Bài giảng Vật lý đại cương 2 - Chương 6: Cơ học lượng tử - Phạm Thị Hải Miền

Nội dung text: Bài giảng Vật lý đại cương 2 - Chương 6: Cơ học lượng tử - Phạm Thị Hải Miền

1. CHƢƠNG 6 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 1. LƢỠNG TÍNH SểNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT 1.1. Giả thuyết De Broglie 1.2. Thực nghiệm xỏc nhận giả thuyết De Broglie 1.3. í nghĩa xỏc suất của súng De Broglie 2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 2.1. Hệ thức bất định đối với vị trớ và động lƣợng 2.2. Hệ thức bất định đối với năng lƣợng và thời gian 3. PHƢƠNG TRèNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 3.1. Phƣơng trỡnh Schrodinger 3.2. Ứng dụng của phƣơng trỡnh Schrodinger
2. 1.1. GIẢ THUYẾT DE BROGLIE VỀ LƢỠNG TÍNH SểNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT 1. Lƣỡng tớnh súng – hạt của ỏnh sỏng. • Tớnh súng: giao thoa, nhiễu xạ. • Tớnh hạt: hiệu ứng quang điện, Compton. 2. Lƣỡng tớnh súng – hạt của vi hạt. • Giả thuyết De Broglie: Mọi vi hạt tự do cú năng lượng xỏc định, động lượng xỏc định đều liờn hợp với một súng phẳng đơn sắc, gọi là súng vật chất hay súng De Broglie. • Súng De Broglie được xỏc định bởi hàm súng cú dạng tương tự như hàm súng phẳng đơn sắc của ỏnh sỏng: i   r.t  o exp Et p.r    Trong đú E và p là năng lượng và động lượng của vi hạt liờn hệ với tần số và bước súng của súng De Broglie như sau: hc hf h E hf , p c
3. 1.2. THỰC NGHIỆM XÁC NHẬN GIẢ THUYẾT DE BROGLIE • Cho một chựm electron (hoặc một electron) qua một khe hẹp. Sau khi qua khe hẹp, cỏc electron bị nhiễu xạ theo mọi phương và trờn màn huỳnh quang đặt sau khe quan sỏt được cỏc võn nhiễu xạ giống như trường hợp nhiễu xạ ỏnh sỏng qua khe hẹp. Vi hạt electron mang tớnh súng. • Trong thế giới vĩ mụ, tớnh hạt thể hiện rừ hơn tớnh súng, vỡ: hh  p mv Giả sử quả cầu khối lượng 100 g được nộm với vận tốc 10 m/s sẽ liờn hợp với súng cú λ=6,625.10-34 m bước súng quỏ nhỏ khụng thể đo được.
4. 1.3. í NGHĨA XÁC SUẤT CỦA SểNG DE BROGLIE • Súng De Broglie (súng vật chất) là súng xỏc suất, khụng phải là súng điện từ. Một hạt vi mụ riờng lẻ cũng thể hiện tớnh súng. • í nghĩa của súng xỏc suất như sau: gọi  (,,)x y z là hàm súng vật chất tại điểm O(x, y, z) của một vi hạt. Xỏc suất dP để tỡm thấy hạt trong thể tớch dV bao quanh điểm O: dP * dV  2 dV • Đại lượng  2 được gọi là mật độ xỏc suất tỡm thấy hạt trong một đơn vị thể tớch dV. • Xỏc suất tỡm thấy hạt trong khụng gian ∞ luụn bằng 1: 2 P  dV 1 - điều kiện chuẩn húa của hàm súng
5. BÀI TẬP VÍ DỤ 1 Một electron khụng vận tốc đầu được gia tốc bởi hiệu điện thế U. Tỡm bước súng De Broglie của electron sau khi được gia tốc nếu: a. U=0,51 V. b. U=510 kV. Hƣớng dẫn giải • Năng lượng nghỉ của electron: 2 2 31 8 15 E00 m c 9,1.10 . 3.10 81,9.10 J 0,51 MeV • Động năng của electron sau khi được gia tốc bởi U: K qU • TH a: K=0,51 eV << E0 vận tốc e rất nhỏ ỏp dụng cơ học cổ điển. h h h h  1,72nm p mv 12mK 2.m mv2 2
6. • TH b: K=510 kV ~ E0 vận tốc e rất lớn ỏp dụng cơ học tương đối tớnh. 22m0 K ()() m mo c m0 c qU v2 1 c2 2 c qU( qU 2 m0 c ) v 2 qU m0 c h h h hc  1,4 pm 2 p mv m0 v qU( qU 2 m0 c ) v2 1 c2
7. 2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 2.1. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI VỊ TRÍ VÀ ĐỘNG LƢỢNG • Gọi Δx là độ bất định (độ chớnh xỏc) của tọa độ x của một vi hạt, Δpx là độ bất định của động lượng của hạt theo phương x, ta cú mối liờn hệ giữa Δx và Δpx: x. px h • Tương tự ta cú: y. py h z. pz h Khụng thể xỏc định được chớnh xỏc đồng thời tọa độ và động lượng của cỏc vi hạt. Khỏi niệm quĩ đạo khụng tồn tại trong thế giới vi hạt. Nú được thay thế bằng khỏi niệm xỏc suất tỡm thấy hạt.
8. BÀI TẬP VÍ DỤ 2 a. Trong thế giới vi mụ: Xột một e ở trong nguyờn tử cú vận tốc trờn quĩ đạo là 106 m/s. Độ bất định về vị trớ của nú bằng kớch thước nguyờn tử 10 10 m. Độ bất định về vận tốc: h 6,625.10 34 v 7,2.106 ms x mx. 9,1.10 31 .10 10 Độ bất định về vận tốc lớn hơn cả vận tốc khụng thể xỏc định chớnh xỏc đồng thời vị trớ và vận tốc. b. Trong thế giới vĩ mụ: Một quả banh golf cú m=45 g bay với v=35 m/s. Vận tốc được đo với độ chớnh xỏc 1,5%, tức là Δv=0,525 m/s. h 6.6.10 34 x 280.10 34 m mv 0,045.0,525 Độ bất định về vị trớ rất nhỏ Cú thể xỏc định đồng thời vị trớ và động lượng của quả banh.
9. 2.2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI NĂNG LƢỢNG VÀ THỜI GIAN. Gọi Δt là thời gian vi hạt tồn tại ở một trạng thỏi, ΔE là độ bất định năng lượng hạt ở trạng thỏi đú. E. t h Nếu năng lượng của hệ càng bất định ( E lớn), thỡ thời gian tồn tại của hệ càng nhỏ ( t nhỏ) và ngược lại. Trạng thỏi của hệ cú năng lượng xỏc định ( E nhỏ) là trạng thỏi bền ( t lớn), cũn trạng thỏi của hệ cú năng lượng bất định ( E lớn) là trạng thỏi khụng bền.
10. HIỆU ỨNG ĐƢỜNG NGẦM – HỆ QUẢ CỦA HỆ THỨC BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI NĂNG LƢỢNG VÀ THỜI GIAN • Giả sử cú một vi hạt bị giam trong một giếng thế năng cú thế năng U. • Hạt khụng thể ra khỏi giếng vỡ năng lượng của nú nhỏ hơn độ sõu của giếng thế (E<U). • Tuy nhiờn, nếu trạng thỏi của hạt là khụng bền và hạt chỉ tồn tại trong một khoảng thời gian rất ngắn (Δt ≈ h/U), thỡ trong khoảng thời gian này độ bất định về năng lượng của hạt là: h EU t Độ bất định về năng lượng của hạt lớn hơn thế năng của giếng. Trong khoảng thời gian Δt rất nhỏ hạt cú thế thoỏt ra khỏi giếng. Hiện tượng này gọi là hiệu ứng đường ngầm. • Hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra ở thế giới vi mụ. Vớ dụ: phỏt electron lạnh, phõn ró α.
11. 3. PHƢƠNG TRèNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 3.1. PHƢƠNG TRèNH SCHRệDINGER a. Phƣơng trỡnh Schrửdinger tổng quỏt: Hàm súng vật chất Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m, chuyển động trong trường cú thế năng U(x,y,z,t) thỏa món phương trỡnh Schrửdinger tổng quỏt sau:  2 iU ()  tm2 h Trong đú:  - hằng số Planck rỳt gọn. 2 2  2  2 2 - toỏn tử Laplace. x2  y 2  z 2
12. b. Phƣơng trỡnh Schrửdinger dừng: vi hạt cú năng lượng toàn phần E chuyển động trong trường thế năng khụng phụ thuộc thời gian U=U(x,y,z), 2m  EU 0 2 2 2 2 Trong đú:  x2 y2 z2 • Nghiệm của phương trỡnh trờn là hàm súng Ψ mụ tả chuyển động (xỏc định trạng thỏi) của hạt trong trường lực thế. c. Phƣơng trỡnh Schrửdinger cho hạt chuyển động tự do: U=0 2m  E 0 2
13. 3.2. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRèNH SCHRệDINGER Phương trỡnh Schrửdinger dựng để giải một số bài toỏn cơ học lượng tử đơn giản. Nội dung chớnh bài toỏn cơ học lượng tử bao gồm việc tỡm năng lượng E và hàm trạng thỏi  của hệ. Bài toỏn: Hạt trong giếng thế vụ hạn một chiều. Bề rộng giếng bằng a. Thế năng của giếng: khi x 0, x a Ux 00khi x a
14. • Phương trỡnh Schrửdinger cho hạt nằm trong giếng (U = 0) d 2 2m E 0 (1) dx 2 2 2m • Đặt: k 2 E 0 2 d 2 (1) k 2 0 dx2 • Nghiệm của (1) cú dạng: (x) = Asinkx + Bcoskx • Hạt nằm trong giếng Xỏc suất tỡm thấy hạt tại x = 0 và x = a bằng khụng: (0) = 0,(a) = 0 B 0 22  (0) B 0  2 n Enn 2  (a ) Asin ka 0 k 2ma a
15. • Năng lượng của hạt chỉ lấy những giỏ trị giỏn đoạn, phụ thuộc vào số lượng tử n (n=1,2,3 ). Ta núi năng lượng của hạt bị lượng tử húa: 22 En 2 n 2ma2 n • Hàm súng của hạt:  n Asin x a • Điều kiện chuẩn húa hàm súng: aana 2 *.d x A 2 sin 2 xdx A 2 1 A 00aa2 2 n Hàm súng của hạt cú dạng:  x sin x n a a 2 2 nx  x sin2 ( ) • Mật độ xỏc suất tỡm thấy hạt trong giếng: n aa
16. n=1 là trạng thỏi cơ bản. n=2 là trạng thỏi kớch thớch thứ nhất. n=3 là trạng thỏi kớch thớch thứ hai. 0 a 0 a
17. BÀI TẬP VÍ DỤ 3 Một vi hạt chuyển động trong giếng thế một chiều sõu vụ hạn, bề rộng a. Khi hạt ở trạng thỏi kớch thớch thứ nhất thỡ xỏc suất tỡm thấy hạt trong đoạn [0, a/3] là bao nhiờu? Hƣớng dẫn giải • Hàm súng của hạt ở trạng thỏi kớch thớch thứ nhất (n=2): 22  xx sin n aa • Xỏc suất tỡm thấy hạt: 22 aa/3 /3 22  x dx sin x dx 0,402 n 00aa