO 1 DY 5000 50GOO M MO 50 0,4 100 GO Dr 0,4MOO 500 5G 5 MO Vậy D 5000 50G M Y Y OO D 25 D 500 5G 0,4M r r OO . D 25 b) Với G0 70; M 0 1500 chúng ta có: D 5000 3500 1500 Y Y 400 (ngàn tỉ VNĐ) D 25 D 500 350 600 r r 10 %. D 25 Ví dụ 9. Xét mô hình IS – LM với: C a(1 t) b cr; II;GG; 0 0 L mY nr;M M0 . Với các hệ số 0 a 1,b 0,c 0,m 0,n 0,0 t 1. a) Thiết lập mô hình IS – LM. b) Giải mô hình bằng quy tắc Cramer. c) Nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào? Giải a) Phương trình đường IS: YCIGa1tYbcrI 0 G 0 27
  28. 1 a 1 t Y cr b I0 G 0 Phương trình đường LM: L M mY nr M0 Mô hình IS – LM: IS [1a1tY cr b IOO G LM mY nr MO b) Giải mô hình bằng quy tắc Cramer: Ta có 1 a 1 t c D n 1 a 1 t mc m n b IOO G c DY n b IOOO G cM MO n 1 a 1 t b IOO G Dr 1 a 1 t MOOO m b I G m MO Vậy, D n(b I G ) cM Y Y OOO D n 1 a(1 t) mc D m b IOOO G 1 a 1 t M r r . D n 1 a 1 t mc c) Ta có n(b I G ) cM Y OOO 0 n 1 a(1 t) mc n(b I G 1) cM Y OOO 1 n 1 a(1 t) mc Suy ra n Y Y Y 0 1 0 n 1 a(1 t) mc Vậy nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng tăng: n . n 1 a(1 t) mc 28
  29. 1.2.4. Bài tập Bài số 1. Xét thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Q 1 P ; Q 20 2P P S1 1 D 1 1 2 Q P ; Q 40 P 2P S2 2 D 2 1 2 Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của hai hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer. 23 99 15 99 Đáp số: P ; P ; Q ; Q . 18 2 81 8 2 8 Bài số 2. Sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: 1) Q 2P ; Q 20 P P S1 1 D 1 1 2 Q 10 2P ; Q 40 P 2P S2 2 D 2 1 2 2) Q 20 2P ; Q 100 5P P S1 1 D 1 1 2 Q 10 P ; Q 80 2P 4P S2 2 D 2 1 2 130 170 260 230 Đáp số: 1) P;P;Q;Q.1 2 11 111 11 2 11 170 130 120 20 2) P1 ; P 2 ; Q ; Q . 11 111 11 2 11 Bài số 3. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Q 10 P ; Q 20 P P S1 1 D 1 1 3 Q 2P ; Q 40 2P P S2 2 D 2 2 3 Q 53P;Q 10PP P S3 3 D 3 1 2 3 Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer. 41 28 8 11 56 Đáp số: P1 ; P 2 ; P 3 ; Q ; Q ; Q 3. 3 3 31 3 2 3 3 Bài số 4. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Q 60 6P 2P ; Q 120 5P P S1 1 3 D 1 1 2 Q 30 P 9P P ; Q 160 P 6P P S2 1 2 3 D 2 1 2 3 29
  30. Q 20 2P 8P ; Q 140 P 4P S3 1 3 D 3 2 3 Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. 19910 16760 17155 Đáp số: P1 ; P 2 ; P 3 ; 933 933 933 29170 28595 78760 Q;Q;Q. 1933 2 311 3 933 Bài số 5. Xét thị trường có 4 loại hàng hóa. Biết hàm cung và cầu của 4 loại hàng hóa trên như sau: Q 30 20P 3P P P ; Q 115 11P P 2P 5P S1 1 2 3 4 D 1 1 2 3 4 Q 50 2P 18P 2P P ; Q 250 P 9P P 2P S2 1 2 3 4 D 2 1 2 3 4 Q 40 P 2P 12P ; Q 150 P P 7P 3P S3 1 2 3 D 3 1 2 3 4 Q 15 2P P 18P ; Q 180 P 2P 10P S4 2 3 4 D 4 1 3 4 Tìm điểm cân bằng thị trường. Đáp số: P1 10; P 2 15; P 3 15; P 4 10; Q1 100; Q 2 260; Q 3 100; Q 4 120. Bài số 6. Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân: Y G0 I 0 C; C 0,4Y 30. Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc Cramer, biết I0 200, G 0 500 (triệu USD). 3650 3100 Đáp số: Y;C. 3 6 Bài số 7. Xét mô hình Y G0 I 0 C; C 0,8Yd ; Yd 1 t Y Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc Cramer, biết I0 200, G 0 500 (triệu USD) và thuế suất thu nhập t 0,1. 17500 Đáp số: Y ; C 4200. 3 Bài số 8. Xét mô hình 30
  31. YCGIXM 0 0 0 ; C aYd , (0 a 1) ; Yd 1 t Y; M 0,1Y d . 1) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân Y, C ở trạng thái cân bằng. 2) Tính Y, C khi I0 200, G 0 500, X 0 100, a 0,1 và t 0,1. GIX a(1 t)(G I X ) Đáp số: 1) Y 0 0 0 ;C 0 0 0 ; a(1 t) 0,1t 1,1 a(1 t) 0,1t 1,1 2) Y 800; C 72. Bài số 9. Xét mô hình Y C I; C 0,8Y 50; I 20 5r; L 0,5Y 100 r; M0 200. Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng. 5700 50 Đáp số: Y ; r . 27 9 Bài số 10. Xét mô hình YCIG; 0 C 0,8 1 t Y; t 0,1; G0 200; I 100 r ; L 0,5Y 2r; M0 500. Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng. 55000 7500 Đáp số: Y ; r . 53 53 Bài số 11. Cho mô hình thu nhập quốc dân: YCIG 0 C b0 bY 1 (a,a,b,b 0 1 0 1 0;a 1 b 1 1) I a0 a 1 Y a 2 R 0 31
  32. trong đó: G0 là chi tiêu chính phủ; R0 là lãi suất; I là đầu tư; C là tiêu dùng; Y là thu nhập 1) Sử dụng quy tắc Cramer để xác định Y, C ở trạng thái cân bằng. 2) Với b0 200 ; b1 0,7; a0 100; a1 0,2 ; a2 10 ; R0 7 ; G0 500. Tính Y, C . a aR G b b ab ababR bG Đáp số: 1) Y;C 020 0 0 0100121010 ; 1 a1 b 1 1 a 1 b 1 2) Y 7300; C 5310. Bài số 12. Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế (đóng) có mối liên hệ sau: Y C I G; C 0,85Yd 70; Yd Y T. trong đó: Y : là thu nhập quốc dân; C : là tiêu dùng dân cư; Yd : là thu nhập khả dụng; I : là đầu tư; G : là chi tiêu chính phủ; T : là thuế. Với I 200; G 500; T 500. Hãy 1) Xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng. 2) Phân tích chủ trương “kích cầu” của chính phủ thông qua chính sách giảm thuế. Đáp số: 1) Y 2300 ; 2) Chính phủ giảm thuế làm cho thu nhập tăng lên. Bài số 13. Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế có mối liên hệ sau Y C I G X N; C 0,08 1 t Y; N 0,015 1 t Y. trong đó: Y : là thu nhập quốc dân; C : là tiêu dùng dân cư; I : là đầu tư; G : là chi tiêu chính phủ; X : là xuất khẩu; M : là nhập khẩu; t : là thuế. Biết rằng I 700; G 900; X 600; t 0,015. Hãy 1) Xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng. 2) Với chỉ tiêu ở câu 1, có ý kiến cho rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì chính phủ có thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập. Hãy nhận xét ý kiến này. Đáp số: 1) Y 2350,490131; 2) Ý kiến trên sai. 32
  33. Thuật ngữ chính chương 1 Tiếng Anh Tiếng Việt Consumption Tiêu dùng Disposable Income Thu nhập khả dụng Equilibrium Price Giá cân bằng Equilibrium Quantity Demanded Lượng cầu cân bằng Export Xuất khẩu Gross Domestic Product Tổng sản phẩm quốc nội Gross National Income Tổng thu nhập quốc dân Income Tax Rates Thuế thu nhập Import Nhập khẩu Input – Output Model Mô hình cân đối liên ngành IS – LS Model Mô hình IS – LM Investment Đầu tư Money Demand Lượng cầu tiền Money Supply Lượng cung tiền Market Prices Giá thị trường Market Equilibrium Thị trường cân bằng Matrix of Producting Coefficients Ma trận hệ số kỹ thuật Market Model Mô hình cân bằng National Income Model Mô hình cân bằng kinh tế quốc dân Price Giá hàng hóa Quantity Supplied Lượng cung Quantity Demanded Lượng cầu Saving Tiết kiệm Tax Thuế The final demand matrix Ma trận cầu cuối The matrix of Outputs Ma trận tổng cầu Utility Lợi ích 33
  34. Chương 2 Áp dụng phép tính vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân vào phân tích kinh tế và kinh doanh 2.1. Bài toán lãi suất và hiệu quả đầu tư 2.1.1. Giới hạn e và bài toán lãi suất Định nghĩa số e n 1 e lim 1 với e 2,71828 n n Giả sử ta có một khoản tiền V0 đồng (giá trị hiện tại) gửi vào ngân hàng với lãi suất cố định r% một năm. Gọi Vt là số tiền ta có được sau t năm (giá trị tương lai): t Vt V 0 1 r . (2.1) r Nếu trong một năm có n lần tính lãi với lãi suất mỗi lần tính là r thì trong t n n năm có n t lần tính lãi. Vậy số tiền sau t năm có là nt nt r Vt V 0 1 r n V 0 1 n Giả sử việc tính lãi trên là liên tục, tức là cho n , khi đó số tiền nhận được sau t năm: n r.t nt r r r r.t Vt limV1 0 limV1 0 V.e 0 (2.2) n n n n Công thức (2.2) là công thức tính lãi gộp liên tục. Giải ngược công thức (2.1), ta được công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền Vt sau t năm t V0 V t 1 r (2.3) / Giải ngược công thức (2.2) ta được công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền Vt sau t năm r.t V0 V t .e (2.4) 34
  35. Ví dụ 1. Ngày 5/3/2016, giả sử Ông Bách gửi 10 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm lãi suất 5,24% năm. Tính số tiền Ông Bách sở hữu vào ngày 5/3/2020 (Giả sử lãi suất không đổi trong suốt 4 năm). Giải Ta có +) Số tiền hiện tại vào ngày 5/3/2016: V0 10 triệu đồng, +) Ngày đáo hạn 5/3/2020: t 4 năm, +) Lãi suất: r 5,24% /năm. Áp dụng công thức (2.1), ta có lượng vốn được đầu tư trong 4 năm. Lượng tiền Ông Bách nhận được vào gày 5/3/2020, 4 V4 10  1 0,0524 12,267 triệu đồng. Ví dụ 2. Giả sử Ông Bách mong muốn sở hữu khoản tiền 20 triệu đồng vào ngày 2/3/2020 ở một tài khoản lãi suất năm là 6,05%. Hỏi Ông Bách cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài khoản này vào ngày 2/3/2015 để đạt được mục tiêu đề ra (Giả sử lãi suất không đổi trong suốt 5 năm). Giải Ta có +) Số tiền tương lai vào ngày 2/3/2020: V5 20 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 5 năm, +) Lãi suất: r 6,05% /năm. Áp dụng công thức (2.3), ta có lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm. Do đó, lượng vốn cần đầu tư vào ngày 2/3/2015 là : 5 V0 20  1 0,0605 14,91 triệu đồng. Ví dụ 3. Xác định hiện giá của khoản tiền 20 triệu đồng nhận được sau 3 năm, khi tích lũy liên tục với lãi suất 6%. So sánh với phương thức tích lũy năm lãi suất 6%. (Giả sử lãi suất không đổi trong suốt thời gian). Giải Ta có +) Số tiền tương lai sau 3 năm: V3 20 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 3 năm, 35
  36. +) Lãi suất: r 6%/năm. Áp dụng công thức (2.4) cho hiện giá V0 khi tích lũy liên tục : 0,06  3 V0 20  e 20  0,835270 16,705 triệu đồng. Áp dụng công thức (2.3) cho hiện giá V0 khi tích lũy theo năm : 3 V0 20  1,06 16,792 triệu đồng. Hiện giá theo phương thức tích lũy liên tục nhỏ hơn hiện giá theo phương thức tích lũy năm. Ví dụ 4. Sau 5 năm, một thương phiếu sẽ được thanh toán với số tiền là 10000 USD. Với lãi suất 9% năm, hãy tính giá trị hiện tại của thương phiếu. Giải Ta có +) Số tiền tương lai sau 5 năm: V5 10000 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 5 năm, +) Lãi suất: r 9% /năm. Áp dụng công thức (2.3), ta có giá trị hiện tại của thương phiếu là 5 V0 10000 1,09 6499,31 (USD) 2.1.2. Đánh giá hiệu quả đầu tư Giá trị hiện tại ròng của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phi triển khai dự án. Giá trị hiện tại ròng được tính theo công thức: NPV B 1 r t C (2.5) trong đó, C là khoản chi phí hiện tại; B là khoản mà dự án đem về sau t năm, r là lãi suất năm. Một tiêu chuẩn cơ bản để dự án đầu tư được chấp thuận là NPV 0. Ví dụ 5. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án: +) Dự án 1. Chi phí hiện tại là 2000 USD và đem lại 3000 USD sau 4 năm. +) Dự án 2. Chi phí hiện tại là 2000 USD và đem lại 4000 USD sau 6 năm. +) Dự án 3. Chi phí hiện tại là 3000 USD và đem lại 4800 USD sau 5 năm. Với lãi suất thịnh hành là 10% một năm thì nên chọn dự án nào? Giải 36
  37. Để trả lời câu hỏi này ta so sánh NPV của các dự án nói trên +) Chi phí hiện tại của các dự án C1 2000, C 2 2000, C 3 3000 +) Khoản tiền mà các dự án đem lại B1 3000, B 2 4000, B 3 4800 +) Lãi suất của các dự án r1 r 2 r 3 10% 0,1 +) Kỳ hạn của các dự án n1 4, n 2 6,n 3 5 Áp dụng công thức (2.5), ta có n1 4 Dự án 1. NPV1 B 1 1 r 1 C 1 3000 1,1 2000 49,04 USD. n2 6 Dự án 2. NPV2 B 2 1 r 2 C 2 4000 1,1 2000 257,9 USD. n3 5 Dự án 3. NPV3 B 3 1 r 3 C 3 4800 1,1 3000 19,58 USD. Ta chọn dự án 2 vì dự án này NPV lớn nhất. 2.1.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ là tổng số giá trị hiện tại của các kỳ khoản được phát sinh trong tương lai (Giá trị của chuỗi tiền tệ được quy về điểm gốc). Gọi +) ai là giá trị của kỳ khoản thứ i, i 1,2, ,n , +) r là lãi suất một kỳ, +) n là số lần thanh toán, +) PV là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ. Công thức xác định giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ (cuối kỳ) như sau: n i PV  ai 1 r (2.6) i 1 Nếu chuỗi tiền tệ cố định, tức là ai a, i 1,2, ,n thì n n i 1 (1 r) PV a 1 r a (2.7) i 1 r 37
  38. Ví dụ 6. Một dự án số vốn đầu tư ban đầu là 30000 USD sau một năm đem lại cho bạn đều đặn 5000 USD mỗi năm, liên tiếp trong 10 năm sau đó. Lãi suất không đổi 10%/năm. Bạn có chấp nhận dự án này hay không? Giải Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại ròng của dự án Ta có +) Số tiền mỗi năm: a 5000 USD, +) Lãi suất: r 10% / năm, +) Kỳ hạn: n 10 năm, +) Vốn ban đầu: C 30000 USD Giá trị hiện tại của dòng tiền, ta áp dụng biểu thức (2.7): 10 1 (1 r) n 1 1,1 PV a 5000 30722,8 USD. r 0,1 Giá trị hiện tại ròng: NPV PV C 30722,9 30000 722,8 USD. Vì NPV 0 nên chấp nhận dự án. Ví dụ 7. Một công ty ôtô bán xe VIOS theo hai phương án sau: +) Phương án 1. Trả luôn một lần với giá 18000 USD. +) Phương án 2. Trả ngay 5000 USD và nhận xe, phần còn lại trả góp theo quý (liên tục trong 6 quý) mỗi quý là 2450 USD, biết lãi suất là 3%/quý. Nếu cần mua xe ôtô bạn chọn phương án thanh toán nào? Giải Phương án 2. +) Số tiền mỗi năm: a 2450 USD, +) Lãi suất: r 3% / quý, +) Kỳ hạn: n 6 quý, Giá trị hiện tại của dòng tiền, ta áp dụng biểu thức (2.7): 6 1 (1 r) n 1 1,03 PV a 2450 13272,12 USD. r 0,03 Tổng số tiền phương án 2 phải trả: 5000 13272,12 18272,12 USD. Kết luận. Trả góp đắt hơn. 38
  39. 2.1.4. Bài tập Bài số 1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết: 1) Giá trị tương lai của khoản tiền 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm. 2) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm. Đáp số: 1) 4,142 triệu đồng; 2) 3,252 triệu đồng. Bài số 2. Hôm nay, Ông Bách đầu tư 5 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm với lãi suất năm 4,5%. 1) Tính giá trị số tiền ông ta sở hữu sau 5 năm, 10 năm, 30 năm. 2) Tính giá trị số tiền ông Bách sở hữu sau 10 năm khi lãi suất giữ nguyên ở mức 4,5% trong hai năm đầu, giảm xuống còn 3% trong năm năm kế tiếp và tăng lên thành 6% trong ba năm cuối. Đáp số: 1) 6,23; 7,765; 18,73; 2) 7,54. Bài số 3. Dân số thành phố A là 20000 người, tăng trưởng 3% năm, và của thành phố B là 30000, tăng trưởng 1% năm. Sau bao nhiêu năm thì dân số hai thành phố này bằng nhau. Đáp số : 20,7 năm. Bài số 4. Xác định giá trị nhận được bởi lượng vốn 10 triệu đồng đầu tư theo phương thức tích lũy liên tục trong 5 năm ở mức lãi suất năm 4%. Đáp số : 12,2 triệu đồng. Bài số 5. Xác định hiện giá của khoản tiền 20 triệu đồng nhận được sau 3 năm, khi tích lũy liên tục với lãi suất 6%. Đáp số : 16,71 triệu đồng. Bài số 6. Một dự án đòi hỏi số tiền đầu tư ban đầu là 6000 USD và sẽ đem lại 10000 USD sau 5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng là 9% một năm, có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án trên. Đáp số: NPV 499,314. Bài số 7. Một công ty đề nghị góp vốn 3500 USD và đảm bảo sẽ trả 750 USD mỗi năm, liên tiếp trong 7 năm. Lãi suất không đổi là 9%/năm. Bạn có chấp nhận dự án này hay không? Đáp số: NPV 274,715 USD. Bài tập 8. Xác định giá trị nhận được của lượng vốn 10 triệu đồng, đầu tư trong 4 năm ở mức lãi 3,5%, trong các điều kiện sau : 39
  40. 1) Tích lũy liên tục, 2) Tích lũy hàng năm. Đáp số: 1) 11,503 triệu đồng; 2) 11,475 triệu đồng. Bài số 9. Với mức lãi 4%, tính hiện giá của khoản tiền 5 triệu đồng nhận được sau 4 năm, nếu phương thức tích lũy là 1) Tích lũy liên tục, 2) Tích lũy hàng năm. Đáp số: 1) 4,261 triệu đồng; 2) 4,274 triệu đồng. Bài số 10. Có 3 dự án cùng một số vốn ban đầu là 10000 USD và các luồng thu nhập CF như sau : +) Dự án A. Năm 1 2 3 CF 4000 USD 4000 USD 4000 USD +) Dự án B. Năm 1 2 3 CF 3000 USD 5000 USD 8000 USD +) Dự án C. Năm 1 2 3 CF 8000 USD 5000 USD 3000 USD Giả sử lãi suất cả 3 dự án đều là 10%. Nếu phải chọn 1 trong 3 dự án thì bạn nên chọn dự án nào ? Đáp số : Chọn dự án C. Bài số 11. Một doanh nhân bỏ ra K USD vào thời điểm hiện tại mua tích trữ một loại rượu nho để bán vào một thời điểm nào đó bất kỳ trong tương lai, biết giá của lô rượu này t tăng theo quy luật Vt Ke ( t là biến thời gian). Giả sử chi phí bảo quản trong đáng kể (có thể bỏ qua). Cho lãi suất liên tục r% . Hãy xác định thời điểm bán lô rượu có lợi nhất. 1 Đáp số : t . 4r2 Bài số 12. Hãy xác định lãi suất r tính gộp liên tục một năm tương đương với lãi đơn gộp 5%/năm, tính lãi 1 năm 1 lần. Đáp số: 4,9%. 40
  41. 2.2. Áp dụng đạo hàm vào phân tích kinh tế và kinh doanh 2.2.1. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế và kinh doanh 2.2.1.1. Hàm sản xuất ngắn hạn Để tiến hành sản xuất, đầu tiên chúng ta cần các yếu tố đầu vào là vốn K và lao động L. Trong ngắn hạn, người ta giả thiết K là không thay đổi, khi đó sản lượng đầu ra Q sẽ phụ thuộc hàm số vào yếu tố đầu vào L và gọi là hàm sản xuất ngắn hạn: Q f L , L 0 Ví dụ 5. Cho hàm sản xuất ngắn hạn 2 Q 120.L3 ; Q a.L (a 0,0 1) 2.2.1.2. Hàm chi phí (tổng chi phí) +) Chi phí TC phụ thuộc đầu ra Q : TC TC Q , Q 0 Ví dụ 6. Cho hàm chi phí phụ thuộc vào sản lượng Q TC Q Q3 6Q 2 140Q 1500, Q 0 TC Q 30.e0,3Q 200 TC Q 3Q2 7Q 243 +) Chi phí TC phụ thuộc đầu vào L : TC p.LL TCL,L 0 (pL giá thuê một đơn vị lao động). Ví dụ 7. Cho hàm chi phí phụ thuộc vào lao động L TC L pLL  L 3.L L 0, p 3 . 2.2.1.3. Hàm doanh thu (tổng doanh thu) Doanh thu TR phụ thuộc đầu ra Q : TR P.Q TR Q , Q 0 ( P ký hiệu là giá hàng hóa). Ví dụ 8. Cho hàm doanh thu phụ thuộc vào sản lượng Q TR Q 1200Q 3Q2 , Q 0 Doanh thu TR phụ thuộc đầu vào L : TR P.Q P.f L TR L , L 0 ( P ký hiệu là giá hàng hóa) 41
  42. Ví dụ 9. Cho hàm doanh thu phụ thuộc vào lao động L TR L 5.300 L 1500 L, L 0 (P 5; Q 300 L) . 2.2.1.4. Hàm lợi nhuận (tổng lợi nhuận) Lợi nhuận được tính bằng hiệu giữa doanh thu TR và chi phí TC : +) Lợi nhuận phụ thuộc đầu ra: Q TR Q TC Q Ví dụ 10. Cho hàm doanh thu TR Q 1200Q 3Q2 , Q 0 và hàm chi phí TC Q Q3 6Q 2 140Q 1500, Q 0 Suy ra hàm lợi nhuận phụ thuộc vào sản lượng Q Q TR Q TC Q Q3 3Q 2 1060Q 1500, Q 0 +) Lợi nhuận phụ thuộc đầu vào: L TR L TC L . Ví dụ 11. Cho hàm sản xuất: Q 300 L, giá một đơn vị lao động là 3, giá sản phẩm là 5. Xác định hàm lợi nhuận. Ta có +) Hàm doanh thu : TR L PQ 5.300 L 1500 L +) Hàm chi phí: TC L pL L 3L +) Suy ra hàm lợi nhuận phụ thuộc vào lao động L L TR L TC L 1500 L 3.L, L 0 . 2.2.1.5. Hàm chi tiêu Chi tiêu C phụ thuộc thu nhập Y : C C Y , Y 0 Ví dụ 12. Cho hàm chi tiêu phụ thuộc vào mức thu nhập như sau: C Y aY b (0 a 1, b 0), Y 0. 2.2.1.6. Hàm tiết kiệm Tiết kiệm S phụ thuộc thu nhập Y : S S Y , Y 0 Ví dụ 13. Cho hàm tiết kiệm phụ thuộc vào mức thu nhập như sau: S Y 0,3Y 0,1. Y 100, Y 0 . 2.2.1.7. Hàm cung và hàm cầu một loại hàng hóa Lượng cung và lượng cầu hàng hóa phụ thuộc vào giá hàng hóa: 42
  43. +) Hàm cung: QS S P , P 0. +) Hàm cầu: QD D P , P 0. Ví dụ 14. Cho hàm cung và hàm cầu dạng tuyến tính như sau: +) Hàm cung: S P aP b (a,b 0). +) Hàm cầu: D P cP d (c,d 0). 2.2.2. Đạo hàm và giá trị cận biên Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra), gọi x0 là một điểm thuộc tập xác định của hàm số. Hàm số ký hiệu My f/ (x) được gọi là hàm cận biên. / Giá trị My(x0 ) f (x 0 ) được gọi là giá trị cận biên của hàm số f (x) tại điểm x0 (hay giá trị y cận biên của x tại điểm x0 ). Đối với mỗi hàm số kinh tế cụ thể, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể. Ý nghĩa. Tại x0 , khi đối số x thay đổi một đơn vị thì giá trị hàm số f (x) thay đổi / một lượng xấp xỉ bằng My(x0 ) f (x 0 ) . / Chú ý. Nếu My(x0 ) f (x 0 ) 0 thì f (x) sẽ thay đổi cùng chiều với đối số x (nghĩa / là f (x) tăng khi x tăng và f ( x ) giảm khi x giảm) và nếu My(x0 ) f (x 0 ) 0 thì f (x) sẽ thay đổi ngược chiều với đối số x (nghĩa là f (x) tăng khi x giảm và f (x) giảm khi x tăng). Ví dụ 15. Cho hàm doanh thu TR Q 1200Q Q2 (Q 0) a) Tìm hàm doanh thu cận biên MR Q . b) Tại Q0 590, nếu sản lượng Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị. c) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Q0 610 và nêu ý nghĩa kết quả nhận được. Giải a) Hàm doanh thu cận biên: MR Q TR/ Q 1200 2Q (Q 0) 43
  44. b) MR 590 1200 2.590 20 0 Vậy tại Q0 590 , nếu sản lượng Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ tăng một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị. c) MR 610 1200 2.610 20 0 Vậy tại Q0 610, nếu sản lượng Q thay đổi một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi (ngược chiều) một lượng xấp xỉ 20 đơn vị (trong trường hợp này, khi Q tăng thêm một đơn vị thì doanh thu sẽ giảm một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị). Ví dụ 16. Cho hàm sản xuất ngắn hạn: Q 30 L , L 0 a) Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động MPL L . b) Tại L0 144, nếu lao động L tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị? Giải a) Hàm sản phẩm cận biên của lao động: 15 MPL L Q/ L . L 15 15 5 b) MPL 144 1,25 (đơn vị sản phẩm) 144 12 4 Vậy tại L0 144 , nếu lao động L tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ tăng một lượng xấp xỉ 1,25 đơn vị. Ví dụ 17. Cho hàm chi tiêu phụ thuộc vào thu nhập như sau: C Y aY b (0 a 1, b 0), Y 0 a) Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên MPC Y . b) Cho biết ý nghĩa kinh tế của hệ số a trong biểu thức hàm số đã cho. Giải a) Hàm xu hướng tiêu dùng cận biên: MPC Y C/ Y aY b / a b) Tại mọi mức thu nhập, khi thu nhập thay đổi một đơn vị thì chi tiêu sẽ thay đổi xấp xỉ a đơn vị. Chú ý rằng, vì a 0 nên thay đổi của chi tiêu sẽ cùng chiều với thay đổi của thu nhập. 44
  45. Ví dụ 18. Cho hàm tổng chi phí: TC Q 0,1Q2 0,3Q 100 (Q 0) a) Tìm hàm chi phí cận biên MC Q . b) Tính chi phí cận biên tại mức sản lượng Q0 120 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Giải a) Hàm chi phí cận biên: MC Q TC/ (Q) 0,2Q 0,3 b) MC 120 0,2 120 0,3 24,3 (đơn vị sản phẩm) Ý nghĩa. Tại mức sản lượng Q0 120, khi sản lượng thay đổi một đơn vị thì chi phí sẽ thay đổi một lượng xấp xỉ bằng 24,3 đơn vị, tuy nhiên vì 24,3 > 0 nên chi phí cũng sẽ thay đổi cùng chiều với sản lượng. 2.2.3. Đạo hàm và hệ số co dãn Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra), gọi x0 là một điểm thuộc tập xác định của hàm số. / x0 Giá trị yx(x 0 ) y (x 0 ) được gọi là hệ số co dãn của y theo x tại x0 . y(x0 ) Ý nghĩa. Tại x0 , khi đối số x thay đổi 1% thì giá trị của hàm số y f (x) thay đổi một lượng xấp xỉ bằng  yx(x 0 ) %. Ví dụ 19. Xét hàm cầu của một loại hàng hóa QDP,D tại mức giá P0 : Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá P0 : / P0 D PDP 0 0 DP 0 2 Áp dụng với hàm cầu D P 6P P , tại mức giá P0 5 và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được. Cũng tại mức giá đó, nếu giá tăng 3% thì cầu sẽ thay đổi như thế nào? Giải Áp dụng công thức trên ta có 5  5 D/ 5 4 D D 5 45
  46. Ý nghĩa. Tại mức giá P0 5, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm một lượng 4%. Còn nếu giá tăng 3% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 3.(4%) = 12%. Ví dụ 20. Cho hàm sản xuất Q a.L,a 0,0 1. Tại mức sử dụng lao động nào đó, tính hệ số co dãn của sản lượng theo lao động. Giải Hệ số co dãn của Q theo L L .a.L 1 (L) Q/ (L) L QL Q(L) a.L Ý nghĩa. Tại mọi mức sử dụng lao động, nếu lao động thay đổi 1% thì sản lượng sẽ thay đổi (cùng chiều) một lượng xấp xỉ %. 2.2.4. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế. Nội dung. Khi giá trị của đối số x đủ lớn, nếu giá trị của x tăng thì giá trị cận biên // My sẽ giảm, hay là My / f// (x) 0 . Điều kiện f (x) 0 là biểu thị toán học của Quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Ví dụ 21. Cho hàm sản xuất Q aL , a 0, 0 , hãy tìm điều kiện của tham số để hàm tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Giải +) Đạo hàm cấp 1: Q/ .a.L 1 +) Đạo hàm cấp 2: Q// ( 1). .a.L 2 +) Hàm sản xuất tuân theo quy luật cận biên giảm dần Q// 0 ( 1) 0 1. Ví dụ 22. Cho hàm doanh thu: TR Q 1200Q Q2 . Hàm này có tuân theo Quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? Giải +) Đạo hàm cấp 1: TR/ Q 1200 2Q +) Đạo hàm cấp 2: TR// Q 2 0. Vậy hàm doanh thu này có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. 46
  47. 2.2.5. Khảo sát hàm bình quân Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra). y Hàm số Ay (x 0) được gọi là hàm bình quân. Chúng ta sẽ khảo sát khoảng x tăng, giảm, cực trị của hàm số này. Ta có: / y / y / y x My Ay Ay (x 0) x x x Do đó, trong khoảng hàm bình quân tăng thì My Ay (đường cận biên nằm trên đường bình quân). Trong khoảng hàm bình quân giảm thì My Ay (đường cận biên nằm dưới đường bình quân). Tại điểm hàm bình quân đạt cực trị thì My Ay 0 My Ay (đường cận biên gặp đường bình quân tại điểm đường bình quân đạt cực trị). My Ví dụ 23. Chứng minh rằng: 1  (x) . Ay Ay/x Giải Áp dụng công thức tính hệ số co dãn của hàm bình quân theo x, ta có / x My Ay My (x) Ay 1 Ay/x Ay Ay Ay My 1  (x) . Ay/x Ay Ví dụ 24. Cho hàm chi phí TC TC Q , (Q 0). a) Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân AC Q và hàm chi phí cận biên MC Q . b) Áp dụng phân tích đối với trường hợp TC Q 3Q2 7Q 27, Q 0. Giải a) Hàm chi phí bình quân 47
  48. TC Q AC Q Q Đạo hàm của hàm chí phí bình quân theo biến Q MC AC AC/ Q (Q 0) Q Do đó, trong khoảng hàm chi phí bình quân tăng thì MC AC (đường chi phí cận biên nằm trên đường chi phí bình quân). Còn trong khoảng hàm chi phí bình quân giảm thì MC AC (đường chi phí cận biên nằm dưới đường chi phí bình quân). Tại điểm hàm chi phí bình quân đạt cực trị thì MC AC (đường chi phí cận biên gặp đường chi phí bình quân tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực trị). b) TCQ 3Q2 7Q 27,Q 0 Hàm bình quân: TC Q 27 AC Q 3Q 7 QQ 27 Đạo hàm cấp 1: AC/ Q 3 Q2 Giải phương trình: AC/ Q 0 Q 2 9 Q 3 (nhận do Q > 0) +) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân tăng và MC AC (đường chi phí cận biên nằm trên đường chi phí bình quân). +) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân giảm và MC AC (đường chi phí cận biên nằm dưới đường chi phí bình quân). +) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân đạt cực trị và MC AC (đường chi phí cận biên gặp đường chi phí bình quân tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực tiểu). Ví dụ 25. (Bạn đọc tự làm các ví dụ áp dụng với hàm số dưới đây) Cho hàm sản xuất ngắn hạn:Q 40L2 L 3 (L 0). Hãy phân tích mối quan hệ giữa Q hàm sản phẩm bình quân của lao động APL (L 0) và hàm sản phẩm cận biên của L lao động MPL. 48
  49. 2.2.6. Bài toán tối ưu hàm một biến 2.2.6.1. Tìm mức sử dụng lao động L để sản lượng hoặc lợi nhuận tối đa Bài toán 1. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm sản xuất ngắn hạn là QQL ( L là lao động). Hãy xác định mức sử dụng lao động để công ty sản xuất được nhiều sản phẩm nhất. Giải quyết bài toán. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập L là biến đầu vào và biến phụ thuộc Q là biến đầu ra. Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì tại L 0 tìm được ta phải có mức sản lượng Q 0. Ví dụ 26. Cho hàm sản xuất Q 120L2 L 3 , L 0. Hãy xác định mức sử dụng lao động để sản lượng tối đa. Giải +) Đạo hàm cấp 1: Q/ L 240L 3L2 . +) Giải phương trình: Q/ L 240L 3L2 0 L 80 (nhận) hay L 0 (loại). +) Hàm số có điểm dừng: L 80 +) Đạo hàm cấp 2 : Q// L 240 6L, tại L 80. +) Ta có Q// (80) 240 0. Vậy khi lao động là 80 thì sản lượng tối đa là Qmax Q 80 256000. Bài toán 2. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm sản xuất ngắn hạn là QQL ( L là lao động), giá sản phẩm P và giá một đơn vị lao động là pL . Hãy xác định mức sử dụng lao động để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Giải quyết bài toán. Bước 1. Tìm hàm tổng doanh thu: TR L PQ P  Q L . Bước 2. Tìm hàm chi phí: TC L pL  L. Bước 3. Tìm hàm lợi nhuận: L TR L TC L . Bước 4. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập L là biến đầu vào và biến phụ thuộc là biến đầu ra. 49
  50. Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì ta phải có mức lao động, sản lượng, chi phí, đơn giá và lợi nhuận đều dương. Ví dụ 27. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q 1005 L3 , L 0 và giá của sản phẩm là P 5 USD, giá thuê một đơn vị lao động là pL 3 USD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa. Giải Ta có +) Hàm doanh thu: TR Q PQ 5005 L3 +) Hàm chi phí : TC L pL  L 3L +) Hàm lợi nhuận : L 5005 L3 3L +) Đạo hàm cấp 1 : / L 300L 2/5 3 +) Giải phương trình / L 0 L 100000 +) Đạo hàm cấp 2: // L 120L 7/5 // 3 Xét lại L 100000, ta có 100000 0 250000 Với L 100000 thì lợi nhuận tối đa là max 100000 200000. 2.2.6.2. Tìm mức sản lượng Q để chi phí tối thiểu, doanh thu, lợi nhuận tối đa Bài toán 1. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí TC TC Q (Q là sản lượng). Hãy xác định sản lượng Q để tổng chi phí là bé nhất. Giải quyết bài toán. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập Q là biến đầu vào và biến phụ thuộc TC là biến đầu ra. Chú ý. Để phù hợp với thực tế, ta phải có mức sản lượng và chi phí đều phải dương. Ví dụ 28. Cho hàm tổng chi phí: TC Q Q3 210Q 2 12000Q, (Q 0). Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất. Giải +) Hàm chi phí bình quân: 50
  51. TC Q ACQ Q2 210Q12000 Q +) Đạo hàm cấp 1: AC/ Q 2Q 210 +) Giải phương trình: AC/ Q 0 Q 105 +) Đạo hàm cấp 2: AC// Q 2 0 Vậy khi Q 105 thì chi phí bình quân đạt giá trị nhỏ nhất là ACmin AC 105 975. Ví dụ 29. Cho biết hàm tổng chi phí: TC Q Q3 9Q 2 60Q 150 Q 0 . Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí nhỏ nhất. Giải +) Đạo hàm cấp 1: TC/ Q 3Q 2 18Q 60 (Q 0) +) Ta có ( 18)2 4.3.60 396 0 +) Với a 3 0 TC/ Q 0  Q 0 Vậy TC Q luôn tăng với Q 0 , nên TC Q đạt giá trị nhỏ nhất khi Q 0. Bài toán 2. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí TC TC Q ( Q là sản lượng) và hàm cầu của công ty là QDQ.D Hãy xác định mức sản lượng Q để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Giải quyết bài toán. Bước 1. Tìm hàm tổng doanh thu: TR Q PQ D 1 Q  Q. Bước 2. Tìm hàm lợi nhuận: Q TR Q TC Q . Bước 3. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập Q là biến đầu vào và biến phụ thuộc là biến đầu ra. Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì ta phải có mức sản lượng, đơn giá, lợi nhuận đều dương. 51
  52. Ví dụ 30. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là 1 Q 656 P và hàm tổng chi phí TC Q Q3 77Q 2 1000Q 40000. Hãy xác định D 2 mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải Với một mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho QQD . Do đó, ta có 1 Q Q 656 P Q P 1312 2Q , D 2 Mặt khác doanh thu của xí nghiệp là TR(Q) P Q (1312 2Q) Q 2Q2 1312Q và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là Q TR Q TC Q 2Q2 1312Q (Q 3 77Q 2 1000Q 40000) Hay Q Q3 75Q 2 312Q 40000 Bây giờ ta tìm Q 0 sao cho đạt giá giạ lớn nhất. Ta có / Q 3Q 2 150Q 2 312 Suy ra, / Q 0 3Q 2 150Q 312 0 Q 52 (nhận) hay Q 2 (loại). Mặt khác, // Q 6Q 150 nên // 52 162 0. Vậy Q đạt cực đại tại Q 52 . Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau : Lợi nhuận : 38416, đơn giá : P 1208, tổng chi phí : TC 24400. Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng Q 52. Khi đó lợi nhuận tương ứng là 38416. Ví dụ 31. Cho hàm tổng lợi nhuận: 1 Q Q3 3Q 2 15Q 500 Q 0 3 Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất. 52
  53. Giải +) Đạo hàm cấp 1: / Q Q 2 6Q 15 (Q 0) +) Ta có 62 4.( 1).( 15) 24 0 +) Với a 1 0 / Q 0 (  Q 0). Vậy Q luôn giảm với Q 0 , nên Q đạt giá trị lớn nhất khi Q 0. 2.2.6.3. Bài toán thuế doanh thu Bài toán. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là QDPD ( P là đơn giá) và hàm tổng chi phí là TC TC Q (Q là sản lượng). Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. Giải quyết bài toán. Với một mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm, xí nghiệp định mức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế t sao cho đạt lợi nhuận tối đa. Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho QD Q. Do đó, ta có DPQPDQ 1 Doanh thu của xí nghiệp là TR Q P Q D 1 Q Q Trong đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là T t Q t . Lợi nhuận của xí nghiệp là Q TRQ TCQ D 1 Q QTCQ Tt Vậy theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm Q Q t sao cho Q đạt giá trị lớn nhất. Khi đó với tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp là T t Q t t. Ta cần tìm giá trị t 0 sao cho T t Q t t đạt cực đại. Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì tại t 0 tìm được ta phải có mức sản lượng và đơn giá, lợi nhuận, tổng chi phí đều dương. 53
  54. Ví dụ 32. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là 2 QD 2000 P và hàm tổng chi phí TC Q Q 1000Q 50. Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. Giải Với một mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho QQD . Do đó, ta có QD Q 2000 P Q P 2000 Q . Mặt khác doanh thu của xí nghiệp là TR Q P Q D 1 Q Q 2000 Q Q Q 2 2000Q Tiền thuế của xí nghiệp là : T t Q t , và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là : Q TR Q TC Q Q t 2Q2 1000 t Q 50 Bây giờ ta tìm Q 0 sao cho đạt giá giạ lớn nhất. Ta có / Q 4Q 1000 t Suy ra 1 / (Q) 0 4Q (1000 t) 0 Q 1000 t . 4 1 Khi đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là : T t Q t 1000t t2 4 Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt cực đại. Ta có 1 T/ t 1000 2t , suy ra T/ t 0 1000 2t 0 t 500. 4 Vì T// t 2 0 nên T t đạt giá trị lớn nhất tại t 500. Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau : Sản lượng: Q 125, Đơn giá: P 1875, Lợi nhuận: 31200, tổng chi phí : TC 14067. Tiền thuế thu được là: T 62500. Khi định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 500. 54
  55. 2.2.6.4. Bài toán thuế nhập khẩu Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là QSPS và QDPD ( P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là PP1 0 , trong đó P0 là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cung bằng lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải quyết bài toán. Gọi t là mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức thuế t phải thoả điều kiện t 0 và t P1 P 0 . Do được độc quyền, công ty sẽ nhập sản phẩm trên để bán với đơn giá P thoả t P1 P P 0 với số lượng là QQDPSPDS . Khi đó lợi nhuận mà công ty thu được là : P P P1 t D P S P . Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá để lợi nhuận đạt cao nhất. Do đó ta cần xác định P sao cho (P) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó P P(t) và tiền thuế công ty phải nộp là : Tt t DP(t) SP(t) . Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t 0 sao cho T t đạt cực đại. Mức thuế phải thoả t P1 P 0 và để phù hợp với thực tế ta phải có các đại lượng tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương. Ví dụ 33. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là QS P 200 và QD 4200 P ( P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là P1 1600 . Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải Trước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có 55
  56. QDS Q P 200 4200 P P 2200 (P0 2200 ) Gọi t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện : 1600 t 2200 (*) Khi đó, lượng hàng mà công ty nhập về là : QDS Q 4200 P P 200 4400 2P. Lợi nhuận mà công ty thu được là : (P) P P1 t  Q D Q S P1600 t 4400 2P Đơn giá P được định ra sao cho P đạt cực đại. Ta có / P 4P 2 3800 t , Suy ra / (P) 0 4P 2(3800 t) 0 P 1900 0,5t, và vì // P 4 0 nên P đạt cực đại tại P 1900 0,5t. Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp là Tt tQ DS Q t4400 2P t600 t. Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt giá trị lớn nhất. Ta có T/ (t) 600 2t , Suy ra T/ t 0 600 2t 0 t 300. Vì T// t 2 0 nên T t đạt cực đại tại t 300, với T t 90000. Thoả mãn (*) và ta có các số liệu phù hợp sau: Đơn giá: P 2025 0, lượng cung: QS 1850 0, lượng cầu: QD 2150 0. Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 300. Khi đó tiền thuế thu được là T 90000. 2.2.6.5. Bài toán thuế xuất khẩu Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là QS S(P) và QD D(P) ( P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là PP1 0 , trong đó P0 là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cung bằng lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều 56
  57. thuế nhất (Giả sử khối lượng xuất khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải quyết bài toán. Gọi t là mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức thuế t phải thoả điều kiện t 0 và P1 t P 0 . Do được độc quyền, công ty sẽ mua sản phẩm trên với đơn giá P thoả P0 P P 1 t với số lượng là QQSPDP.SD Khi đó lợi nhuận mà công ty thu được là : P P1 P t S P D P . Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá mua để lợi nhuận tối đa. Do đó ta cần xác định P sao cho P đạt giá trị lớn nhất. Khi đó P P t và tiền thuế công ty phải nộp là: T(t) t SP(t) DP(t) . Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t 0 sao cho T t đạt cực đại. Mức thuế phải thoả P1 t P 0 và để phù hợp với thực tế ta phải có các đại lượng tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương. Ví dụ 34. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là QS P 200 và QD 4200 P ( P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là P1 3200. Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải Trước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có QDS Q P 200 4200 P P 2200 (P0 2200 ) Gọi t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện : t 0; 3200 t 2200 (*) Khi đó, lượng hàng mà công ty xuất khẩu là : QSD Q P 200 4200 P 2P 4400. Lợi nhuận mà công ty thu được là : P P1 P t  Q S Q D  3200 P t 2P 4400 57
  58. Đơn giá P được định ra sao cho P đạt cực đại. Ta có / P 4P 2 5400 t , suy ra t / P 0 4P 2 5400 t 0 P 2700 , 2 1 và vì // P 4 0, nên P đạt cực đại tại P 2700 t. 2 Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp: T t t QSD Q t 2P 4400 t 1000 t . Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt giá trị lớn nhất. Ta có T/ (t) 1000 2t , suy ra T/ (t) 0 1000 2t 0 t 500. Vì T// t 2 0 nên T t đạt cực đại tại t 500, như vậy với T t 250000. Thoả mãn (*), và ta có các số liệu phù hợp sau : Đơn giá: P 2450 0 , lượng cung: QS 2250 0 , lượng cầu: QD 1750 0. Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 500. Khi đó tiền thuế thu được là T 250000. 2.2.7. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) f/ t Cho hàm số y f t , với t là biến thời gian. Tỉ số r được gọi là hệ số tăng y f t trưởng (nhịp tăng trưởng) của hàm số y f t tại thời điểm t, nó cho biết % thay đổi của giá trị hàm số y f t khi t thay đổi một đơn vị. rt Ví dụ 35. Cho hàm đầu tư I t I0 .e ,(I 0 0, r 0), t tính theo năm. Hãy tính nhịp tăng trưởng của đầu tư. Giải. Ta có / rt I t r.I0 .e rI rt r 0 I t I0 .e Điều đó có nghĩa sau mỗi năm, đầu tư tăng xấp xỉ r% . 58
  59. Ví dụ 36. Cho hàm năng suất lao động Q t 2t2 60t 100, t tính theo năm. Tính nhịp tăng trưởng của Q tại t 10. Giải Nhịp tăng trưởng của Q. Ta có : Q/ t 4t 60 r Q Q t 2t2 60t 100 Với t 10 ta suy ra nhịp tăng trưởng của Q : Q/ 10 20 1 r Q Q 10 500 25 Sau năm thứ 10, năng suất lao động chỉ tăng xấp xỉ ( 1/25)%. Ví dụ 37. (Hệ số tăng trưởng của hàm hợp) Cho hàm số y f u t , t là biến thời gian /// y f u t yt y u .u t Hệ số tăng trưởng y///// y .u y u r t u t u .u. t  .r yy y y u yu u Áp dụng cho trường hợp: Q 300L,Lt3 2 100 3t t 2 , t tính theo tháng Hệ số co dãn của Q theo L : L 2  QL/ QL Q 3 Hệ số tăng trưởng của L : L/ t 3 2t r L L t 2(100 3t t2 ) Hệ số tăng trưởng của Q : 2 3 2t rQ E QL .r L 3 3(100 3t t2 ) Với t 3. Ta có 3 2 3 1 rLQ r . 0,01. 200 3 200 100 59
  60. 2.2.8. Bài tập Bài số 1. Cho hàm tiêu dùng (chi tiêu) phụ thuộc vào thu nhập như sau: C 0,8Y 0,2 Y 300 (Y 0) 1) Tại mức thu nhập Y0 169 USD nếu thu nhập tăng thêm 1 USD thì mức tiêu dùng thay đổi như thế nào? 2) Tính MPC Y tại mức thu nhập Y0 144 USD. Nêu ý nghĩa kết quả nhận được. Đáp số: 1) MPC(169) 0,8077 ; 2) MPC(144) 0,8083. 5Q2 Bài số 2. Cho hàm tổng chi phí: TC Q 5000 Q 3 1) Tìm hàm chi phí cận biên MC Q . 2) Tính chi phí trung bình AC Q tại Q 100. 3) Tính hệ số co dãn của TC Q theo Q tại Q 17. 5Q2 30Q 5650 Đáp số: 1) MC ; 2) AC ; 3) TC/Q 0,0164. (Q 3)2 103 2 Bài số 3. Cho hàm sản xuất Q 120L3 (L 0). Tại mức sử dụng lao động bất kỳ, nếu lao động tăng 10% hỏi sản lượng thay đổi bao nhiêu %. 2 Đáp số:  . QL 3 Bài số 4. Cho hàm sản xuất Q 100L0,5 , biết giá sản phẩm là P 4 USD và giá thuê một đơn vị lao động pL 2 USD. Hãy xác định mức sử dụng lao động để lợi nhuận thu được là tối đa. Đáp số: max (10000) 20000. Bài số 5. Tìm hàm chi phí cận biên cho biết hàm chi phí bình quân: 36 AC Q 3Q 7 Q Đáp số: MC 6Q 7. Bài số 6. Cho biết hàm tổng chi phí: TC Q Q3 5Q 2 60Q. Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất (với Q 0). 60
  61. 5 215 Đáp số: ACmin . 2 4 Bài số 7. Cho biết hàm chi phí là TC Q Q3 8Q 2 57Q 2, Q 0 và hàm cầu Q 90 2P. Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại. Đáp số: max 4 6. Bài số 8. Cho biết hàm chi phí là TC Q 4Q3 5Q 2 500, Q 0 và hàm cầu Q 11160 P. Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại. Đáp số: max 30 220900. Bài số 9. Cho biết hàm tổng chi phí TC và hàm cầu (đảo), hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa (với Q 0): 1) TC Q Q3 6Q 2 140Q 150; P 1400 7,5Q . 2) TC Q 0,2Q2 4Q 57 ; P 9 0,25Q . 50 388 Đáp số: 1) max 20 16450; 2) max 43,111. 9 9 Bài số 10. Cho hàm cầu: Q 120 3P . Hãy tính hệ số co dãn của cầu tại các mức giá P 20 và P 30 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Đáp số: DD 20 1;  30 3. 2 Bài số 11. Cho hàm cầu QD 400 0,01P 1) Hãy tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá P0 120 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. 2) Xác định mức giá P để hệ số co dãn của cầu theo giá bằng 1. Đáp số: 1)  0,5625 ; 2) 100 2. -0,004P Bài số 12. Cho hàm cầu QD 3000e . Hãy tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá P0 100 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Đáp số:  0,4. Bài số 13. Cho hàm cầu đảo P 150 3Q Q2 . Hãy tính hệ số co dãn của sản lượng theo giá bán tại mức sản lượng Q0 10. 61
  62. 2 Đáp số:  . D 23 Bài số 14. Cho hàm doanh thu R(x) phụ thuộc ngân sách dành cho quảng cáo x R(x) 2x3 27x 2 132x 207; 0 x 17 . Hãy xác định mức sử dụng ngân sách quảng cáo x để doanh thu tối đa. Đáp số: Rmax R(11) 2264. Bài số 15. Cho hàm lợi nhuận phụ thuộc sản lượng như sau: (x) 0,02x2 300x 200000; 0 x 20000 Hãy xác định mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận. Đáp số: max (7500) 925000. Bài số 16. Cho hàm sản xuất : Y t 0,2K0,4 L 0,8 với K t 120 0,1t; L t 300 0,3t . Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và của Y. 0,1 0,1 0,04 0,08 Đáp số: r ; r ; r . KLY120 0,1t 100 0,1t 120 0,1t 100 0,1t Bài số 17. Thu nhập quốc dân Y của một quốc gia có dạng: Y 0,48K0,4 L 0,3 X 0,01, với K là vốn, L là lao động và X là xuất khẩu ròng. Cho nhịp tăng trưởng của X là 4%, của K là 3%, của L là 5%. Hãy xác định nhịp tăng trưởng của Y. Đáp số: rY 0,0274. Bài số 18. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là 3 2 QD 300 P và hàm tổng chi phí TC(Q) Q 19Q 333Q 10. Hãy xác định mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Đáp số: max 11 474. Bài số 19. Một công ty có hàm cầu về sản phẩm và hàm tổng chi phí là: 45 Q3 P 2750 Q ; TC Q 15Q2 2500Q 8 30 trong đó P là giá và Q là sản lượng. 1) Tính sản lượng và giá bán để tối đa hóa lợi nhuận? Tính và nêu ý nghĩa hệ số co dãn của cầu sản phẩm tại mức giá và sản lượng tối ưu? 62
  63. 2) Tìm giá bán để tối đa hóa sản lượng bán ra mà công ty không bị lỗ? 13 Đáp số: 1) 200 158333;  ; 2) 305,778. max 9 Bài số 20. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là 2 QD 2640 P và hàm tổng chi phí TC(Q) Q 1000Q 100. Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. Đáp số: 820. Bài số 21. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là QS P 200 và QD 1800 P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là P1 500. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Đáp số: 250. Bài số 22. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là QS P 20 và QD 400 P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là P1 310. Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sàn phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Đáp số: 50. Bài số 23. Cho biết hàm cầu ngược và hàm chi phí của một nhà độc quyền như sau: P 200 Q, TC Q2 (trong đó P là giá, Q là sản lượng) 1) Tìm mức sản lượng và mức giá để lợi nhuận cực đại. 2) Tính hệ số co dãn của cầu tại mức tối đa hóa lợi nhuận. 3) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất của nhà độc quyền. Đáp số: 1) Q 50, P 150; 2) 3; 3) t 100. 63
  64. 2.3. Áp d ụng tích phân vào phân tích kinh t ế và kinh doanh 2.3.1. Bài toán tìm hàm t ổng khi bi ết hàm c ận biên Gi ả s ử bi ến s ố kinh t ế y mang ý ngh ĩa t ổng giá tr ị (t ổng chi phí, t ổng doanh thu, t ổng tiêu dùng, ) là hàm s ố được xác đị nh theo giá tr ị c ủa đố i s ố x : y= f(x) Nếu ta bi ết được hàm giá tr ị c ận biên My= f/ (x) thì ta có th ể xác đị nh được hàm tổng y= f(x) thông qua phép toán tích phân: y= f(x) =∫ f/ (x)dx = ∫ Mydx Hằng s ố C trong tích phân b ất đị nh trên được xác đị nh n ếu ta bi ết giá tr ị c ủa y tại một điểm x0 nào đó: = y0 fx.( 0 ) − Ví d ụ 38. Cho hàm s ản ph ẩm biên c ủa lao độ ng: MPL= 40.L0,5 . Hãy tìm hàm s ản xu ất ng ắn h ạn Q= fL,( ) bi ết Q( 100) = 4000. Gi ải Ta có − Q== fL( ) ∫ 40L0,5 dL =+ 80L 0,5 C Từ gi ả thi ết: Q100( ) = 4000 ⇔ 80.1000,5 += C 4000 ⇔= C 3200 Vậy Q= 80L0,5 + 3200. Ví d ụ 39. Cho hàm chi phí c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượng Q là MC( Q) = 8.e 0,2Q và chi phí c ố đị nh là: FC= 50 . Tìm hàm t ổng chi phí. Gi ải Ta có TC(Q)=∫ 8.e0,2Q dQ = 40.e 0,2Q + C. Chi phí c ố đị nh là chi phí ở m ức Q= 0 , do đó FC= TC( 0) . Suy ra 50= 40 + C nên C= 10. 64
  65. Vậy TCQ( ) = 40e0,2Q + 10 . Lưu ý. Chi phí kh ả bi ến là ph ần chi phí ph ụ thu ộc vào m ức s ản l ượng Q và b ằng hi ệu số c ủa t ổng chi phí và chi phí c ố đị nh. Trong tr ường h ợp này: VCQ( ) = TCQ( ) − FC = 40e 0,2Q Ví d ụ 40. Cho hàm doanh thu c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượng Q là: MR( Q) = 50 − 2Q − 3Q 2 Hãy xác định hàm t ổng doanh thu và hàm c ầu đố i v ới s ản ph ẩm. Gi ải Hàm t ổng doanh thu TR( Q ) là nguyên hàm c ủa hàm doanh thu c ận biên: TR( Q) =∫( 50 −− 2Q 3Q2) dQ =−−+ 50Q Q 2 Q 3 C Hi ển nhiên khi Q= 0 doanh thu bán hàng là TR( 0) = 0 ⇔ C = 0. Vậy TRQ( ) = 50Q − Q2 − Q 3 Gọi P= P( Q ) là hàm c ầu đả o, t ức là hàm ng ược c ủa hàm c ầu Q= DP.( ) Ta có hàm doanh thu được tính nh ư sau: TR( Q) = P( Q) ⋅ Q Suy ra TR( Q ) PQ() = =−− 50QQ.2 Q Ví d ụ 41. Cho hàm tiêu dùng C= C( Y ) ph ụ thu ộc vào m ức thu nh ập Y và xu h ướng tiêu − dùng c ận biên MPC( Y ) ở m ỗi m ức thu nh ập Y là: MPC( Y) = 0,8 + 0,1Y1/2 . Hãy tìm hàm tiêu dùng, bi ết r ằng m ức tiêu dùng t ự đị nh là 50. Gi ải Ta có − C( Y) =+∫( 0,8 0,1Y1/2 ) dY =+ 0,8Y 0,2 Y + C Mức tiêu dùng t ự đị nh là m ức tiêu dùng khi không có thu nh ập: 65
  66. C( 0) = 50 ⇔ C = 50 Vậy hàm tiêu dùng trong tr ường h ợp này là: CY( ) = 0,8Y + 0,2 Y + 50. Ví d ụ 42. Cho hàm ti ết ki ệm S= S(Y) ph ụ thu ộc vào m ức thu nh ập Y và xu h ướng ti ết ki ệm c ận biên MPS( Y ) ở m ỗi m ức thu nh ập Y là: MPS( Y) = − 8 + 0,4Y. Hãy tìm hàm ti ết ki ệm, bi ết r ằng m ức ti ết ki ệm s ẽ là S= 40 khi m ức thu nh ập Y= 10. Gi ải Ta có SY( ) =−+∫( 8 0,4YdY) =−+ 8Y 0,2Y2 + C Mức ti ết ki ệm là S= 40 khi thu nh ập Y= 10 : S( 10) = 40 ⇔ C = 100 Vậy hàm ti ết ki ệm trong tr ường h ợp này là: SY( ) = 100 − 8Y + 0,2Y.2 Ví d ụ 43. Một doanh nghi ệp có hàm doanh thu c ận biên: MR( Q) = 960 − 0,15Q2 . Hãy tìm t ổng doanh thu n ếu doanh nghi ệp đị nh giá s ản ph ẩm là 715. Gi ải Hàm t ổng doanh thu TR( Q ) là nguyên hàm c ủa hàm doanh thu c ận biên: TR( Q) =−∫( 960 0,15Q2) dQ =− 960Q 0,05Q 3 + C Hi ển nhiên khi Q= 0 doanh thu bán hàng là TR( 0) = 0 ⇔ C = 0. Vậy TR( Q) = 960Q − 0,05Q 3 Gọi P= P( Q ) là hàm c ầu đả o, t ức là hàm ng ược c ủa hàm c ầu Q= DP.( ) Ta có hàm doanh thu được tính nh ư sau: TR( Q) = P( Q) ⋅ Q Suy ra TR( Q ) P() Q= = 960 − 0,05Q2 . Q Với P=⇔− 715 960 0,05Q2 =⇔= 715 Q 70 Vậy t ổng doanh thu: TR= PQ = 715 ⋅= 70 50050. 66
  67. 2.3.2. Bài toán tìm hàm qu ỹ vốn khi bi ết hàm đầu t ư Gi ả s ử l ượng đầ u t ư I (t ốc độ b ổ sung v ốn) và qu ỹ v ốn K là các hàm s ố c ủa bi ến th ời gian t : I= It,( ) K = Kt( ) Gi ữa qu ỹ v ốn và đầu t ư có quan h ệ It( ) = K/ ( t ) (l ượng đầ u t ư t ại th ời điểm t, bi ểu th ị t ốc độ t ăng v ốn t ại th ời điểm đó), do đó n ếu bi ết hàm đầu t ư I( t ) thì hàm qu ỹ v ốn K( t ) được xác đị nh nh ư sau: Kt( ) =∫ K/ ( tdt) = ∫ Itdt( ) Hằng s ố C trong tích phân b ất đị nh trên được xác đị nh n ếu ta bi ết qu ỹ v ốn t ại m ột th ời điểm nào đó. Ví d ụ 44. Cho hàm đầu t ư sau I(t)= 3t 1/2 (nghìn đô la m ột tháng) và qu ỹ v ốn t ại th ời điểm t= 1 là K( 1) = 10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm qu ỹ v ốn K( t ) và l ượng v ốn tích l ũy được t ừ tháng th ứ 4 đế n tháng th ứ 9. Gi ải Qu ỹ v ốn t ại th ời điểm t là: Kt( ) =∫ 3t1/2 dt2t = 3/2 + C . Tại th ời điểm t= 1 thì K( 1) = 2 + C = 10 , do đó: C = 8 Kt( ) = 2t3/2 + 8 (nghìn đô la) Lượng v ốn tích l ũy được t ừ tháng th ứ 4 đế n tháng th ứ 9 được tính theo công th ức: 3 9 K9()()− K4 = 2t2 = 38 (nghìn đô la). 4 Ví d ụ 45. Gi ả s ử l ượng đầ u t ư t ại th ời điểm t được xác đị nh d ưới d ạng hàm s ố I( t) = 140t 0,75 và qu ỹ v ốn t ại th ời điểm xu ất phát là K(0)= 150. Hãy xác định hàm qu ỹ v ốn K( t) . Gi ải Qu ỹ v ốn t ại th ời điểm t là: Kt( ) =∫ 140t3/4 dt = 80t 7/4 + C . 67
  68. Tại th ời điểm xu ất phát K(0)= C = 150 , do đó Kt() = 804 t7 + 150 (nghìn đô la). 2.3.3. Tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất (PS) và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng (CS) = ( ) = −1 Cho hàm c ầu QD D P ho ặc hàm c ầu đả o P D( Q D ) (hàm ng ược c ủa hàm c ầu = QD D( P ) ). Gi ả s ử điểm cân b ằng c ủa th ị tr ường là (P0 , Q 0 ) và hàng hoá được bán v ới giá P0 . Khi đó th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng được tính theo công th ức: Q0 =−1 () − CS∫ D QdQ PQ.0 0 0 = ( ) = −1 Cho hàm cung QS S P ho ặc hàm cung đảo P S( Q.S ) Nếu hàng hoá được bán ở m ức giá cân b ằng P0 thì th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất được tính theo công th ức: Q0 = − −1 () PS P0 Q 0 ∫ S Q dQ. 0 Ví d ụ 45. Cho các hàm cung và c ầu sau: = − − = − − QS P21 , QD 43 P 2 . Hãy tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng. Gi ải Các hàm c ầu đả o và cung đảo l ần l ượt là: − − D1( Q) = 43 − (Q + 2) 2 , S1( Q) = (Q1) + 2 + 2 −1= − 1 Sản l ượng cân b ằng Q0 là nghi ệm d ươ ng c ủa ph ươ ng trình: D( Q) S( Q ) Suy ra: = = Q0 3 và P0 18 Th ặng d ư nhà s ản xu ất được tính theo công th ức: 3 =×−() ++2  = PS 183∫  Q 1 2dQ  27. 0 Th ặng d ư ng ười tiêu dùng được tính theo công th ức: 3 2 = −+()  −×= CS∫  43 Q 2  dQ 183 36. 0 68
  69. 2.3.4. Bài t ập − 2 Bài s ố 1. Cho hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa lao độ ng: MPL() L= 60.L3 . Hãy tìm hàm sản xu ất ng ắn h ạn Q= fL,( ) bi ết Q( 100) = 10000. Đáp s ố: Q( L) = 1803 L + 10000 − 1803 100. Bài s ố 2. Cho bi ết chi phí c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượng Q nh ư sau: MC( Q) = 120 − 40Q + 0,3Q 2 và chi phí c ố đị nh: FC= 300 1) Hãy tìm hàm t ổng chi phí và hàm chi phí kh ả bi ến. = 2) Tính giá tr ị chi phí c ận biên t ại m ức s ản l ượng Q0 140 và nêu ý ngh ĩa. Đáp s ố: 1) TC(Q)=−++ 0,1Q32 20Q 120Q 300; VC =−+ 0,1Q 32 20Q 120Q ; 2) MC(140)= 400. Bài s ố 3. Cho bi ết chi phí c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượng Q : MC( Q) = 15e 0,3Q và chi phí cố đị nh: FC= 120. Hãy tìm hàm t ổng chi phí. Đáp s ố: TC= 50e0,3Q + 70. Bài s ố 4. Cho bi ết doanh thu c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượng Q : MRQ( ) = 40Q − 16e0,4Q . Hãy tìm hàm t ổng doanh thu. Đáp s ố: TR= 40 + 20Q2 − 40e0,4Q . Bài s ố 5. Cho bi ết hàm doanh thu c ận biên: MRQ( ) = 84 − 4Q − Q.2 Hãy cho bi ết hàm tổng doanh thu TR( Q ) và hàm c ầu. 1 1 Đáp s ố: TR= 84Q − 2Q2 − Q;P 3 =−− 84 2Q Q. 2 3 3 Bài s ố 6. Cho bi ết xu h ướng tiêu dùng c ận biên MPC( Y) = 0,8 ở m ọi m ức thu nh ập Y và C= 800 khi Y= 0. Hãy xác định hàm tiêu dùng C( Y) . Đáp s ố: C( Y) = 0,8Y + 800. − Bài s ố 7. Cho bi ết xu h ướng ti ết ki ệm c ận biên MPS( Y) = 0,9Y 0,5 ở m ọi m ức thu nh ập Y và S= 500 khi Y= 100. Hãy xác định hàm ti ết ki ệm S( Y) . 69
  70. 9 Đáp s ố: S(Y)= Y0,5 + 482. 5 Bài s ố 8. Cho Y là thu nh ập, S là ti ết ki ệm. Bi ết r ằng m ức ti ết ki ệm s ẽ là S= − 7,42 khi thu nh ập Y= 5. 1) Hãy xác định hàm ti ết ki ệm n ếu bi ết khuynh h ướng ti ết ki ệm cận biên là MPS( Y) = Y − 0,4. 2) Kể từ mức thu nh ập d ươ ng nào tr ở nên s ẽ có m ức ti ết ki ệm d ươ ng? Y2 Đáp s ố: 1) S(Y)= − 0,4Y − 17,92; 2) Y> 6,2. 2 Bài s ố 9. Tìm hàm t ổng nh ập kh ẩu M( Y ) với Y là thu nh ập qu ốc dân n ếu khuynh h ướng nh ập kh ẩu c ận biên là M/ ( Y) = 0,1 và M= 20 khi Y= 0. Đáp s ố: M( Y) = 0,1Y + 20. Bài s ố 10. Cho bi ết doanh thu c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượng Q : 10 MRQ() = . ()1+ Q 2 1) Hãy tìm hàm t ổng doanh thu. 2) Tại m ức s ản l ượng Q= 4. Nếu t ăng giá 1% thì s ản l ượng thay đổi nh ư th ế nào? 10Q Đáp s ố: 1) TRQ() = ; 2) S ản l ượng gi ảm 1,25%. 1+ Q Bài s ố 11. Cho bi ết doanh thu c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượng Q của m ột doanh nghi ệp nh ư sau: MR( Q) = 1800 − 1,8Q2 . 1) Hãy tìm hàm t ổng doanh thu 2) Hãy cho bi ết t ại m ức s ản l ượng Q= 10. Nếu doanh nghi ệp gi ảm giá 1% thì m ức cầu s ẽ bi ến động nh ư th ế nào? Đáp s ố: 1) TR= 1800Q − 0,6Q 3 ; 2) S ản l ượng t ăng 14,5%. Bài s ố 12. Cho Y là thu nh ập, S là ti ết ki ệm. Bi ết r ằng m ức ti ết ki ệm s ẽ là S= 0 khi thu nh ập Y= 81. Hãy xác định hàm ti ết ki ệm n ếu bi ết khuynh h ướng ti ết ki ệm c ận biên là − MPS( Y) = 0,3 − 0,1Y 0,5 70
  71. Đáp s ố: S( Y) = 0,3Y − 0,2Y0,5 − 22,5. Bài s ố 13. Cho bi ết hàm đầu t ư: I= 405 t.3 Hãy cho bi ết hàm qu ỹ v ốn K( t) , bi ết r ằng qu ỹ v ốn t ại th ời điểm t= 0 là 75. Đáp s ố: K(t)= 255 t8 + 75. Bài s ố 14. Cho bi ết hàm đầu t ư I= 603 t và qu ỹ v ốn t ại th ời điểm t= 1 là 85. Hãy cho bi ết hàm qu ỹ v ốn K( t) . Đáp s ố: K(t)= 453 t4 + 40. Bài s ố 15. Cho bi ết hàm đầu t ư: I= 123 t ( t là bi ến th ời gian). 1) Hãy cho bi ết hàm qu ỹ vốn K( t) , bi ết r ằng K( 0) = 25. 2) Xác định t ổng l ượng v ốn tích l ũy được trong kho ảng th ời gian t∈[ 1,10] . Đáp s ố: 1) K(t)= 93 t4 + 25; 2) 185. = − − 2 = Bài s ố 16. Cho bi ết hàm c ầu: P 42 5Q Q . Gi ả s ử giá cân b ằng là P0 6. Hãy tính th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng. 248 Đáp s ố: CS= . 3 Bài s ố 17. Cho bi ết hàm c ầu và hàm t ổng chi phí nh ư sau P= 110 − Q và TC=− Q3 25Q 2 ++ 2Q 3000; Q > 0 1) Tìm s ản l ượng Q và giá bán P để lợi nhu ận c ực đại. 2) Tìm th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng t ại m ức s ản l ượng để lợi nhu ận c ực đại. = = π= = Đáp s ố: 1) Q 18, P 92,max 888 ; 2) CS 162. Bài s ố 18. Cho hàm c ầu và hàm t ổng chi phí P= 124 − 2Q và TCQ( ) =− 2Q3 59Q 2 ++ 4Q 7600;Q > 0 1) Hãy xác định m ức s ản l ượng Q để tối đa hóa l ợi nhu ận. 2) Tính th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng t ại điểm t ối đa hóa l ợi nhu ận. π =π = = Đáp s ố: 1) max (20) 1600 ; 2) CS 400. Bài s ố 19. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung đảo: 71
  72. − − 1 D1()() Q=− 65Q;S 21 Q =++ Q 2 2Q5 3 Hãy tính th ặng d ư c ủa nhà sản xu ất và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng. Đáp s ố: CS= 144;PS = 84. Bài s ố 20. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung: − − D1( Q) = − 0,1Q 2 + 90 ; S1( Q) = 0,2Q 2 + Q + 50 . Hãy tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng. 200 550 Đáp s ố: CS= ;PS = . 3 3 Bài s ố 21. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung: − 1 − 2 D1() Q= 131 − Q 2 ; S1() Q= 50 + Q 2 . 3 3 Hãy tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng. Đáp s ố: CS= 162;PS = 324. Bài s ố 22. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung: − − D1 ( Q) = 245 − 2Q ; S1 ( Q) = 5Q + . Hãy tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng. Đáp s ố: CS= 3,29;PS = 50. Bài s ố 23. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung: − 16 − 1 D1 () Q= − 3 ; SQ1 () =() Q1 + . Q+ 2 3 Hãy tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng. 2 Đáp s ố: CS= 16ln2 − 8;PS = . 3 Bài s ố 24. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung: = − = − QD 113 P ; QS P1. Hãy tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng. 686 833 Đáp s ố: CS= ;PS = . 3 3 72
  73. 2.4. Ph ươ ng trình vi phân và áp d ụng kinh t ế 2.4.1. Tìm hàm c ầu khi bi ết h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá Chúng ta đã bi ết công th ức tính h ệ s ố co dãn c ủa c ầu theo giá nh ư sau: ε=/ ⋅=P dQD ⋅ P DQ D () P QD dP Q D ⇔dQ =ε⋅ dP D (*) QD P Trong đó: QD là l ượng c ầu, P là giá s ản ph ẩm. Cách gi ải Lấy tích phân 2 v ế c ủa ph ươ ng trình (*), ta có dQD = ε dP ∫ ∫ D QD P Suy ra dP ln Q = ε D∫ D P Lưu ý. Để xác đị nh h ằng s ố C trong tích phân b ất đị nh, ta c ần có thông tin v ề l ượng c ầu của m ột m ức giá c ụ th ể. ε = − Ví d ụ 46. Cho h ệ số co dãn c ủa hàm c ầu là: D 2 ( ) = Tìm hàm c ầu QD bi ết r ằng Q 1 20. Gi ải Từ hệ số co dãn ta có dQ P dQ dP ⋅ =−⇔2 =− 2 dP Q Q P Suy ra − lnQ=− 2lnP +⇔ C Q = A P 2 ( A là h ằng s ố) Từ gi ả thi ết Q(1) = 20 ⇔ 20 =⇔= A A 20 Vậy − Q= 20P 2 . 73
  74. Ví d ụ 47. Cho h ệ số co dãn c ủa hàm c ầu là −2P ε = D 2000− 2P ( ) = Tìm hàm c ầu QD bi ết r ằng Q 0 2000. Gi ải Từ hệ số co dãn ta có dQ P− 2P dQ − dP ⋅= ⇔= dP Q 2000− 2P Q 1000 − P Suy ra ln Q= ln 1000 −+⇔= P C Q A( 1000 − P ) ( A là h ằng s ố) Từ gi ả thi ết Q(0) = 2000 ⇔ 2000 = 1000A ⇔= A 2 Vậy Q= 2000 − 2P . 2.4.2. Bi ến động c ủa giá trên th ị tr ường theo th ời gian Gi ả s ử m ột s ản ph ẩm đang được l ưu thông trên th ị tr ường v ới hàm cung QS và hàm cầu QD . G ọi P0 , Q 0 lần l ượt giá và l ượng cân b ằng. N ếu t ại th ời điểm b ắt đầ u vi ệc nghiên = = ≠ cứu t 0, P( 0) p 0 thì th ị tr ường đã đạt được s ự cân b ằng. Nh ưng n ếu P( 0) p 0 , ngh ĩa là th ị tr ường ch ưa đạt được s ự cân b ằng. Để đạ t được s ự cân b ằng c ần có th ời gian để điều ch ỉnh, khi đó P, QS , Q D là các hàm theo th ời gian t. Vấn đề đặ t ra là s ự điều ch ỉnh giá P có đạt được m ức giá cân b ằng th ị tr ường theo th ời gian hay không? Ngh ĩa là lim P(t)= P(0) . t→+∞ Sự thay đổ i c ủa giá ph ụ thu ộc l ượng cung, c ầu trên th ị tr ường, để đơn gi ản chúng ta gi ả thi ết r ằng t ỷ l ệ c ủa s ự thay đổ i giá t ại m ọi th ời điểm t ỷ l ệ thu ận v ới độ chênh l ệch − gi ữa c ầu và cung (QD Q S ) tại th ời điểm đó. Nếu nh ư v ậy ta có th ể di ễn t ả b ằng ph ươ ng trình: dP = ∆()Q − Q (*) dt D S Trong đó ∆ > 0 là m ột h ằng s ố thích h ợp, g ọi là h ệ s ố điều ch ỉnh 74
  75. dP dP Lưu ý. Khi = 0 khi và ch ỉ khi Q= Q . Điều đó có ngh ĩa là = 0 xảy ra t ại m ọi dt S D dt th ời điểm cân b ằng. Gi ải ph ươ ng trình vi phân (*) ta tìm được hàm P( t) . Ví d ụ 48. Cho hàm cung và hàm c ầu =− =− QS 3P 60; Q D 30 P 45 Nếu Q= Q thì giá cân b ằng P = D S 0 2 dP 1 Gi ả s ử =()Q − Q và P( 0) = 30 dt 2 D S Từ dP1 dP =()Q − Q ⇔=− 452P dt2D S dt ⇔P/ + 2P = 45 (*) +) B ước 1. M ột nguyên hàm c ủa 2 là 2t +) B ước 2. Ch ọn th ừa s ố tích phân: e2t +) B ước 3. Nhân 2 v ế c ủa (*) cho e2t ta được e2t/ P+ e 2t 2P = 45e 2t / ⇔(e2t P) = 45e 2t ( ) +) B ước 4. L ấy tích phân 2 v ế c ủa ( ), ta được 45 eP2t= e 2t + C 2 45 − Suy ra P(t)= + Ce 2t (C là h ằng s ố) 2 45 15 Từ gi ả thi ết : P(0)= 30 ⇔ += C 30 ⇔= C 2 2 Vậy 45 15 − P() t= + e 2t 2 2 =45 = Nh ận th ấy : limPt() P.0 t→+∞ 2 75
  76. Ví d ụ 49. Cho hàm cung và hàm c ầu =− =− QS P 20;Q D 60 2P Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t, bi ết r ằng P( 0) = 40 và P( 2) = 30. Gi ải Ta có dP =k() Q − Q dt D S Thay hàm cung hàm c ầu vào, ta có dP =k() 80 − 3P dt ⇔P/ + 3kP = 80k (*) +) B ước 1. M ột nguyên hàm c ủa 3k là 3kt +) B ước 2. Ch ọn th ừa s ố tích phân: e3kt +) B ước 3. Nhân 2 v ế c ủa (*) cho e3kt ta được e3kt/ P+ e 3kt 3kP = 80ke 3kt / ⇔(e3kt P) = 80ke 3kt ( ) +) B ước 4. L ấy tích phân 2 v ế c ủa ( ), ta được 80 eP3kt= e 3kt + C 3 80 − Suy ra P(t)= + Ce 3kt (C là h ằng s ố) 3 80 40 Từ gi ả thi ết : P(0)= 40 ⇔ += C 40 ⇔= C 3 3 Ta có 80 40 − P(t)= + e 3kt 3 3 80 40 − Từ gi ả thi ết : P(2)=⇔+ 30 e6k =⇔= 30 k 0,231 3 3 Vậy 80 40 − P(t)= + e0,693t . 3 3 76
  77. 2.4.3. Bài t ập Bài s ố 1. Tìm hàm c ầu QD cho bi ết h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá là 5P+ 2P 2 ε = − D Q và l ượng c ầu ở mức giá P= 10 là 500. Đáp s ố:Q(P)= 650 − 5P − P2 . 6P− 4P 2 Bài s ố 2. Bi ết h ệ s ố co dãn c ủa c ầu theo giá là: ε = D Q Hãy tìm hàm c ầu, bi ết r ằng Q= 700 khi P= 10. Đáp s ố: Q= 6P − 2P2 + 840. ε = − = Bài s ố 3. Tìm hàm c ầu bi ết h ệ s ố co dãn c ủa c ầu theo giá là D 2, và ở m ức giá P 2 thì l ượng c ầu Q= 100. − Đáp s ố: Q= 400P2 . =− = − Bài s ố 4. Cho hàm cung và hàm c ầu: QS P 200; Q D 4200 P. Tìm hàm giá ph ụ 1 thu ộc vào th ời gian t, bi ết r ằng h ệ s ố điều ch ỉnh ∆ = và P( 0) = 3000. 2 − Đáp s ố: P(t)= 2200 + 800et . =− =+ Bài s ố 5. Cho hàm cung và hàm c ầu: QD 8 2P; Q S 2 P. Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t, bi ết r ằng P( 0) = 5 và P( 2) = 3. − Đáp s ố: P(t)= 2 + 3e0,549t . =− =+ Bài s ố 6. Cho hàm cung và hàm c ầu: QD 7 P; Q S 1 P. Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t, bi ết r ằng P( 0) = 6 và P( 4) = 4. − Đáp s ố: P(t)= 3 + 3e0,2747t . =− =+ Bài s ố 7. Cho hàm cung và hàm c ầu: QD 11 3P; Q S 5 P. Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t, bi ết r ằng P( 0) = 10 và P( 3) = 7. 3 17 − Đáp s ố: P(t)= + e0,1451t . 2 2 77
  78. Thuật ngữ chính chương 2 Tiếng Anh Tiếng Việt Average Cost Chi phí bình quân Compound Interest Lãi kép Consumers’ Surplus Thặng dư của người tiêu dùng Differential equations of the first order Phương trình vi phân cấp 1 Linear differential equations Phương trình vi phân tuyến Elasticity coefficient Hệ số co dãn Elasticity of demand Độ co dãn của cầu Fixed Cost Chi phí cố định Future Value Giá trị tương lai Marginal Cost Chi phí cận biên Marginal product of labor Sản phẩm cận biên của lao động Marginal product of Capital Sản phẩm cận biên của vốn Marginal Propensity to Consume Xu hướng tiêu dùng cận biên Marginal Propensity to Save Xu hướng tiết kiệm cận biên Marginal Profit Lợi nhuận cận biên Marginal Revenue Doanh thu cận biên Net Present Value Hiện giá thuần Product Sản phẩm Profit Lợi nhuận Production Cost Chi phí sản xuất Producers’ Surplus Thặng dư của nhà sản xuất Present Value Giá trị hiện tại Revenue Doanh thu Single Interest Lãi đơn The Law of diminishing returns Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Total Cost Tổng chi phí Total Revenue Tổng doanh thu Variable Cost Chi phí biến đổi 78