Giáo trình Kỹ thuật thông tin số - Chương 2: Tín hiệu và phân tích tín hiệu

Nội dung text: Giáo trình Kỹ thuật thông tin số - Chương 2: Tín hiệu và phân tích tín hiệu

1. - Chæång II- 9/15/2 Chæång 2 Tên hiãûu vaì phán têch tên hiãûu Nhæ âaî giåïi thiãûu trong chæång træåïc, chæång naìy chuïng ta seî tçm hiãøu nhæîng neït chênh vãö tên hiãûu vaì phæång phaïp phán têch tên hiãûu. Tên hiãûu (signal) laì biãøu diãùn váût lyï cuía tin tæïc. Trong hãû thäúng truyãön tin, tên hiãûu nháûn âæåüc thæåìng bao gäöm pháön chæïa tin tæïc mong muäún vaì pháön khäng mong muäún thãm vaìo. Pháön mong muäún goüi laì tên hiãûu coï êch, pháön khäng mong muäún goüi laì nhiãùu (noise). Trong chæång naìy giaí sæí tên hiãûu vaì nhiãùu âæåüc cäüng vaìo nhau åí bãn thu vaì goüi chung laì tên hiãûu. Trong thæûc tãú coï thãø nhiãùu taïc âäüüng vaìo tên hiãûu bàòng caïch nhán vê duû nhæ fading. Chæång naìy âæa ra caïc cäng cuû toaïn hoüc âãø biãøu diãnù tên hiãûu, trãn cå såí biãøu diãùn naìy tiãún haình phán têch tên hiãûu âãø ruït ra caïc âàûc træng thêch håüp cho tên hiãûu tuìy theo caïc khêa caûnh æïng duûng kyî thuáût khaïc nhau cuía noï. Chæång naìy táûp trung giåïi thiãûu phæång phaïp phán têch thåìi gian, phán têch phäø (spectral analysis) va ì phán têch tæång quan (correlation analysis). Phán têch thåìi gian âæåüc hiãøu theo nghéa biãøu diãùn tên hiãûu trong miãön thåìi gian vaì trãn cå såí âoï, tçm ra caïc âaûi læåüng âàûc træng cuía tên hiãûu nhæ nàng læåüng, cäng suáút, trë trung bçnh Phán têch phäø liãn quan âãún viãûc mä taí tên hiãûu trong miãön táön säú vaì mäúi liãn quan giæîa mä taí trong miãön táön säú vaì miãön thåìi gian. Phán têch tæång quan åí cuäúi chæång daình âãø phán têch tên hiãûu ngáùu nhiãn. Tên hiãûu trong thäng tin chênh laì loaûi tên hiãûu ngáùu nhiãn nay.ì 2.1 Giåïi thiãûu 2.1.1 Âënh nghéa tên hiãûu Tên hiãûu âæåüc âënh nghéa nhæ laì biãøu diãùn váût lyï cuía tin tæïc. Âoï laì mäüt âaûi læåüng váût lyï biãún thiãn theo thåìi gian, khäng gian hay caïc biãún âäüc láûp khaïc. Vãö màût toaïn hoüc, coï thãø xem tên hiãûu laì haìm theomäüt hoàûc nhiãöu biãún âäüc láûp. Vê duû nhæ, haìm x(t) = 5t mä taí tên hiãûu thay âäøi tuyãún tênh theo biãún thåìi gian t. Hay haìm 2 s(x,y) = 3x + 2xy +10y mä taí tên hiãûu theo hai biãún âäüc láûp x vaì y biãøu diãùn cho hai biãún khäng gian trong mäüt màût phàóng. Mäüt vê duû khaïc, tên hiãûu tiãúng noïi laì sæû thay âäøi aïp suáút khäng khê theo thåìi gian. Nhæng ta khäng thãø biãøu diãùn tên hiãûu tiãúng noïi laì mäüt haìm theo thåìi gian maì täøng quaït, ta chè coï thãø biãøu diãùn mäüt âoaûn (segment) tiãúng noïi nhæ laì täøng cuía nhiãöu haìm sin khaïc biãn âäü, táön säú vaì pha nhæ sau: - 17 -
2. - Chæång II- 9/15/2 N A (t)sin[2πF (t)t + θ (t)] ∑ i i i i=1 Hçnh 2.1 laì mäüt vê duû vãö daûng soïng tên hiãûu tiãúng noïi - tæì tiãúng Anh "away" Hçnh 2.1 Daûng soïng cuía tæì "away" 2.1.2 Phán loaûi tên hiãûu Coï nhiãöu caïch khaïc nhau âãø phán loaûi tên hiãûu. Trong mäüt vaìi æïng duûng, tên hiãûu coï thãø âæåüc taûo ra tæì nhiãöu nguäön hoàûc tæì nhiãöu bäü caím biãún. Nhæîng tên hiãûu nhæ váûy âæåüc goüi laì tên hiãûu âa kãnh (multichannel signals). Vê duû nhæ, tên hiãûu âiãûn tám âäö (ECG) 3 kãnh hoàûc 12 kãnh. Xeït säú biãún âäüc láûp, ta tháúy coï nhæîng tên hiãûu laì haìm theo mäüt biãún âån, goüi laì tên hiãûu mäüt hæåïng (one-dimensional signals), coï nhæîng tên hiãûu laì haìm theo M biãún (M > 1), goüi laì tên hiãûu M-hæåïng (M-dimensional signals). Vê duû nhæ, tên hiãûu aính ténh laì tên hiãûu 2 hæåïng vç aính laì hamì âäü saïng theo hai biãún khäng gian. Xeït giaï trë cuía haìm, coï thãø giaï trë âoï laì mäüt giaï trë thæûc hay phæïc. Do âoï ta coï thãø phán loaûi tên hiãûu thaình tên hiãûu thæûc hay phæïc. Trong män hoüc naìy, ta chè xeït tên hiãûu thæûc, mäüt kãnh, mäüt hæåïng, biãún laì biãún thåìi gian. Ta kyï hiãûu tên hiãûu naìy laì s(t) hay x(t). Âãø coï thãø phán têch tên hiãûu, yãu cáöu ta phaíi mä taí âæåüc tên hiãûu bàòng mäüt mä hçnh toaïn hoüc naìo âoï. Coï nhæîng tên hiãûu coï thãø xaïc âënh duy nháút bàòng mäüt mä hçnh toaïn hoüc quen thuäüc nhæ laì baíng biãøu, âäö thë Loaûi tên hiãûu naìy âæåüc goüi laì tên hiãûu xaïc âënh hay táút âënh (deterministic signals). Loaûi tên hiãûu nayì âæåüc duìng âãø nháún maûnh ràòng ta coï thãø biãút roî táút caí caïc giaï trë cuía tên hiãûu trong quaï khæï, hiãûn taûi vaì tæång lai. Tuy nhiãn, thæûc tãú coï nhiãöu tên hiãûu maì ta khäng thãø mä taí chênh xaïc âæåüc. Do âoï khäng thãø duìng mä hçnh toaïn hoüc quen thuäüc âãø biãøu diãùn tên hiãûu. Ta khäng thãø dæû âoaïn âæåüc haình vi cuía loaûi tên hiãûu naìy. Ta goüi âáy laì tên hiãûu ngáùu nhiãn (random signals). Âãø biãøu diãùn loaûi tên hiãûu naìy, ta phaíi dæûa vaìo caïc quan saït thäúng kã. Vê duû tên hiãûu tiãúng noïi, tên hiãûu nhiãùu laì nhæîng tên hiãûu ngáùu nhiãn. - 18 -
3. - Chæång II- 9/15/2 2.2 Biãøu diãùn tên hiãûu xaïc âënh theo thåìi gian 2.2.1 Tên hiãûu váût lyï vaì tên hiãûu toaïn hoüc Tên hiãûu váût lyï (physical signals) laì tên hiãûu coï thãø thæûc hiãûn âæåüc vãö màût váût lyï (physically realizable). Tên hiãûu váût lyï phaíi thoaí maîn caïc yãu cáöu sau: - Coï giaï trë hæîu haûn, xaïc âënh trong mäüt khoaíng thåìi gian hæîu haûn - Coï phäø hæîu haûn, xaïc âënh trong mäüt daíi táön säú hæîu haûn - Laì haìm liãn tuûc theo thåìi gian - Laì haìm thæûc - Coï tênh nhán quaí, nghéa laì biãn âäü s bàòng 0 våïi thåìi gian t < 0. Ngæåüc våïi tên hiãûu váût lyï laì tên hiãûu toaïn hoüc (mathematical signals). Âoï laì tên hiãûu chè coï yï nghéa lyï thuyãút vaì hoaìn toaìn khäng thãø thæûc hiãûn âæåüc vãö màût váût lyï. Hçnh 2.2 âæa ra mäüt vê duû vãö hai loaûi tên hiãûu xung vuäng váût lyï vaì toaïn hoüc. (a) t (b) t Hçnh 2.2 Tên hiãûu xung vuäng váût lyï vaì toaïn hoüc (a) Xung vuäng toaïn hoüc - (b) Xung vuäng váût lyï 2.2.2 Phán loaûi tên hiãûu dæûa theo daûng Goüi kyï hiãûu biãøu diãùn tên hiãûu laì s(t), åí âáy s laì biãn âäü vaì t laì thåìi gian. Dæûa theo biãn âäü vaì thåìi gian, ta coï thãø phán tên hiãûu thaình 4 loaûi: Tên hiãûu liãn tuûc (continuous-time signals) hay tên hiãûu tæång tæû (analog signals) laì tên hiãûu coï giaï trë xaïc âënh taûi moüi thåìi âiãøm tæì khi tên hiãûu sinh ra âãún khi kãút thuïc, nghéa laì caí biãn âä ü vaì thåìi gian âãöu liãn tuûc. Tên hiãûu råìi raûc (discrete-time signals) laì tên hiãûu chè xaïc âënh taûi caïc giaï trë naìo âoï cuía thåìi gian. Tên hiãûu naìy coï biãn âäü liãn tuûc vaì thåìi gian råìi raûc. Khoaíng caïch giæîa caïc thåìi âiãøm råìi raûc khäng nháút thiãút phaíi bàòng nhau, nhæng trong thæûc tãú thæåìng khoaíng caïch naìy âæåüc láúy bàòng nhau. Coï thãø taûo ra tên hiãûu råìi raûc bàòng hai caïch. Mäüt laìì láúy máùu tên hiãûu liãn tuûc, âáy laì caïch thäng thæåìng âãø chuyãøn tên hiãûu tæì liãn tuûc thaình råìi raûc. Hai laì âo (âãúm) mäüt âaûi - 19 -
4. - Chæång II- 9/15/2 læåüng naìo âoï theo mäüt chu kyì nháút âënh, vê duû nhæ cán em beï theo tæìng thaïng, âo aïp suáút khäng khê theo giåì Tên hiãûu læåüng tæí hoïa (quantization signals) laì tên hiãûu chè coï táûp hæîu haûn säú mæïc biãn âäü, nghéa laì biãn âäü råìi raûc vaì thåìi gian liãn tuûc. Vê duû nhæ tên hiãûu ra cuía bäü giæî máùu báûc khäng ZOH. Tên hiãûu säú (digital signals) laì tên hiãûu råìi raûc coï biãn âäü âæåüc råìi raûc hoïa, nghéa laì caí biãn âäü vaì thåìi gian âãöu råìi raûc. Hçnh 2.3 laì âäö thë cuía 4 loaûi tên hiãûu trãn. • • (a) (b) • • (c) (d) Hçnh 2.3 Âäö thë bäún loaûi tên hiãûu (a) Liãn tuûc - (b) Råìi raûc - (c) Læåüng tæí hoïa - (d) Säú 2.2.3 Caïc tên hiãuû toaïn hoüc cå baín - Tên hiãûu (delta) Dirac laì tên hiãûu âæåüc âënh nghéa båíi: ∞ ∫s(t)δ(t)dt = s(0) −∞ våïi s(t) laì haìm liãn tuûc taûi t = 0. Ngoaìi ra coìn coï âënh nghéa khaïc cho tên hiãûu Dirac laì: ∞ ∫ δ(t)dt = 1 −∞ - 20 -
5. - Chæång II- 9/15/2 vaì ⎧∞, t = 0 δ(t) = ⎨ ⎩0, t ≠ 0 Âäö thë cuía tên hiãûu Dirac nhæ hçnh 2.4. 1 0 Hçnh 2.4 Tên hiãûu Dirac Tên hiãûu Dirac âæåüc chæïng minh laì coï mäüt säú tênh cháút cuía nhæ: ∞ s(t)δ(t − t )dt = s(t ) ∫ 0 0 −∞ ∞ s(t + t )δ(t)dt = s(t ) ∫ 0 0 −∞ Aδ(−t) = Aδ(t) Aδ(t) = 0 , khi t ≠ 0 Aδ(t − t ) + Bδ(t − t ) = (A + B)δ(t − t ) 0 0 0 Våïi y(t) liãn tuûc taûi t ta coï: y(t)[Aδ(t − t )] = Ay(t )δ(t − t ) 0 0 0 0 ∞ , ± j2π tt , δ(t) = ∫ e dt −∞ -Tên hiãûu bæåïc nhaíy âån vë (unit step) laì tên hiãûu: ⎧1, t > 0 u(t) = ⎨ ⎩0, t < 0 Tæì âënh nghéa coï thãø suy ra mäúi quan hãû giæîa tên hiãûu Dirac vaì tên hiãûu bæåïc nhaíy âån vë nhæ sau: t ∫ δ(λ)dλ = u(t) −∞ vaì du(t) = δ(t) dt - 21 -
6. - Chæång II- 9/15/2 Âäö thë cuía tên hiãûu bæåïc nhaíy âån vë nhæ hçnh 2.5. 1 0 Hçnh 2.5 Tên hiãûu bæåïc nhaíy âån vë - Tên hiãûu chæî nháût (rectangular) laì tên hiãûu: t ⎪⎧1, t ≤ T / 2 Π( ) = ⎨ T ⎩⎪0, t > T / 2 Âäö thë cuía tên hiãûu chæî nháût nhæ hçnh 2.6. 1 -T/2 0 T/2 Hçnh 2.6 Tên hiãûu chæî nháût Mäúi quan hãû giæîa tên hiãûu chæî nháût vaì tên hiãûu bæåïc nhaíy âån vë nhæ sau: ⎛ t ⎞ ∏⎜ ⎟ = u(t + T / 2) − u(t − T / 2) ⎝ T ⎠ - Tên hiãûu tam giaïc (triangular) laì tên hiãûu: ⎧ t t ⎪1− , t ≤ T Λ( ) = ⎨ T T ⎪ ⎩0, t > T Âäö thë cuía tên hiãûu tam giaïc nhæ hçnh 2.7. 1 -T 0 T Hçnh 2.7 Tên hiãûu tam giaïc - 22 -
7. - Chæång II- 9/15/2 - Tên hiãûu däúc âån vë (unit ramp) laì tên hiãûu: ⎧t , t > 0 r(t) = ⎨ ⎩0 , t t x(t) = ⎨ 1 (a coï thãø laì säú thæûc hay phæïc) 0 , t < t ⎩⎪ 1 Âäö thë cuía tên hiãûu haìm muî våïi a thæûc vaì 0 < a < 1 nhæ hçnh 2.9. 0 Hçnh 2.9 Tên hiãûu haìm muî thæûc giaím - Tên hiãûu sin (tên hiãûu âiãöu hoìa) laì tên hiãûu: 2π 2π π x(t) = Acos( t + θ) = Acos(2πf t + θ) = Asin( t + θ + ) T 0 T 2 0 0 ÅÍ âáy A laì biãn âäü, f0 = 1 / T0 laì táön säú chè säú láön làûp laûi tên hiãûu trong 1 âån vë thåìi gian, θ laì pha chè sai khaïc vãö goïc giæîa tên hiãûu x(t) vaì tên hiãûu tham chiãúu coï pha laì 0. Âäö thë cuía tên hiãûu sin nhæ hçnh 2.10. A 0 - A Hçnh 2.10 Tên hiãûu sin - 23 -
8. - Chæång II- 9/15/2 Táûp caïc tên hiãûu sin coï chung táön säú âæåüc mä taí båíi táön säú âoï vaì biãn âäü vaì pha cuía mäùi tên hiãûu. Ta coï thãø biãøu diãùn biãn âäü vaì pha cuía mäùi tên hiãûu dæåïi daûng phæïc goüi laì phasor. jβ Sæí duûng cäng thæïc Euler, ta coï e = cosβ + jsinβ . Váûy ta coï thãø viãút laûi biãøu thæïc cuía tên hiãûu sin nhæ sau: j(2πf t+θ) j2πf t j2πf t 0 jθ 0 0 x(t) = Re[Ae ] ≡ Re[x (t)] ⇒ x (t) = [Ae ]e ≡ Xe p p åí âáy X laì säú phæïc, biãn âäü vaì pha cuía X laì biãn âäü vaì pha cuía tên hiãûu sin. Do âoï ta noïi X âàûc træng cho tên hiãûu sin ngoaûi træì táön säú. Ta noïi X laì biãøu diãùn phasor cuía tên hiãûu sin: jθ X = Ae 2.2.4 Caïc âaûi læåüng âàûc træng cuía tên hiãûu -Âäü daìi laì thåìi gian täön taûi cuía tên hiãûu tæì luïc bàõt âáöu xuáút hiãûn tên hiãûu cho âãún khi kãút thuïc. Thäng säú naìy qui âënh khoaíng thåìi gian báûn cuía hãû thäúng truyãön tin trong viãûc truyãön âi tin tæïc chæïa trong tên hiãûu. -Trë trung bçnh (time average) cuía mäüt tên hiãûu âæåüc tênh theo cäng thæïc: 1 T / 2 s(t) = lim s(t)dt T→∞ ∫ T −T / 2 Âënh nghéa tên hiãûu tuáön hoaìn våïi chu kyì T laì tên hiãûu thoaí maîn s(t) = s(t + T ) ∀t . Nhæ O 0 váûy tên hiãûu váût lyï khäng tháût sæû laì tên hiãûu tuáön hoaìn. Nãúu tên hiãûu tuáön hoaìn thç trë trung bçnh âæåüc tênh nhæ sau: 1 T / 2+a s(t) = ∫s(t)dt T −T / 2+a 0 0 våïi a laì hàòng säú tuìy yï coï thãø bàòng 0. Nãúu tên hiãûu váût lyï thç trë trung bçnh âæåüc tênh nhæ sau: t 1 2 s(t) = ∫s(t)dt t − t t 2 1 1 våïi t2 - t1 = T laì âäü daìi cuía tên hiãûu. -Thaình pháön mäüt chiãöu cuía tên hiãûu DC laì thaình pháön khäng âäøi theo thåìi gian. Täøng quaït mäüt tên hiãûu coï thãø âæåüc phán têch thaình täøng cuía hai thaình pháön laì thaình pháön mäüt chiãöu vaì thaình pháön khäng âäøi theo thåìi gian coï trë trung bçnh bàòng 0 goüi laì thaình pháön xoay chiãöu. Tæì âáy coï thãø dãù daìng suy ra thaình pháön mäüt chiãöu chênh laì trë trung bçnh cuía tên hiãûu. - Nàng læåüng chuáøn hoaï (normalized energy) cuía tên hiãûu âæåüc tênh theo: - 24 -
9. - Chæång II- 9/15/2 T / 2 2 E = lim s (t)dt T→∞ ∫ −T / 2 Âënh nghéa tên hiãûu nàng læåüng laì tên hiãûu coï nàng læåüng hæîu haûn khaïc 0. - Cäng suáút chuáøn hoaï trung bçnh (average normalized power) cuía tên hiãûu âæåüc tênh theo: T / 2 2 1 2 P = s (t) = lim s (t)dt T→∞ ∫ T −T / 2 Âënh nghéa tên hiãûu cäng suáút laì tên hiãûu coï cäng suáút hæîu haûn khaïc 0 vaì coï nàng læåüng vä haûn. Tæì âáy ta tháúy khäng coï tên hiãûu naìo væìa laì tên hiãûu nàng læåüng laûi væìa laì tên hiãûu cäng suáút - Trë hiãûu duûng rms (root mean square) cuía tên hiãûu âæåüc âënh nghéa laì càn báûc hai cuía cäng suáút chuáøn hoaï trung bçnh. 2.3 Chuäùi Fourier - Phäø cuía tên hiãûu tuáön hoaìn Tên hiãûu s(t) nàng læåüng hæîu haûn tuáön hoaìn våïi chu kyì TO coï thãø âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng täøng vä haûn cuía caïc tên hiãûu sin. Täøng naìy goüi laì chuäùi Fourier (Fourier series), coï thãø âæåüc viãút dæåïi nhiãöu daûng khaïc nhau. Mäüt trong caïc daûng âoï laì: ∞ 2πnt ∞ 2πnt s(t) = A + a cos + b sin 0 ∑ n ∑ n n=1 T n=1 T 0 0 Hàòng säú AO laì trë trung bçnh cuía s(t), âæåüc tênh båíi: 1 T / 2 A = s(t)dt 0 ∫ T −T / 2 0 0 Caïc hãû säú an vaì bn âæåüc tênh båíi: 2 T / 2 2πnt a = s(t)cos dt n T ∫ T 0 −T / 2 0 0 2 T / 2 2πnt b = s(t)sin dt n ∫ T −T / 2 T 0 0 0 Mäüt daûng khaïc cuía chuäùi Fourier laì: ∞ ⎛ 2πnt ⎞ s(t) = C + C cos⎜ + Φ ⎟ 0 ∑ n n n=1 ⎜ T ⎟ ⎝ 0 ⎠ ÅÍ âáy CO , Cn vaì φn liãn quan våïi an , bn vaì AO theo cäng thæïc - 25 -
10. - Chæång II- 9/15/2 C = A 0 0 2 2 C = a + b n n n b Φ = −arctg n n a n Váûy chuäùi Fourier cuía mäüt haìm tuáön hoaìn laì täøng caïc haìi cuía táön säú cå baín fO = 1/TO .Hãû säú Cn goüi laì biãn âäü cuía thaình pháön phäø (spectral component) Cn cos (2π n fOt + φn) taûi táön säú nfO . Hçnh 2.11a chè ra phäø biãn âäü âiãøn hçnh (amplitude spectrum) Cn cuía tên hiãûu tuáön hoaìn. Phäø naìy coï daûng råìi raûc nãn coìn âæåüc goüi laì phäø vaûch (line spectrum). Chuäùi Fourier coìn coï thãø âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng haìm muî (exponential form) nhæ sau: ∞ j2π nt / T 0 s(t) = A e ∑ n n=−∞ åí âáy T / 2 0 − j2π nt / T 1 0 A = s(t)e dt n ∫ T −T / 2 0 0 Hãû säú An laì hãû säú phæïc, liãn hãû våïi Cn theo cäng thæïc : A = C 0 0 C jΦ A = n e n n 2 Caïc hãû säú An laì biãn âäü cuía thaình pháön phäø . Hçnh 2.11b chè ra phäø biãn âäü An . Âãø yï tháúy ràòng caïc vaûch phäø taûi hçnh 2.11a taûi táön säú fo âæåüc thay bàòng 2 vaûch phäø hçnh 2.11b våïi biãn âäü mäùi vaûch giaím âi mäüt næía, mäüt vaûch åí táön säú fO vaì vaûch kia åí táön säú -fO . Phäø biãn âäü hçnh 2.11a goüi laì phäø mäüt phêa (single - sided spectrum) coìn phäø biãn âäü hçnh 2.11b goüi laì phäø hai phêa (two - sided spectrum). Sæí duûng phäø hai phêa thuáûn tiãûn hån trong tênh toaïn, do âoïì sau naìy chuïng ta seî sæí duûng phäø hai phêa. Vãö màût lyï thuyãút säú vaûch phäø cuía s(t) laì vä haûn, nghéa laì phäø âæåüc phán bäú trãn suäút thang táön säú. Tuy nhiãn nãúu tênh toaïn cuû thãø seî tháúy våïi háöu hãút tên hiãûu thç khi n tàng âãún mäüt giaï trë âuí låïn naìo âoï, biãn âäü Cn seî giaím khaï nhanh vaì coï thãø boí qua. Do âoï thæûc tãú coï thãø xem nhæ phäø chè phán bäú trãn mäüt khoaíng táön säú hæîu haûn. Âënh nghéa khoaíng maì phäø chiãúm trãn thang táön säú goüi laì bãö räüng phäø (spectral bandwidth) cuía tên hiãûu. Caïch xaïc âënh bãö räüng phäø nhæ sau: goüi B laì bãö räüng phäø, B âæûoc tênh laì sai khaïc giæîa hai táön säú dæång låïn nháút vaì nhoí nháút maì trong khoaíng âoï - 26 -
11. - Chæång II- 9/15/2 S(f ) ≥ a S(f ) max Hãû säú a âæåüc choün laì hàòng säú dæång tuyì æïng duûng. Thæåìng choün a =1/ 2 = 0.707 . Ta nháûn tháúy tên hiãûu sin biãn âäü A coï cäng suáút trung bçnh laì A2 / 2 vaì tên hiãûu sin biãn âäü A / 2 coï cäng suáút trung bçnh bàòng mäüt næía laì A2 / 4. Ta biãút tyí säú cäng suáút laì 1/2 = -3 dB Do âoï bàng thäng våïi a =1/ 2 = 0.707 coìn âæåüc goüi laì bàng thäng - 3 dB. Hçnh 2.12 laì mäüt vê duû vãö xaïc âënh bàng thäng cuía tên hiãûu. C n (a) 0/T0 1/T0 2/T0 3/T0 . . . n/T0 A n (b) . . . -3/T0 -2/T0 -1/T0 0 1/T0 2/T0 3/T0 . . . n/T0 Hçnh 2.11 (a) Phäø biãn âäü mäüt phêa cuía tên hiãûu tuáön hoaìn. (b) Phäø biãn âäü hai phêa tæång æïng a A n max 0 n/T0 B Hçnh 2.12 Vê duû xaïc âënh bàng thäng tên hiãûu 2.4 Pheïp biãún âäøi Fourier - Phäø cuía tên hiãûu khäng tuáön hoaìn 2.4.1 Càûp biãún âäøi Fourier thuáûn vaì ngæåüc - 27 -
12. - Chæång II- 9/15/2 Xeït tên hiãûu s(t) khäng tuáön hoaìn. Âãø aïp duûng caïc cäng thæïc trong pháön træåïc ta xem tên hiãûu khäng tuáön hoaìn laì tên hiãûu tuáön hoaìn coï chu kyì låïn vä cuìng TO → ∞ . Nhæ ta âaî tháúy, tên hiãûu tuáön hoaìn laì täøng cuía caïc vaûch phäø. Caïc vaûch phäø naìy coï biãn âäü hæîu haûn vaì phán caïch nhau båíi khoaíng táön säú hæîu haûn fO = 1/TO . Khi TO → ∞ thç khoaíng caïch giæîa caïc vaûch phäø tråí nãn vä cuìng beï 1/TO → df. Biãún táön säú tæì khäng liãn tuûc tråí nãn liãn tuûc n /TO → f. Hãû säú Fourier An tråí thaình: T / 2 ∞ 0 − j2π nt / T 1 0 ⎡ − j2π f t ⎤ A(f ) = lim A = lim s(t)e dt = ⎢ s(t)e dt⎥df T →∞ n T →∞ ∫ ∫ 0 0 T −T / 2 −∞ 0 0 ⎣⎢ ⎦⎥ Nãúu têch phán trong dáúu moïc vuäng häüi tuû thç A(f) laì mäüt vä cuìng beï. Âàût: ∞ − j2 π f t S(f ) = ∫s(t)e dt −∞ S(f) âæåüc goüi laì máût âäü phäø (spectral density) hay phäø hay laì biãún âäøi Fourier (Fourier Transform) cuía tên hiãûu s(t). Cuîng láúy giåïi haûn nhæ trãn, ta coï thãø tênh ngæåüc s(t) tæì S(f) nhæ sau: ∞ ∞ j2π nt / T 0 j2 π f t s(t) = lim A e = S(f )e df T →∞ ∑ n ∫ 0 n=−∞ −∞ Caïc cäng thæïc S(f) vaì s(t) håüp thaình càûp biãún âäøi Fourier cuía tên hiãûu khäng tuáön hoaìn s(t). S(f) laì biãún âäøi thuáûn, s(t) laì biãún âäøi ngæåüc. Càûp biãún âäøi Fourier chè roî, vãö màût váût lyï, coï thãø xem tên hiãûu s(t) laì täøng cuía vä säú dao âäüng âiãöu hoaì coï táön säú biãún thiãn liãn tuûc trãn suäút truûc táön säú våïi biãn âäü vä cuìng beï phán bäú trãn truûc táön säú theo máût âäü S(f). 2.4.2 Máût âäü phäø cuía tên hiãûu tuáön hoaìn Vç tên hiãûu tuáön hoaìn chàóng qua chè laì mäüt træåìng håüp âàûc biãût cuía tên hiãûu khäng tuáön hoaìn nãn täøng quaït, ta coï thãø gaïn caí khaïi niãûm máût âäü phäø cho tên hiãuû tuáön hoaìn. Do âàûc âiãøm cuía phäø vaûch nãn máût âäü phäø cuía tên hiãûu tuáön hoaìn phaíi coï tênh cháút: låïn vä cuìng åí caïc vaûch phäø vaì triãût tiãu åí ngoaìi caïc vaûch âoï. Váûy coï thã ø duìng tên hiãûu Dirac âãø biãøu diãùn máût âäü phäø cuía tên hiãûu tuáön hoaìn. Láúy biãún âäøi Fourier cho caí hai vãú cuía cäng thæïc chuäùi Fourier daûng haìm muî, aïp duûng tênh cháút cuía tên hiãûu Dirac ta âæåüc máût âäü phäø cuía tên hiãûu tuáön hoaìn ST (f) nhæ sau: ∞ ∞ j2πn f t ⎛ 0 ⎞ − j2π f t S (f ) = ⎜ A e ⎟e dt T ∫ ⎜ ∑ n ⎟ −∞ ⎝ n=−∞ ⎠ ∞ ∞ − j2 π(f −n f )t 0 = A e dt ∑ n ∫ n=−∞ −∞ - 28 -
13. - Chæång II- 9/15/2 ∞ = A δ(f − nf ) ∑ n 0 n=−∞ 2.4.3 Phäø biãn âäü vaì phäø pha Täøng quaït phäø S(f) laì mäüt haìm phæïc theo biãún f. Do âoï ta coï thãø biãøu diãùn S(f) dæåïi daûng sau: jϕ(f ) S(f ) = Re[S(f )]+ jIm[S(f )] = S(f ) e Trong âoï: 2 2 S(f ) = Re [S(f )] + Im [S(f )] goüi laì phäø biãn âäü (amplitude spetrum), âån vë cuía phäø biãn âäülaì A/Hz hay V/Hz Im[S(f )] vaì ϕ(f ) = arctg goüi laì phäø pha (phase spectrum), âån vë cuía phäø pha laì radian Re[S(f )] hay âäü. Hçnh 2.13 laì phäø biãn âäü vaì phäø pha cuía tên hiãûu chæî nháût. Hçnh 2.13 Phäø biãn âäü vaì phäø pha cuía tên hiãûu chæî nháût 2.4.4 Âënh lyï Parseval vaì máût âäü phäø nàng læåüng Âënh lyï Parseval phaït biãøu nhæ sau: ∞ ∞ ∗ ∗ s (t)s (t)dt = S (f )S (f )df ∫∫1 2 1 2 −∞ −∞ Nãúu s (t) = s (t) = s(t) thç: 1 2 ∞ ∞ 2 2 E = ∫∫s(t) dt = S(f ) df −∞ −∞ Âáy cuîng chênh laì näüi dung cuía âënh lyï nàng læåüng Rayleigh. Chæïng minh: Biãún âäøi vãú traïi, aïp duûng cäng thæïc biãún âäøi Fourier ngæåüc, ta âæåüc: - 29 -
14. - Chæång II- 9/15/2 ∞ ∞ ⎡ j2 πf t ⎤ • Vãú traïi = S (f )e df s (t)dt ∫∫⎢ 1 ⎥ 2 −∞⎣⎢−∞ ⎦⎥ Giaí sæí caïc têch phán naìy âãöu häüi tuû tuyãût âäúi, theo âënh lyï Fubini ta coï thãø thay âäøi thæï tæû láúy têch phán vaì âæåüc nhæ sau: ∞ ∞ ∗ ⎡ − j2 π f t ⎤ Vãú traïi = S (f ) s (t)e dt df ∫∫1 ⎢ 2 ⎥ −∞ ⎣⎢−∞ ⎦⎥ ∞ ∗ = S (f )S (f )df ∫ 1 2 −∞ Âënh nghéa máût âäü phäø nàng læåüng ESD (Energy Spectral Density) cuía tên hiãûu nàng læåüng laì: E(f ) = S(f ) 2 Âån vë cuía E (f) laì joule trãn hertz (J/Hz). Sæí duûng âënh lyï Parseval coï thãø biãøu diãùn nàng læåüng chuáøn hoaï theo ESD nhæ sau: ∞ E = ∫ E (f)df −∞ 2.4.5 Máût âäü phäø cäng suáút Máût âäü phäø cäng suáút PSD (Power Spectral Density) laì haìm nãu lãn mäúi liãn quan giæîa cäng suáút chuáøn hoaï cuía tên hiãûu vaì mä taí tên hiãûu trong miãön táön säú. PSD âæåüc âënh nghéa theo caïch tæång tæû nhæ ESD. PSD hiãûu quaí hån ESD vç loaûi tên hiãûu cäng suáút âæåüc sæí duûng räüng raîi trong viãûc nghiãn cæïu caïc hãû thäúng truyãön tin. Træåïc hãút âënh nghéa haìm càõt goüt (truncated version) cuía mäüt tên hiãûu laì: ⎧s(t), − T / 2 < t < T / 2 ⎛ t ⎞ s (t) = ⎨ = s(t)Π⎜ ⎟ T ⎩0, t ≠ ⎝ T ⎠ Cäng suáút chuáøn hoaï trung bçnh tênh theo haìm càõt goüt laì: T / 2 ∞ 1 2 1 2 P = lim s (t)dt = lim s (t)dt T→∞ ∫∫T→∞ T T −T / 2 T −∞ Sæí duûng âënh lyï Parseval thç cäng suáút trãn tråí thaình: - 30 -
15. - Chæång II- 9/15/2 2 ∞ ∞ ⎛ ⎞ 1 2 ⎜ S (f ) ⎟ P = lim S (f ) df = lim T df T→∞ ∫ T ∫⎜ T→∞ ⎟ T −∞ −∞⎜ T ⎟ ⎝ ⎠ ÅÍ âáy ST (f) laì biãún âäøi Fourier cuía sT(t). Têch phán bãn vãú phaíi goüi laì PSD. Váûy âënh nghéa máût âäü phäø cäng suáút PSD cuía tên hiãûu cäng suáút laì: 2 ⎛ S (f ) ⎞ ⎜ T ⎟ P (f) = lim⎜ ⎟ T→∞⎜ T ⎟ ⎝ ⎠ Âån vë cuía PSD laì W/Hz hay V2 /Hz hay A2 /Hz. Læu yï ràòng PSD laì mäüt haìm thæûc khäng ám theo táön säú. Tæì âáy coï thãø biãøu diãùn cäng suáút chuáøn hoaï trung bçnh theo PSD nhæ sau: ∞ P = ∫ P (f) df −∞ 2.4.6 Caïc tênh cháút cuía phäø Baíng 2.1 nãu caïc tênh cháút cuía phäø. Pháön chæïng minh cho caïc tênh cháút naìy coi nhæ laì baìi táûp vãö nhaì. 2.5 Tên hiãûu ngáùu nhiãn ( quaï trçnh ngáùu nhiãn ) Âäúi våïi thäng tin, quan niãûm xaïc âënh vãö tên hiãûu chè coï thãø cháúp nháûn âæåüc vãö màût lyï thuyãút chæï khäng phuì håüp våïi thæûc tãú. Vç nãúu chuïng ta xem tên hiãûu laì biãøt træåïc thç vãö màût yï nghéa tin tæïc maì noïi, viãûc truyãön tên hiãûu laì khäng cáön thiãút. Hån næîa nhiãùu taïc âäüng vaìo hãû thäúng truyãön tin cuîng khäng thãø biãút træåïc. Tuy nhiãn nãúu chuïng ta hoaìn toaìn khäng biãút gç vãö tên hiãûu hay nhiãùu thç cuîng khäng coï cå såí gç âãø phán biãtû tên hiãûu coï êch våïi nhiãùu, vaì do âoï seî khäng thãø thu âæåüc tên hiãûu. Âãø thu âæåüc tên hiãûu thäng tin ta phaíi biãút âæåüc caïc âàûc tênh thäúng kã cuía noï vaì diãùn taí trãn cå såí lyï thuyãút xaïc suáút. Ta goüi caïc tên hiãûu xeït theo quan âiãøm thäúng kã naìy laì tên hiãûu ngáùu nhiãn hay coìn goüi laì quaï trçnh ngáùu nhiãn (random processes). 2.5.1 Âënh nghéa vaì phán loaûi quaï trçnh ngáùu nhiãn Âãø coï mäüt khaïi niãûm vãö quaï trçnh ngáùu nhiãn, træåïc hãút ta xeït mäüt vê duû cuû thãø. Theo doîi caïc daûng soïng âiãûn aïp phaït ra tæì cuìng mäüt nguäön nhiãùu hçnh 2.14, ta tháúy caïc daûng soïng âoï khäng giäúng nhau, âoï coï thãø laìξ (t),ξ (t), ,ξ (t) . Táûp táút caí caïc âæåìng cong ξ (t) goüi 1 2 i { i } laì táûp håüp (ensemble) vaì táûp håüp âoï âæåüc goüi laì quaï trçnh ngáùu nhiãn ξ(t) mä taí nhiãùu. Khi quan saït caïc daûng soïng âiãûn aïp phaït ra tæì cuìng mäüt nguäön nhiãùu, viãûc ta nháûn âæåüc mäüt âæåìng cong naìo trong táûp håüp âoï laì mäüt sæû kiãûn (event) ngáùu nhiãn khäng thãø dæû âoaïn âæåüc. Mäüt âæåìng congξ (t) goüi laì mäüt thãø hiãûn (sample function), caïc thãø hiãûn naìy tuy khaïc nhau i nhæng xeït theo quan âiãøm xaïc suáút thäúng kã thç chuïng laûi liãn hãû nhau båíi caïc quy luáût thäúng - 31 -
16. - Chæång II- 9/15/2 Baíng 2.1 Tênh cháút cuía phäø Tênh cháút Tên hiãûu Phäø a s (t) + a s (t) a S (f ) + a S (f ) Tuyãún tênh 1 1 2 2 1 1 2 2 − j2 πf T s(t − T ) 0 Trãù thåìi gian 0 e S(f ) s(at) 1 ⎛ f ⎞ Thang tyí lãû S⎜ ⎟ a ⎝ a ⎠ ∗ ∗ Liãn håüp phæïc s (t) S (−f ) Âaío thåìi gian s(−t) S(−f ) s(t)cos(2πf t + θ) 1 jθ − jθ Âiãöu chãú 0 [e S(f − f ) + e S(f + f )] 2 0 0 j2 πf t Trãù táön säú 0 S(f − f ) s(t)e 0 n n d s(t) (j2πf ) S(f ) Vi phán n dt t −1 1 (j2πf ) S(f ) − S(0)δ(f ) Têch phán ∫s(τ)dτ 2 −∞ s (t) ∗s (t) 1 2 S (f )S (f ) Cháûp ∞ 1 2 = s (τ)s (t − τ)dτ ∫ 1 2 −∞ S (f ) ∗S (f ) 1 2 s (t)s (t) Nhán 1 2 ∞ = S (υ)S (f − υ)dυ ∫ 1 2 −∞ n n −n n t s(t) d S(f ) Nhán våïi t ( − j2π) n df - Nãúu s(t) thæûc thç phäø biãn âäü laì haìm chàôn vaì phäø pha laì haìm leí - Nãúu s(t) thæûc chàôn thç S(f) laì haìm thæûc - Nãúu s(t) thæûc leí thç S(f) laì haìm thuáön tuïy aío. - 32 -
17. - Chæång II- 9/15/2 kã. Ta coï thãø âaût âæåüc caïc thãø hiãûn âoï bàòng caïch quan saït âäöng thåìi âáöu ra cuía nhiãöu nguäön nhiãùu giäúng hãût nhau. Âãø täøng quaït, säú nguäön nhiãùu phaíi laì vä haûn. ξ (t) 1 Nguäön nhiãùu ξ (t) 2 ξ (t) i Hçnh 2.14 Nguäön nhiãùu ngáùu nhiãn vaì mäüt vaìi thãø hiãûn cuía quaï trçnh nhiãùu ngáùu nhiãn Tæì vê duû trãn ta coï thãø âënh nghéa quaï trçnh ngáùu nhiãn laì mäüt táûp håüp caïc haìm theo thåìi gian ξ (t),ξ (t), ,ξ (t) (i → ∞) liãn hãû våïi nhau båíi nhæîng quy luáût thäúng kã. 1 2 i Coï thãø phán loaûi quaï trçnh ngáùu nhiãn thaình quaï trçnh ngáùu nhiãn liãn tuûc (continuous random process) hay råìi raûc (discrete randomm process) tuyì theo ξ(t) phán bäú liãn tuûc hay råìi raûc. Vê duû nhæ nhiãùu xeït åí trãn laì quaï trçnh ngáùu nhiãn liãn tuûc, tên hiãûu nhë phán åí âáöu ra bäü taûo nhë phán laì quaï trçnh ngáùu nhiãn råìi raûc (hçnh 2.15). ξ (t) 1 Taûo nhë phán ξ (t) 2 ξ (t) i Hçnh 2.15 Mäüt säú thãø hiãûn cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn råìi raûc - 33 -
18. - Chæång II- 9/15/2 2.5.2 Caïc haìm phán bäú xaïc suáút cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn Xeït åí mäüt thåìi âiãøm t , quaï trçnh ngáùu nhiãn laì mäüt âaûi læåüng ngáùu nhiãnξ(t ) coï thãø láúy 1 1 caïc giaï trëξ (t ),ξ (t ), ,ξ (t ) . Âaûi læåüng ngáùu nhiãn naìy coï haìm phán bäú xaïc suáút 1 1 2 1 i 1 têch luyî CDF (Culmative Distribution Function) âæåüc âënh nghéa laì: F (x, t ) = p ξ(t ) ≤ x 1 1 { 1 } vaì coï haìm máût âäü xaïc suáút PDF (Probability Density Function) âæåüc âënh nghéa laì: ∂F (x, t ) f (x, t ) = 1 1 1 1 ∂x CDF vaì PDF åí trãn âæåüc goüi chung laì caïc haìm phán bäú xaïc suáút cáúp mäüt (do chè xeït åí mäüt thåìi âiãøm). ÅÍ âáy chè coï mäüt biãún thåìi gian laì t1 nãn âãø cho goün coï thãø thay t1 bàòng t. Dãù daìng nháûn tháúy âæåìng cong CDF coï âàûc âiãøm laì âäöng biãún theo x vaì nàòm trong daíi (0,1); coìn âæåìng cong PDF coï âàûc âiãøm laì khäng ám vaì pháön diãûn têch giåïi haûn båíi PDF vaì truûc hoaình Ox laì 1.Hçnh 2.16 laì mäüt vê duû âäö thë cuía CDF vaì PDF Âënh lyï (khäng chæïng minh): x 2 F (x ,t ) − F (x ,t ) = p ξ(t ) ≤ x − p ξ(t ) ≤ x = p x ≤ ξ(t ) ≤ x = f (x,t )dx 1 2 1 1 1 1 {}1 2 {1 1}{1 1 2 }∫ 1 1 x 1 Âãø xaïc âënh hoaìn toaìn quaï trçnh ngáùu nhiãn ta xeït quaï trçnh ngáùu nhiãn åí N thåìi âiãøm khaïc nhau våïi N låïn vä vuìng. Tuy nhiãn trong nhiãöu træåìng håüp ta chè cáön xeït âãún N = 2 laì âuí. Khi N = 2 ta coï CDF vaì PDF cáúp hai nhæ sau: F (x , x , t , t ) = p ξ(t ) ≤ x ,ξ(t ) ≤ x 2 1 2 1 2 { 1 1 2 2 } ∂F (x , x , t , t ) f (x , x , t , t ) = 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ∂x ∂x 1 2 CDF x PDF x Hçnh 2.16 CDF vaì PDF cuía mäüt quaï trçnh ngáùu nhiãn liãn tuûc - 34 -
19. - Chæång II- 9/15/2 2.5.3 Caïc trë trung bçnh theo táûp håüp Sau âáy laì mäüt säú trë trung bçnh theo táûp håüp (ensemble average) coï yï nghéa hån caí: Trë trung bçnh hay coìn goüi laì kyì voüng toaïn (expected value): ∞ m (t) = xf (x, t)dx 1 ∫ 1 −∞ Trë trung bçnh bçnh phæång hay coìn goüi laì moment cáúp hai (second moment): ∞ 2 m (t) = x f (x, t)dx 2 ∫ 1 −∞ Phæång sai (variance): ∞ 2 2 2 σ (t) = x − m (t) f (x, t)dx = m (t) − m (t) ∫[]1 1 2 1 −∞ Càn báûc hai cuía phæång sai goüi laì âäü lãûch chuáøn (standard deviation). Moment häùn håüp cáúp hai laì moment láúy åí hai thåìi âiãøm khaïc nhau cuía haìm phán bäú xaïc suáút hai chiãöu: ∞ ∞ m 2 (t1 , t 2 ) = ∫∫x1x 2f 2 (x1 , t1 , x 2 , t 2 )dx1dx 2 −∞−∞ 2.5.4 Caïc trë trung bçnh theo thåìi gian vaì haìm tæång quan Xeït mäüt thãø hiãûn laì ξ (t) cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn trong khoaíng thåìi gian quan saït laì T. i Cuîng giäúng våïi tên hiãûu xaïc âënh âaî xeït åí træåïc, âäúi våïi tên hiãûu ngáùu nhiãn, ta coï caïc trë trung bçnh theo thåìi gian (time average) sau âáy: Giaï trë trung bçnh (mean value): 1 T / 2 ξ (t) = lim ξ (t)dt i T→∞ ∫ k T −T / 2 Giaï trë trung bçnh bçnh phæång hay coìn goüi laì giaï trë quán phæång (mean-square value): T / 2 2 1 2 ξ (t) = lim ξ (t)dt i T→∞ ∫ i T −T / 2 Càn báûc hai cuía giaï trë quán phæång goüi laì giaï trë quán phæång gäúc (root-mean-square value) hay laì trë hiãûu duûng rms. Ta nháûn tháúy caïc trë trung bçnh trãn âáy phuû thuäüc vaìo thãø hiãûn i âæåüc choün vaì âäüc láûp våïi trë trung bçnh theo táûp håüp. - 35 -
20. - Chæång II- 9/15/2 Nãúu xeït quaï trçnh ngáùu nhiãn åí hai thåìi âiãøm caïch nhau mäüt khoaín laì τ ta coï haìm tæû tæång quan (autocorrelation function) âæåüc âënh nghéa nhæ sau: 1 T / 2 R (τ) = ξ (t)ξ (t + τ) = lim ξ (t)ξ (t + τ)dt i i i T→∞ ∫ i i T −T / 2 2.6 Quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng vaì ergodic 2.6.1 Quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng Quaï trçnh ngáùu nhiãn goüi laì dæìng (stationary) nãúu caïc haìm phán bäú xaïc suáút khäng thay âäøi âäúi våïi sæû di chuyãøn báút kyì cuía thåìi gian. Quaï trçnh ngáùu nhiãn goüi laì dæìng báûc N (stationary to the order N) nãúu våïi t , t , , t ta coï: 1 2 N ∗ ∗ ∗ f (x , x , , x , t , t , , t ) = f (x , x , , x , t + t , t + t , , t + t ) N 1 2 N 1 2 N N 1 2 N 1 2 N åí âáy t* laì mäüt hàòng säú thæûc báút kyì. Quaï trçnh ngáùu nhiãn âæåüc goüi laì dæìng chàût cheî (strict * stationary) nãúu báûc N låïn âãún vä cuìng. Khi choün t = -t1 thç PDF phuû thuäüc vaìo N-1 hiãûu thåìi gian t − t , t − t , , t − t . Váûy coï thãø noïi PDF cáúp 1 khäng phuû thuäüc vaìo thåìi gian, 2 1 3 1 N 1 PDF cáúp 2 chè phuû thuäüc vaìo hiãûu thåìi gian t − t = τ . 2 1 Roî raìng laì âäúi våïi quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng, caïc moment nhæ kyì voüng toaïn, moment cáúp 2, phæång sai, lãûch chuáøn âãöu laì hàòng säú, moment häùn håüp cáúp 2 laì haìm mäüt biãún. 2 m1 (t) = m1 , m 2 (t) = m 2 , σ (t) = σ, σ(t) = σ, m 2 (t1 , t 2 ) = m 2 (τ) 2.6.2 Quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng ergodic Qua trçnh ngáùu nhiãn dæìng goüi laì dæìng ergodic nãúu táút caí caïc trë trung bçnh theo thåìi gian cuía mäüt thãø hiãûn báút kyì bàòng våïi trë trung bçnh theo táûp håüp tæång æïng. Váûy våïi quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng ergodic thç chè cáön choün mäüt thãø hiãûn cuîng âuí thay thãú cho toaìn bäü quaï trçnh vaì coï thãø âäöng nháút trë trung bçnh theo thåìi gian våïi trë trung bçnh theo táûp håüp: Thaình pháön mäüt chiãöu (giaï trë trung bçnh, kyì voüng toaïn): ξ (t) = ξ(t) = m i 1 Cäng suáút (giaï trë quán phæång, moment cáúp 2): 2 2 ξ (t) = ξ (t) = m i 2 Trë hiãûu duûng: 2 2 2 ξ (t) = m = σ + m 2 1 Haìm tæû tæång quan: - 36 -
21. - Chæång II- 9/15/2 ∞ ∞ R i (τ) = R(τ) = ∫ ∫ x1x 2f 2 (x1 , x 2 ,τ)dx1dx 2 = m 2 (τ) −∞ −∞ 2.6.3 Quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng theo nghéa räüng Quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng theo nghéa räüng (wide-sense stationary) laì quaï trçnh ngáùu nhiãn chè dæìng âãún cáúp hai N = 2 (second-order stationary). Quaï trçnh dæìng chàût cheî thç âäöng thåìi cuîng laì dæìng theo nghéa räüng nhæng âiãöu ngæåüc laûi khäng âuïng. Quaï trçnh dæìng theo nghéa räüng hay chàût cheî âãöu laì nhæîng khaïi niãûm âaî âæåüc lyï tæåíng hoaï. Thæûc tãú khäng thãø coï nhæîng quaï trçnh nhæ váûy, trong thæûc tãú ta chè coï thãø quan saït quaï trçnh ngáùu nhiãn trong mäüt khoaíng thåìi gian hæîu haûn âuí låïn naìo âoï. 2.6.4 Tênh cháút cuía haìm tæång quan cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng theo nghéa räüng Âäúi våïi quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng theo nghéa räüng, haìm tæû tæång quan coï caïc tênh chátú sau: a- Haìm tæång quan laì haìm chàôn R(τ) = R(−τ) 1 T / 2 Tháût váûy, tæì cäng thæïc R(τ) = lim ξ(t)ξ(t + τ)dt , thay t = t − τ , vãú phaíi tråí T→∞ ∫ T −T / 2 thaình: 1 T / 2 lim ξ(t − τ)ξ(t)dt = R(−τ) = R(τ) T→∞ ∫ T −T / 2 2 b- Cäng suáút mäüt chiãöu cuía quaï trçnh R(∞) = m 1 Ta xeït moment gäúc häùn håüp cáúp hai: m 2 (t1 , t 2 ) = m 2 (τ) . Cho τ → ∞ , luïc âoï coï thãø coi hai âaûi læåüng ngáùu nhiãn ξ(t1 ) vaì ξ(t 2 ) âäüc láûp våïi nhau vaì PDF hai chiãöu cuía noï bàòng: f 2 (x1 , t1 , x 2 , t 2 ) = f1 (x1 , t1 )f1 (x 2 , t 2 ) = f1 (x1 )f1 (x 2 ) Luïc naìy ta coï: ∞ ∞ 2 R(∞) = m 2 (∞) = ∫ x1f1 (x1 )dx1 ∫ x 2f1 (x 2 )dx 2 = m1 −∞ −∞ Vãö váût lyï, trë trung bçnh biãøu thë thaình pháön mäüt chiãöu nãn bçnh phæång cuía trë trung bçnh 2 laì R(∞) = m biãøu thë cäng suáút mäüt chiãöu cuía quaï trçnh. 1 2 2 2 c- Cäng suáút täøng cuía quaï trçnh R(0) = ξ (t) = σ + m 1 1 T / 2 Tæì cäng thæïc R(τ) = lim ξ(t)ξ(t + τ)dt , cho τ = 0 , ta âæåüc: T→∞ ∫ T −T / 2 - 37 -
22. - Chæång II- 9/15/2 T / 2 1 2 R(0) = lim ξ(t)ξ(t)dt = ξ (t) = m 2 T→∞ ∫ T −T / 2 Vãö váût lyï, trë trung bçnh bçnh phæång hay moment cáúp 2 biãøu thë cäng suáút täøng. Maì ta âaî 2 2 2 biãút m 2 = σ + m1 , trong âoï m1 biãøu thë cäng suáút mäüt chiãöu nãn suy ra phæång sai σ2 chênh laì cäng suáút xoay chiãöu cuía quaï trçnh. d- Haìm tæång quan âaût giaï trë cæûc âaûi taûi gäúc R(τ) ≤ R(0) Ta xeït læåüng khäng ám sau: 1 T / 2 1 T / 2 lim [ξ(t) − ξ(t + τ)]2dt = lim [ξ2 (t) − 2ξ(t)ξ(t + τ) + ξ2 (t + τ)]dt T→∞ ∫ T→∞ ∫ T −T / 2 T −T / 2 = 2[R(0) − R(τ)] ≥ 0 Váûy R(τ) ≤ R(0) Hçnh 2.17 minh hoüa caïc tênh cháút væìa xeït trãn. R( τ ) cäng cäng suáút suáút xoay chiãöu täøng cäng suáút mäüt chiãöu τ Hçnh 2.17 Minh hoüa caïc tênh cháút cuía haìm tæång quan 2.7 Máût âäü phäø cäng suáút PSD 2.7.1 Âënh nghéa PSD Âãø thæûc hiãûn phán têch phäø cho quaï trçnh ngáùu nhiãn, ta xeït sæû måí räüng âënh nghéa PSD cuía tên hiãûu xaïc âënh sang cho quaï trçnh ngáùu nhiãn. Âënh nghéa haìm càõt goüt cuía mäüt thãø hiãûn ξ (t) nhæ sau: i ⎧ξ (t), − T / 2 ≤ t ≤ T / 2 ξ (t) = i Ti ⎨ ⎩0, t ≠ Biãún âäøi Fourier cuía haìm càõt goüt laì: ∞ T / 2 − j2 πf t − j2 πf t Ξ (f ) = ξ (t)e dt = ξ (t)e dt Ti ∫ Ti ∫ i −∞ −T / 2 - 38 -
23. - Chæång II- 9/15/2 ξ (f ) laì mäüt quaï trçnh ngáùu nhiãn vç ξ (t) laì mäüt quaï trçnh ngáùu nhiãn. Theo âënh lyï Ti Ti Parseval, nàng læåüng chuáøn hoaï trong khoaíng láúy têch phán (-T/2,T/2) laì: ∞ ∞ 2 2 E = ξ (t)dt = ξ (f ) df T ∫∫T T −∞ −∞ Nàng læåüng chuáøn hoaï trung bçnh laì: T / 2 ∞ ∞ 2 2 2 E = ξ (t)dt = ξ (t)dt = ξ (f ) df T ∫∫∫ T T −T / 2 −∞ −∞ Cäng suáút chuáøn hoaï trung bçnh laì: T / 2 ∞ ∞ 1 2 2 ⎡ 1 2 ⎤ 2 P = lim ξ (t)dt = lim ξ (t)dt = lim ξ (f ) df = ξ (t) T→∞ ∫∫T→∞ T ∫⎢T→∞ T ⎥ T −T / 2 −∞ −∞⎣ T ⎦ Cäng suáút chuáøn hoaï trung bçnh coìn coï thãø tênh âæåüc tæì PSD nhæ sau: ∞ 2 P = ξ (t) = ∫ P (f) df −∞ PSD cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn âæåüc tênh nhæ sau: ⎛ 2 ⎞ Ξ (f ) ⎜ T ⎟ P (f ) = lim⎜ ⎟ T→∞⎜ T ⎟ ⎝ ⎠ 2.7.2 Âënh lyï Wiener - Khintchine Thäng thæåìng PSD âæåüc tênh tæì haìm tæû tæång quan cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn theo âënh lyï Wiener - Khintchine nhæ sau: Nãúu ξ(t) laì mäüt quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng theo nghéa räüng thç PSD laì biãún âäøi Fourier cuía haìm tæû tæång quan: ∞ − j2 π f τ P (f ) = ∫ R(τ)e dτ −∞ Vaì ngæåüc laûi: ∞ j2 πf τ R(τ) = ∫ P (f )e df −∞ Âënh lyï naìy cuîng coï thãø aïp duûng cho quaï trçnh ngáùu nhiãn khäng dæìng, våïi læu yï thay R(τ) bàòng R(t, t + τ) - 39 -
24. - Chæång II- 9/15/2 2.7.3 Tênh cháút cuía PSD Tæì cäng thæïc âënh nghéa PSD vaì tênh cháút cuía haìm tæång quan, ta dãù daìng suy ra caïc tênh cháút sau âáy cuía PSD: a- P (f) khäng ám b- Khi ξ(t) thæûc, P (f) thæûc vaì chàôn ∞ c- P (0) = ∫ R(τ)dτ −∞ ∞ d- R(0) = ∫ P (f)df −∞ TOÏM TÀÕT CHÆÅNG 1. Tên hiãûu laì biãøu diãùn váût lyï cuía tin tæïc. Âoï laì mäüt âaûi læåüng váût lyï biãún thiãn theo thåìi gian, khäng gian hay caïc biãún âäüc láûp khaïc. Vãö màût toaïn hoüc, coï thãø xem tên hiãûu laì haìm theo mäüt hoàûc nhiãöu biãún âäüc láûp. 2. Trong hãû thäúng thäng tin, tên hiãûu nháûn âæåüc thæåìng bao gäöm pháön chæïa tin tæïc mong muäún vaì pháön khäng mong muäún thãm vaìo. Pháön mong muäún goüi laì tên hiãûu coï êch, pháön khäng mong muäún goüi laì nhiãùu. 3. Coï nhiãöu phæång phaïp phán têch tên hiãûu khaïc nhau, nhæ phán têch thåìi gian, phán têch phäø, phán têch tæång quan 4. Coï thãø phán loaûi tên hiãûu theo nhiãöu caïch. Vê duû nhæ: dæûa vaìo säú biãún phán tên hiãûu thaình loaûi mäüt hæåïng vaì nhiãöu hæåïng, dæûa vaìo nguäön tên hiãûu phán tên hiãûu thaình loaûi mäüt kãnh vaì nhiãöu kãnh, dæûa vaìo hiãûn tæåüng phán tên hiãûu thaình loaûi xaïc âënh vaì ngáùu nhiãn, dæûa vaìo tênh tuáön hoaìn phán tên hiãûu thaình loaûi tuáön hoaìn vaì khäng tuáön hoaìn 5. Xeït tên hiãûu laì haìm theo biãún thåìi gian, kyï hiãûu laì s(t), trong âoï s laì biãn âäü. Coï thãø phán tên hiãûu naìy ra thaình 4 loaûi: tên hiãûu liãn tuûc hay tæång tæ û laì tên hiãûu coï giaï trë xaïc âënh taûi moüi thåìi âiãøm tæì khi sinh ra âãún khi kãút thuïc, tên hiãûu råìi raûc laì tên hiãûu chè xaïc âënh taûi caïc thåìi âiãøm råìi raûc naìo âo, tên hiãûu læåüng tæí hoïa laì tên hiãûu chè coï táûp hæîu haûn säú mæïc biãn âäü, tên hiãûu säú laì tên hiãûu råìi raûc coï biãn âäü âæåüc råìi raûc hoïa. 6. Tên hiãûu váût lyï laì tên hiãûu coï thãø thæûc hiãûn âæåüc vãö màût váût lyï. Ngæåüc våïi tên hiãûu váût lyï laì tên hiãûu toaïn hoüc. Âoï laì tên hiãûu chè coï yï nghéa lyï thuyãút vaì hoanì toaìn khäng thãø thæûc hiãûn âæåüc vãö màût váût lyï. 7. Trong lyï thuyãút tên hiãûu, thæåìng gàûp mäüt säú tên hiãûu toaïn hoüc laì: tên hiãûu Dirac, tên hiãûu bæåïc nhaíy âån vë, tên hiãûu chæî nháût, tên hiãûu tam giaïc, tên hiãûu däúc âån vë, tên hiãûu haìm muî, tên hiãûu âiãöu hoaì - 40 -
25. - Chæång II- 9/15/2 8. Caïc âaûi læåüng âàûc træng cho tên hiãûu laì: âäü daìi, trë trung bçnh, thaình pháön mäüt chiãöu DC, nàng læåüng chuáøn hoïa, cäng suáút chuáøn hoïa trung bçnh, trë hiãûu duûng. 9. Tên hiãûu s(t) nàng læåüng hæîu haûn tuáön hoaìn våïi chu kyì TO coï thãø âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng täøng vä haûn cuía caïc tên hiãûu sin. Täøng naìy goüi la ì chuäùi Fourier : ∞ 2πnt ∞ 2πnt s(t) = A + a cos + b sin 0 ∑ n ∑ n n=1 T n=1 T 0 0 Hàòng säú AO laì trë trung bçnh cuía s(t), caïc hãû säú an vaì bn tênh âæåüc tæì s(t). 10. Mäüt daûng khaïc cuía chuäùi Fourier laì: ∞ ⎛ 2πnt ⎞ s(t) = C + C cos⎜ + Φ ⎟ 0 ∑ n n n=1 ⎜ T ⎟ ⎝ 0 ⎠ ÅÍ âáy CO , Cn vaì φn coï liãn quan våïi an , bn vaì A0. Hãû säú Cn goüi laì biãn âäü vaì φn laì pha cuía thaình pháön phäø Cn cos (2π n fOt + φn) taûi táön säú nfO 11. Coï thãø duìng càûp (Cn,φn) âãø biãøu diãùn tên hiãûu tuáön hoaìn vaì goüi laì biãøu diãùn theo phæång phaïp phäø. Cn goüi la ì phäø biãn âäü va ì φn goüi laì phäø pha. Phäø cuía tên hiãûu tuáön hoaìn coï daûng råìi raûc nãn coìn âæåüc goüi la ì phäø vaûch. 12. Chuäùi Fourier coìn coï thãø âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng haìm muî nhæ sau: ∞ j2π nt / T 0 s(t) = A e ∑ n n=−∞ Hãû säú An laì hãû säú phæïc, liãn hãû våïi Cn theo cäng thæïc : A = C 0 0 C jΦ A = n e n n 2 13. Caïc vaûch phäø Cn taûi táön säú f0 âæåüc thay bàòng 2 vaûch phäø An våïi biãn âäü mäùi vaûch giaím âi mäüt næía, mäüt vaûch åí táön säú fO vaì vaûch kia åí táön säú -fO . Phäø biãn âäü Cn goüi laì phäø mäüt phêa, coìn phäø biãn âäü An goüi laì phäø hai phêa. 14. Xem tên hiãûu khäng tuáön hoaìn laì tên hiãûu tuáön hoaìn coï chu kyì låïn vä cuìng TO → ∞ , tæì ∞ − j2 π f t chuäùi Fourier ta coï cäng thæïc biãún âäøi Fourier sau: S(f ) = ∫s(t)e dt . S(f) âæåüc −∞ goüi laì máût âäü phäø hay phäø cuía tên hiãûu s(t). ∞ ∞ j2π nt / T 0 j2 π f t 15. Coï thãø tênh ngæåüc s(t) tæì S(f) nhæ sau: s(t) = lim A e = S(f )e df T →∞ ∑ n ∫ 0 n=−∞ −∞ - 41 -
26. - Chæång II- 9/15/2 16. Vç tên hiãûu tuáön hoaìn chàóng qua chè laì mäüt træåìng håüp âàûc biãût cuía tên hiãûu khäng tuáön hoaìn nãn täøng quaït, ta coï thãø gaïn caí khaïi niãûm máût âäü phäø cho tên hiãûu tuáön hoaìn. Do âàûc âiãøm cuía phäø vaûch nãn máût âäü phäø cuía tên hiãûu tuáön hoaìn phaíi coï tênh cháút: låïn vä cuìng ∞ åí caïc vaûch phäø vaì triãût tiãu åí ngoaìi caïc vaûch âoï: S (f) = A δ(f − nf ) T ∑ n 0 n=−∞ 17. Khoaíng maì phäø chiãúm trãn thang táön säú goüi la ì bãö räüng phäø cuía tên hiãûu. Bãö räüng phäø âæåüc tênh laì sai khaïc giæîa hai táön säú dæång låïn nháút vaì nhoí nháút maì trong khoaíng âoï coï: S(f ) ≥ a S(f ) . Hãû säú a âæåüc choün laì hàòng säú dæång tuyì æïng duûng. Bàng thäng våïi max a = 1 = 0.707 coìn âæåüc goüi laì bàng thäng -3dB. 2 jϕ(f ) 18. Ta coï thãø biãøu diãùn S(f) dæåïi daûng: S(f ) = Re[S(f )]+ jIm[S(f )] = S(f ) e Trong 2 2 âoï: S(f ) = Re [S(f )] + Im [S(f )] goüi laì phäø biãn âäü, âån vë laì A/Hz hay V/Hz vaì Im[S(f )] ϕ(f ) = arctg goüi laì phäø pha, âån vë la ì radian hay âäü. Re[S(f )] ∞ ∞ ∗ ∗ 19. Âënh lyï Parseval : s (t)s (t)dt = S (f )S (f )df ∫∫1 2 1 2 −∞ −∞ 2 20. Âënh nghéa máût âäü phäø nàng læåüng ESD cuía tên hiãûu nàng læåüng la:ì E (f ) = S(f ) . Âån vë cuía E (f) laì joule trãn hertz (J/Hz). 2 ⎛ S (f ) ⎞ ⎜ T ⎟ 21. Âënh nghéa máût âäü phäø cäng suáút PSD cuía tên hiãûu cäng suáút: P (f) = lim⎜ ⎟ . T→∞⎜ T ⎟ ⎝ ⎠ Âån vë cuía PSD la ì W/Hz hay V2 /Hz hay A2 /Hz. 22. Tên hiãûu ngáùu nhiãn hay quaï trçnh ngáùu nhiãn laì tên hiãûu maì ta khäng thãø biãút træåïc caïc haình vi cuía noï. Âënh nghéa quaï trçnh ngáùu nhiãn laì mäüt táûp håüp caïc haìm theo thåìi gian ξ (t),ξ (t), ,ξ (t) (i → ∞) liãn hãû våïi nhau båíi nhæîng quy luáût thäúng kã. 1 2 i 23. Coï thãø phán loaûi quaï trçnh ngáùu nhiãn thaình quaï trçnh ngáùu nhiãn liãn tuûc hay råìi raûc tuyì theo ξ(t) phán bäú liãn tuûc hay råìi raûc. 24. Haìm phán bäú xaïc suáút têch luyî CDF cáúp 1 laì: F (x, t ) = p ξ(t ) ≤ x vaì haìm máût âäü 1 1 { 1 } ∂F (x, t ) xaïc suáút PDF cáúp 1 laì: f (x, t ) = 1 1 . Âæåìng cong CDF âäöng biãún theo x vaì 1 1 ∂x nàòm trong daíi (0,1); âæåìng cong PDF khäng ám vaì pháön diãûn têch giåïi haûn båíi PDF vaì truûc hoaình Ox laì 1. - 42 -
27. - Chæång II- 9/15/2 25. Haìm CDF cáúp 2 vaì haìm PDF cáúp 2 láön læåüt laì: F (x , x , t , t ) = p ξ(t ) ≤ x ,ξ(t ) ≤ x 2 1 2 1 2 { 1 1 2 2 } ∂F (x , x , t , t ) f (x , x , t , t ) = 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ∂x ∂x 1 2 26. Mäüt säú trë trung bçnh theo táûp håüp cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn laì:í trë trung bçnh hay kyì voüng toaïn, trë trung bçnh bçnh phæång hay coìn goüi laì moment cáúp hai, phæång sai, âäü lãûch chuáøn, moment häùn håüp cáúp hai. 27. Caïc trë trung bçnh theo thåìi gian cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn laì: giaï trë trung bçnh, giaï trë quán phæång, giaï trë quán phæång gäúc hay laì trë hiãûu duûng . 28. Nãúu xeït quaï trçnh ngáùu nhiãn åí hai thåìi âiãøm caïch nhau mäüt khoaín laì τ ta coï haìm tæû 1 T / 2 tæång quan: R (τ) = ξ (t)ξ (t + τ) = lim ξ (t)ξ (t + τ)dt i i i T→∞ ∫ i i T −T / 2 29. Quaï trçnh ngáùu nhiãn goüi laì dæìng nãúu caïc haìm phán bäú xaïc suáút khäng thay âäøi âäúi våïi sæû di chuyãøn báút kyì cuía thåìi gian. Luïc âoï, PDF cáúp 1 khäng phuû thuäüc vaìo thåìi gian, PDF cáúp 2 chè phuû thuäüc vaìo hiãûu thåìi gian t − t = τ , kyì voüng toaïn, moment cáúp 2, phæång 2 1 sai, lãûch chuáøn âãöu laì hàòng säú, moment häùn håüp cáúp 2 laì haìm mäüt biãún. 30. Quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng goüi laì dæìng ergodic nãúu táút caí caïc trë trung bçnh theo thåìi gian cuía mäüt thãø hiãûn báút kyì bàòng våïi trë trung bçnh theo táûp håüp tæång æïng. 31. Quaï trçnh ngáùu nhiãn dæìng theo nghéa räüng laì quaï trçnh ngáùu nhiãn chè dæìng âãún cáúp hai. 32. Âënh nghéa PSD cuía tên hiãûu xaïc âënh coï thãø måí räüng sang cho quaï trçnh ngáùu nhiãn. Coï ∞ 2 thãø tênh âæåüc cäng suáút chuáøn hoaï trung bçnh tæì PSD nhæ sau: P = ξ (t) = ∫ P (f) df −∞ 33. Thäng thæåìng PSD âæåüc tênh tæì haìm tæû tæång quan cuía quaï trçnh ngáùu nhiãn theo âënh lyï Wiener -Khintchine. - 43 -