Đề thi giữa kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20142 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giữa kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20142 (Có đáp án)

1. GIẢI ĐỀ GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20142 Lời giải: Trần Bá Hiếu KSTN Dệt K64 Câu 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ∶ ∞ 1 1 a) ∑ ln (1 + ) n n n=1 √ Chuỗi số này là chuỗi số dương ∀n > 1 ∞ 1 1 1 1 Khi n → +∞ ∶ ln (1 + ) ~ mà ∑ là chuỗi hội tụ √n n 3 3 n2 n=1 n2 → chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh ∞ (−1)n b) ∑ ln n n=2 Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu 1 { } là một dãy số dương, đơn điệu giảm dần về 0 ln n → chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ∞ 1 a) ∑ (x − 1)n n + 1 n=1 ∞ 1 Đặt x − 1 = t. Chuỗi đã cho trở thành ∑ a tn với a = n n n + 1 n=1 a n + 1 Bán kính hội tụ R = lim | n | = lim | | = 1 n→+∞ an+1 n→+∞ n + 2 ∞ 1 Xét t = 1, ∑ là chuỗi phân kỳ n + 1 n=1 ∞ (−1)n Xét t = −1, ∑ là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz n + 1 n=1 → −1 ≤ t < 1 → −1 ≤ x − 1 < 1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
2. → 0 ≤ x 1 nx−1 n=1 → x > 2 → miền hội tụ là x ∈ (2; +∞) Câu 3: Giải các phương trình vi phân ∶ a) y′. cos2 x = y dy → . cos2 x = y dx dy dx → = y cos2 x Tích phân 2 vế ∶ → ln|y| = tan x + C → y = etan x+C Nghiệm tổng quát của ptvp đã cho là y = etan x+C , ngoài ra còn có y = 0 là nghiệm kì dị y b) y′ + = x2y3 x ( Đây là phương trình bernoulli ) Đặt v = y−2, phương trình đã cho trở thành: −2 v′ + . v = −2. x2 x 2 − dx 1 Thừa số tích phân của ptvp trên là: p(x) = e∫ x = . Nhân cả 2 vế với p(x): x2 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
3. 1 −2 → . v′ + v = −2 x2 x3 1 ′ → ( . v ) = −2 x2 1 → . v = −2x + C x2 1 → = −2x + C x2y2 1 → + 2x + C = 0 x2y2 1 Vậy tích phân tổng quát của ptvp đã cho là u(x, y, C) = + 2x + C = 0 x2y2 Ngoài ra có y = 0 là nghiệm kì dị 1 Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi lũy thừa của x + 3 x2 − 3x + 2 Đặt t = x + 3 → x = t − 3 1 1 1 → f(t) = = = (t − 3)2 − 3(t − 3) + 2 t2 − 9t + 20 (t − 4)(t − 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − = . t − . t = . t − . t t − 5 t − 4 5 − 1 4 − 1 4 1 − 5 1 − 5 4 4 5 Khai triển maclaurin của f(t) là ∶ ∞ ∞ 1 tn 1 tn f(t) = ∑ − ∑ 4 4n 5 5n n=0 n=0 Vậy khai triển f(x) thành chuỗi lũy thừa của x + 3 là ∶ ∞ ∞ 1 (x + 3)n 1 (x + 3)n f(x) = ∑ − ∑ 4 4n 5 5n n=0 n=0 Câu 5: Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm số −1 < x < 1 f(x) = x, { tuần hoàn chu kì 2 Nhận xét: f(x) = x là hàm số lẻ, suy ra hệ số a0 và an đều bằng 0 1 1 bn = ∫ x. sin nπx dx = 2 ∫ x. sin nπx dx −1 0 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
4. x cos nπx 1 sin nπx 1 2(−1)n−1 = 2 (− | + 2 | ) = nπ 0 (nπ) 0 nπ Vậy khai triển thành chuỗi Fourier của f(x) là ∞ 2 → F(x) = ∑(−1)n−1 sin nπx nπ n=1 Tại x = −1, x = 1 hàm không liên tục, theo định lí Dirichlet ∶ f(−1−) + f(−1+) → F(−1) = = 0 2 f(1−) + f(1+) F(1) = = 0 2 0 , x = −1 → F(x) = {x , −1 < x < 1 0 , x = 1 Câu 6: Tính tổng 1 1 1 + + + ⋯ 3.5 5.7 7.9 1 1 1 1 Ta có = . ( − ) (2n + 1)(2n + 3) 2 2n + 1 2n + 3 1 1 1 → + + + ⋯ 3.5 5.7 7.9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = lim . ( − + − + − + ⋯ + − ) n→+∞ 2 3 5 5 7 7 9 2n + 1 2n + 3 1 1 1 1 = lim . ( − ) = n→+∞ 2 3 2n + 3 6 Câu 7: Giải phương trình vi phân 1 1 (x + ) dy + (y + ) dx = 0 y2 x2 1 ∂ (x + ) 1 y2 ∂ (y + 2) Ta thấy = x = 1 ∂x ∂y → thỏa mãn điều kiện phương trình vi phân toàn phần 1 1 Giả sử du(x, y) = (x + ) dy + (y + ) dx y2 x2 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
5. 1 Xuất phát từ u′ = x + y y2 1 −1 → u(x, y) = ∫ (x + ) dy = xy + + g(x) y2 y 1 → u′ = y + g′(x) = y + x x2 1 1 → g′(x) = . Chọn g(x) = − x2 x Ta có tích phân tổng quát của ptvt đã cho là ∶ 1 1 u(x, y) = xy − − = C x y Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64