Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố - Nguyễn Văn Đắc

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố - Nguyễn Văn Đắc

1. Comunicación y Gerencia NGUYỄẮ N VĂN Đ C BÀI GIẢ NG XÁC SUẤ T & THỐ NG KÊ
2. Giớ i thi ệ u môn h ọ c Lý thuyế t xác su ấ t là ngành khoa h ọ c ra đờ i vào nử a cuố i th ế k ỷ th ứ 17 ở nước Pháp, đố i tượng nghiên cứ u là các quy luậ t c ủ a hi ệ n t ượ ng ng ẫ u nhiên. H ơ n 300 năm t ồ n tạ i và phát tri ể n, đ ế n nay lý thuy ế t này đã có n ộ i dung vô cùng phong phú, đượ c áp d ụ ng trong nhi ề u ngành khoa h ọ c cũng như trong cu ộ c s ố ng đ ờ i th ườ ng. Thố ng kê toán h ọ c(TKTH) là khoa h ọ c v ề các phươ ng pháp toán h ọ c đ ể x ử lí các k ế t qu ả th ự c nghi ệ m hoặ c các d ữ li ệ u th ố ng kê nh ằ m rút ra các k ế t lu ậ n khoa họ c và th ự c ti ễ n. Đ ể có đ ượ c nh ữ ng phán đoán chính xác, TKTH phả i d ự a vào lí thuy ế t xác su ấ t.
3. Giớ i thi ệ u môn h ọ c Mụ c đích c ủ a môn h ọ c Xác su ấ t & th ố ng kê trong chươ ng trình đào t ạ o t ạ i các tr ườ ng k ỹ thu ậ t là trang bị cho k ỹ s ư t ươ ng lai nh ữ ng khái ni ệ m và k ế t qu ả c ơ bả n c ủ a lý thuy ế t xác su ấ t & th ố ng kê toán h ọ c, nh ằ m giúp ngườ i h ọ c ti ế p thu các môn h ọ c có liên quan và cung cấ p cách th ứ c thu th ậ p x ử lý s ố li ệ u trong quá trình công tác sau này.
4. Nộ i dung môn h ọ c Chương I Biế n c ố và xác su ấ t c ủ a bi ế n c ố Chương II Biế n ng ẫ u nhiên và phân ph ố i xác su ấ t Chương III Kỳ vọ ng toán Chương IV Mộ t s ố phân ph ố i xác su ấ t thường gặ p Chương V Mẫ u ng ẫ u nhiên và phân ph ố i c ủ a m ộ t s ố th ố ng kê cơ bả n Chương VI Ước lượng tham số Chương VII Kiể m đị nh giả thi ế t Chương VIII Hồ i quy và tương quan tuyế n tính Tài liệ u tham kh ả o [1] Ronald E. Walpole, Raymond H.Myers và Sharon L.Myers, Xác suấ t và th ố ng kê dành cho kỹ sư và nhà khoa họ c(B ả n d ị ch l ầ n 1 c ủ a B ộ môn ĐS-XS&TK ĐHTL). [2] Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Probability and Statistics(Third edition). [3] Đặ ng Hùng Th ắ ng, M ở đầ u về lí thuy ế t xác su ấ t và các ứ ng d ụ ng,Nhà XBGD,1997. [4] Trầ n M ạ nh Tu ấ n, Xác su ấ t & Th ố ng kê lý thuy ế t và th ự c hành tính toán, Nhà xu ấ t bả n ĐHQGHN, 2004.
5. Chươ ng I BIẾỐẤỦẾỐ N C VÀ XÁC SU T C A BI N C I.1 Phép thử và không gian m ẫ u I.2 Biế n c ố và các phép toán bi ế n c ố I.3 Đị nh nghĩa xác su ấ t c ủ a m ộ t bi ế n c ố I.4 Quy tắ c c ộ ng xác su ấ t I.5 Xác suấ t đi ề u ki ệ n I.6 Quy tắ c nhân xác su ấ t I.7 Công thứ c xác su ấ t đ ầ y đ ủ và công th ứ c Bayes.
6. I.1 Phép thử và không gian m ẫ u Phép thử ng ẫ u nhiên là mộ t khái ni ệ m không có đ ị nh nghĩa. Nó là danh từ đ ể đ ặ t tên cho m ộ t hành đ ộ ng hoặ c m ộ t quá trình mà ta không th ể đoán tr ướ c đ ượ c kế t qu ả c ủ a nó. Phép th ử ng ẫ u nhiên đ ượ c g ọ i t ắ t là phép thử .
7. Đị nh nghĩa Tậ p h ợ p g ồ m t ấ t c ả các k ế t qu ả c ủ a phép th ử đ ượ c gọ i là không gian mẫ u(sample space) và ký hiệ u bở i S ho ặ c Ω . Mỗ i ph ầ n t ử trong không gian m ẫ u là m ộ t kế t qu ả c ủ a phép th ử hoặ c là m ộ t điể m m ẫ u. Ví dụ I.1 Tung mộ t đ ồ ng xu. Không gian mẫ u Ω = {S, N}.
8. Ví dụ I.2 Lấ y ng ẫ u nhiên hai s ố x, y trong [0, 2]. Không gian mẫ u là S = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 2}. Ví dụ I.3 Tung mộ t con xúc x ắ c. + Nế u ta quan tâm đ ế n s ố ch ấ m xu ấ t hi ệ n, thì không gian mẫ u là S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. + Nế u ta quan tâm đ ế n s ố ch ẵ n ch ấ m hay s ố l ẻ ch ấ m xuấ t hi ệ n, thì không gian m ẫ u là S2 = {C, L}.
9. Ví dụ I.4 Tung mộ t đ ồ ng xu, n ế u m ặ t ng ử a xu ấ t hi ệ n ta tung đồ ng xu đó l ầ n th ứ hai còn m ặ t s ấ p xu ấ t hi ệ n ta tung mộ t con xúc x ắ c. Hãy xác đ ị nh không gian m ẫ u? Sơ đ ồ cây cho k ế t qu ả c ủ a phép th ử là Tung lầ n 1 Tung l ầ n 2 Đi ể m m ẫ u N NN N S NS 1 S1 2 S S2 3 S3 4 S4 5 S5 6 S6 Như vậ y không gian m ẫ u là S = {NN, NS, S1, S2, S3, S4, S5, S 6}.
10. I.2 Biế n c ố và các phép toán bi ế n c ố Đị nh nghĩa Mỗ i t ậ p con c ủ a không gian m ẫ u đ ượ c g ọ i là mộ t bi ế n c ố . + Dùng A, B, C, A1, A2, để ký hi ệ u cho bi ế n c ố . + Đặ c bi ệ t, s ự ki ệ n không bao gi ờ x ả y ra khi th ự c hi ệ n phép thử thì đ ượ c ký hi ệ u b ở i ∅ và gọ i là biế n c ố không, còn sự ki ệ n ch ắ c ch ắ n s ẽ x ả y ra khi th ự c hi ệ n phép th ử thì đượ c ký hi ệ u b ở i S và gọ i là biế n c ố ch ắ c ch ắ n. + Mỗ i đi ể m m ẫ u cũng là m ộ t bi ế n c ố , ng ườ i ta còn g ọ i là mỗ i đi ể m m ẫ u là m ộ t biế n c ố s ơ c ấ p.
11. Đị nh nghĩa
12. Ví dụ I.5 Gieo hai đồ ng xu m ộ t l ầ n Không gian mẫ u là S = {SS, SN, NS, NN}. Đặ t A = {SS, SN, NS}, B = {NN}, C = {SN, NS, NN}. a) Biế n c ố nào kéo theo bi ế n c ố nào? Bi ế n c ố nào t ươ ng đươớếố ng v i bi n c “có ít nh ấộầấệặ t m t l n xu t hi n m t ngử a”? b) Tìm biế n c ố đ ố i c ủ a B? c) Hãy phát biể u b ằ ng l ờ i bi ế n c ố giao c ủ a A và B. Hai biế n cố A và B có xung khắ c? d) Xác đị nh bi ế n c ố A + B.
13. Ví dụ I.6 Ba xạ th ủ A, B, C bắ n m ỗ i ng ườ i m ộ t viên đạ n vào m ộ t m ụ c tiêu. G ọ i A, B, C lầ n l ượ t là các bi ế n c ố “ xạ th ủ A bắ n trúng”, “x ạ th ủ B bắ n trúng”, “x ạ th ủ C bắ n trúng”. i) Hãy mô tả b ằ ng l ờ i các bi ế n c ố sau ABC, A’B’C’, A+B+C. ii) Xét các biế n c ố sau D = “Có ít nhấ t hai x ạ th ủ b ắ n trúng” E = “Có nhiề u nh ấ t m ộ t x ạ th ủ b ắ n trúng” F = “Chỉ có m ộ t x ạ th ủ b ắ n trúng” G = “chỉ có x ạ th ủ C bắ n trúng”. Hãy biể u di ễ n các bi ế n c ố này theo các bi ế n c ố A, B, C.
14. CÁC TÍNH CHẤỦẾỐ T C A PHÉP TOÁN BI N C
15. I.3 Đị nh nghĩa xác su ấ t c ủ a m ộ t bi ế n c ố Vào năm 1651, Blaise Pascal nhậ n đ ượ c bứ c th ư c ủ a nhà quý t ộ c Pháp, De Méré, nhờ ông gi ả i quy ế t các r ắ c r ố i n ả y sinh trong trò chơ i đánh b ạ c. Pascal đã toán họ c hoá các trò tr ơ i đánh b ạ c này, nâng lên thành nhữ ng bài toán ph ứ c t ạ p h ơ n và trao đổ i v ớ i Fermat, mộ t nhà toán h ọ c. Blaise Pascal Pierre de Fermat Nhữ ng cu ộ c trao đ ổ i đó đã n ả y sinh ra Lí thuyế t xác su ấ t – Lí thuy ế t toán h ọ c v ề các hiệ n t ượ ng ng ẫ u nhiên. * James BERNOULLI là người phát minh ra Luật Số Lớn. Chính vì lý do đó, ngày nay Hội Xác Suất Thống Kê Thế Giới mang tên BERNOULLI * Leibniz có nhiề u công lao trong vi ệ c xây d ự ng lý thuyế t xác su ấ t Gottfried Wilhelm Leibniz James BERNOULLI
16. • Nế u s ố ph ầ n t ử trong không gian m ẫ u là đ ế m đ ượ c (nộ i dung còn l ạ i ch ỉ đ ề c ậ p đ ế n lo ạ i không gian này), thì: Giả s ử không gian m ẫ u c ủ a m ộ t phép th ử là S = {s1, s2, s3, }. Từ đ ặ c đi ể m c ủ a phép th ử , ta gán cho m ỗ i đi ể m m ẫ u si số th ự c pi vớ i đi ề u ki ệ n pi thuộ c [0; 1] và t ổ ng các pi bằ ng 1, g ọ i pi là xác suấ t c ủ a si. Tổ ng xác su ấ t c ủ a các đi ể m m ẫ u trong A đượ c g ọ i là xác suấ t c ủ a A (the probability of A), ký hiệ u P(A). Đị nh nghĩa Cho phép thử v ớ i không gian m ẫ u S mà m ỗ i đi ể m m ẫ u đã đượ c gán xác su ấ t và A là m ộ t bi ế n c ố c ủ a phép th ử . P(A) := tổ ng xác su ấ t c ủ a các đi ể m m ẫ u trong A. 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 và P(∅) = 0.
17. Ví dụ I.7 Mộ t con xúc x ắ c đ ượ c đ ổ chì sao cho kh ả năng xu ấ t hi ệ n mặ t có s ố ch ấ m ch ẵ n g ấ p đôi kh ả năng xu ấ t hi ệ n m ặ t có s ố chấ m l ẻ . Gieo con xúc x ắ c đó m ộ t l ầ n. Đặ t A = “số ch ấ m xu ấ t hi ệ n nh ỏ h ơ n 4” B = “số ch ấ m xu ấ t hi ệ n là ch ẵ n” C = “số ch ấ m xu ấ t hi ệ n chia h ế t cho 3”. a) Tính P(A)? b) Tính P(A+B), P(AC)?
18. Ví dụ I.8 Gieo mộ t đ ồ ng xu cân đ ố i hai l ầ n. Tính xác su ấ t đ ể ít nhấ t m ộ t l ầ n m ặ t ng ử a xu ấ t hi ệ n?
19. Tr ườ ng hợp riêng củ a đị nh nghĩa Nế u m ộ t phép th ử có N bi ế n c ố s ơ c ấ p đ ồ ng kh ả năng và có đúng n biế n c ố s ơ c ấ p trong bi ế n c ố A, thì n P(A) = N Ví dụ I.9 Mộ t đ ố ng k ẹ o tr ộ n l ẫ n 6 chi ế c b ạ c hà, 4 chiế c k ẹ o b ơ , và 3 chi ế c chocolate. Ch ọ n ng ẫ u nhiên m ộ t chiế c t ừ đố ng kẹ o này, hãy tìm xác su ấ t đ ể đ ượ c • mộ t chi ế c b ạ c hà; • mộ t chi ế c k ẹ o b ơ ho ặ c m ộ t chocolate.
20. Ví dụ I.10 Rút ngẫ u nhiên 5 cây t ừ b ộ bài 52 cây, hãy tìm xác su ấ t đ ể đượ c 2 cây Át và 3 cây J.
21. • Nế u s ố ph ầ n t ử trong không gian m ẫ u là vô h ạ n không đế m đ ượ c, các ph ầ n t ử đ ồ ng kh ả năng x ả y ra và không gian mẫ u đ ượ c bi ể u di ễ n b ằ ng mi ề n hình h ọ c S còn biế n c ố A đượ c bi ể u di ễ n b ở i mi ề n hình h ọ c D, thì P(A) := (số đo mi ề n D)/(số đo mi ề n S).
22. •Nế u không r ơ i vào hai tr ườ ng h ợ p trên, thì ta làm nh ư sau: Thự c hi ệ n phép th ử n lầ n, k = số l ầ n bi ế n c ố A xuấ t hi ệ n k tầ n su ấ t c ủ a A = n Khi n tăng dầ n, n ế u k/n dầ n tới mộ t s ố xác đ ị nh po, thì ta gán xác suấ t cho A là po. Ngườ i Số l ầ n gieo Số l ầ n xu ấ t Tầ n làm thí hiệ n m ặ t suấ t nghiệ m sấ p Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12 000 6010 0.5016 Pearson 24 000 12012 0.5005
23. I.4 Quy tắ c c ộ ng xác su ấ t P(A + B) = P(A) +P(B) P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Quy tắ c c ộ ng Nế u A và B là hai biế n c ố b ấ t kỳ, thì P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
24. Hệ qu ả • Nế u A, B, C là ba biế n c ố b ấ t kỳ, thì P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC). • Nế u A và B xung khắ c, thì P(A+B) = P(A) + P(B). Suy ra P(A) + P(A’) = 1. Tổ ng quát: Nế u A1, A2, , An là các biế n c ố đôi m ộ t xung kh ắ c thì P(A1 + A2 + + An) = P(A1) + P(A2) + + P(An). Nế u A1, A2, , An là các biế n c ố đôi m ộ t xung kh ắ c và t ổ ng b ằ ng S(thườ ng gọ i là mộ t phân ho ạ ch c ủ a S), thì P(A1) + P(A2) + + P(An) = 1.
25. Ví dụ I.11 Mộ t l ớ p h ọ c có 100 sinh viên, trong đó có 54 sinh viên h ọ c toán, 69 sinh viên họ c l ị ch s ử và 35 sinh viên h ọ c c ả l ị ch s ử và toán. Chọ n ng ẫ u nhiên m ộ t sinh viên. Tính xác su ấ t đ ể : a) Sinh viên đó họ c toán hoặc lị ch s ử . b) Sinh viên đó không họ c toán và không h ọ c l ị ch s ử .
26. Ví dụ I.12 Cho A, B, C là các biế n c ố sao cho P(A) = 0.5 P(B) = 0.7 P(C) = 0.6 P(AB) = 0.3 P(BC) = 0.4 P(CA) = 0.2 và P(ABC) = 0.1. a) Tính xác suấ t đ ể c ả ba bi ế n c ố đ ề u không x ả y ra; b) Tính xác suấ t đ ể có đúng hai bi ế n c ố trong ba bi ế n c ố xả y ra; c) Tính xác suấ t đ ể có đúng m ộ t trong ba bi ế n c ố x ả y ra.
27. Những nộ i dung chính • Khái niệ m phép thử, biế n c ố , m ố i quan h ệ giữa các biế n c ố và các phép toán bi ế n c ố . • Đị nh nghĩa xác su ấ t cu ả m ộ t bi ế n c ố . • Quy tắc cộ ng xác su ấ t P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
28. Bài tậ p tu ầ n 1 và đáp s ố * Bài tậ p: 2.1 Không gian m ẫ u, 2.2 Bi ế n c ố 1.1 (1.t25) 1.2 (4.t26) 1.3 (6.t26) 1.4 (17.t28) * Bài tậ p: 2.3 Đ ế m các điể m m ẫ u 1.5 (5.t35) (ĐS: 20) 1.6 (6.t35) (ĐS: (a) 21, (b) 15 1.7 (9.t35) (ĐS: 210) * Bài tậ p: 2.4 Xác suấ t c ủ a m ộ t bi ế n c ố 1.8 (3.t43) (ĐS: 0,85) 1.9 (11.t44) (ĐS: 65/663) 1.10 (9.t44) (ĐS:10/117) 1.11 (10.t44) (ĐS: (a) 5/36 (b) 10/36) 1.12 (12.t44) (ĐS: (a) 1/3 (b) 5/42). * Bài tậ p: 2.5 Quy t ắ c c ộ ng 1.13 (5.t43) (ĐS: (a) 0,3 (b) 0,2) 1.14 (6.t43) (ĐS: (a) 0,75 (b) 0,25). 1.15 (8.t43) (ĐS: (a) 0,22 (b) 0,8) 1.16 (15.t44) (ĐS: (a) 0,35 (b) 0.65 c) 0.12