Mô hình tăng trưởng Solow ngẫu nhiên

Nội dung text: Mô hình tăng trưởng Solow ngẫu nhiên

1. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 MÔ HÌNH TĂNG TRƢỞNG SOLOW NGẪU NHIÊN Hoàng Diệu Hồng1 TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi sẽ sử dụng công cụ của lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên để phân tích chi tiết mô hình tăng trưởng kinh tế Solow và nghiên cứu chuyển động đồng thời của nhiều quỹ đạo của các quá trình tiến hóa theo thời gian trong mô hình tăng trưởng kinh tế Solow. Từ khóa: Hàm phi tuyến, nhiễu, quỹ đạo, dáng điệu dài hạn của các quỹ đạo. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Tăng trƣởng kinh tế là mục tiêu của tất cả các quốc gia. Mô hình kinh tế Solow đƣa ra để giải thích sự tăng trƣởng kinh tế dài hạn bằng cách nghiên cứu quá trình tích lũy vốn, lao động hoặc tăng trƣởng dân số và sự gia tăng năng suất lao động. Mô hình tăng trƣởng kinh tế Solow có ý nghĩa quan trọng đối với nền kinh tế Việt Nam đang trong thời kỳ quá độ lên chủ nghĩa xã hội. Trong giai đoạn này, sự đóng góp của vốn vào tốc độ phát triển kinh tế hay sự tăng trƣởng của nền kinh tế là đáng kể. Trong mô hình tăng trƣởng kinh tế của Solow công nghệ đƣợc coi là biến ngoại sinh, vì vậy nó rất phù hợp với thực trạng của nền kinh tế Việt Nam từ trƣớc đến nay chủ yếu nhập công nghệ từ nƣớc ngoài. Mặt khác, mô hình này còn đƣa ra phƣơng pháp hoạch toán tăng trƣởng, cho phép xác định và tính toán sự đóng góp của các yếu tố đầu vào đã đƣợc sử dụng. Nhƣ vậy, có thể sử dụng phƣơng pháp này để xác định, tính toán, đánh giá vai trò của các nguồn tăng trƣởng trong nền kinh tế Việt Nam. Chính vì thế mô hình tăng trƣởng kinh tế Solow đƣợc lựa chọn làm cơ sở lý thuyết cho việc xác định, đánh giá vai trò của các nguồn lực đối với tăng trƣởng kinh tế Việt Nam. Mục tiêu của bài báo là sử dụng công cụ của lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên để phân tích chi tiết mô hình tăng trƣởng kinh tế Solow. Điểm mấu chốt ở đây là thay vì nghiên cứu chỉ một quỹ đạo thì ta nghiên cứu chuyển động đồng thời của nhiều quỹ đạo của các quá trình tiến hóa theo thời gian trong mô hình tăng trƣởng kinh tế Solow. 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1. Sự tăng trƣởng kinh tế Xét một nền kinh tế bao gồm các gia đình và các công ty đồng nhất nhƣ nhau. Bởi vậy, những cá thể coi nhƣ giá cả là đã đƣợc biết khi họ tiêu thụ, đầu tƣ, hoặc 1 Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 95
2. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 quyết định sản xuất. Có một sản phẩm thuần nhất và duy nhất trong nền kinh tế, mà nó có thể đƣợc tiêu thụ hoặc sử dụng nhƣ đầu vào chính trong sản xuất. Hai nhân tố là tiền vốn và nhân công cần phải có cho quá trình sản xuất. Công nghệ đƣợc miêu tả bởi hàm sản xuất Yt F(,,,) K t L t z t a t .Trong đó Kt và Lt là tiền vốn và nhân công tại thời điểm t; zatt, là độ đo năng suất lao động và trạng thái của tiến bộ công nghệ; , là những biến ngẫu nhiên. Với mỗi thì Yt là đầu ra tổng hợp tại thời điểm t với điều kiện vốn và nhân công đã đƣợc sử dụng trong quá trình sản xuất. Ta giả thiết rằng với mỗi cặp ( ) hàm là tân cổ điển và thuần nhất tuyến tính. Hàm sản xuất F đƣợc gọi là tân cổ điển nếu nó đƣa ra đại lƣợng dƣơng giảm dần các sản phẩm thặng dƣ, tức là 22 dK F 0, d KK F 0, d L F 0, d LL F 0, Thuần nhất tuyến tính, nghĩa là F(,,,) K L z a F (  K ,,,),  L z a   0 . Chúng ta giới hạn phân tích của chúng ta cho một công ty điển hình. Giả sử rằng nền kinh tế là đóng, tức là vốn đầu tƣ tại thời điểm t+1 bằng nguồn tài sản chƣa tiêu thụ trong các giai đoạn trƣớc đó. Quy luật vận động của tiền vốn đƣợc cho bởi công thức. K F( K , L , z , a ) (1  ) K C (2.1) t 1 t t t t t t t Trong đó, t là tốc độ mất giá của vốn đầu tƣ tại thời điểm t và Ct là tổng hợp tiêu thụ tại thời điểm t. Trong (2.1), ta giả thiết tổng mức đầu tƣ bằng tổng tiết kiệm của các hộ gia đình. Công ty xác nhận nhu cầu của họ về vốn và sức lao động bằng cách tối đa hóa lợi nhuận vào mỗi thời kỳ. Giả thiết rằng thị trƣờng là cạnh tranh hoàn hảo, tiền vốn và sức lao động thu đƣợc từ sản phẩm thặng dƣ của họ trong trạng thái tự nhiên, tức là: rt d K F(,,,) K t L t z t a t , wt d L F ( K t , L t , z t , a t ) , Trong đó, các biến ngẫu nhiên rtt,w là ký hiệu lãi suất thực và tiền lƣơng thực. 2.2. Mô hình Solow ngẫu nhiên Trong mô hình tăng trƣởng chúng ta giả sử rằng dáng điệu của các hộ gia đình đƣợc miêu tả bởi sự tiêu thụ của một phần 1 st của tổng sản phẩm trong mỗi giai đoạn. Ta còn giả thiết thêm rằng các hộ gia đình không bị thiếu tiện ích trong công việc sản xuất và có thể đƣợc sử dụng hết nhân công của họ. Ta đƣa ra một giả thiết cụ thể nhƣ sau: Hàm sản xuất đƣợc cho bởi công thức FKLza(,,,)()(,)t t t t gzFKaL (2.2) 96
3. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Trong đó, g là một hàm đo đƣợc, còn F là một hàm tân cổ điển. Điều đó có nghĩa là tiến bộ kỹ thuật là bổ sung cho nhân công và các biến động sản xuất tham gia vào hàm sản xuất một cách nhân tính. Sự tiến hóa của nhân công có kỹ thuật, aLtt đƣợc cho bởi at 1 L t 1 (1 n 1 ) a t L t và biến ngoại sinh (nt , t , s t g ( z t )) đƣợc mô tả bởi quá trình ergodic. Giả thiết về khả năng tiêu thụ của hộ gia đình là tƣơng thích với giả thiết rằng vốn tƣ bản là không khả nghịch, tức là sản lƣợng trong mỗi giai đoạn là có thể tiêu thụ trong khi vốn tƣ bản mà không mất giá thì không thể tiêu thụ đƣợc. K1 Ta định nghĩa vốn tƣ bản cho mỗi lao động có kỹ thuật là k1 , và nó đƣợc aL11 gọi là cƣờng độ vốn tƣ bản. Với giả thiết trên, từ (3.1) ta có quy tắc ngẫu nhiên cho cƣờng độ tiền vốn nhƣ sau K(1  ) K s g ( z ) F ( K , a L ) k t 1 t t t t t t t t 1 a L(1 n ) a L t 11 t t t t (1  )k s g ( z ) f ( k ) t t t t t (1 nt ) Ở đây f( k ) : F ( k ,1) . Hàm f(k) là hàm sản xuất tân cổ điển. Giả sử (,,,) FP là hệ động lực ergodic; ,,n là các biến ngẫu nhiên sao t t cho()   là tốc độ của sự mất giá, ()()   fkt là  phần của tổng sản phẩm đƣợc giành cho đầu tƣ, và n()t là tốc độ tăng trƣởng của lao động có kỹ thuật. Với một trạng thái ban đầu k0 cho trƣớc của cƣờng độ tiền vốn, sự tiến hóa ngẫu nhiên của cƣờng độ tiền vốn đƣợc cho bởi phƣơng trình sai phân ngẫu nhiên tt (1  (   ))ktt  (   )) f ( k ) kt 1 t (2.3) 1 nt ( ) Phƣơng trình (2.3) đƣợc gọi là mô hình Solow ngẫu nhiên. Nó sinh ra một hệ động lực ngẫu nhiên trên R khi ta đặt các điều kiện thích hợp lên các tham số. Định nghĩa 1. Mô hình Solow ngẫu nhiên đƣợc cho bởi công thức tt (1  (   ))ktt  (   )) f ( k ) t ktt 1 t h(,) k (2.4) 1 nt ( ) Ở đây, kt là cƣờng độ vốn tƣ bản (tiền vốn cho mỗi ngƣời làm việc trong giai đoạn t). Phƣơng trình (2.4) là phƣơng trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến mô tả sự tiến hóa ngẫu nhiên của cƣờng độ tiền vốn theo thời gian t. Hàm f: R  R là một hàm tân cổ điển. Các quá trình ( t  ),  (  t  ),n (  t  ) là các quá trình ergodic, là mô hình sự biến động dừng của tỷ lệ mất giá, tỷ phần đầu tƣ của tổng sản phẩm và tỷ lệ phát triển 97
4. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 t dân cƣ. Tỷ phần đầu tƣ của tổng sản phẩm ()()   fk1 mô tả một tỷ lệ tích lũy ngẫu nhiên và biến động nhân tính của kỹ thuật. Trƣờng hợp f (0) 0 tƣơng ứng với một nền kinh tế mà không thể sản xuất sản phẩm khi không có vốn. Trƣờng hợp f (0) 0 thì có thể sản xuất ra sản phẩm với nhân công là đầu vào duy nhất. Trạng thái 0 là trạng thái bất động đối với mọi dãy biến động ngẫu nhiên nếu . Khi (),(),()      nn   , (2.4) là mô hình Solow tất định. Mệnh đề 2. [3] Giả sử rằng f là hàm dương tăng dần, lõm chặt và có đạo hàm liên tục trên R .Nếu  ns 0, 0 và f thỏa mãn điều kiện Inada  n 0 limf'' ( k ) lim f ( k ) , kk s 0 thì mô hình Solow tất định có một điểm bất động không tầm thường duy nhất k(,,) n s . Điểm bất động là ổn định và hút toàn cục trên . Nếu thì ' không cần đặt điều kiện lên limfk ( ) và là hút toàn cục trên R . k 0 2.3. Định lý điểm bất động ngẫu nhiên Định lý này là trƣờng hợp của định lý điểm bất động Banach cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến. Cho GR(),,d  là một tập ngẫu nhiên, tức là G() là tập đóng hầu chắc chắn và {()}GU   là đo đƣợc với mọi tập mở U. Trong bài báo này, chúng ta sẽ xét biến ngẫu nhiên g() với giá trị trong . Giả sử  là một hệ động lực ergodic. Khi đó mọi quỹ đạo g(t ), t Z , của biến ngẫu nhiên: gR: d hoặc log g (t ) là tăng nhanh hơn mọi hàm số mũ. Tức là limsup hầu chắc chắn. t t log g (t ) Hoặc là tăng chậm hơn mọi hàm số mũ: (tức là limsup 0 hầu chắc chắn). t t g đƣợc gọi là tempered nếu: limeg tt ( ) 0 với mọi  0 . t H:={ Tất cả các biến ngẫu nhiên tempered thỏa mãn gG()() }. Tính tempered yếu hơn tính khả tích. Định lý 3. Cho  là một hệ động lực ngẫu nhiên và ánh xạ xx(1, , ) là khả vi liên tục hầu chắc chắn và  là ergodic. Giả sử tồn tại một tập ngẫu nhiên G( ),  sao cho H là một tập không rỗng và thỏa mãn: 11 1) (1,  ,g (   )) H  g G 2) sup logdx (1, , x ) C ( x ) khi EC ( x ) 0 xG () 98
5. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 3) Nếu với một gH nào đó mà có (1, 11  ,g (   )) là dãy Cosi thì với mọi  ,giới hạn của dãy đó là thuộc H. Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên gH hầu chắc chắn sao cho (a)  (1, ,gg (  )) (  ) (b) lim (,,())t g  g ( t  ) 0  g H t (c) g () là ác định duy nhất. Các điều kiện 1), 3) là các điều kiện về tính bất biến, tính co đều trung bình và tính đầy đủ. Kết luận khẳng định về sự tồn tại một điểm bất động ngẫu nhiên g mà có H là tập con của miền hút của nó. Với nhiễu tầm thƣờng định lý này chính là định lý Banach về điểm bất động đối với ánh xạ khả vi. Dáng điệu dài hạn của quỹ đạo với giá trị khởi đầu gG()() là hoàn toàn xác định bởi quỹ đạo g ()t . Trong trƣờng hợp đặc biệt ta có: 11tt 11 lim (s , , g (  )) lim g ( s  ) Eg , tt  ttss 00 Và nhƣ vậy nó là hằng số hầu chắc chắn nếu là khả tích. Nếu g ( ) 0 thì tốc độ tăng trƣởng gg ()()   () là tempered, g g () Do tính tempered của và Eglog(1  ( )) 0 nếu log g là khả tích. Chứng minh Với  0 , g12 H, g H ,  i0( , ,g 1 ,g 2 ) sao cho với ii 0 i i i i d ( (i,  , g12 (   )), (i,   , g (   ))) 1 ii 1 ii d ( (1,  ,  ( i 1,   , g1 (   )), (1,  ,  (ig 1,   ,2 (   )))) 1 edk() (  (i 1, i  ,g (  i  )),  (i 1,  i  ,g (  i  )))  1 12 1 i ( )Ki exp(kd ( j  ) (g (  i  )),g (  i  )) e 2  (*)   i 12 j 1 Do tính tempered của  dg( (  ),g (  ))  12 Từ (*) suy ra d( (i, i  , g (  i  )),  (i 1,  i 11  , g (  i  )))  i exp(kd ( j  )) (g(  i  ), (1,   ,g(  i 1  ))) ( )   i i 1 j 1 Với 0 tt và do (*), ( ), ta có 1 99
6. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 [t] tt tt11 j d ( (t,  , g (   )), ( t1 ,   , g (   ))) exp(k ( )) j 1 d(  (t [t], tt [t] [t] , g ( [t] [t] )),  (t [t],  tt11 [t] [t] , g ( [t] [t] )))  [t] 1 [t] exp(k ( j  )) d (  (t [t],  t [t]  [t]  , g (  t [t]  [t]  )), g (  t  ))   [t] j 1 [t1 ]-[t]-1 d(  ( j , t[t] , g ( t j )),  ( j 1,  t j 1 , g ( [t]-j-1 ))),  ( j 1,  [ t ] j 1 , g ( [t]-j-1 )))   [t] j 0 d(  ([t ] [t], [t1 ]  , g (  [t 1 ]  )),  (t [t],  t 1 [t]  [t]  , g (  t 1 [t]  [t]  ))))  [t] 11 ss Đặt i [t], h( ) :  2 supd ( (s,   ,g(   )),g(  ))) s [0,1] Với tt1 , im exp(k ( j  ))  (exp(  k (  i j  ) l (  i m  ) M j 1 m 0 j 1 M là hữu hạn với t 0 do tính tempered của h( ) m k(), ij Kn i Z j 1 Ta sẽ chứng minh rằng M 0, khi i . Với  0 có i0 (,) sao cho  ii0 (,) i log hi ( ij  )  i, (k(   ) K)  j 1 Cho a > 0 bất kỳ, chọn 1 a 0  max(- ,K) . 42 a .i m Vì 2 (exp( k (  i j  )) h (  i m ))  e m , nên m 0 j 1 m 0 m a. i i j i m lime (exp( k (  )) h (  )) 0, i i0 i  mj 01 m (exp(kh ( i j  )) (  i m ) là tempered mj 01 Từ đó tt Nên (t,  ,g(   )) là dãy Cauchy, giới hạn của nó đƣợc ký hiệu là g () và gH 100
7. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Do tính liên tục của  (1, ,g* (  ))  (1,  ,lim(  (t,  tt ,g(   ))) x lim  (t 1, tt 1  ,g * (  1  )) g * (  ) x Vậy: (1, ,g* ( )) g* ( ) t và lim (,,())t g  g (   ) 0  g H t Tính duy nhất của g () : Giả sử tồn tại hai điểm bất động g12, g H . Từ (*) ta có gg ()() 12 Nên là duy nhất. Mệnh đề 4. [3] Nếu tập hợp H các biến ngẫu nhiên tempered trong định lý 3 chứa một biến ngẫu nhiên hằng gg()  thì điểm bất động ngẫu nhiên gR :  d là đo được đối với quá khứ F :  {   ( s , t  ) 0 s t }. 2.4. Dáng điệu động lực của mô hình Solow ngẫu nhiên Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng động lực học của mô hình Solow ngẫu nhiên là xác định bởi một điểm bất động ngẫu nhiên ổn định duy nhất và hút toàn cục. Đặc biệt, nó đảm bảo rằng dáng điệu dài hạn của tất cả các quỹ đạo của cƣờng độ tiền vốn là nhƣ nhau và đƣợc xác định bởi quỹ đạo của điểm bất động ngẫu nhiên này. Định lý 5. Giả thiết các quá trình ngẫu nhiên biểu diễn tốc độ của sự mất giá và phát triển dân số, và tích của tỷ lệ tiết kiệm và biến động trong sản xuất, tương ứng lấy giá trị (  )  [ min ,  max ] [0,1] n() [nmin ,n max ]  (1,) (  ) [ min ,  max ]  (0, ) với E Giả thiết rằng f là không âm, tăng dần, lõm chặt và có đạo hàm liên tục. Giả sử rằng 1. n 0 max max ,  n 2. 0 limf'' ( k ) max max lim f ( k ) , và kk 0 min 1  (  )  (  )fk' ( ) 3.E log 0 1 n ( ) Trong đó k:(,,) kmax nmax min là một trạng thái bất động không tầm thường của mô hình Solow tất định. 101
8. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Khi đó tồn tại một điểm bất động ngẫu nhiên dương duy nhất k của hệ động lực ngẫu nhiên  trong R được sinh ra bởi mô hình tăng trưởng Solow ngẫu nhiên. Điểm là ổn định, đo được đối với quá khứ và hút toàn cục trên R , tức là  k 0 thì (t , , k ) k ( t  ) 0 khi t hầu chắc chắn. Do đó dáng điệu dài hạn của tất cả các quỹ đạo là ác định duy nhất bởi điểm bất động ngẫu nhiên . ' Nếu f (0) 0 thì không cần điều kiện đặt lên limfk ( ) và hút toàn cục trên R . k 0 Chứng minh Chứng minh này là một áp dụng của Định lý 3 về điểm bất động ngẫu nhiên. Đặt G: [ k (max , n max , min ), ) . GG()  là một tập hợp ngẫu nhiên. Do tính đóng của G , H  , k k(,,)max n max min , áp dụng Định lý 3 ta sẽ nhận đƣợc điểm bất động ngẫu nhiên không tầm thƣờng k . Tính bất biến của H : Ta kiểm tra điều kiện (1) của Định lý 3. Vì h(,) k k nên là bất biến dƣơng, là điểm bất biến không tầm thƣờng nhỏ nhất của tất cả các ánh xạ tất định hk().  (1, 11  ,gG (   )) với mọi gG . Từ tính lõm của f ta suy ra: f()()() k f y f' y k với mọi k và y 0 cố định tùy ý. Do đó 1  ()   ()() f' y  ()()  f y (1, ,kk ) . 1 nn ( ) 1 min 11 Vì E nên  là tempered, suy ra: . 1 nn ( ) 1 min 11 Suy ra hàm (1,  ,g (   )) là tempered Tính chất 2) của Định lý 3: tính hút. Điều này đƣợc suy ra trực tiếp từ giả thiết 3) của Định lý 5 bởi vì f là giảm vì vậy nó nhận giá trị max tại phần tử nhỏ nhất của G,tức là supf'' ( k ) f ( k ) kG Tính chất 3) của Định lý 3. Cho gG và giả sử (tg , 11  , (   )) là dãy Cosi với mọi  , thì giới hạn là thuộc G() với mọi , vì GG()  là bất biến dƣơng và đóng. Để chứng minh 3) ta chỉ cần kiểm tra đƣợc rằng lim (tg , tt  , (   )) là biến t ngẫu nhiên tempered. ' tt 1  (  )  (  fk ( )) (fk ( )) Đặt xtt 1 a()()  x b   , với a(): ,b(): . 1 n ( ) 1 nmin 102
9. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Khi đó lim (1, 11  ,g (   )) bị chặn trên bởi một điểm bất động ngẫu nhiên t x () là ổn định bởi giả thiết 3) và do đó hút bất kỳ biến ngẫu nhiên tempered nào. Sự tồn tại của : Có duy nhất một điểm bất động ngẫu nhiên là i x ( ) : b (  1  ) b (  (i 1)  ). a (  1  ) i 1 j 1 Nhận xét rằng với mỗi 0  Ea log , tồn tại t(,) để i ae() 1 i với it (,). j 1 Do tính tempered của b() (đƣợc suy ra từ Eb ), ta nhận đƣợc sự tồn tại hầu chắc chắn của . Tính tempered của : Ta có Ealog 0 và b là tempered, vì vậy với mọi  0 tồn tại s0 (,) sao cho s s0 (,) nên s logbs ( s  )  và (loga ( j  ) E log a )  s j 1 Bởi vì a( ) > 0 và b( ) > 0 ta có biểu diễn sau xb ( tt  ) exp log (  ( 1)  ) + tt1 exp[logb ( (i 1 t )  )  (log a (  j  ) E log a )  (log a (  j  ) E log a ) iE log a ] i 1 j 1 j 1 Ealog Vì vậy, với  và với mọi t s0 (,) s ta có: 2 x (t  ) exp (  ( t 1))  exp (  (( i 1 t ) ( t i ) iE log a ) i 1 exp (2 Ea log ) exp ( (tt 1) exp ( (3 1) . 1 exp (2 Ea log ) Do đó tăng chậm hơn mọi hàm số mũ, và vì vậy nó là tempered. Tính hút toàn bộ: Nếu mọi quá trình nhiễu là tầm thƣờng thì kn(,,)là trạng thái bất động hút toàn cục trên R . Tính chất đơn điệu sau đây đƣợc thỏa mãn: (1, ,k )  h ( , k ) k với mọi   và mọi k k:(,,) kmax n max min Với mỗi k 0 tồn tại tk(,) ,sao cho nếu () s   với mọi 0 s t ( , k ) thì  (t ( , x ), , k ) k . Từ tính ergodic của  ta suy ra t 1 s lim 1[0, ] (   ) P {   (  )  }>0 , t  t s 0 103
10. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Và do đó ta nhận đƣợc P{()    với vô hạn  0 } =1. Vậy tồn tại đại lƣợng hữu hạn Tk(,) với mọi , k và thỏa mãn yêu cầu nêu ở trên. Tính duy nhất và F đo được Từ tính hút toàn cục từ Mệnh đề 4 suy ra tính duy nhất của điểm bất động ngẫu nhiên trong R . Cũng từ Mệnh đề 4 ta có đo đƣợc. 1 Ví dụ. Xét hàm f (k) (1 Ak ) với 01 , và A > 0. Điều kiện (2) và (3) của Định lý 5 đƣợc thỏa mãn nếu 1 max n max minEn min A min{( ) ,1 } minEn ()  max max f (k) 11 Ta có (AA k ) khi k k Điều kiện Inada (2) của Định lý 5 đƣợc suy ra bởi bất đẳng thức  n A (max max ) (*) min 1 1 Từ đó k () n max max A min  n Và vì vậy fA'1(k) (max max ) min Trong đó k 0 do (*) Mặt khác ta có điều kiện hút (3) trong Định lý 5 viết lại nhƣ sau: Elog( + () (k)) < Elog(1+ n() ) Do hàm log là lõm (tính chất này suy ra Elog < logE do bất đẳng thức Jensen) ta thu đƣợc điều kiện đủ sau: E( + (k)) < exp(Elog(1+ )) Bất đẳng thức này tƣơng đƣơng với E(  ) 1 exp( E log(1 n (  ))) f' ( k ( , n , )) maxmax min (2.5) E() Sử dụng n() nmin , (3.5) đƣợc suy ra từ bất đẳng thức sau E( ) n f' ( k ( , n , )) min (2.6) maxmax min E() Sử dung (3.6) ta có điều kiện (3) đƣợc thỏa mãn khi 1 En 0 A min min . En() 1 max max 104
11. TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 3. KẾT LUẬN Bài báo tập trung nghiên cứu về mô hình tăng trƣởng kinh tế Solow và sử dụng công cụ của lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên phân tích chi tiết mô hình tăng trƣởng Solow với tham biến ngẫu nhiên. Bài báo đã làm sáng tỏ đƣợc rằng động lực học của mô hình Solow ngẫu nhiên đƣợc mô tả hoàn toàn bởi một điểm ngẫu nhiên hút toàn bộ. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nxb. Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. [2] Trần Thọ Đạt (2010), Mô hình tăng trưởng kinh tế, Nxb. Đại học Kinh tế Quốc dân, Hà Nội. [3] B.Schmalfuss(1996), A random fixed poin theorem Based on Lyapunov exponents, Randdtaionom and Computational Dynamics, 4,257-268. [4] B.Schmalfuss (1998), A random fixed poin theorem and the random graph transformation, J.Math. App. 225,91-113. [5] Mirman, L.J. (1972), On the existence of steady measur for one sector growth models with uncertain technology, International Economic Review, 12, 271-286. [6] Mirman, L.J(1973), The steady state behavior of a class of one sector growth models with uncertain technology, Journal of Economic Theory 6, 219-242. THE SOLOW ECONOMIC GROWTH MODEL Hoang Dieu Hong ABSTRACT In this paper, we use the theory of random dynamic system as a tool to analyze in detail the Solow economic growth model and study the simultaneous motions of orbits of evolution processes over time in the Solow economic growth model. Keywords: Non-linear function, interference, orbit, long-termed pattern of orbits. * Ngày nộp bài: 21/9/2020; Ngày gửi phản biện: 13/10/2020; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 * Bài báo này là kết quả nghiên cứu từ đề tài cấp cơ sở mã số ĐT-2019-17 của Trường Đại học Hồng Đức. 105