Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

1. Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên. §1 Kỳ vọng 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1: Giả sử (  =xi) = p i ( ) =  x i p i i Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là + fx   = x. f x dx X ( ) ( ) X ( ) − Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X 2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 1 @Copyright 2010
2. §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X 2 D  =   −   là: ( ) ( ( )) 2 Định lý 2.1 : D() = ( 2 ) −( ( )) + 22 nếu X rời rạc ( ) =  xpii. i + +   22 = x . f x dx nếu X liên tục ( )  ( ) − 2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) = CD2.() (3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 2 @Copyright 2010
3. 3. Độ lệch:  () =D( ) §3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X(giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và (  =xpii) = Mod  = x, p = Maxp i00 i i Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm fx X ( ) , ta có Mod  = x00; fXX( x) = Maxf( x) 2. Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med = m (  m) 1/ 2, ( X m) 1/ 2 m 1 Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì MedX= m f( x) dx = − X 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 3 @Copyright 2010
4. 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X − Xak đối với số a là ( ) a = 0: moment gốc a = E(X):moment trung tâm. 4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK) cosxx ,  0, / 2 Ví dụ 3.1: =~ fxX ( ) 0,x  0, / 2 /2 ( ) =x.cos xdx = − 1 0 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 4 @Copyright 2010
5. 2 /2 2 D( X) = xcos xdx − − 1 = − 3 0 2 ( X 2 ) Mod X =0 mm Med X f( x) dx =cos xdx = 1/ 2 − X 0 sinmm = 1/ 2 = / 6 Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau 1 2 k m − 1 m m + 1  p pq pqk−1 pq m − 2 pq m − 1 pq m Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 5 @Copyright 2010
6. k−1 11 E() X= kp q = p 2 = k=1 (1− q) p 2 + 21k− 1 D() X=− k pq k=1 p ( )2 2 1++q 1 1 q 1 q =p. 3 − = 2 − 2 = 2 (1− q ) p p p p Mod X = 1 m−2 p(1+ q + + q ) 1/ 2 Med X =m mm−−21 p(1+ q + + q + q ) 1/ 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 6 @Copyright 2010
7. . m−1 1 1− q qm−1 p. 1/ 2 1− qm−1 1/ 2 1− q 2 m q 1/ 2 m 1 1− qm 1/ 2 q 2 mln q − ln 2,( m − 1) ln q − ln 2 −−ln 2 ln 2 +1 m lnqq ln Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 7 @Copyright 2010
8. .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X 2 5 7 P 0,4 0,3 0,3 ( ) =2.0,4 + 5.0,3 + 7.0,3 = 4,4 D() =22 .0.4 + 5 2 .0,3 + 7 2 .0,3 − ( 4,4)2 ( 2 )  () =DX( ) = 2,017 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 8 @Copyright 2010
9. Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode Stat On(Off) • Nhập: Mode Stat 1-var xnii 2 0,4 5 0,3 7 0,3 AC: báo kết thúc nhập dữ liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var x =→ ( ) xn=→( ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 9 @Copyright 2010
10. Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả: x =→ ( ) SHIFT S – VAR xn=→( ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 10 @Copyright 2010
11. Ví dụ 3.4: Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân đối,đồng chất .Gọi X là tổng số điểm nhận được. Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i  = 1 +  2 + +  5 =( ) ( 1) + +( 5) = 5 ( 1 ) Xi độc lập =+++=DDDDD( ) ( 1) ( 2) ( 5) 5 (  1 ) X1 1 6 7 35 ( 1 ) =, D ( i ) = P 1/6 1/6 2 12 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 11 @Copyright 2010
12. §4: Kỳ vọng của hàm Y = ( ) 1.Trường hợp rời rạc: (  =xi) = p i, ( Y) =  ( x i) p i + i 2.Trường hợp liên tục: f( x) ( Y) = ( x). f( x) dx XX − Ví dụ 4.1: cosxx , 0, 2 Cho =fxX ( ) 0x 0, 2 Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX. 2 /2 sinx /2 1 (Y) =sin x cos xdx = = 0 220 3 /2 1 22 sinx 1 (Y) =sin x cos xdx =0 = 0 33 2 1 1 1 DYYY( ) = ( 2 ) − (( )) = − = 3 4 12 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 12 @Copyright 2010
13. §5: Kỳ vọng của hàm  = ( ,Y ) 1.Trường hợp rời rạc: (  =xi, Y = y j) = p ij ( ) =  ( xi,. y j) p ij Ví dụ 5.1: ij, ( Y) =  xi y j p ij ij, 2.Trường hợp liên tục:(X,Y)liên tục và có hàm mật độ f(x,y) ( ) = ( x,., y) f( x y) dxdy R2 Ví dụ 5.2: 8xy ,nếu 01 xy f( x, y) = 0 ,nếu trái lại Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 13 @Copyright 2010
14. HÌNH 5.1 y 1  → 0 1 X Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 14 @Copyright 2010
15. 1 y .( ) =x. f( x , y) dxdy = dy x 8 xydx 00 R2 1 y (Y) = y. f( x , y) dxdy = dy y 8 xydx 00 R2 =(Y22) y., f( x y) dxdy R2 =( X22) x., f( x y) dxdy =( X , Y) xy f( x y) dxdy R2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 15 @Copyright 2010
16. §6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) 2. Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0 (2) cov(X,X) = D(X) m n m n (3) cov i, YY j =  cov(  i , j ) i=1 j = 1 i = 1 j = 1 m m m (4) cov i,   k = DX(  i) +  cov(  i , k ) i=1 k = 1 i = 1 i k Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 16 @Copyright 2010
17. 3. Hệ số tương quan cov( ,Y ) Định nghĩa 6.2: R = XY (). (Y ) Tính chất: (1) X,Y độc lập =RY 0 (2) RYXY 1,  , (3) RXY =1  a , b , c : a  + bY = c Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính giữa X và Y: R XY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan hệ tuyến tính. cos( , ) ,cos(  ,Y ) 4. Ma trận tương quan: DY=, ( ) cov(YYY ,) ,cov( , ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 17 @Copyright 2010
18. Ví dụ 6.1: • Cho các biến ngẫu nhiên  1 ,  2 ,  mn ; YYY 1 , 2 có phương sai đều bằng 1: cov(i ,  j) =p1 ;cov( Y i , Y j) = p 2 ;cov(  i , Y j ) = p 3 Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên: U =( 12 +  + + m ) và VYYY=( 12 + + + n ) Giải: m n m n cov(U , V) = cov  i ,  Y i =  .  cov(  i , Y j ) = m . n . p3 i=1 j = 1 i = 1 j = 1 m n m D( U) =cov  i ,  X k =  D(  i) +  cov(  i ,  k ) = m + m ( m − 1). p1 i=1 k = 1 i = 1 j k D( V) = n + n( n − 1). p2 cov(UV , ) m n p R == 3 UV UV. ( ) ( ) m+ m( m −1) p12 . n + n( n − 1) p Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 18 @Copyright 2010
19. 5. Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi y i p ij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR xX=→ ( ) SHIFT STAT VAR x n=→ ( X ) SHIFT STAT VAR yY=→ ( ) SHIFT STAT VAR y n=→ ( Y ) SHIFT STAT REG rR=→ XY SHIFT STAT SUM xy=→ ( XY ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 19 @Copyright 2010
20. b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa dữ liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập dữ liệu : xi,; y j p ij M + Cách đọc kết quả: SHIFT S-VAR xX=→ ( ) SHIFT S-VAR x n=→ ( X ) SHIFT S-VAR yY=→ ( ) SHIFT S-VAR y n=→ ( Y ) SHIFT S-VAR rR=→ XY SHIFT S-SUM xy=→ ( XY ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 20 @Copyright 2010