Đề thi cuối học kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20172

Nội dung text: Đề thi cuối học kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20172

1. ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20172 NHÓM 2 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ∞ 4 Câu 1: Tính tổng của chuỗi số ∑ 5n n=1 ∞ ∞ 4 1 Ta có: ∑ = 4. ∑ 5n 5n n=1 n=1 ∞ 1 1 1 ∑ là dãy cấp số nhân có số hạng đầu là và công bội là 5n 5 5 n=1 ∞ 1 1 1 → ∑ = 5 = n 1 5 1 − 4 n=1 5 1 Vậy tổng của chuỗi đã cho là 4. = 1 4 Câu 2: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau ∶ ∞ n + 2 a) ∑ 6n2 + 1 n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 ∞ n + 2 1 1 Khin n → +∞ ∶ ~ mà ∑ là chuỗi phân kỳ 6n2 + 1 6n 6n n=1 Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh ∞ 8n(n!)2 b) ∑ n2n n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Xét giới hạn ∶ n+1 2 n 2 un+1 8 [(n + 1)!] 8 (n!) lim = lim 2(n+1) ÷ 2n n→+∞ un n→+∞ (n + 1) n [(n + 1)!]2 n 2n 1 1 2n = lim 8. . ( ) . = lim 8. (1 − ) n→+∞ (n!)2 n + 1 (n + 1)2 n→+∞ n + 1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
2. 2n 1 −2n 1 lim ln(1− ).2n lim 8 = lim 8. (1 − ) = 8. en→+∞ n+1 = 8. en→+∞n+1 = > 1 n→+∞ n + 1 e2 Suy ra chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn Dalembert ∞ 1 c) ∑ sin ( − nπ) n n=1 ∞ ∞ 1 1 Ta có ∶ ∑ sin ( − nπ) = ∑(−1)n sin ( ) n n n=1 n=1 1 −1 1 Xét f(n) = sin có f ′(n) = . cos ( ) < 0, ∀n ≥ 1 n n2 n 1 và lim sin ( ) = 0 n→+∞ n 1 → sin đơn điệu giảm dần về 0 n Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt Câu 3: Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau ∶ ∞ 1 a) ∑ n2(x + 1)n n=1 ∞ 1 1 Đk: x ≠ −1. Đặt t = → Chuỗi đã cho trở thành ∑ . tn x + 1 n2 n=1 1 Ta có a = . Bán kính hội tụ của chuỗi hàm là ∶ n n2 2 an (n + 1) R = lim | | = lim 2 = 1 n→+∞ an+1 n→+∞ n ∞ 1 Xét tại biên t = 1, ta có chuỗi ∑ hội tụ n2 n=1 ∞ (−1)n Xét tại biên t = −1, ta có chuỗi ∑ hội tụ theo tc Leibnizt n2 n=1 → Chuỗi hội tụ khi chỉ khi − 1 ≤ t ≤ 1 1 → −1 ≤ ≤ 1 → x ≤ −2 ∪ x ≥ 0 x + 1 Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là (−∞; −2] ∪ [0; +∞) Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
3. ∞ 3x b) ∑ (1 + 9x2)n n=1 ∞ ∞ 3x 1 ∑ = 3x. ∑ (1 + 9x2)n (1 + 9x2)n n=1 n=1 ∞ 3x Với x = 0 → ∑ = 0, hội tụ (1 + 9x2)n n=1 1 Với mọi x ≠ 0, < 1 1 + 9x2 1 → Chuỗi đã cho là tổng của cấp số nhân công bội là 1 + 9x2 1 2 1 và có tổng là ∶ S = 3x. 1 + 9x = , hội tụ 1 1 − 3x 1 + 9x2 Suy ra miền hội tụ của chuỗi là R ∞ (−1)nnx + 1 c) ∑ n2 n=1 ∞ ∞ ∞ (−1)nnx + 1 (−1)nnx 1 ∑ = ∑ + ∑ n2 n2 n2 n=1 n=1 n=1 ∞ 1 Ta có ∑ là một chuỗi hội tụ, suy ra chuỗi đã cho hội tụ khi chỉ khi n2 n=1 ∞ ∞ ∞ (−1)nnx (−1)nnx (−1)n ∑ hội tụ. ∑ = ∑ n2 n2 n2−x n=1 n=1 n=1 Với x < 2, chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt (−1)n Với x ≥ 2, ∄ lim nên chuỗi phân kì . n→+∞ n2−x Vây miền hội tụ là (−∞; 2) ∞ n2 Câu 4: Tính tổng của chuỗi số ∑ 4n n=1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
4. ∞ n2 Xét ∑ n2xn , bán kính hội tụ R = lim | | = 1. n→+∞ (n + 1)2 n=1 Tại biên x = ±1, chuỗi phân kì, suy ra miền hội tụ (−1; 1) Với mọi x ∈ (−1; 1), chuỗi đã cho là khả tích. ∞ ∞ Gọi S(x) = ∑ n2xn = x. ∑ n2xn−1 = x. P(x) n=1 n=1 x x ∞ ∞ x ∫ P(t)dt = ∫ ∑ n2tn−1 dt = ∑ ∫ n2tn−1dt 0 0 n=1 n=1 0 ∞ ∞ = ∑ nxn = x. ∑ nxn−1 = x. Q(x) n=1 n=1 x x ∞ ∞ x ∫ Q(t)dt = ∫ ∑ ntn−1 dt = ∑ ∫ ntn−1dt 0 0 n=1 n=1 0 ∞ x = ∑ xn = 1 − x n=1 x ′ 1 → Q(x) = ( ) = 1 − x (1 − x)2 ′ ′ x x + 1 → P(x) = (x. Q(x)) = ( ) = (1 − x)2 (1 − x)3 x(x + 1) → S(x) = x. P(x) = (1 − x)3 ∞ n2 1 20 → ∑ = S ( ) = 4n 4 27 n=1 1 Câu 5: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi Maclaurin √16 − x2 1 − 1 1 1 1 x2 2 f(x) = = . = . (1 − ) √16 − x2 4 2 4 16 √ x 1 − 16 ∞ 2 1 x 1 − 1 (2n − 1)‼ Đặt − = t → f(t) = . (1 − t) 2 = . ∑(−1)n. . tn 16 4 4 (2n)‼ n=0 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
5. ∞ n ∞ 1 (2n − 1)‼ −x2 1 (2n − 1)‼ 1 → f(x) = . ∑(−1)n. . ( ) = . ∑ . . x2n 4 (2n)‼ 16 4 (2n)‼ 16n n=0 n=0 x Câu 6: Khai triển hàm số f(x) = |sin ( )| thành chuỗi Fourier 2 f(x) là hàm chẵn → bn = 0 π 2 x −4 x π 4 a0 = ∫ sin ( ) dx = . cos | = π 2 π 2 0 π 0 π π 2 x 1 1 1 a = ∫ sin ( ) cos nx dx = ∫ [sin (n + ) x − sin (n − ) x] dx n π 2 π 2 2 0 0 1 −2 2n + 1 2 2n − 1 π = . [ cos x + cos x]| π 2n + 1 2 2n − 1 2 0 1 −4 −4 = = π 4n2 − 1 π(4n2 − 1) +∞ 2 4 1 → f(x) = − ∑ cos nx π π (4n2 − 1) n=1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64