Đề thi cuối kì Giải tích 3 - Học kỳ 20181

Nội dung text: Đề thi cuối kì Giải tích 3 - Học kỳ 20181

1. Đề thi cuối kì GT3 học kì 20181 – nhóm ngành 1 Lời giải: Nguyễn Tiến Được – K64 Câu 1 a) ∞ 푛2 + 2 푛2 + 2 ∑ . ễ 푡ℎấ = ≥ 0∀푛 ≥ 1 푛3 + 푛 + 1 푛 푛3 + 푛 + 1 푛=1 푛2 + 2 푛2 1 = ~ = ℎ𝑖 푛 → ∞ 푛 푛3 + 푛 + 1 푛3 푛 ∞ 1 à ∑ 푙à ℎ ỗ𝑖 đ𝑖ề ℎò ℎâ푛 ỳ 푛 푛=1 → ℎ ỗ𝑖 đã ℎ표 ℎâ푛 ỳ 푡ℎ푒표 푆푆 b) ∞ 2푛 + 1 2푛 + 1 ∑(−1)푛. . 퐿à ℎ ỗ𝑖 đ 푛 ấ 푣ớ𝑖 = 푛2 + 1 푛 푛2 + 1 푛=1 +) 푛 ≥ 0∀푛 ≥ 1 2 + 1 2( 2 + 1) − 2 (2 + 1) −2( 2 + + 1) +) ( ) = → ′( ) = = 2 + 1 ( 2 + 1)2 ( 2 + 1)2 < 0∀ ≥ 1 → { 푛} 푙à ã đơ푛 đ𝑖ệ 𝑖ả 2푛 + 1 +) lim = 0 푛→∞ 푛2 + 1 → ℎ ỗ𝑖 đã ℎ표 ℎộ𝑖 푡ụ 푡ℎ푒표 푡𝑖ê ℎ ẩ푛 퐿푒𝑖 푛𝑖푡 Câu 2: Tìm miền HT ∞ ∞ (2 + 3)푛 1 ∑ . Đặ푡 푡 = 2 + 3 → ∑ . 푡푛 푙à ℎ ỗ𝑖 푙ũ 푡ℎừ 2푛 + 3 2푛 + 3 푛=1 푛=1 − á푛 í푛ℎ ủ ℎ ỗ𝑖 푙à: 2푛 + 5 lim = 1 → 푅 = 1 푛→∞ 2푛 + 3 ∞ 1 − ạ𝑖 푡 = 1. ∑ 푙à ℎ ỗ𝑖 đ𝑖ề ℎò ℎâ푛 ỳ 2푛 + 3 푛=1 ∞ (−1)푛 − ạ𝑖 푡 = −1. ∑ 푙à ℎ ỗ𝑖 đ 푛 ấ ℎộ𝑖 푡ụ 푡ℎ푒표 퐿푒𝑖 푛𝑖푡 2푛 + 3 푛=1 𝑖ề푛 ℎộ𝑖 푡ụ 푙à − 1 ≤ 푡 < 1 → −1 ≤ 2 + 3 < 1 → −2 ≤ ≤ −1 ậ 𝑖ề푛 ℎộ𝑖 푡ụ ầ푛 푡ì 푙à ∈ [−2; −1) Câu 3: Khai triển f(x) thành chuỗi Maclaurin
2. ∞ ( ) = = . ∑(−1)푛. (2 2)푛 ∀|2 2| < 1 1 + 2 2 푛=0 ∞ 1 = ∑(−2)푛. 2푛+1 ∀| | < 2 푛=0 √ Câu 4: 2 a) ′ = ( ) + + 4 Đặ푡 = 푡 → = 푡 → ′ = 푡 + 푡′ → 푡 + 푡′ = 푡2 + 푡 + 4 푡 1 1 1 푡 → = 푡2 + 4 → 푡 = → ln + ln = arctan 푡2 + 4 2 2 푡 1 arctan → = (√푒 + 푒 2 ) 푡 푡 arctan = (√푒 + 푒 2 ) Vậy PT có nghiệm { 푡 1 arctan = (√푒 + 푒 2 ) b) (3 2 + 6 ) + (3 2 − 4 3) = 0 2 ′ 푃( ; ) = 3 + 6 → 푃 = 6 2 3 ′ 푄( ; ) = 3 − 4 → 푄 = 6 → Đâ 푙à 푃 푃 푡표à푛 ℎầ푛 → = ∫ 3 2 + ∫ 3 2 − 4 3 0 0 = = = 3 | + (3 2 − 4)| = 3 + 3 2 − 4 = 0 = 0 Vậy TPTQ của PT là = 3 + 3 2 − 4 c) ′′ + 3 ′ + 2 = (6 2 + 16 + 13)푒 - Xét PT thuần nhất ′′ + 3 ′ + 2 = 0 2 Có PT đặc trưng là + 3 + 2 = 0 → 1 = −1; 2 = −2 − −2 → ̅ = 1푒 + 2푒 - ( ) = 푒 (6 2 + 16 + 13) ó 훼 = 1 표 푙à 푛 ℎ𝑖ệ ủ 푃 đặ 푡 ư푛 → ∗ = 푒 ( 2 + + ) → ( ∗)′ = 푒 [ + + ( + 2 ) + 2] → ( ∗)′′ = 푒 [ + 2 + 2 + ( + 4 ) + 2] Thay vào PT ban đầu ta có: 푒 [ + 2 + 2 + ( + 4 ) + 2] + 3푒 [ + + ( + 2 ) + 2] + 2푒 ( 2 + + ) = (6 2 + 16 + 13)푒 → ( + 3 + 2 ) 2 + ( + 4 + 3 + 6 + 2 ) + ( + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 ) = 6 2 + 16 + 13
3. 6 = 1 = 1 → { 6 + 10 = 16 → { = 1 → ∗ = 푒 ( 2 + + 1) 6 + 5 + 2 = 13 = 1 − −2 2 ậ 푛 ℎ𝑖ệ 푄 ủ 푃 푙à = ̅ = 1푒 + 2푒 + 푒 ( + + 1) 2푒2 d) ′′ − = 푒 +1 - Xét PT thuần nhất ′′ − = 0 2 Có PT đặc trưng là = 1 → 1,2 = ±1 − → ̅ = 1푒 + 2푒 Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange ′ ′ − 1푒 + 2푒 = 0 { 2푒2 ′푒 − ′푒− = 1 2 푒 + 1 Nhầm nghiệm 푒 푒− = | | = −푒 . 푒− − 푒 . 푒− = −1 − 1 = −2 푒 −푒− 0 푒− | 2푒2 | − −푒 푒 ′ = 푒 + 1 = → ( ) = ln(푒 + 1) + 퐾 1 −2 푒 + 1 1 1 푒 0 | 2푒2 | 3 2 푒 푒 푒 ′ = 푒 + 1 = − → ( ) = 푒 − − ln(푒 + 1) + 퐾 2 −2 푒 + 1 2 2 2 Vậy PT có nghiệm TQ 푒2 = [ln(푒 + 1) + 퐾 ]푒 + [푒 − − ln(푒 + 1) + 퐾 ] 푒− 1 2 2 Câu 5: a) (3) − 4 ′′ + 5 ′ − 2 = 0 (1) 푣ớ𝑖 (0) = ′(0) = 0; ′′(0) = 1 - Tác động toán tử Laplace vào 2 vế của PT (1) ta được: 퐿{ (3) − 4 ′′ + 5 ′ − 2 } = 0 (2) - 퐿{ } = (푠) - 퐿{ ′} = 푠. (푠) − (0) = 푠. (푠) - 퐿{ ′′} = 푠2 (푠) − 푠 (0) − ′(0) = 푠2 (푠) - 퐿{ (3)} = 푠3 (푠) − 푠2 (0) − 푠 ′(0) − ′′(0) = 푠3 (푠) − 1 Thay vào PT (2) ta được: 푠3 (푠) − 1 − 4푠2 (푠) + 5푠 (푠) − 2 (푠) = 0 1 1 1 1 1 → (푠) = = = − − 푠3 − 4푠2 + 5푠 − 2 (푠 − 2)(푠 − 1)2 푠 − 2 푠 − 1 (푠 − 1)2
4. 1 1 1 → (푡) = 퐿−1 { − − } = 푒2푡 − 푒푡 − 푒푡. 푡 푠 − 2 푠 − 1 (푠 − 1)2 = 푒2푡 + 푒푡(−1 − 푡) sin 푡 ℎ𝑖 0 ≤ 푡 < ′′ 2 b) + 4 = (푡) = { 0 ℎ𝑖 푡 ≥ 2 푣ớ𝑖 (0) = ′(0) = 0 Áp dụng CT Trần Bá Hiếu cho vế phải (Heaviside) (푡) = sin 푡 − sin 푡. (푡 − ) = sin 푡 − cos (푡 − ) (푡 − ) 2 2 2 - Tác động toán tử Laplace vào 2 vế của PT 푠 1 푠 − 푠2 (푠) + 4 (푠) = − . 푒 2 푠2 + 1 푠2 + 1 푠 1 푠 − → (푠) = − . 푒 2 (푠2 + 1)(푠2 + 4) (푠2 + 1)(푠2 + 4) 푠 1 1 1 푠 − = − − [ − ] . 푒 2 3(푠2+1) 3(푠2+4) 3(푠2+1) 3(푠2+4) 1 1 1 1 → (푡) = 퐿−1{ } = sin 푡 − sin 2푡 − [ sin(푡 − ) − cos(2푡 − )] 3 6 3 2 3 1 1 1 1 = sin 푡 − sin 2푡 − cos 푡 + cos 2푡 3 6 3 3