Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 2: Dao động của mạng tinh thể - Phạm Đỗ Chung

Nội dung text: Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 2: Dao động của mạng tinh thể - Phạm Đỗ Chung

1. VẬT LÍ CHẤT RẮN Phạm Đỗ Chung Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2. Chương 2 • Dao động của mạng tinh thể 1. Dao động của mạng 3 chiều 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử 4. Lượng tử dao động: Phonon 5. Nhiệt dung của vật rắn 6. Sự giãn nở vì nhiệt PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 2
3. Dao động của mạng tinh thể Mạng không gian Mạng tinh thể Gốc Các cấu trúc xếp Gốc hình chặt Các loại tinh cầu cứng thể (ion, ) Gốc tương tác lẫn nhau Gốc dao động Dao động mạng PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 3
4. Dao động của mạng tinh thể Tại sao cần nghiên cứu? • Trong mạng tinh thể các nguyên tử luôn dao động quanh vị trí cân bằng (nút mạng) • Dao động mạng liên quan đến nhiệt dung của vật rắn (khả năng dự trữ năng lượng) • Dao động mạng giải thích được lí do vật giãn nở nhiệt PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 4
5. 1. Dao động của mạng ba chiều • Sóng đàn hồi truyền theo một số phương đối xứng cao: , , • Chỉ xét sóng thuần túy dọc hoặc ngang Dao động • Các sóng phức tạp hơn có thể biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của của mạng các sóng phẳng. 1 chiều • Trên một mặt phẳng tinh thể vuông góc với phương truyền sóng các nguyên tử dao động giống nhau. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 5
6. 1. Dao động của mạng ba chiều Sóng dọc Fig 2, p90, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 6
7. 1. Dao động của mạng ba chiều Sóng ngang Fig 3, p90, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 7
8. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử Dao động của mạng tinh thể có một loại nguyên tử có khối lượng m, cách nhau một khoảng a. • Coi như chỉ có tương tác giữa các nguyên tử lân cận. • Giả sử lực tương tác giữa các nguyên tử là lực đàn hồi • Độ lệch ra khỏi vị trí cân bằng: us a a a a -1 0 s-1 s s+1 s+2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 8
9. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử Phương trình cho nguyên tử thứ m a a a a -1 0 s-1 s s+1 s+2 퐹푠 = ( 푠+1- 푠) + ( 푠−1− 푠) 2 푠 = ( + −2 ) 푡2 푠+1 푠−1 푠 푖푠퐾 −푖휔푡 푠 = 푒 us là độ dời khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử ở thứ s a.s là vị trí của nguyên tử thứ s PHẠM Đỗ ChungK -HNUE-2020là vector sóng (K=2 /a) 9
10. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử Ta có: 2 푠 = −휔2 푡2 푠 • Thay dạng nghiệm của us vào phương trình dao động 2 − 휔 = ( 푠+1 + 푠−1−2 푠) 푖푠퐾 ±푖퐾 • Lưu ý: 푠±1 = 푒 푒 − 휔2 = (푒푖퐾 + 푒−푖퐾 −2)d • Thay eiKa = cos Ka + isin Ka ta có: 2 휔2 = (1 − cos 퐾 ) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 10
11. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử Tần số góc ω của dao động phụ thuộc vào độ lớn của vectơ sóng K như sau: 2 휔2 = 1 − cos 퐾 4 퐾 휔2 = sin2 2 퐾 휔 = 2 sin 2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 11
12. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử 퐾 휔 = 2 sin 2 Fig 4, p92, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 12
13. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử Chu kỳ của 휔 theo K là 2 (từ − / < 퐾 < / ) Dao động của 2 nút lân cận lệch pha nhau: Ka 푖푠퐾 ±푖퐾 푠±1 = 푒 푒 푠+1 = 푒푖퐾 푠 − / < 퐾 < / : sẽ chứa mọi trạng thái dao động độc lập Khi 퐾 = ± (tức là khi 휔 ): 2 nút mạng lân cận max max dao động ngược pha 푖푠퐾 −푖휔푡 푠 −푖휔푡 푠 = 푒 = −1 푒 Đây là phương trình của sóng dừng PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 13
14. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử • K có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài nên là đại lượng được xét trong không gian mạng đảo • Mạng thuận có chu kì a thì mạng đảo có chu kì 2π/a • Khoảng -π/a ≤ K ≤ π/a trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ nhất • Vùng Brillouin thứ nhất chứa mọi giá trị khả dĩ của ω PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 14
15. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử Vận tốc nhóm: vận tốc truyền năng lượng dao động 퐾 휔 = 2 sin 2 휔 2 퐾 푣 = = . cos 퐾 2 Fig 6, p95, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th Tâm vùng Brillouin: vg là hằng số Biên vùng Brillouin: vg=0 sóng bị phản xạ PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 15
16. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử Điều kiện biên tuần hoàn Born-Karman 푠+ = 푠 푖(푠+N)퐾 −푖휔푡 푠+ = 푒 푒 x(0) 푖 퐾 푠+ = 푠푒 eiKNa = 1 hay KNa = 2πn Ta có vectơ sóng K thỏa mãn: 2 퐾 = 푛 퐿 vectơ sóng K bị lượng tử hoá 16
17. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử Với mạng một chiều: -π/a ≤K ≤ π/a do vậy –N/2 ≤n≤N/2 • K nhận N giá trị gián đoạn từ -π/a đến π/a, các giá trị này cách nhau một lượng 2π/(Na) • Trong mạng tinh thể có N tần số dao động ω(q) ứng với N giá trị K ở trên. • N rất lớn nên 2π/(Na) rất nhỏ và K gần như liên tục nên không ảnh hưởng đến kết quả bài toán. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 17
18. 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử • Dao động của mạng tinh thể tuần hoàn chỉ có các tần số từ 0 đến một giá trị ωmax hữu hạn. • Sự hữu hạn của tinh thể thực dẫn đến vectơ sóng K cũng chỉ có hữu hạn các giá trị và các giá trị này không còn liên tục mà bị lượng tử hóa. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 18
19. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử Bài toán mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử khác nhau có thể ứng dụng cho mạng 3 chiều chứa hai loại nguyên tử khác nhau (NaCl) khi xét sự lan truyền sóng theo các phương đối xứng ( ) a/2 a/2 a/2 a/2 a/2 a/2 M2 M M 1 2 M1 M2 M1 m-1 m m+1 Mạng một chiều có 2 loại nguyên tử M1 và M2 (M1 >M2) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 19
20. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử 2 푠 = (푣 + 푣 −2 ) 1 푡2 푠 푠−1 푠 2 푣푠 = ( + −2푣 ) 2 푡2 푠+1 푠 푠 푖푠퐾 −푖휔푡 푖푠퐾 −푖휔푡 푠 = 푒 푣푠 = 푣푒 Fig 9, p97, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 20
21. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử Thay phương trình sóng vào hệ ta được: 2 −푖퐾 − 1 휔 = 푣(1 + 푒 ) −2 2 푖퐾 − 2푣휔 = (1 + 푒 ) −2 푣 Nhóm u và v lại ta có hệ phương trình: 2 −푖퐾 2 − 1휔 − 1 + 푒 푣 = 0 ቐ 푖퐾 2 − 1 + 푒 + 2 − 2휔 푣 = 0 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 21
22. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử Điều kiện để nghiệm không tầm thường là: 2 −푖퐾 2 − 1휔 − 1 + 푒 푖퐾 2 = 0 − 1 + 푒 2 − 2휔 4 2 2 1 2휔 − 2 1 + 2 휔 −2 1 − cos 퐾 = 0 2 1 1 1 1 4 2 2 휔± = + ± + − sin Ka 1 2 1 2 1 2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 22
23. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử Với giả thiết của đề bài là: M1>M2 ta có: ω- ω+ K = 0 0 1 1 2 + 1 2 K <<1 2 퐾 1 + 2 K = 2 2 ±π/2 1 2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 23
24. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử Fig 7, p96, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 24
25. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử Đường cong tán sắc của KBr theo phương Fig 8, p96, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 25
26. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử 1 1 2 K <<1, ta có 휔+ = 2 + = − 1 2 푣 1 Fig 10, p98, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th • M1 và M2 dao động ngược chiều nhau. • M1 và M2 mang điện trái dấu nhau tạo ra mômen lưỡng cực điện. • E tương tác mạnh với mômen lưỡng cực. ω+ là nhánh quang học PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 26
27. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử 2 K <<1, ta có 휔− = 퐾 us = vs 1 + 2 Fig 10, p98, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th • M1 và M2 dao động cùng pha nhau. ω- là nhánh âm học PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 27
28. 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử 2 2 Trên phổ ω(q) có một khoảng giá trị từ đến 1 2 không ứng với nghiệm nào của phương trình sóng truyền trong mạng tinh thể (trong tinh thể không tồn tại dao động ứng với tần số trong khoảng đó). Ở biên vùng Brillouin thứ nhất có một khu vực cấm. Sóng ứng với tần số trong khu vực đó không tồn tại trong tinh thể PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 28