Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương 3: Động lực học hệ chất điểm. Vật rắn - Nguyễn Minh Châu

Nội dung text: Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương 3: Động lực học hệ chất điểm. Vật rắn - Nguyễn Minh Châu

1. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU Chương III: ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN III.1 Khối tâm. 1. Vị trí khối tâm G của hệ 2 chất điểm:2 chất điểm M1 và M2 cĩ khối lượng lần lượt m1 và m2 được nối với nhau bằng một thanh rắn khơng khối lượng thì vị trí khối tâm G là điểm khi đặt con niêm tại đĩ thanh cân bằng nằm ngang.Khi đĩ: M1 G M2 m1 M 1 G+ m2 M 2 G = 0 2. Vị trí khối tâm G của hệ nhiều chất điểm: n m1 m2 ∑ mi Mi G = 0 i=1 Đặt hệ chất điểm vào hệ trục tọa độ Descartes: => 0GMMG=0 i + i r r => mi 0 G= mi0 M i + m i M i G => ∑ mi 0 G= ∑ mi0 M i + ∑ mi M i G => rG∑ m i = ∑ mi r i ⎧ m x x = ∑ i i ⎪ G y M2 ⎪ M m r ⎪ m y M1 r ∑ i i ⎪ ∑ i i ⇒rG = => ⎨yG = M ⎪ M ⎪ ∑ mi z i ⎪zG = Mn ⎩⎪ M xG Với M= ∑mi : Khối lượng hệ chất điểm Vd: Cho 4 chất điểm m =1kg, m =2kg, m =3kg, m =4kg x 1 2 3 4 0 đặt tại 4 đỉnh hình chử nhựt cạnh 2cm, 4cm như hình vẻ. y 1 x = (0+ 0 + 9 + 12) = 2,1cm m m G 1+ 2 + 3 + 4 2 3 1 y =(0 + 4 + 6 + 0) = 1cm => G ( 2,1 ; 1 ) xG G 10 3. Vị trí khối tâm G của vật rắn: x m1 m ⎧ 1 4 x = x. dm y ⎪ G M ∫ ⎪ 1 ⎪ 1 r = dm. r ⇒ y = y. dm dm G ∫ ⎨ G ∫ M VR ⎪ M ⎪ 1 z = z. dm r ⎪ G ∫ ⎩ M Với M: Khối lượng vật rắn 0 dm x - Mật độ khối lượng dài: λ(/)kg m λ = ⇒dm = λ. dl dl z dm - Mật độ khối lượng mặt:σ (/kg m 2 ) σ = ⇒dm = σ. dS dS dm - Mật độ khối lượng mặt: ρ(/kg m3 ) ρ = ⇒dm = ρ. dV dV m m m + Nếu 1 vật rắn cĩ khối lượng phân bố đều thì: λ=;; σ = ρ = là hằng số l S V + Nếu vật rắn là sợi dây thẳng trên trục x thì: dl= dx + Nếu vật rắn là sợi dây cung trịn, bán kính R thì dy ta dùng tọa độ cực (R,ϕ) thì dl= R. dϕ dx
2. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU r= x2 + y 2 x= r cosϕ Tọa độ cực: y ⎧ ϕ = arctg Với ⎨ x ⎩y= r sinϕ r dϕ d + Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng: dS= dx. dy ϕ + Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi cung trịn: dS= r dr dϕ . z + Nếu vật rắn là mặt cầu bán kính R thì: dS= R2 sinθ . d θ . d ϕ ⎧x= r sinθ cos ϕ ⎪ Tọa độ cầu: M (,,)r θ ϕ với ⎨y= r sinθ sin ϕ M ⎪z= r cosθ ⎩ θ π 2π r 2 Khi tính biết mặt cầu: S= R∫sinθ . d θ ∫ d ϕ y 0 0 + Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương: dV= dx dy dz ϕ + Nếu vật rắn là khối cầu: dV= r2 dr.sinθ . d θ . d ϕ x R R ππ2 R 3 4 V= ∫ r2 dr ∫sin V= ∫ r2 . dr∫∫ sinθ . d θ d ϕ = .2.2π= πR 3 0 0 0 0 0 3 3 Vd1: Cho vật tam giác vuơng OBC ( OB=a và BC=b) khối lượng m phân bố đều. Tìm G? m y b y= x 1 a a 1 ab a 2 C x = σ dx dy = 2 xdx dy = x dx y G ∫ ∫∫ ∫ m VR m 00ab 0 1 d y • Tương tự y= b : G 3 0 B x dx Vd2: Cho vật rắn khối lượng m là ¼ vịng trịn (O,R). Xác định G? 1 y xG = σ.r . dr . d ϕ . r cos ϕ M ∫ 123 123 VR dS x M 2 π π R R 2 = 4 r2 drcosϕ . d ϕ M ∫∫ y G 0 0 3 π 4 R 2 4 = 2 . sinϕ 0 =RR ≡ 0,424 x πR 3 3π x H hđối nxứng => xG = ì yG = 0,424R. r F ∑ i III.2. Chuyển động khối tâm G r 1 r rG = ∑ mi r i r M aG r G r drG 1 r 1 r ϑG = = ∑miϑ i = ∑ pi r dt M M ϑ r G dϑ 1 1 r ar =G = m ar = F G ∑i i ∑ i r dt M M P ∑ i
3. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU III.3. Động lựơng của hệ chất điểm và vật rắn. r r rr a/ Định nghĩa: Pp==∑∑iiimMϑ =ϑG r r dP d(.) M ϑ r b/ Định lý: = G =Mar = F dt dt G ∑ c/ Định luật bảo tồn động lượng: r r - Bảo tồn tồn phương: ∑ F=0 ⇔ P = hs r - Bảo tồn 1 phương: ∑ F ≠ 0,∑ Fx = 0 ⇒ Px = hs r r r r Vd1: N r F= m gr + N + m gr + N = 0 1 r r N2 ∑ 1 1 2 2 m1 ϑ m2 r ϑ1 2 r r N1 PPTVC = SVC r r r r m '.'ϑ+ m ϑ = m ϑ + m ϑ m gr m gr 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 Vd2: m r r PPTB = SB M r r r r V ()'m+ M V = mϑ + MV ' Vd3: r ϑ r r PP1= 2 r r r V 0 = mϑ + MV Vd4: Bảo tồn 1 phương: r ϑ' r F= mgr ⇒ F = 0 r ∑ ∑ X ϑ r r r ()'m+ M V ≠ mϑ + MV ' r V' P = P X TVC X SVC M => mϑ = MV' V=0 III.4. Vật rắn chuyển động tịnh tiến. 1/ Định nghĩa: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm của vật rắn chuyển động cùng quãng đường, cùng vận tốc và cùng gia tốc với khối tâm. A1 A2 B 1 B 2 AABBGG1 2= 1 2 = = 1 2 G G ϑAB= ϑ = = ϑG C1 C2 aAB= a = = aG 2/ Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến: 1 2 1 2 Wđ =Wđ = m ϑ= M . ϑ tt ∑i ∑ 2 i i 2 G 3/ Phương trình động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến: r r ∑ Fi = M. aG III.5. Vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục U.
4. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU Δ 1/ Định nghĩa: θ AB=θ = = θ v ω AB=ω = = ω A1 β AB=β = = β Khi vật rắn quay quanh 1 trục thì mọi chất điểm cĩ cùng 1 θA gĩc quay, cùng vận tốc gĩc và cùng gia tốc gĩc. A2 2/ Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục U: 1 2 1 2 2 1 2 2 Wđ q / Δ =∑Wđ i = ∑mi.ϑ i = ∑ mi ω i r i = ω .∑ mi r i 2 2 2 B2 Với ri : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U. θB 2 Đặt IΔ = ∑ mi r i : moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục U B1 1 => WIđ = .ω 2 q / Δ 2 Δ 3/ Moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục quayU: 2 IΔ = ∑ mi r i 4/ Moment quán tính của vật rắn đối với trục quayU: I= dm. r 2 Δ ∫ VR Vd1: Cho 1 thanh thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố đều. Tính moment đối với trục quayU vuơng gĩc với thanh và đi qua điểm giữa. L L Δ Δ 2 M x 3 2 I = λ dx x 2 = Δ Δ ∫ L L 3 L − − 2 2 r 3 3 2 M ⎛ L⎛ L⎞⎞ ML =⎜ −⎜ − ⎟⎟ = α dx ⎜ ⎜ ⎟⎟ x L ⎝ 24⎝ 24⎠⎠ 12 O O x d Δ + Nếu chọn gốc O đối với trục U’: L M x 3 1 I =. = ML2 Δ' L 3 0 3 + Nếu chọn trục U2 lệch gĩc α với thanh: M L M L3 ML2 I = dx. x 2 sin 2 α = sin2 α . = sin2 α Δ 2 ∫ L 0 L 3 3 + Nếu chọn trục U3 song song với thanh: I =dm. d2 = d 2 dm = M. d 2 Δ 3 ∫ ∫ VR Δ Vd2: Cho 1 vành khối lượng M, bán kính R, U vuơng gĩc vành qua O d I =dm. R2 = R 2 dm = M. R 2 Δ ∫ ∫ O R VR Vd3: Đĩa đặc phân bố đều
5. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU Δ I = σ r dr d ϕ r 2 Δ ∫ M R 2π = r3 . dr dϕ dr 2 ∫ ∫ r πR 0 0 4 R 2 M r 2π MR. = . .ϕ = 2 0 πR 4 0 2 R2 2π Δ M 3 Vd4: Đĩa rổng bán kính R1,R2 I = r. dr dϕ Δ π ()RR2 − 2 ∫ ∫ 2 1 R1 0 4 4 M ⎡ RR2 1 ⎤ = 2 2 ⎢ − ⎥.2π R2 π ()RR2 − 1 ⎣ 4 4 ⎦ O R1 M =(RR2 + 2 ) 2 2 1 1 2 2 2 - Thanh dài: I= ML - Cầu đặc: I= MR Δ 12 Δ 5 2 - Vành, trụ rỗng: IΔ = MR 1 2 - Đĩa đặc, trụ đặc: I= MR Δ 2 2 2 - Cầu rỗng: I= MR Δ 3 3.5 Định lý Steiner-Huyghen: Trục U đi qua G Trục U’//U và cách U 1 đoạn d 2 IΔΔ' = I + Md Vd: Thanh rắn: Δ’ Δ 1 L 2 1 Δ 2 ⎛ ⎞ 2 IΔ' = ML + M ⎜ ⎟ = ML 12 ⎝ 2 ⎠ 3 R 2 2 2 I= MR + MR = 2 MR L/2 Δ' Lưu y: Moment quán tính cĩ mang tính chất cộng I I I ()m+ M = m + M Δ' Δ Δ Vd: Hệ 1 niềng M, 6 căm M: III= + 6 Δ M / Δ m / Δ ⎛ 1 ⎞ =MR 2 + 6⎜ mR2 ⎟ =() M + 2 m R 2 ⎝3 ⎠
6. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU + Nếu khoét đi 1 lỗ sẽ trừ đi:( M:k/l đĩa chưa khoét; M’:k/l đĩa đã khoét; m: k/l lổ khoét) III=− dk/ΔΔΔ 012 / 0 / M σ. πR 2 1322 = ⇒M = 4 m • O2 I =−MR mr 2 O1 dk/Δ m σ π r 22 1 ⎡ ⎛ R ⎞⎤ 1 13 2 xG =⎢0 +⎜ − m ⎟⎥ = − IMRdk/Δ = '. 3m ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 6 24 Moment quán tính là giá trị vơ hướng dương, (là giá trị số học) r III.6 Moment lực. M Δ r 1. Moment lực F đối với điểm O r r r r F r r r M F / 0 =r × F ⎧ -Điểm đặt: tại 0. uur ⎪ r r O r ⎪ -Phương: đt ⊥với mp tạo bởi ( r,) F . M F /0 ⎨ r r -Chiều: r, F, M tạo thành tam diện thuận. ⎪ uur r M F / Δ ⎩⎪ -Độ lớn: M= r. F sinα r r Δ Fz 2. Moment lực F đối với trục U r F r r r r MF / Δ = hcM F 0/ Δ r r 3. Moment lực F của vật rắn đối với trục U r r i r Tác dụng lên vật rắn 1 lực F để vật rắn quay quanh U. F r t Lực F được phân thành 3 thành phần: r r r r r M r F' FFFF=t + n + z Fn r r r Fz : làm vật trượt trên U, khơng làm vật rắn quay => M Fz / Δ = 0 r r M r 0 Fn : kéo vật trượt trên U, khơng làm vật rắn quay => Fn / Δ = r r r r Mr r Ft Ft : làm vật rắn quay quanh U => tF / Δ = × ( r: khoảng cách từ M đến U ) r ⎧F = 0 r ⎪ r M r =0 ⇔ F Δ ≠ φ F / Δ ⎨ I ⎪ r ⎩⎪F // Δ 3.6.4 Moment tổng ngọai lực của vật rắn đối với U: uur r rrr r MrΣΔF / =×=×Frma. ∑∑iiti iit uur r rrrr rrrrr M ΣΔF / =××=mr⎡⎤⎡(ββ r ) m (.). rr − (. rβ ). r ⎤ ∑∑ii⎣⎦⎣ i i i iii iii ⎦ uur r 2 rr MmrIΣΔF / ==∑ ii ββΔ .
7. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 3.6.5 Phương trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh U: uur r r M ΣΔF / = I Δ .β r III.7. Moment động lượng. L r 3.7.1 Moment động lượng L đối với O r r L= r × P ( r : vectơ vị trí) i /O i i i Điểm đặt: tại O ⎧ r ⎪ Phương: vuơng gĩc mặt phẳng tạo bởi (r, P ) ⎪ i i ⎨ r r r Chiều: ri,, P i L/ O tạo thành U diện thuận ⎪ r ⎪ ⎩ Độ lớn: LrpiO/ = i ni i α s 3.7.2 Moment động lượng đối với U: r r L/ Δ = hình chiếu L/ O Δ 3.7.3 Moment động lượng của vật rắn đối với U: r r r r r r L Δ = L i =ri × p i = ri × m iϑ i ∑ Δ ∑ ∑ r r r r r r r r r = ∑ mi[ r i × (ω i ×r i )] = ∑ mi[( r i . r i )ω i− ( r i . ω i ). r i ] 2 r r = ∑ mi r iω i = I Δ ω uur r r Ghi chú: M ΣΔF / của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với β r r L/ Δ của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với ω 3.7.4 Định lý moment động lượng: r dL dωr r / Δ =I =I β = dt / Δ dt / Δ 3.7.5 Định luật bảo tịan moment động lượng: r 2 1 t ìL/ Δ = const h Vd: Ghế Giucopxki (người đi từ mép đĩa đến R/2) r r LLIIII= ⇒()() +ω = + ' ω ΔΔ1 2 1 2 1 1 2 2 M 2 ⎛ 1 2 2 ⎞ ⎛ 1 2 R ⎞ ⇒ ⎜ MR+ mR ⎟ω1 =⎜ MR + m ⎟ω2 G 2 ⎜ 2 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Vd: Viên đạn chạm thanh M, L: r r M ∑ F Δ =0 ⇔LΔ = hs r r r m ϑ LLTVC = SVC 1 ϑ 1 ML2 .0+ mL2 . =ML2 .'.' Ω + mL2 ω 3 L 3 III.8. Vật rắn chuyển động lăn khơng trượt.
8. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU 3.8.1 Định nghĩa1: khi vật rắn lot là vừa chuyển động tịnh tiến theo khối tâm G và vùa chuyển động quay quanh G r r ⎧ϑ ⎧ω Tịnh tiến G Quay quanh G ⎨r ⎨ r ⎩aG ⎩β A AB= G1G 2 = cungAB= Rθ θ dθ G G ϑG =R = ωR dt ⇒ a= β R A B G r • Vectơ vận tốc của chuyển động lot tại G, A, B, C ϑ r r r r A Att - Xét chuyển động tịnh tiến: ϑGABC= ϑ = ϑ = ϑ r r ϑ ϑ Alot - Xét chuyển động quay quanh G: Aq r ϑGtt=ϑAq=ϑBq=ϑCq . ϑGq=0 ϑ r Gtt ϑ G B Btt - Xét chuyển động lot: r r ϑGq ϑGlot r r r ϑ= ϑ + ϑ r lot ttG qG r ϑ Blot C ϑ Bq rrrrrrr r r r Vậy: ϑϑϑϑϑAlot===2; Gtt Glot Gtt ; Blot . ϑϑ ;2Gtt Clot ;= 0=ϑICq β ϑClot ϑCtt ϑ Định nghĩa 2: Lot là quay quanh tâm quay tức thời ()ϑ=0 : ω = G lot R 3.8.2 Động năng của vật rắn Lot: 1 1 WWWMI= + =ϑ2 + ω 2 đ/ lot đttG đqG 2 G 2 G 3.8.3 Phương trình cơ bản ĐLH của Lot: r r ∑ Fi = M. aG uur r r M ΣΔF / = I .β • Chú ý; Δ ur *Trong cđ Lot cĩ lực ma sát lăn: là dạng lực ma sát tỉnh: F msl - Điểm đặt: điểm tiếp xúc. - Phương: phương chuyển động tịnh tiến. ur ur - Chiều: * F đi qua G: F msl ngược chiều tịnh tiến ur ur * F 0 đi qua G: F msl cùng chiều tịnh tiến - Độ lớn:Phải tìm và 0 ≤ Fmsl ≤ kN. * Cơng của lực ma sát lăn bằng khơng (dl=0). r aG ar G + r r r + ⎧Mgr + N + F + F = Mar r r ⎪ msl G r F N ⎨ r r N MIr = β ⎪ F G r ⎩ ∑ G F G G r r F F msl msl Hình 1 r Mgr Hình 2 Mg
9. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU ⎧+F + F = Ma ⎧−F + F = Ma msl G msl G ⎪ ⎪ ⎨ ⎛ 1 2 ⎞⎛ aG ⎞ ⎨ ⎛ 1 ⎞⎛ a ⎞ ⎪−Fmsl R + F R = ⎜ MR ⎟⎜ ⎟ 2 G ⎝ 2 ⎠ R ⎪+FRImsl =G β = ⎜ MR ⎟⎜ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠ 2 F F 4 F F aG = Fmsl = aG = Fmsl = 3 M 3 3 M 3 r r ⎧−F + Mg sinα = Ma (1) ⎧Mgr + N + F = Mar msl G ⎪ msl G ⎪ ar ⎨ r r ⎨ 2 ⎛ aG ⎞ G MIr = G β +F R = Iβ = MR ⎜ ⎟ (2) r ⎪ F ⎪ msl G () N ⎩ ∑ G ⎝ R ⎠ r ⎩ + F G msl Vành: a =1/2 gsinα F = Ma G ms G Đĩa: aG=2/3 gsinα Fms= 1/2MaG Cầu rổng: aG=3/5 gsinα Fms= 2/3MaG α Mgr Cầu đặc: aG=5/7 gsinα Fms= 2/5MaG Trịn trượt o ms: aG= gsinα III.9.Va chạm. 3.9.1 Va chạm đàn hồi: r r TVC m1ϑ 1, m 2 ϑ 2 r ' r ' SVC m1ϑ 1 , m2 ϑ 2 Trong va chạm hịan tịan đàn hồi thì động lượng của hệ và động năng hệ bảo tịan; r r r r r r ⎧P= P → mϑ + m ϑ = m ϑ' + m ϑ ' ⎪ TVC SVC 1 1 2 2 1 1 2 2 ⎨ r r 1 2 1 2 1 '2 1 '2 ⎪WđTVC = WđSVC = m1ϑ 1 + m2 ϑ 2 = m1 ϑ 1 + m2 ϑ 2 (1) ⎩ 2 2 2 2 • Nếu va chạm xuyên tâm: ' ' ' ' m1ϑ 1+ m 2 ϑ 2 = m 1 ϑ 1 + m2 ϑ 2 (2) (ϑ1,,, ϑ 2 ϑ 1 ϑ2 là giá trị đại số) r r ' m− m 2m m2 1 2 2 m1 ϑ1 ϑ 2 (1), (2) ⇒ϑ1 = ϑ1 + ϑ2 m1+ m 2 m1+ m 2 G G2 1 + ' 2m1 m2− m 1 ⇒ϑ2 = ϑ1 + ϑ2 m1+ m 2 m1+ m 2 : d V r r •LLTVC = SVC 1 ϑ 1 ϑ ' ⇔ ML2ω + ml2 . = ML2ω '+ ml 2 . L 3 l 3 l •WWđTVC = đSVC l G 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ϑ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ϑ 2 ⇔ ⎜ ML2⎟ω 2 +ml2 . = ⎜ ML2⎟ω '2 + ml2 . 2 ⎝ 3 ⎠ 2 l 2 ⎝ 3 ⎠ 2 l 2 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ϑ 2 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ϑ'2 ⎜ ML2 ⎟×0 +()ml 2 × = ⎜ ML2 ⎟× Ω'2 +()ml 2 × (2) 2 ⎝ 3 ⎠ 2 l 2 2 ⎝ 3 ⎠ 2 l 2 3.9.2 Va chạm mềm: r r ⎧TVC m1ϑ 1, m 2 ϑ 2 ⎨ r ⎩SVC ()m1+ m 2 ϑ'
10. Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU Trong va chạm mềm chỉ cĩ động lượng của hệ bảo tồn, động năng của hệ khơng bảo tồn. Động năng trước va chạm trừ đi động năng sau va chạm bằng nhiệt lượng làm vật bị biến dạng. r r r m1ϑ 1+ m 1 ϑ 2 =() m 1 + m 2 ϑ' Nếu va chạm xuyên tâm: m1ϑ 1+ m 1ϑ 2 =() m 1 + m 2 ϑ' (ϑ1,,'ϑ 2 ϑ là giá trị đại số) Chú ý chọn chiều (+) O + Vd1: Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của m1,m2; là chiều quay + r r rịng rọc (U hướng vào) T T r r r 1 2 m1: m 1 g+ T 1 = m 1 a 1 r r r r r r a1 T a m2: m 2 g+ T 2 = m 2 a 2 1 r 2 T r r 2 r MMI: F = .β ∑ O ⎧ + ⎧−m g + T = m a ⎪−m g + T = m a 1 1 1 1 ⎪ 1 1 1 g m− m ⎪ ()2 1 r ⇒ ⎨m2 g− T 2 = m 2 a 2 ⇔ ⎨m2 g− T 2 = m 2 a ⇒a = m g ⎪ ⎪ 1 1 r −TRTRI + = β 1 a m1+ m 2 + M m g ⎩ 1 2 ⎪()−T + T R = MR 2 . 2 2 ⎩ 1 2 2 R Vd2 r g() m2− km 1 N a = 1 + m+ m + M r r 1 2 r T T F 1 1 ms1 O m gr r 1 T2 Vd3: m m ↑:2 > sinα + k cos α r 1 m + T1 1 m r O r m ↓:2 > sinα − k cos α T T 1 m r 1 2 1 N1 r T2 g[] m− m()sinα + k cos α m↑: a = 2 1 1 1 r m1+ m 2 + M Fms1 2 r g[] m()sinα+ k cos α − m m g m↑: a = 1 2 1 1 1 m+ m + M 1 2 2