Giáo trình Giải tích 3 - Tạ Lê Lợi
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Tạ Lê Lợi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_ta_le_loi.pdf
Nội dung text: Giáo trình Giải tích 3 - Tạ Lê Lợi
- TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z TAÏ LEÂ LÔÏI - ÑOÃ NGUYEÂN SÔN GIAÛI TÍCH 3 (Giaùo Trình) Löu haønh noäi boä Y Ñaø Laït 2008 Z
- Giaûi Tích 3 Taï Leâ Lôïi - Ñoã Nguyeân Sôn Muïc luïc Chöông I. Tích phaân phuï thuoäc tham soá 1. Tích phaân phuï thuoäc tham soá 4 2. Tích phaân suy roäng phuï thuoäc tham soá 9 3. Caùc tích phaân Euler 14 Chöông II. Tích phaân haøm soá treân ña taïp 1. Ña taïp khaû vi trong Rn 19 2. Tích phaân haøm soá treân ña taïp 24 Chöông III. Daïng vi phaân 1. Daïng k-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng 31 2. Daïng vi phaân 33 3. Boå ñeà Poincareù 37 Chöông IV. Tích phaân daïng vi phaân 1. Ñònh höôùng 41 2. Tích phaân daïng vi phaân 44 3. Coâng thöùc Stokes 47 Baøi taäp. 53
- 4 I. TÝch ph©n phô thuéc tham sè 1 TÝch ph©n phô thuéc tham sè 1.1 §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1. XÐt hµm f(x, t)=f(x1, ,xn,t1, ,tm) x¸c ®Þnh trªn miÒn X × T ⊂ Rn × Rm. Gi¶ sö X ®o ®−îc (Jordan) vµ víi mçi gi¸ trÞ cña t ∈ T cè ®Þnh, hµm f(x, t) kh¶ tÝch theo x trªn X. Khi ®ã tÝch ph©n I(t)=Z f(x, t)dx (1) X lµ hµm theo biÕn t =(t1, ,tm), gäi lµ tÝch ph©n phô thuéc tham sè víi m tham sè t1, ,tm. 1.2 TÝnh liªn tôc §Þnh lý 1. NÕu f(x, t) liªn tôc trªn X × T ⊂ Rn × Rm,뮩yX, T lµ c¸c tËp compact, th× tÝch ph©n I(t)=Z f(x, t)dx X liªn tôc trªn T . Chøng minh. Cè ®Þnh t0 ∈ T . Ta sÏ chøng minh víi mäi >0, tån t¹i δ>0 sao cho víi mäi t ∈ T , d(t, t0) 0 sao cho | f(x0,t0) − f(x, t) |< v(X) víi mäi (x, t), (x0,t0) ∈ X × T , d((x0,t0), (x, t)) <δ. Tõ ®ã, víi d(t, t0) <δta cã | I(t) − I(t ) |<v(X) = . 0 v(X)
- 5 2 1 √ 1 √ VÝ dô. 1) Ta cã lim R x2 + t2dx = R |x|dx =1v× hµm x2 + t2 liªn tôc trªn → t 0−1 −1 [−1, 1] × [−, ]. − (xt−2e−x2t 2 nÕu t =06 2) Kh¶o s¸t tÝnh liªn tôc t¹i ®iÓm (0, 0) cña hµm f(x, t)= . 0 nÕu t =0 NÕu f(x, t) liªn tôc t¹i (0, 0), th× f(x, t) liªn tôc trªn [0, 1] × [−, ]. Khi ®ã, tÝch 1 ph©n I(t)=R f(x, t)dx liªn tôc trªn [−, ] . Nh−ng ta cã 0 1 1 2 −2 1 2 −2 lim I(t) = lim R xt−2e−x t = − lim R e−x t d(−x2t−2) → → → t 0 t 0 0 2 t 0 0 1 −2 1 = − lim(e−t − 1) = =0=6 I(0). 2 t→0 2 VËy, hµm f(x, t) kh«ng liªn tôc t¹i (0, 0). Sau ®©y chóng ta sÏ kh¶o s¸t mét tæng qu¸t hãa cña §Þnh lý 1 trong tr−êng hîp X =[a, b]. §Þnh lý 2. Cho f(x, t) liªn tôc trªn [a, b] × T , víi T lµ tËp compact vµ a(t),b(t) lµ hai hµm liªn tôc trªn T sao cho a(t),b(t) ∈ [a, b] víi mäi t ∈ T . Khi ®ã, tÝch ph©n b(t) I(t)=Z f(x, t)dx a(t) liªn tôc trªn T . Chøng minh. Do f liªn tôc trªn tËp compact nªn giíi néi, tøc lµ tån t¹i M>0 sao cho | f(x, y) |≤ M víi mäi (x, t) ∈ [a, b] × T . Cè ®Þnh t0 ∈ T ta cã: a(t0) b(t) b(t0) | I(t) − I(t0) |= R f(x, t)dx + R f(x, t)dx + R [f(x, t) − f(x, t0)]dx a(t) b(t0) a(t0) a(t0) b(t) b(t0) ≤ R f(x, t)dx+ R f(x, t)dx+ R (f(x, t) − f(x, t0))dx a(t) b(t0) a(t0) b(t0) ≤ M | a(t) − a(t0) | +M | b(t) − b(t0) | + R | f(x, t) − f(x, t0) | dx. a(t0)
- 6 Kh¼ng ®Þnh suy ra tõ tÝnh liªn tôc cña a(t),b(t) vµ §Þnh lý 1. 2 1 VÝ dô. Do hµm liªn tôc trªn [0, 1] × [−, ] vµ c¸c hµm α(t)=t, 1+x2 + t2 β(t) = cos t liªn tôc trªn [−, ], ta cã cos t 1 dx dx π lim Z dx = Z = . t→0 1+x2 + t2 1+x2 4 t 0 1.3 TÝnh kh¶ vi. ∂f §Þnh lý 3. NÕu f(x, t) vµ c¸c ®¹o hµm riªng (x, t), i =1, ,m, liªn tôc ∂ti trªn X × T ⊂ Rn × Rm, ë ®©y X, T lµ c¸c tËp compact, th× tÝch ph©n I(t)=Z f(x, t)dx X o kh¶ vi trªn T vµ víi mçi i ta cã: ∂I ∂f (t)=Z (x, t)dx. ∂ti ∂ti X o Chøng minh. Víi mçi t0 ∈ T cè ®Þnh ta cã: I(t + h e ) − I(t ) f(x, t + h e ) − f(x, t ) 0 i i 0 = Z 0 i i 0 dx. hi hi X m trong ®ã ei lµ c¬ së chÝnh t¾c cña R . ¸p dông ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh cho hµm 1 biÕn ta cã: ∂f f(x, t0 + hiei) − f(x, t0)= (x, t0 + θihiei)hi, 0 <θi < 1 ∂ti Khi ®ã : I(t0 + hiei) − I(t0) Z ∂f Z ∂f ∂f − (x, t0)dx= [ (x, t0 + θihiei) − (x, t0)]dx hi ∂ti ∂ti ∂ti X X
- 7 ∂f Sö dông tÝnh liªn tôc cña (x, t) trªn compact X ×T vµ lý luËn nh− trong chøng ∂ti minh §Þnh lý 1 suy ra ∂I I(t0 + hiei) − I(t0) Z ∂f (t0) = lim = (x, t)dx. ∂ti hi→0 hi ∂ti X ∂I TÝnh liªn tôc cña (t) trªn T suy ra tõ §Þnh lý 1 2 ∂ti π/2 1 1+t cos x VÝ dô. XÐt I(t)= R ln dx, t ∈ (−1, 1). Ta cã c¸c hµm 0 cos x 1 − t cos x 1 1+t cos x ln nÕu x =6 π/2 ∂f 2 f(x, t)=cos x 1 − t cos x (x, t)= , 2 2 2t x = π/2 ∂t 1 − t cos x nÕu liªn tôc trªn [0,π/2] × [−1+, 1 − ]. VËy, theo ®Þnh lý trªn π/2 ∞ dx du π I0(t)=2Z =2Z = √ . 1 − t2 cos2 x 1 − t2 + u2 1 − t2 0 0 Tõ ®ã, I(t)=π arcsin t + C.V×I(0) = 0, nªn C =0. VËy, I(t)=π arcsin t. ∂f §Þnh lý 4. NÕu f(x, t) vµ c¸c ®¹o hµm riªng (x, t), i =1, ,m, liªn tôc ∂ti trªn [a, b] × T , ë ®©y T lµ tËp compact trong Rm, α(t),β(t) kh¶ vi trªn T vµ α(t),β(t) ∈ [a, b] víi mäi t ∈ T , th× tÝch ph©n b(t) I(t)=Z f(x, t)dx a(t) o kh¶ vi trªn T vµ víi mçi i ta cã: β(t) ∂I ∂f ∂β ∂α (t)= Z (x, t)dx + f(β(t),t) (t) − f(α(t),t) (t). ∂ti ∂ti ∂ti ∂ti α(t)
- 8 Chøng minh. XÐt hµm m +2biÕn v F (t, u, v)=Z f(x, t)dx, (t, u, v) ∈ D = T × [a, b] × [a, b]. u Ta sÏ chØ ra r»ng F (t, u, v) lµ hµm kh¶ vi. Víi mçi u, v cè ®Þnh, tõ §Þnh lý 3, suy ra v ∂F ∂f (t, u, v)=Z (x, t)dx. ∂ti ∂ti u VÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn ®−îc xem nh− lµ tich ph©n phô thuéc c¸c tham sè t, u, v. ∂f Hµm (x, t) xem nh− lµ hµm theo c¸c biÕn x, t, u, v liªn tôc trªn [a, b] × D.Tõ ∂ti ∂F §Þnh lý 2, víi a(t, u, v)=u, b(t, u, v)=v, suy ra (t, u, v) lµ hµm liªn tôc ∂ti trªn D. Ngoµi ra ta cßn cã ∂F ∂F (t, u, v)=−f(u, t) vµ (t, u, v)=f(v,t) ∂u ∂v ®Òu lµ nh÷ng hµm liªn tôc trªn D. VËy, hµm F (t, u, v) kh¶ vi. Hµm I(t) ®−îc xem nh− lµ hµm hîp I(t)=F (t, α(t),β(t)). Tõ ®ã , hµm I(t) kh¶ vi vµ ∂I ∂F ∂F ∂α ∂F ∂β (t)= (t, α(t),β(t)) + (t, α(t),β(t)) (t)+ (t, α(t),β(t)) (t) ∂ti ∂ti ∂u ∂ti ∂v ∂ti β(t) ∂f ∂β ∂α = R (x, t)dx + f(β(t),t) (t) − f(α(t),t) (t). α(t)∂ti ∂ti ∂ti 2 sin t VÝ dô. XÐt tÝch ph©n I(t)= R etxdx. Theo §Þnh lý trªn, hµm I(t) kh¶ vi vµ t sin t I0(t)= Z xetxdx + et sin t cos t − et2 . t
- 9 2 TÝch ph©n suy réng phô thuéc tham sè 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 2. Gi¶ sö hµm f(x, t) x¸c ®Þnh trªn [a, ∞) × T , T ⊂ R, sao cho víi mçi t ∈ T cè ®Þnh , hµm f(x, t) kh¶ tÝch trªn [a, b], víi mäi b>a. TÝch ph©n ∞ I(t)=Z f(x, t)dx (1), a gäi lµ tÝch ph©n suy réng lo¹i 1 phô thuéc tham sè. TÝch ph©n (1) gäi lµ héi tô ∞ b t¹i t0 nÕuu tÝch ph©n R f(x, t0)dx h«i tô, tøc lµ tån t¹i lim R f(x, t0)dx = I(t0) a b→∞ a h÷u h¹n. TÝch ph©n (1) gäi lµ héi tô trªn T nÕuu héi tô t¹i mäi ®iÓm cña T , tøc lµ ∞ Z ∀>0, ∀t ∈ T,∃a0(, t) >a, sao cho ∀b ≥ a0 =⇒ f(x, t) 0, ∃a0() >a, sao cho ∀b ≥ a0, ∀t ∈ T =⇒ f(x, t) 0 . TÝch ph©n b b−η J(t)=Z f(x, t)dx = lim Z f(x, t)dx, (2) η→0+ a a gäi lµ tÝch ph©n suy réng lo¹i 2 phô thuéc tham sè. TÝch ph©n (2) gäi lµ héi tô b b−η t¹i t0 nÕuu tÝch ph©n R f(x, t0)dx héi tô, tøc lµ tån t¹i lim R f(x, t0)dx = J(t0) → a η 0 a h÷u h¹n. TÝch ph©n (2) gäi lµ héi tô trªn T nÕuu héi tô t¹i mäi ®iÓm cña T , tøc lµ b Z ∀>0, ∀t ∈ T,∃δ(, t) > 0, sao cho 0 < ∀η<δ=⇒ f(x, t) <. b−η
- 10 TÝch ph©n (2) gäi lµ héi tô ®Òu trªn T nÕuu b Z ∀>0, ∃δ0() > 0, sao cho 0 0, ∀t ∈ T,∃a0 = , ∀b>a0 =⇒ te = e 0, nÕu chän ∞ ln −xt −bt b = a0 vµ t tõ bÊt ®¼ng thøc 0 . −a 0 b c) I(t) héi tô ®Òu trªn Tr =[r, ∞), víi r>0. ThËt vËy, ta cã ∞ ln Z −xt −bt −a0r ∀>0, ∃a0 = , ∀b ≥ a0, ∀t ∈ Tr =⇒ te = e <e <. −r b
- 11 2.2 Mét sè tiªu chuÈn héi tô ®Òu ∞ §Þnh lý 5. (Tiªu chuÈn Cauchy) TÝch ph©n I(t)=R f(x, t)dx héi tô ®Òu trªn a T khi vµ chØ khi b2 Z ∀>0, ∃a0() >a, sao cho ∀b1,b2 ≥ a0, ∀t ∈ T =⇒ f(x, t) 0, tån t¹i a0 sao cho b2 Z ϕ(x) <, ∀b1,b2 ≥ a0. b1 Suy ra, b2 b2 b2 Z Z Z f(x, t) ≤ |f(x, t)| ≤ ϕ(x) <. b1 b1 b1 Theo §Þnh lý 5, tÝch ph©n I(t) héi tô ®Òu. 2 §Ó kh¶o s¸t tÝnh chÊt cña tÝch ph©n suy réng phô thuéc tham sè héi tô ®Òu, chóng ta thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a nã vµ d·y hµm héi tô ®Òu.
- 12 ∞ MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö tÝch ph©n I(t)=R f(x, t)dx héi tô ®Òu trªn T vµ (an), víi a an >a. lµ d·y sè sao cho lim an = ∞. Khi ®ã, d·y hµm n→∞ an Z In(t)= f(x, t)dx a héi tô ®Òu tíi hµm sè I(t) trªn T . ∞ Chøng minh. Do I(t)=R f(x, t)dx héi tô trªn T nªn d·y hµm (In(t)) héi tô tíi a I(t) trªn T .V×I(t) héi tô ®Òu nªn víi mäi >0, tån t¹i a0 sao cho ∞ Z f(x, t) a0, ∀t ∈ T. b V× lim an = ∞ nªn tån t¹i N>0 sao cho víi mäi n ≥ N, ta cã an ≥ b. VËy, n→∞ ta cã an ∞ ∞ Z Z Z |In(t) − I(t)| = f(x, t) − f(x, t) = f(x, t) a. lµ d·y sè sao cho lim an = ∞ vµ xÐt d·y n→∞ hµm an Z In(t)= f(x, t)dx, t ∈ [c, d]. a Víi mçi n cè ®Þnh, theo §Þnh lý 1, hµm In(t) liªn tôc trªn [c, d]. Theo mÖnh ®Ò 1, d·y hµm (In(t)) héi tô ®Òu tíi I(t). Theo ®Þnh lý vÒ tÝnh liªn tôc cña d·y hµm héi tô ®Òu, I(t) liªn tôc trªn [c, d]. 2
- 13 2.2.2 TÝnh kh¶ vi §Þnh lý 8. Gi¶ sö ∂f (a) Hµm f(x, t) liªn tôc vµ cã ®¹o hµm riªng (x, t) liªn tôc trªn [a, ∞)×[c, d]. ∂t ∞ (b) TÝch ph©n I(t)=R f(x, t)dx héi tô trªn [c, d]. a ∞ ∂f (c) TÝch ph©n R (x, t)dx héi tô ®Òu trªn [c, d]. a ∂t ∞ ∂f Khi ®ã, hµm I(t) kh¶ vi trªn [c, d] vµ ta cã c«ng thøc I0(t)=R (x, t)dx. a ∂t Chøng minh. XÐt d·y hµm a+n Z In(t)= f(x, t)dx, t ∈ [c, d]. a Víi mçi n, theo §Þnh lý 3, hµm In(t) kh¶ vi trªn [c, d] vµ a+n ∂f I0 (t)= Z (x, t)dx, t ∈ [c, d]. n ∂t a ∞ 0 ∂f Ta cã lim In(t)=I(t) vµ lim In(t)=R (x, t)dx. Theo mÖnh ®Ò 1, d·y hµm a ∂t 0 In(t) héi tô ®Òu trªn [c, d]. Theo ®Þnh lý vÒ tÝnh kh¶ vi cña d·y hµm héi tô ®Òu, I(t) kh¶ vi trªn [c, d] vµ ∞ 0 0 0 Z ∂f I (t)= lim In(t) = lim In(t)= (x, t)dx. n→∞ n→∞ ∂t a 2 2.2.3 TÝnh kh¶ tÝch §Þnh lý 9. Gi¶ sö hµm f(x, t) liªn tôc trªn [a, ∞) × [c, d] vµ tÝch ph©n I(t)= ∞ R f(x, t)dx héi tô ®Òu trªn [c, d]. Khi ®ã, hµm I(t) kh¶ tÝch trªn [c, d] vµ ta cã a c«ng thøc d d ∞ ∞ d Z I(t)dt = Z Z f(x, t)dxdt = Z Z f(x, t)dtdx c c a a c
- 14 Chøng minh. Theo §Þnh lý 7, I(t) lµ hµm liªn tôc trªn [c, d], do ®ã kh¶ tÝch. XÐt d·y hµm a+n Z In(t)= f(x, t)dx, t ∈ [c, d]. a Víi mçi n cè ®Þnh, theo §Þnh lý 1, hµm In(t) liªn tôc trªn [c, d]. Theo mÖnh ®Ò 1, d·y hµm (In(t)) héi tô ®Òu tíi I(t) trªn [c, d]. Theo ®Þnh lý vÒ tÝnh kh¶ tÝch cña d·y hµm héi tô ®Òu, ta cã d d d R I(t)dt = R lim In(t)dt = lim R In(t)dt →∞ →∞ c c n n c d a+n = lim R R f(x, t)dx dt →∞ n c a a+n d ∞ d = lim R R f(x, t)dx dt = R R f(x, t)dt . →∞ n a c a c 2 3 C¸c tÝch ph©n Euler 3.1 TÝch ph©n Euler lo¹i 1 3.1.1 §Þnh nghÜa TÝch ph©n Euler lo¹i 1 hay hµm Beta lµ tÝch ph©n phô thuéc 2 tham sè d¹ng 1 B(p, q)=Z xp−1(1 − x)q−1dx, p > 0,q >0. 0 3.1.2 C¸c tÝnh chÊt cu¶ hµm Beta 1) Sù héi tô. Ta ph©n tÝch B(p, q) thµnh hai tÝch ph©n 1/2 1 Z p−1 q−1 Z p−1 q−1 B(p, q)= x (1 − x) dx + x (1 − x) dx = B1(p, q)+B2(p, q). 0 1/2
- 15 TÝch ph©n B1 héi tô nÕu p>0 vµ ph©n kú nÕu p ≤ 0. §iÒu nµy suy ra tõ p−1 q−1 p−1 q−1 x (1 − x) ≤ Mqx ,Mq = max (1 − x) 0≤x≤1/2 p−1 q−1 p−1 q−1 x (1 − x) ≥ mqx ,mq = min (1 − x) . 0≤x≤1/2 T−¬ng tù, tÝch ph©n B2 héi tô nÕu q>0 vµ ph©n kú nÕu q ≤ 0. Nh− vËy hµm B(p, q) x¸c ®Þnh víi mäi p>0, q>0. 2) Sù héi tô ®Òu. TÝch ph©n B(p, q) héi tô ®Òu trªn ch÷ nhËt [p0,p1] × [q0,q1], trong ®ã, 0 0, q>0, tÝch ph©n B(p, q) héi ®Òu trªn [p−, p+]×[q−, q +], do ®ã liªn tôc trªn miÒn nµy. 4) TÝnh ®èi xøng. B»ng c¸ch ®åi biÕn x =1− t, ta ®−îc B(p, q)=B(q,p). 5) C«ng thøc truy håi. B»ng c¸ch lÊy tÝch ph©n tõng phÇn tõ tÝch ph©n B(p, q) ta ®−îc q q B(p +1,q+1)= B(p +1,q)= B(p, q +1). p + q +1 p + q +1 §Æc biÖt, nÕu m, n lµ c¸c sè tù nhiªn, th× ¸p dông liªn tiÕp c«ng thøc trªn, ta cã B(1, 1) = 1 1 B(p +1, 1) = p +1 n! B(p +1,n)= (p + n)(p + n − 1) ···(p +1) (n − 1)!(m − 1)! B(m, n)= . (m + n − 1)!
- 16 3.2 TÝch ph©n Euler lo¹i 2 3.2.1 §Þnh nghÜa TÝch ph©n Euler lo¹i 2 hay hµm Gamma lµ tÝch ph©n phô thuéc tham sè d¹ng ∞ Γ(p)=Z xp−1e−xdx, p > 0. 0 3.2.2 C¸c tÝnh chÊt cu¶ hµm Gamma 1) Sù héi tô. Ta ph©n tÝch B(p, q) thµnh hai tÝch ph©n 1 ∞ Z p−1 −x Z p−1 −x Γ(p)= x e dx + x e dx =Γ1(p)+Γ2(p). 0 1 TÝch ph©n Γ1(p) héi tô khi p>0. §iÒu nµy suy ra tõ xp−1e−x ≤ xp−1, ∀x ∈ (0, 1]. TÝch ph©n Γ2(p) héi tô khi p>0. §iÒu nµy suy ra tõ ∞ xp−1e−x x2p 1 lim = lim = =0, vµ Z 0. 0 2) Sù héi tô ®Òu. TÝch ph©n Γ1(p) héi tô ®Òu trªn mçi ®o¹n [p0.p1], víi p1 >p0 > 0. §iÒu nµy suy ra tõ 1 xp−1e−x ≤ xp0−1 (0 <x≤ 1) R xp0−1 < ∞, 0 ∞ xp−1e−x ≤ xp1−1e−x, (1 ≤ x<∞), R xp0−1e−x < ∞. 1 3) TÝnh liªn tôc. Tõ tÝnh héi tô ®Òu suy ra hµm Γ(p) liªn tôc trªn miÒn x¸c ®Þnh cña nã.
- 17 4) C«ng thøc truy håi. B»ng c¸ch tÝch ph©n tõng phÇn, ta cã ∞ b b Z p −x p −x Z p−1 −x Γ(p +1)= x e dx = lim x e + p x e dx = pΓ(p). b→∞ 0 0 0 NÕu n lµ sè tù nhiªn, th× ¸p dông liªn tiÕp c«ng thøc trªn, ta cã Γ(p + n)=(n + p − 1)(n + p − 2) ···pΓ(p). ∞ −x ∞ e 2 √ Nãi riªng, Γ(1) = 1, Γ(n +1)=n!, Γ(1/2) = R √ dx =2R e−x dx = π. 0 x 0 5) Liªn hÖ víi hµm Beta. B»ng phÐp ®æi biÕn x = ty, t>0,tacã ∞ Γ(p) = Z yp−1e−tydy. tp 0 Thay p bëi p + q vµ t bëi t +1ta ®−îc ∞ Γ(p + q) = Z yp+q−1e−(1+t)ydy. (1 + t)p+q 0 Nh©n hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn víi tp−1 råi lÊy tÝch ph©n theo t tõ 0 ®Õn ∞ ta ®−îc ∞ ∞ ∞ tp−1 Γ(p + q) Z dy = Z Z tp−1e−tyyp+q−1e−ydydt. (1 + t)p+q 0 0 0 t ∞ tp−1 x = B(p, q)= §æi biÕn , ta ®−îc R p+q . MÆt kh¸c, cã thÓ ®æi thø tù 1+t 0 (1 + t) tÝch ph©n ë vÕ ph¶i (h·y kiÓm chøng ®iÒu nµy nh− bµi tËp). Tõ ®ã ∞ ∞ − − − − Γ(p + q)B(p, q)=R R tp 1e tyyp+q 1e tydt dy 0 0 ∞ Γ(p) = yp+q−1e−y dy R p 0 y ∞ =Γ(a) R yq−1e−ydy =Γ(p)Γ(q). 0 VËy. ta cã c«ng thøc Γ(p)Γ(q) B(p, q)= . Γ(p + q)
- II. Tích phaân haøm soá treân ña taïp khaû vi 1. ÑA TAÏP KHAÛ VI TRONG Rn 1.1 Ñöôøng cong. Taäp con C ⊂ Rn ñöôïc goïi laø ñöôøng cong trôn lôùp Cp(p ≥ 1) neáuu moïi x ∈ C, toàn taïi laân caän môû V ⊂ Rn cuûa x, khoaûng môû I ⊂ R, vaø ϕ : I → Rn p thuoäc lôùp C , ϕ(t)=(x1(t), ··· ,xn(t)), sao cho: (1) ϕ : I → C ∩ V laø 1-1. (2) ϕ (t)=(x1(t), ··· ,xn(t)) =0 , vôùi moïi t ∈ I. Khi ñoù (ϕ, I) ñöôïc goïi laø moät tham soá hoaù cuûa C taïi x. # x t ϕ s0 s0 - "! Vector ϕ (t) goïi laø vector tieáp xuùc cuûa C taïi x. Ta coù phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi C taïi ϕ(t0): x = ϕ(t0)+sϕ (t0),s∈ R Ví duï. Trong R2. a) Ñöôøng troøn coù theå cho bôûi tham soá hoaù: x = a cos t, y = a sin t, t ∈ [0, 2π). b) Tham soá hoaù: x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ (0,H), moâ taû ñöôøng xoaén. Baøi taäp: Vieát cuï theå phöông trình tieáp tuyeán khi n =2hay n =3. Nhaän xeùt. Ñieàu kieän ϕ (t) =0 baûo ñaûm cho ñöôøng cong khoâng coù goùc hay ñieåm luøi. Chaúng haïn, neáu ϕ(t)=(t3,t2) thì ñöôøng cong coù ñieåm luøi taïi (0, 0), coøn ϕ(t)= (t3, |t|3), thì ñöôøng cong coù ñieåm goùc taïi (0, 0). 1.2 Maët cong. Taäp con S ⊂ Rn ñöôïc goïi laø maët cong trôn lôùp Cp (p ≥ 1) neáuu moïi x ∈ S, toàn taïi laân caän môû V ⊂ Rn cuûa x, taäp môû U ⊂ R2, vaø ϕ : U → Rn thuoäc lôùp p C , ϕ(u, v)=(x1(u, v), ··· ,xn(u, v)), sao cho: (1) ϕ : U → S ∩ V laø 1-1. (2) rank ϕ (u, v)=2, i.e. D1ϕ(u, v),D2ϕ(u, v) ñoäc laäp tuyeán tính, ∀(u, v) ∈ U. Khi ñoù (ϕ, U) ñöôïc goïi laø moät tham soá hoaù cuûa S taïi x. Khi coá ñònh moät bieán u hay v, ϕ cho caùc ñöôøng cong toïa ñoä. Caùc vector D1ϕ(u, v), D2ϕ(u, v) goïi laø caùc vector tieáp xuùc cuûa S taïi ϕ(u, v). Ta coù phöông trình tham soá cuûa maët phaúng tieáp xuùc vôùi S taïi ϕ(u0,v0): 2 x = ϕ(u0,v0)+sD1ϕ (u0,v0)+tD2ϕ(u0,v0), (s, t) ∈ R
- II.1. Ña taïp khaû vi trong Rn. 20 → v 6 ϕ x s - s - - →u S V U Tröôøng hôïp n =3, N(u, v)=D1ϕ(u, v) × D2ϕ(u, v)=(A(u, v),B(u, v),C(u, v)), laø vector vuoâng goùc vôùi S taïi ϕ(u, v). Khi ñoù phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng tieáp xuùc vôùi S taïi ϕ(u0,v0)=(x0,y0,z0): A(u0,v0)(x − x0)+B(u0,v0)(y − y0)+C(u0,v0)(z − z0)=0 Baøi taäp: Xaùc ñònh toïa ñoä vector phaùp qua caùc ñaïo haøm rieâng cuûa ϕ. Ví duï. Trong R3. a) Tham soá hoaù maët caàu: x = a cos φ sin θ, y = a sin φ sin θ, z = a cos θ, (φ, θ) ∈ (0, 2π) × (0,π) b) Tham soá hoaù maët xuyeán: x =(a+b cos φ)sinθ, y =(a+b sin φ)sinθ, z = b sin φ, (φ, θ) ∈ (0, 2π)×(0, 2π), (0 <b<a) Baøi taäp: Vieát phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi caùc maët treân. Baây giôø, ta toång quaùt hoaù caùc khaùi nieäm treân. 1.3 Ña taïp. Taäp con M ⊂ Rn ñöôïc goïi laø ña taïp k chieàu lôùp Cp (p ≥ 1) neáuu moïi x ∈ M, toàn taïi laân caän môû V ⊂ Rn cuûa x, taäp môû U ⊂ Rk, vaø ϕ : U → Rn thuoäc lôùp Cp, sao cho: (M1) ϕ : U → M ∩ V laø 1-1. (M2) rank ϕ (u)=k, i.e. D1ϕ(u), ··· ,Dkϕ(u) ñoäc laäp tuyeán tính, vôùi moïi u ∈ U. Khi ñoù (ϕ, U) ñöôïc goïi laø moät tham soá hoaù cuûa M taïi x. Khi coá ñònh k − 1 bieán trong caùc bieán, ϕ cho caùc ñöôøng cong toïa ñoä. Caùc vector D1ϕ(u), ··· ,Dkϕ(u) goïi laø caùc vector tieáp xuùc cuûa M taïi ϕ(u). Ta coù phöông trình tham soá cuûa k- phaúng tieáp xuùc vôùi M taïi ϕ(u0): k x = ϕ(u0)+t1D1ϕ(u0 + ···+ tkDkϕ(u0), (t1, ··· ,tk) ∈ R 1.4 Cho ña taïp bôûi heä phöông trình. Cho taäp môû V ⊂ Rn vaø caùc haøm lôùp Cp F1, ··· ,Fm : V → R. Xeùt taäp cho bôûi heä phöông trình M = {x ∈ V : F1(x)=···= Fm(x)=0}
- II.1. Ña taïp khaû vi trong Rn. 21 Giaû söû rank (DF1, ··· ,DFm)(x)=m, ∀x ∈ M. Khi ñoù M laø ña taïp khaûø vi, n − m chieàu, lôùp Cp. Chöùng minh: Ñaët k = n − m. Kyù hieäu x =(x ,y) ∈ Rk × Rm = Rn, vaø F =(F1, ··· ,Fm). ∂F Vôùi moãi a ∈ M, baèng pheùp hoaùn vò toïa ñoä, coù theå giaû thieát a . Theo det ∂y ( ) =0 ñònh lyù haøm aåàn, ôû laân caän V cuûa a =(a ,b), ta coù M ∩ V = {(x ,y) ∈ V : F (x ,y)=0} = {(x ,y) ∈ V : y = g(x )}, vôùi g laø haøm lôùp Cp ôû moät laân caän U cuûa a . Vaäy ϕ : U → Rn, ϕ(x )=(x ,g(x )) laø moät tham soá hoaù cuûa M taïi a. Ví duï. Trong R3. a) Maët caàu S2 cho bôûi phöông trình: F (x, y, z)=x2 + y2 + z2 − 1=0. Deã kieåm tra F (x, y, z)=(2x, 2y, 2z) =(0 , 0, 0) treân S2. Vaäy S2 laø ña taïp khaû vi 2 chieàu (= maët cong trôn). b) Ñöôøng troøn C cho bôûi heä phöông trình sau laø ña taïp 1 chieàu 2 2 2 F1(x, y, z)=x + y + z − 1=0 F2(x, y, z)=x + y + z =0 Nhaän xeùt. Neáu (ψ, W) laø tham soá hoaù khaùc cuûa M taïi x, thì toàn taïi caùc laân caän W ,U cuûa ψ−1(x),ϕ−1(x) töông öùng sao cho treân W ta coù ψ = ϕ ◦ h, trong ñoù h = ϕ−1 ◦ ψ : W → U laø vi phoâi, i.e. song aùnh vaø h−1 khaû vi. Chöùng minh: Roõõ raøng h = ϕ−1 ◦ψ laø song aùnh töø ψ−1(ψ(W )∩ϕ(U)) leân ϕ−1(ψ(W )∩ ϕ(U)). Ta caàn chöùng minh h thuoäc lôùp Cp. Do rank Dϕ = k, hoaùn vò toïa ñoä, coù theå giaû thieát k doøng ñaàu cuûa Dϕ(u) laø ñoäc laäp D(ϕ1, ··· ,ϕk) tuyeán tính khi u thuoäc moät laân caän U cuûa ñieåm ñang xeùt, i.e. =0 D(u1, ··· ,uk) treân U . Kyù hieäu x =(x ,y) ∈ Rk × Rn−k. Goïi i : Rk → Rk × Rn−k laø pheùp nhuùng i(u)=(u, 0), vaø p = Rk × Rn−k → Rk laø pheùp chieáu p(x ,y)=x . D(ϕ1, ··· ,ϕk) Ñaët Φ(u, y)=(ϕ(u),y). Töø giaû thieát det DΦ= =0 . Theo ñònh lyù D(u1, ··· ,uk) haøm ngöôïc, toàn taïi Φ−1 ∈ Cp ñòa phöông. Ta coù h = ϕ−1 ◦ ψ =(Φ◦ i)−1 ◦ ψ = p ◦ Φ−1 ◦ ψ. Caùc haøm thaønh phaàn laø thuoäc lôùp Cp, neân h thuoäc lôùp Cp. n 1.5 Khoâng gian tieáp xuùc. Cho M ⊂ R laø ña taïp khaû vi k chieàu vaø x0 ∈ M. 1 Cho γ :(−, ) → M laø ñöôøng cong lôùp C treân M, γ(0) = x0. Khi ñoù γ (0) ñöôïc goïi laø vector tieáp xuùc vôùi M taïi x0. Taäp moïi vector tieáp xuùc vôùi M taïi x0 ñöôïc goïi laø khoâng gian tieáp xuùc vôùi M taïi x0 vaø kyù hieäu Tx0 M. Neáu (ϕ, U) laø moät tham soá hoaù cuûa M taïi x0 = ϕ(u0), thì n Tx0 M = {v ∈ R : v = t1D1ϕ(u0)+···+ tkDkϕ(u0),t1, ··· ,tk ∈ R} = ImDϕ(u0).
- II.1. Ña taïp khaû vi trong Rn. 22 Neáu M cho bôûi heä phöông trình F1 = ···= Fm =0, taïi laân caän x0, thì n Tx0 M = {v ∈ R : v ⊥ grad Fi(x0),i=1, ··· ,m}. Vieát moät caùch khaùc Tx0 M cho bôûi heä phöông trình n v ∈ R : = ···= =0 Baøi taäp: Tìm phöông trình khoâng gian tieáp xuùc cho S2 vaø C ôû ví duï treân. 1.6 Ña taïp coù bôø. Ta seõ duøng caùc kyù hieäu: k k k H = {x =(x1, ··· ,xk) ∈ R : xk ≥ 0} vaø goïi laø nöûa khoâng gian cuûa R , k k k−1 k ∂H = {x ∈ H : xk =0} = R × 0 vaø goïi laø bôø cuûa H , k k k H+ = {x ∈ H : xk > 0} vaø goïi laø phía trong cuûa H . Taäp con M ⊂ Rn ñöôïc goïi laø ña taïp k chieàu lôùp Cp coù bôø neáuu moïi x ∈ M, toàn taïi laân caän môû V ⊂ Rn cuûa x, taäp môû U ⊂ Rk, vaø ϕ : U → Rn thuoäc lôùp Cp, sao cho: (M1) ϕ : U ∩ Hk → M ∩ V laø 1-1. (M2) rank ϕ (u)=k, vôùi moïi u ∈ U. Khi ñoù caùc ñieåm x = ϕ(u),u∈ U, ñöôïc phaân thaønh 2 loaïi: k Ñieåm trong cuûa M , neáu u ∈ H+. Ñieåm bôø cuûa M , neáu u ∈ ∂Hk. Kyù hieäu ∂M = {x ∈ M : x laø ñieåm bôø cuûa M}, vaø goïi laø bôø cuûa M . Nhaän xeùt. Ñònh nghóa ñieåm trong vaø ñieåm bieân khoâng phuï thuoäc tham soá hoaù. xk 6 ϕ s - - s - k−1 x R U Hk M V n p Meänh ñeà. Cho taäp môû V ⊂ R vaø caùc haøm lôùp C , F1, ··· ,Fm,Fm+1 : V → R. Xeùt caùc taäp cho bôûi heä phöông trình vaø baát phöông trình M = {x ∈ V : F1(x)=···= Fm(x)=0,Fm+1(x) ≥ 0} ∂M = {x ∈ V : F1(x)=···= Fm(x)=Fm+1(x)=0} Giaû söû rank (DF1, ··· ,DFm)(x)=m, ∀x ∈ M, vaø rank (DF1, ··· ,DFm+1)(x)= m +1, ∀x ∈ ∂M. Khi ñoù M laø ña taïp khaûø vi, n − m chieàu, lôùp Cp, coù bôø ∂M. Chöùng minh: Töông töï 1.4 Ví duï. Trong R3 hình caàu ñoùng B cho bôûi baát phöông trình: x2 + y2 + z2 ≤ 1, laø ña
- II.1. Ña taïp khaû vi trong Rn. 23 taïp 3 chieàu coù bôø laø maët caàu ∂B cho bôûi: x2 + y2 + z2 =1. Meänh ñeà. Cho M laø ña taïp khaû vi k chieàu. Khi ñoù: (1) ∂M laø ña taïp khaû vi k − 1 chieàu khoâng bôø, i.e. ∂(∂M)=∅. (2) Neáu x ∈ ∂M, thì Tx∂M laø khoâng gian con k − 1 chieàu cuûa TxM. k−1 k Chöùng minh: Goïi i : R → R ,i(u1, ··· ,uk−1)=(u1, ··· ,uk−1, 0). Khi ñoù deã thaáy neáu (ϕ, U) laø tham soá hoaù cuûa M taïi x vaø x ∈ ∂M, thì (ϕ ◦ i, i−1(U)) laø tham soá hoaù cuûa ∂M taïi x. Vôùi tham soá hoaù ñoù x laø ñieåm trong cuûa ∂M. Vaäy ∂(∂M)=∅. Hôn nöõa Tx∂M laø khoâng gian sinh bôûi D1ϕ(u), ··· ,Dk−1ϕ(u) neân laø khoâng gian con k − 1 chieàu cuûa TxM. 1.7 ÖÙng duïng vaøo baøi toaùn cöïc trò ñieàu kieän. m 1 n Cho F =(F1, ··· ,Fm):V → R , thuoäc lôùp C treân taäp môû V ⊂ R . Goïi M = {x ∈ V : F1(x)=···= Fm(x)=0}, vaø giaû thieát rank F (x)=m, ∀x ∈ M. Cho f : V → R, thuoäc lôùp C1. Baøi toaùn: Tìm cöïc trò cuûa haøm haïn cheá f|M . Noùi caùch khaùc laø tìm cöïc trò cuûa f vôùi ñieàu kieän raøng buoäc F1 = ···= Fm =0. Nhaän xeùt. Vì M laø ña taïp, neân vôùi moãi a ∈ M toàn taïi tham soá hoaù (ϕ, U) cuûa M taïi a, vôùi a = ϕ(b). Ñieàu kieän caàn. Neáu f ñaït cöïc trò vôùi raøng buoäc F1 = ··· = Fm =0, taïi a, thì grad f(a) ⊥ TaM, i.e. toàn taïi λ1, ··· ,λm ∈ R, sao cho grad f(a)= λ1grad F1(a)+···+ λmgrad Fm(a) Chöùng minh: Theo nhaän xeùt treân, roõ raøng f|M ñaït cöïc trò taïi a töông ñöông vôùi f ◦ ϕ ñaït cöïc trò taïi b. Suy ra (f ◦ ϕ) (b)=f (a)ϕ (b)=0. Vaäy =0, ∀v ∈ Imϕ (b)=TaM, i.e. grad f(a) ⊥ TaM.Dorank (grad F1(a), ··· , grad Fm(a)) = m =codimTaM, neân grad f(a) thuoäc khoâng gian sinh bôûi grad F1(a), ··· , grad Fm(a). Phöông phaùp nhaân töû hoaù Lagrange. Töø keát quûa treân, ñeå tìm ñieåm nghi ngôø cöïc trò cuûa f vôùi ñieàu kieän F1 = ···= Fm =0, ta laäp haøm Lagrange m L(x, λ)=f(x) − λ1F1(x) −···−λmFm(x),x∈ V,λ =(λ1, ··· ,λm) ∈ R Neáu a laø cöïc trò ñieàu kieän, thì toàn taïi λ ∈ Rm, sao cho (a, λ) laø nghieäm heä ∂L (x, λ)=0 ∂x F1(x)=0 . . Fm(x)=0 Ví duï. Xeùt cöïc trò f(x, y, z)=x + y + z, vôùi ñieàu kieän x2 + y2 =1,x+ z =1. Tröôùc heát, ta thaáy ñieàu kieän raøng buoäc xaùc ñònh moät ña taïp (Ellip E).
- II.2 Tích phaân haøm soá treân ña taïp. 24 2 2 Laäp haøm Lagrange L(x, y, z, λ1,λ2)=x + y + z − λ1(x + y − 1) − λ2(x + z − 1). Giaûi heä phöông trình ∂L =1− 2λ1x −λ2 =0 ∂x ∂L − λ y ∂y =1 2 1 =0 ∂L =1 −λ2 =0 ∂z 2 2 x + y − 1=0 x + z − 1=0 Ta coù caùc ñieåm nghi ngôø cöïc trò laø (0, ±1, 1). Do taäp ñieàu kieän compact, neân f phaûi ñaït max, min treân taäp ñoù. Hôn nöõa, caùc ñieåm cöïc trò ñoù phaûi laø moät trong caùc ñieåm nghi ngôø cöïc trò. Vaäy max f|E =max{f(0, 1, 1) = 1,f(0, −1, 1) = 0} = f(0, 1, 1) = 1, min f|E = min{f(0, 1, 1) = 1,f(0, −1, 1) = 0} = f(0, −1, 1) = 0 Trong tröôøng hôïp taäp ñieàu kieän khoâng compact, ta coù theå söû duïng keát quûa sau: 2 Ñieàu kieän ñuû. Giaû söû f,F1, ··· ,Fm thuoäc lôùp C , vaø ∂L f a λ F a ··· λ F a , i.e. a, λ . grad ( )= 1grad 1( )+ + mgrad m( ) ∂x( )=0 Ñaët HxL(x, a) laø Hessian cuûa haøm Lagrange L theo bieán x. Khi ñoù Neáu HxL(a, λ)|TaM xaùc ñònh döông, thì f|M ñaït cöïc tieåu taïi a. Neáu HxL(a, λ)|TaM xaùc ñònh aâm, thì f|M ñaït cöïc ñaïi taïi a. Neáu HxL(a, λ)|TaM khoâng xaùc ñònh daáu, thì f|M khoâng ñaït cöïc trò taïi a. Chöùng minh: Vôùi caùc kyù hieäu ôû phaàn treân, baøi toaùn tìm cöïc trò cuûa f|M töông ñöông baøi toaùn tìm cöïc trò cuûa f◦ϕ.Dof (a)ϕ (b)=0, tính ñaïo haøm caáp 2, ta coù H(f◦ϕ)(a)(h)= Hf(a)(ϕ (b)h) (Baøi taäp). Do Fi ◦ ϕ =0, ta coù H(Fi ◦ ϕ)=0vaø theo tính toaùn treân H(Fi ◦ ϕ)(b)(h)= HFi(a)(ϕ (b)(h). Suy ra HxL(a, λ)|TaM = H(f ◦ ϕ)(b)|TaM . Töø ñieàu kieän ñuû cuûa baøi toaùn cöïc trò ñòa phöông ta coù keát quûa. . k k Ví duï. Cho k ∈ N vaø a ∈ R. Tìm cöïc trò f(x1, ··· ,xn)=x1 + ···+ xn, vôùi raøng buoäc x1 + ···+ xn = an. 2. TÍCH PHAÂN HAØM SOÁ TREÂN ÑA TAÏP 2.1 Ñoä daøi, dieän tích, theå tích trong R3. Trong R3, coù trang bò tích voâ höôùng Euclid , neân coù khaùi nieäm ñoä daøi vaø vuoâng goùc. 2 2 2 Ñoä daøi vector T =(xt,yt,zt): T = xt + yt + zt
- II.2 Tích phaân haøm soá treân ña taïp. 25 Dieän tích hình bình haønh taïo bôûi u =(xu,yu,zu),v=(xv,yv,zv): dt(u, v)=u v⊥ = u × v 1 u2 2 u2v2 −| |2. = v2 = trong ñoù v = v + v⊥ laø phaân tích: v laø hình chieáu vuoâng goùc v leân u, v⊥ ⊥ u. Chöùng minh: Ta coù v = αu, =0. Suy ra + = + α 0 = α + v⊥2 = u2v⊥2 Töø ñoù suy ra coâng thöùc treân Theå tích khoái bình haønh taïo bôûi u, v, w ∈ R3: tt(u, v, w)=dt(u, v)w⊥ = | | = | det(u, v, w)| 1 2 = trong ñoù w = w + w⊥ laø phaân tích: w laø hình chieáu vuoâng goùc w leân maët phaúng sinh bôûi u, v. ¨ ¨ ¢ ¨¢ ¨ ¢ ¨¨ ¢ w⊥ 6 ¢w ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ v ¢ ¢ ¢ ¨* ¢ ¨ ¢¨¨ -¢¨¨ u Chöùng minh: Töông töï coâng thöùc cho dieän tích. (Baøi taäp) 2.2 Theå tích k chieàu trong Rn. Trong Rn coù trang bò tích voâ höôùng Euclid. Theå tích n k chieàu cuûa hình bình haønh taïo bôûi v1, ··· ,vk ∈ R , ñöôïc ñònh nghóa qui naïp theo k: ⊥ V1(v1)=v1,Vk(v1, ··· ,vk)=Vk−1(v1, ··· ,vk−1)vk ⊥ trong ñoù vk = vk + vk laø phaân tích: vk laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa vk leân khoâng gian sinh bôûi v1, ··· ,vk−1. Coâng thöùc tính. Goïi G(v1, ··· ,vk)=( )1≤i,j≤k laø ma traän Gramm. Khi ñoù Vk(v1, ··· ,vk)= det G(v1, ··· ,vk)
- II.2 Tích phaân haøm soá treân ña taïp. 26 Chöùng minh: Töông töï coâng thöùc cho dieän tích (Baøi taäp). 2.3 Phaàn töû ñoä daøi - Ñoä daøi ñöôøng cong. Cho C ⊂ R3 laø ñöôøng cong cho bôûi tham soá hoaù ϕ : I → R3,ϕ(t)=(x(t),y(t),z(t)) Ta caàn tính ñoä daøi l C cuûa ñöôøng cong. ( ) Phaân hoaïch I thaønh caùc ñoaïn con Ii =[ti,ti +∆ti]. Khi ñoù l(C)= i l(ϕ(Ii)). Khi ∆ti beù, thì l(ϕ(Ii)) ∼ l(ϕ (ti)∆ti)=ϕ ( ti)∆ti. 2 2 2 Ñònh nghóa phaàn töû ñoä daøi : dl = ϕ (t)dt = x t + y t + z t dt Ñònh nghóa ñoä daøi cuûa C: 2 2 2 l(C)= dl = x t + y t + z t dt C I 2.4 Phaàn töû dieän tích - Dieän tích maët. Cho S ⊂ R3 laø maët cong cho bôûi tham soá hoaù ϕ : U → R3,ϕ(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)) Ta caàn tính dieän tích cuûa maët S. Gæa söû U coù theå phaân hoaïch bôûi caùc hình chöõ nhaät beù U u ,u u × v ,v v . i =[ i i +∆ i] [ i i +∆ i] Khi ñoù dt(S)= i dt(ϕ(Ui)). Khi ∆ui, ∆vi beù, thì dt(ϕ(Ui)) ∼ dt(D1ϕ(ui,vi)∆ui,D2ϕ(ui,vi)∆vi). Ñònh nghóa phaàn töû dieän tích : 2 dS = dt(D1ϕ, D2ϕ)dudv = EG − F dudv, trong ñoù 2 2 2 2 E = D1ϕ = xu + yu + zu 2 2 2 2 G = D2ϕ = xv + yv + zv F = = xuxv + yuyv + zuzv Khi ñoù ñònh nghóa dieän tích cuûa S : dt(S)= dS = EG − F 2dudv S U 2.5 Phaàn töû theå tích - Theå tích hình khoái. Cho H laø hình khoái cho bôûi tham soá hoaù ϕ : A → R3,ϕ(u, v, w)=(x(u, v, w),y(u, v, w),z(u, v, w)) Ñeå tính theå tích H, baèng laäp luaän töông töï nhö caùc phaàn treân, ta coù caùc ñònh nghóa: Phaàn töû theå tích: dV = tt(D1ϕ, D2ϕ, D3ϕ)dudvdw = | det Jϕ|dudvdw Theå tích H: V (H)= H dV = A | det Jϕ|dudvdw. Baây giôø ta toång quaùt hoaù caùc khaùi nieäm treân.
- II.2 Tích phaân haøm soá treân ña taïp. 27 2.6 Phaàn töû theå tích treân ña taïp. Cho M ⊂ Rn laø ña taïp khaû vi k chieàu. Phaàn töû theå tích treân M laø aùnh xaï dV : M x → dV (x)=theå tích k chieàu haïn cheá treân TxM. Giaûø söû (ϕ, U) laø moät tham soá hoaù cuûa M taïi x = ϕ(u1, ··· ,uk). Khi ñoù dV (x)(D1ϕ(x)∆u1, ··· ,Dkϕ(x)∆uk)=Vk(D1ϕ(x), ··· ,Dkϕ(x))∆u1 ···∆uk Vaäy neáu ñaët Gϕ =( )1≤i,j≤k, thì qua tham soá hoùa dV = det Gϕ du1 ···duk 2.6 Tích phaân haøm treân ña taïp. Cho f : M → R laø haøm treân ña taïp khaû vi k chieàu. Sau ñaây ta xaây döïng tích phaân cuûa f treân M (coøn goïi laø tích phaân loaïi 1) fdV M Neáu M = ϕ(U) vôùi (ϕ, U) laø tham soá hoùa, thì ñònh nghóa fdV = f ◦ ϕ det Gϕ, trong ñoù Gϕ =( )1≤i,j≤k. M U Khi k =1tích phaân treân goïi laø tích phaân ñöôøng vaø kyù hieäu fdl. M Khi k =2tích phaân treân goïi laø tích phaân maët vaø kyù hieäu fdS. M Tröôøng hôïp toång quaùt, khi M cho bôûi nhieàu tham soá hoùa, ngöôøi ta duøng kyõ thuïaât phaân hoaïch ñôn vò sau ñaây ñeå ‘daùn’ caùc tích phaân treân töøng tham soá hoaù. Cho O = {(ϕi,Ui):i ∈ I} laø hoï caùc tham soá hoaù M. Hoï Θ={θi : i ∈ I} goïi laø phaân hoaïch ñôn vò cuûa M phuø hôïp vôùi hoï O neáuu caùc ñieàu sau thoûa vôùi moïi i ∈ I: (P1) θi : M → [0, 1] lieân tuïc. (P2) suppθi = {x ∈ M : θ(x) =0 } laø taäp compact. (P3) suppθi ⊂ ϕi(Ui). (P4) Moïi x ∈ M, toàn taïi laân caän V cuûa x, sao cho chæ coù höõu haïn chæ soá i ∈ I θ treân V . i =0 (P5) i∈I θi(x)=1, ∀x ∈ M. Tính chaát (P4) goïi laø tính höõu haïn ñòa phöông cuûa hoï {supp θi,i ∈ I}. Do tính chaát naøy toång ôû (P5) laø toång höõu haïn vôùi moïi x. Ñònh lyù. Vôùi moïi hoï O caùc tham soá hoaù cuûa ña taïp M, toàn taïi hoï phaân hoaïch ñôn vò phuø hôïp vôùi O. Chöùng minh: Gæa söû M compact, k chieàu. Vôùi moïi x ∈ M, toàn taïi (ϕx,Ux) ∈Olaø −1 tham soá hoaù taïi x. Goïi Bx ⊃ Ux laø moät hình caàu taân ϕx (x). Gæa söû Bx = B(a, r). k Haøm gx : R → R ñöôïc ñònh nghóa nhö sau − 1 e r2− u−a 2 , neáuu − a≤r gx(u)= 0 , neáu u − a >r.
- II.2 Tích phaân haøm soá treân ña taïp. 28 ∞ −1 Khi ñoù gx ∈ C (baøi taäp). Ñaët g˜x(y)=gx(ϕx (y)), neáu y ∈ ϕx(Ux), vaøø g˜x(y)=0, neáu y ∈ ϕx(Ux). Khi ñoù g˜x lieân tuïc treân M.VìM compact, toàn taïi höõu haïn g˜xi x1, ··· ,xN ∈ M, sao cho ϕx1 (Bx1 ), ···ϕxN (BxN ) phuû M Ñaët θi = . g˜x1 + ···+˜gxN Khi ñoù hoï {θi : i =1, ···N} laø phaân hoaïch ñôn vò caàn tìm. Khi M khoâng compact, toàn taïi hoï ñeám ñöôïc caùc taäp ϕx(Bx), höõu haïn ñòa phöông phuû M. Laäp luaän töông töï nhö treân coù theå xaây döïng phaân hoaïch ñôn vò trong tröôøng hôïp naøy. Gæa söû ña taïp M ñöôïc tham soá hoaù bôûi hoï O = {(ϕi,Ui):i ∈ I}. Theo ñònh lyù treân ta coù hoï Θ={θi : i ∈ I} laø phaân hoaïch ñôn vò cuûa M phuø hôïp vôùi O. Ñònh nghóa fdV = θifdV (= θif ◦ ϕi det Gϕi ). M i∈I ϕi(Ui) i∈I Ui vôùi gæa thieát veá phaûi toàn taïi. Chaúng haïn, khi M compact vaø f lieân tuïc. Nhaän xeùt. Ñònh nghóa treân khoâng phuï thuoäc hoï tham soá vaø phaân hoaïch ñôn vò. Chöùng minh: Khi hai tham soá hoaù cuûa M thoûa ϕ(U)=ψ(W ). Khi ñoù ψ = ϕ ◦ h, vôùi h laø vi phoâi. Deã kieåm tra caùc ma traän Gramm quan heä vôùi nhau theo coâng thöùc t Gψ(w)= Jh(w)Gϕ(h(w))Jh(w). Theo coâng thöùc ñoåi bieán, ta coù f ◦ ϕ det Gϕ = f ◦ ϕ ◦ h| det Jh| det Gϕ ◦ h U W t = f ◦ ψ det JhGϕ ◦ h det Jh = f ◦ ψ det Gψ. W W Vaäy ñònh nghóa khoâng phuï thuoäc tham soá hoaù. Neáu Θ = {θj : j ∈ J} laø moät phaân hoaïch ñôn vò khaùc cuûa M. Khi ñoù θjf = ( θi)θjf = θiθjf = θjθif = ( θj)θif. j M j M i i,j M i,j M i M j Vaäy ñònh nghóa cuõng khoâng phuï thuoäc phaân hoaïch ñôn vò. Nhaéc laïi caùc coâng thöùc tính: n Khi ϕ : I → R ,ϕ(t)=(x1(t), ··· ,xn(t)) laø tham soá hoaù ñöôøng cong C. Ta coù 2 2 fdl = f ◦ ϕ ϕ = f(ϕ(t)) (x1) (t)+···+(xn) (t)dt. C I I Khi ϕ : U → R3,ϕ(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)) laø tham soá hoaù maët S. Ta coù fdS = f ◦ ϕ EG − F 2, S U trong ñoù 2 2 2 2 E = D1ϕ = xu + yu + zu 2 2 2 2 G = D2ϕ = xv + yv + zv F = = xuxv + yuyv + zuzv
- II.2 Tích phaân haøm soá treân ña taïp. 29 Ví duï. a) Ñoä daøi ñöôøng xoaén C: x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0,h], laø h dl = a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2dt = h a2 + b2 C 0 b) Ñeå tính dieän tích maët caàu baùn kính R, tröôùc heát tham soá hoaù, chaúng haïn ϕ(φ, θ)=(R cos φ sin θ, R sin φ sin θ, R cos θ), (φ, θ) ∈ U =(0, 2π) × (0,π) Khi ñoù caùc vector tieáp xuùc cuûa caùc ñöôøng toïa ñoä: D1ϕ(φ, θ)=(−R sin φ sin θ, R cos φ sin θ, 0) D2ϕ(φ, θ)=(R cos φ cos θ, R sin φ cos θ, −R sin θ). Suy ra E = R2 sin2 θ, F =0,G= R2. Dieän tích maët caàu laø 2π π dS = EG − F 2dφdθ = R2 sin θdφdθ =4πR2 S U 0 0 c) Ñeå tính theå tích hình caàu baùn kính R, coù theå duøng tham soá hoaù ϕ(r, φ, θ)=(r cos φ sin θ, r sin φ sin θ, r cos θ), (r, φ, θ) ∈ U =(0,R) × (0, 2π) × (0,π) Khi ñoù D1ϕ(r, φ, θ)=(cosφ sin θ, sin φ sin θ, cos θ) D2ϕ(r, φ, θ)=(−r sin φ sin θ, r cos φ sin θ, 0) D3ϕ(r, φ, θ)=(r cos φ cos θ, r sin φ cos θ, −r sin θ). Theå tích hình caàu laø dV = det( )drdφdθ B(0,R) U 10 0 R 2π π 4 = 0 r2 sin2 θ 0 drdφdθ = πR3 0 0 0 2 3 00r
- III. Daïng vi phaân Khi tính tích phaân treân ña taïp ta caàn moät ñoái töôïng baát bieán vôùi pheùp tham soá hoaù. Ví du ïñôn giaûn nhaát laø khi tính tích phaân treân R, theo coâng thöùc ñoåi bieán ta coù b β f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt a α trong ñoù ϕ laø vi phoâi töø (α, β) leân (a, b). Ngöôøi ta ñöa vaøo khaùi nieäm daïng vi phaân baäc 1: ω = f(x)dx vaø pheùp ñoåi bieán: ϕ∗ω = f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Khi ñoù coâng thöùc treân coù theå vieát laïi laø b β ω = ϕ∗ω a α Ngoaøi ra daïng vi phaân cuõng laø khaùi nieäm thích hôïp ñeåå tích phaân tröôøng vector treân ña taïp seõ ñöôïc ñeà caäp ñeán ôû chöông sau. Chöông naøy xeùt ñeán caùc daïng vi phaân vaø caùc pheùp toaùn treân chuùng. 1. DAÏNG k-TUYEÁN TÍNH PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG. 1.1. Ñònh nghóa. Cho V laø khoâng gian vector treân R. Moät daïng k-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng treân V laø moät aùnh xaï ω V ×···×V → R : k laàn thoûa caùc ñieàu kieän sau vôùi moïi v1, ··· ,vk ∈ V , α ∈ R vaø 1 ≤ i<j≤ k: (A1) ω(v1, ··· ,vi + vi, ··· ,vk)=ω(v1, ··· ,vi, ··· ,vk)+ω(v1, ··· ,vi, ··· ,vk). (A2) ω(v1, ··· ,αvi, ··· ,vk)=αω(v1, ··· ,vi, ··· ,vk). (A3) ω(v1, ··· ,vi, ··· ,vj, ··· ,vk)= − ω(v1, ··· ,vj, ··· ,vi, ··· ,vk). Nhaän xeùt. Ñieàu kieän (A1)(A2) coù nghóa laø ω tuyeán tính theo töøng bieán Nhaän xeùt. Ñieàu kieän (A3) töông ñöông vôùi moät trong caùc ñieàu kieän sau: (A3’) ω(v1, ··· ,vi ··· ,vj, ··· ,vk)=0, neáu vi = vj, vôùi moïi i = j. (A3”) ω v , ··· ,v σ ω v , ··· ,v , ( σ(1) σ(k))= ( ) ( 1 k) vôùi moïi hoaùn vò σ cuûa {1, ··· ,k}, (σ) laø kyù soá (= sign i<j(σ(j) − σ(j))). Chöùng minh: (A3) ⇒ (A3’): Trong bieåu thöùc cuûa (A3) neáu vi = vj, thì 2ω(v1, ··· ,vi ··· ,vi, ··· ,vk)=0. Suy ra (A3’). (A3’) ⇒ (A3): Trong bieåu thöùc cuûa (A3’) neáu vi = vj = v + w, thì töø (A1) (A3’) suy ra ω(v1, ··· ,v,··· ,w,··· ,vk)+ω(v1, ··· ,w,··· ,v,··· ,vk)=0. (A3) ⇒ (A3”): AÙp duïng moïi pheùp hoaùn vò laø hôïp cuûa caùc pheùp chuyeån vò, kyù soá moãi pheùp chuyeån vò laø −1, vaø kyù soá cuûa hôïp 2 hoaùn vò baèng tích kyù soá cuûa 2 hoaùn vò ñoù.
- III.1. Daïng k-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng. 32 (A3”) ⇒ (A3): AÙp duïng (A3”) vôùi σ laø chuyeån vò i vaø j. Ví duï. Cho F laø moät vector trong R3. Khi ñoù: 3 3 a) WF (v)= ,v∈ R , laø daïng 1-tuyeán tính treân R (coâng cuûa F doïc theo v) 3 b) ωF (v1,v2)= , v1,v2 ∈ R , laø daïng 2-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng treân 3 R (thoâng löôïng cuûa F qua hình bình haønh taïo bôûi v1,v2) n c) Ñònh thöùc laø daïng n-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng treân R . Giaù trò det(v1, ··· ,vn) laø n theå tích coù höôùng cuûa bình haønh taïo bôûi v1, ··· ,vn ∈ R . 1.2 Khoâng gian vector Λk(V ). Kyù hieäu Λk(V ) laø taäp moïi daïng k-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng treân V . Treân taäp naøy ta ñònh nghóa 2 pheùp toaùn: (ω + γ)(v1, ··· ,vk)=ω(v1, ··· ,vk)+γ(v1, ··· ,vk) k (αω)(v1, ··· ,vk)=αω(v1, ··· ,vk) , vôùi ω, γ ∈ Λ (V ),α∈ R. Deã thaáy (Λk(V ), +, ·) laø khoâng gian vector treân R. Ví duï. a) Λ1(V ) chính laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa V , i.e. Λ1(V )=V ∗ = L(V,R). ∗ b) Cho ϕ1,ϕ2 ∈ V . Ñònh nghóa daïng 2-tuyeán tính: ϕ1 ∧ ϕ2 : V × V → R, ϕ1(v1) ϕ1(v2) (ϕ1 ∧ ϕ2)(v1,v2)=ϕ1(v1)ϕ2(v2) − ϕ2(v1)ϕ1(v2) = det ϕ2(v1) ϕ2(v2) Veà maët hình hoïc giaù trò treân chính laø dieän tích coù höôùng cuûa hình bình haønh trong R2 2 taïo bôûi ϕ(v1),ϕ(v2), trong ñoù ϕ =(ϕ1,ϕ2):V → R . ∗ 1.3 Tích ngoaïi. Cho ϕ1, ··· ,ϕk ∈ V . Tích ngoaïi cuûa caùc daïng treân laø moät k-daïng k ϕ1 ∧···∧ϕk ∈ Λ (V ), ñöôïc ñònh nghóa: ϕ1∧···∧ϕk(v1, ··· ,vk)= (σ)ϕσ(1)(v1) ···ϕσ(k)(vk)=det(ϕi(vj)),v1, ··· ,vk ∈ V, σ i.e. ϕ1 ∧···∧ϕk = (σ)ϕσ(1) ⊗···⊗ϕσ(k). σ 1 Tính chaát. Vôùi moïi ϕ1, ··· ,ϕk,ϕi ∈ Λ (V ),α,β∈ R vaø i =1, ··· ,k, (1) ϕ1 ∧···∧(αϕi +βϕi)∧···∧ϕk = αϕ1 ∧···∧ϕi ∧···∧ϕk +βϕ1 ∧···∧ϕi ∧···∧ϕk. (2) ϕσ(1) ∧···∧ϕσ(k) = (σ)ϕ1 ∧···∧ϕk, vôùi σ laø hoaùn vò. Chöùng minh: Suy töø tính chaát cuûa ñònh thöùc. 1.4 Bieåu dieãn daïng k-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng. Cho V laø moät khoâng gian vector ∗ k treân R. Giaû söû ϕ1, ··· ,ϕn laø moät cô sôû cuûa V . Khi ñoù moät cô sôû cuûa Λ (V ) laø heä {ϕ ∧···∧ϕ , ≤ i < ···<i ≤ n}. i1 ik 1 1 k Nhö vaäy moïi ω ∈ Λk(V ) coù bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng ω a ϕ ∧···∧ϕ = i1···ik i1 ik 1≤i1<···<ik≤n
- III.2 Daïng vi phaân. 33 k k n! vaø dim Λ (V )=Cn = . (n − k)!k! Chöùng minh: Goïi {ϕ1, ··· ,ϕn} laø cô sôû ñoái ngaãu cuûa {e1, ··· ,en}, i.e. ϕi(ej)=δij (delta Kronecker). k Cho ω ∈ Λ (V ). Cho v1, ··· ,vk ∈ V . Khi ñoù v ϕ v e , ··· ,v ϕ v e , 1 = i1 ( 1) i1 k = ik ( k) ik i1 ik ω v , ··· ,v ω ϕ v e , ··· , ϕ v e ( 1 k)= ( i1 ( 1) i1 ik ( k) ik ) i1 ik ϕ v ···ϕ v ω e , ··· ,e = i1 ( 1) ik ( k) ( i1 ik ) i1,··· ,ik ϕ v ···ϕ v σ ω e , ··· ,e = iσ(1) ( 1) iσ(k) ( k) ( ) ( i1 ik ) σ i1 n, Λ (V ) coù soá chieàu laø Cn =1, vaø moïi ω ∈ Λ (V ) coù bieåu dieãn ω = aϕ1 ∧···∧ϕn, vôùi a ∈ R . 2. DAÏNG VI PHAÂN 2.1 Ñònh nghóa. Cho U laø taäp môû trong Rn. Moät daïng vi phaân baäc k hay k-daïng vi phaân treân U laø moät aùnh xaï ω : U → Λk(Rn). Daïng vi phaân ω goïi laø thuoäc lôùp Cp neáu aùnh xaï treân thuoäc lôùp C p. k p k k Kyù hieäu Ωp(U) laø taäp moïi k-daïng vi phaân lôùp C treân U, vaø Ω (U)=Ω∞(U). k Deã thaáy Ωp(U) coù caáu truùc khoâng gian vector. Ví duï. Cho U ⊂ R3 vaø F : U → R3 laø moät tröôøng vector. Khi ñoù caùc daïng vi phaân sau ñöôïc duøng ñeå ñaùnh giaù thoâng löôïng cuûa F doïc theo moät ñöôøng hay qua moät maët 1 3 a) WF : U → Λ (R ),WF (x, y, z)(v)= 2 3 b) ωF : U → Λ (R ),ω(x, y, z)(v1,v2)= .
- III.2 Daïng vi phaân. 34 Cho f : U → R laø haøm lôùp Cp+1. Khi ñoù vôùi moïi x ∈ U, f (x):Rn → R laø daïng tuyeán tính. Ta ñònh nghóa vi phaân cuûa f laø 1-daïng vi phaân df : U → Λ1(Rn),x → df (x)=f (x). n Xeùt haøm toïa ñoä thöù ixi : R → R, (x1, ··· ,xn) → xi. Ta coù n dxi(x)(v)=xi(x)v = vi,v=(v1, ··· ,vn) ∈ R . Vaäy ∂f ∂f df (x)(v)=f (x)v = (x)v1 + ···+ (x)vn ∂x1 ∂xn ∂f ∂f = (x)dx1(x)(v)+···+ (x)dxn(x)(v). ∂x1 ∂xn n ∂f Hay laø df dx . = ∂x i i=1 i 1 2.2 Bieåu dieãn daïng vi phaân. Tích ngoaïi cuûa caùc 1-vi phaân ϕ1, ··· ,ϕk ∈ Ω (U): (ϕ1 ∧···∧ϕk)(x)=ϕ1(x) ∧···∧ϕk(x),x∈ U, 1 laø moät k-daïng vi phaân treân U. Do caùc 1-daïng dx1, ··· ,dxn laø moät cô sôû cuûa Ω (U), neân caùc k-daïng vi phaân treân U coù bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng ω a dx ∧···∧dx , = i1···ik i1 ik 1≤i1<···<ik≤n trong ñoù a laø caùc haøm treân U vaø thuoäc lôùp Cp neáu ω laø daïng lôùp Cp. i1···ik Ví duï. Neáu U ⊂ R3, thì ta thöôøng kyù hieäu caùc toïa ñoä laø (x, y, z). Khi ñoù Caùc 0-daïng vi phaân chính laø caùc haøm f : U → R. Caùc 1-daïng vi phaân coøn goïi laø daïng Pfaff vaø coù bieåu dieãn Pdx+ Qdy + Rdz . Caùc 2-daïng vi phaân coù bieåu dieãn Adx ∧ dy + Bdy ∧ dz + Cdz ∧ dx . Caùc 3-daïng vi phaân coù bieåu dieãn fdx∧ dy ∧ dz . Baøi taäp: Cho U ⊂ R3 vaø F : U → R3, F =(P, Q, R). Chöùng minh caùc daïng vi phaân cho ôû ví duï 2.1 coù bieåu dieãn a) WF = Pdx+ Qdy + Rdz b) ωF = Pdy∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy . 2.3 Toaùn töû ñoåi bieán. Cho U, V laø caùc taäp môû trong Rm, Rn töông öùng. Giaû söû ϕ : U → V, u =(u1, ··· ,um) → x =(ϕ1(u), ··· ,ϕn(u)) laø aùnh xaï khaû vi. Khi ñoù toaùn töû ñoåi bieán ϕ∗ :Ωk(V ) → Ωk(U),ω → ϕ∗ω ñöôïc ñònh nghóa nhö sau ω a x dx ∧···∧dx , = i1···ik ( ) i1 ik 1≤i1<