Đề thi giữa học kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20182

Nội dung text: Đề thi giữa học kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20182

1. ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20182 NHÓM NGÀNH 2 K63 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 +∞ 1 1 Câu 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ (3n − 1) n n=1 √ +∞ +∞ 1 1 1 ln 3 ∑ (3n − 1) = ∑ (e n − 1) n n n=1 √ n=1 √ Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 1 ln 3 ln 3 n Khi n → +∞ ∶ (e − 1) ~ 3 √n n2 +∞ ln 3 3 ∑ là chuỗi hội tụ do α = > 1 3 2 n=1 n2 → chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh +∞ 2 n − 1 n Câu 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 2n ( ) n n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Áp dụng tiêu chuẩn cauchy, ta có: 2 n n − 1 n 1 n lim √2n ( ) = lim 2. (1 − ) = lim 2. e−1 < 1 n→+∞ n n→+∞ n n→+∞ → Chuỗi đã cho hội tụ +∞ n 2x − 1 2n Câu 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số sau ∑ ( ) n2 − 2 x n=1 +∞ +∞ 2x − 1 2 n Đặt ( ) = t ( t ≥ 0 ) . Chuỗi đã cho trở thành ∑ . tn = ∑ a tn x n2 − 2 n n=1 n=1 an n n + 1 Bán kính hội tụ là R = lim | | = lim | 2 : 2 | n→+∞ an+1 n→+∞ n − 2 (n + 1) − 2 n[(n + 1)2 − 2] = lim | | = 1 n→+∞ (n2 − 2)(n + 1) Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
2. n 1 Tại t = 1 ∶ khi n → +∞ ~ phân kỳ. Suy ra chuỗi hội tụ khi chỉ khi t ∈ [0,1) n2 − 2 n 2x − 1 2 Xét 0 ≤ ( ) < 1 x 1 → −1 < 2 − < 1 x 1 → 1 < < 3 x 1 → < x < 1 3 1 Suy ra miền hội tụ là ( ; 1) 3 x Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi lũy thừa của x − 1 x + 4 Đặt t = x − 1 → x = t + 1 t + 1 4 4 1 → f(t) = = 1 − = 1 − . t t + 5 t + 5 5 + 1 5 Khai triển maclaurin f(t)tại t = 0 là +∞ 4 −1 n 1 − ∑ ( ) . tn 5 5 n=0 Suy ra chuỗi taylor của f(x) tại x = 1 là +∞ 4 −1 n 1 − ∑ ( ) . (x − 1)n 5 5 n=0 Câu 5: Giải phương trình vi phân √x + 1dy + y. ln2 y dx = 0 dx dy → = − √x + 1 y. ln2 y Tích phân 2 vế dx dy → ∫ = ∫ − √x + 1 y. ln2 y 1 → 2√x + 1 + C = ln y Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
3. 1 → Tích phân tổng quát là u(x, y, C) = 2√x + 1 − + C = 0 ln y Câu 6: Giải phương trình vi phân (x. y′ − 1) ln x = 2y → x. ln x . y′ − 2y = ln x 2y 1 → y′ − = x ln x x thừa số tích phân là 2dx − 1 p(x) = e∫ x ln x = e−2 ln ln x = ln2 x nhân cả 2 vế với p(x), ta có: 1 2 ln x 1 . y′ − . y = ln2 x x ln3 x x ln2 x 1 ′ 1 → ( . y) = ln2 x x ln2 x lấy tích phân 2 vế 1 1 → . y = − + C ln2 x ln x → y = − ln x + C. ln2 x Câu 7: Giải phương trình vi phân toàn phần sau (y3 + x3. (1 + ln y))dy + 3x2. (1 + y ln y)dx = 0 Ta có ∶ ′ (y3 + x3. (1 + ln y))′ = (3x2. (1 + y ln y)) = 3x2. (1 + ln y) x y → thỏa mãn điều kiện ptvp toàn phần u(x, y) = ∫ 3x2. (1 + y ln y) dx = x3. (1 + y ln y) + g(y) ′ 3 3 3 → uy = x . (1 + ln y) + g′(y) = (y + x . (1 + ln y)) y4 → g′(y) = y3. Chọn g(y) = 4 y4 → Tích phân tổng quát là u(x, y) = x3. (1 + y ln y) + = C 4 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
4. +∞ ln2 n Câu 8: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n3 + 3n2 + 1 n=1 ln2 n Xét lim = 0 ( do hàm loga < hàm lũy thừa khi tiến ra vô cực ) n→+∞ n3/2 3 ln2 n n2 → < kể từ n nào đó trở đi n3 + 3n2 + 1 n3 + 3n2 + 1 3 n2 1 ~ khi n → +∞ n3 + 3n2 + 1 3 n2 +∞ 1 ∑ 3 hội tụ → chuỗi đã cho hội tụ n=1 n2 Câu 9: Khai triển fourier của hàm số sau: −x , −π < x < 0 f(x) = { , tuần hoàn chu kì 2π 2, 0 < x < π π 0 π 1 1 3π a = ∫ f(x)dx = ( ∫ −xdx + ∫ 2xdx) = 0 π π 2 −π −π 0 π 0 π 1 1 a = ∫ f(x). cos nx dx = ( ∫ −x. cos nx dx + ∫ 2x. cos nx dx) n π π −π −π 0 1 − cos nx − nx. sin nx 0 2 cos nx + 2nx. sin nx π = ( 2 | + 2 | ) π n −π n 0 1 −1 + cos nπ 2. cos nπ − 2 3. (−1 + (−1)n) 0 nếu n chẵn = ( + ) = = { 6 π n2 n2 πn2 − nếu n lẻ πn2 π 0 π 1 1 b = ∫ f(x). sin nx dx = ( ∫ −x. sin nx dx + ∫ 2x. sin nx dx) n π π −π −π 0 1 nx cos nx − sin nx 0 −2nx cos nx + sin nx π = ( 2 | + 2 | ) π n −π n 0 −1 1 nπ cos nπ −2nπ cos nπ (−1)n−1 nếu n chẵn = ( + ) = = { n π n2 n2 n 1 nếu n lẻ n Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
5. Suy ra chuỗi fourier của f(x) tuần hoàn chu kì 2π là +∞ +∞ 3π 1 6 1 f(x) = + ∑ − . sin 2nx + ∑ − . cos(2n + 1)x + sin(2n + 1) x 4 2n π(2n + 1)2 2n + 1 n=1 n=0 +∞ n Bài 10: Tính tổng ∑ 5n n=1 +∞ +∞ n 1 n ∑ = ∑ 5n 5 5n−1 n=1 n=1 +∞ Xét S(x) = ∑ xn−1. n n=1 chuỗi này có miền hội tụ là |x| < 1 với mọi x ∈ (−1; 1), tổng của chuỗi là khả tích trên [0, x] Ta có: x x +∞ +∞ x +∞ x ∫ S(t)dt = ∫ ∑ tn−1. ndt = ∑ ∫ tn−1 . ndt = ∑ xn = 1 − x 0 0 n=1 n=1 0 n=1 x ′ 1 → S(x) = ( ) = 1 − x (1 − x)2 +∞ n 1 1 5 → ∑ = . = 5n 5 1 2 16 n=1 1 − ( 5) Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64