Mô hình tối ưu trong bài toán vận tải đường biển

Nội dung text: Mô hình tối ưu trong bài toán vận tải đường biển

1. TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI KINH TẾ - XÃ HỘI JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN VẬN TẢI ĐƯỜNG BIỂN ECONOMIC OPTIMIZATION MODELS FOR MARITIME TRANSPORT NGUYỄN THỊ ĐỖ HẠNH Khoa Cơ sở Cơ bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam *Email liên hệ: nguyen.dohanh@vimaru.edu.vn Do đó trong bài báo này, tác giả xây dựng mô hình Tóm tắt nền kinh tế có sản xuất và có tính đến thời gian vận Bài báo đưa ra hai mô hình kinh tế có liên quan chuyển hàng hóa. Lời giải bài toán được thực hiện bởi đến bài toán tối ưu. Mô hình thứ nhất thể hiện nền toán học lý thuyết, sử dụng điều kiện Karush-Kuhn- kinh tế có sản xuất và có tính đến thời gian vận Tucker và hệ số Lagrange làm công cụ chính. Đây là chuyển hàng hóa. Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker kết quả mới so với các mô hình cổ điển thường là và hệ số Lagrange là công cụ chính để chứng minh không có tính đến yếu tố thời gian. bài toán có nghiệm duy nhất và mô tả các kết quả Mặt khác, nhìn trên khía cạnh ứng dụng của bài tính toán cụ thể. Mô hình thứ hai đề cập đến vấn toán tối ưu trong kinh tế vận tải biển, phần tiếp theo đề tối thiểu hóa chi phí khi vận chuyển container của bài báo đề cập đến mô hình vận chuyển container đường biển. Phương pháp giải quyết ở phần này đường biển, liên quan đến bài toán tối ưu tuyến tính. là dùng phần mềm mô phỏng R cho bài toán tối Với nhận xét rằng bài toán tối ưu tuyến tính dạng này ưu tuyến tính. đã được giải quyết khá trọn vẹn trong lý thuyết toán học với đầy đủ các kết quả về sự tồn tại và duy nhất Từ khóa: Tối ưu, thời gian, vận chuyển container. nghiệm, do đó nội dung trong bài báo này là một tiếp Abstract cận với số liệu cụ thể. Sau khi xây dựng mô hình, lời This article considers two economic optimization giải cụ thể được tìm bằng cách sử dụng phần mềm R models for maritime tranport. Section 2 illustrates - một công cụ rất hữu hiệu để phân tích mô phỏng bài an economic with production and transportation toán kinh tế. which takes time. The Karush-Kuhn-Tucker 2. Bài toán tối ưu lợi nhuận của doanh nghiệp approach and Lagrange multipliers are the key có tính đến yếu tố thời gian methods to demonstrate that model has unique Trong phần sau đây, tác giả xây dựng một mô hình solution and to derive some comparative static kinh tế với hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas và hàm results. Section 3 gives an optimization model of lợi ích dạng logarit. Điểm mới của mô hình là đưa container transport. The problems are solving by thêm các biến thời gian, đặc trưng cho việc vận R simulation software for linear programming. chuyển hàng hóa từ sản xuất đến người tiêu dùng. Keywords: Optimization, time, container Trong mô hình cổ điển, các yếu tố đầu vào của transport. hàm Cobb-Douglas thường là hai yếu tố: vốn và lao động với các hệ số co giãn lần lượt là 훼 và 1 − 훼 1. Mở đầu (trường hợp lợi tức không đổi theo quy mô). Trong mô Lý thuyết tối ưu là một công cụ rất mạnh để giải hình dưới đây, lao động được nhìn dưới khía cạnh các bài toán về kinh tế nói chung và kinh tế vận tải "thời gian lao động" và được tính theo đơn vị thời gian. biển nói riêng, khi mà vấn đề luôn đặt ra là tối đa hóa Tức là để đóng góp vào sản lượng thì cần có vốn (với lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí. tỷ lệ đóng góp là 훼) và thời gian lao động (tỷ lệ đóng Các mô hình kinh tế cổ điển thường được thể hiện góp là 1 − 훼). với giả thiết là việc tiêu dùng xảy ra "ngay lập tức", Hơn nữa trong mô hình cũng đưa thêm một ràng nghĩa là không tính đến yếu tố thời gian cần thiết để buộc về thời gian bên cạnh ràng buộc quen thuộc về chuyển hóa các loại hàng thành một sản phẩm có thể ngân sách. Điều này có nghĩa là doanh nghiệp chỉ có sử dụng được. Điều này nói chung không hoàn toàn một khoảng thời gian cố định để sản xuất và vận đúng trong thực tế. Đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế vận chuyển hàng hóa theo hợp đồng. tải, thời gian là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến Ứng dụng trong kinh tế vận tải, lời giải của bài toán quyết định lựa chọn phương án đầu tư và lợi nhuận sẽ giúp doanh nghiệp xây dựng phương án sản xuất và của doanh nghiệp. thời gian vận chuyển phù hợp để đạt lợi nhuận tốt nhất. SỐ 67 (8-2021) 111
2. TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X KINH TẾ - XÃ HỘI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 2.1. Xây dựng mô hình đều xảy ra dấu bằng, tức là doanh nghiệp tận dụng Xét hai loại hàng hóa (j = 1,2) với hàm sản xuất tối đa điều kiện về ngân sách và thời gian. dạng Cobb-Douglas: 3. Bài toán trên có duy nhất nghiệm. Để tối ưu hóa α 1−α sản xuất và lợi ích thì doanh nghiệp xác định tổng 퐹푗(퐾푗, 푗) = 푗퐾푗 푗 thời gian dành cho sản xuất ∗ theo phương trình Trong đó: 퐾 là vốn và là thời gian dành cho 푗 푗 sau đây: sản xuất, 푗 là hệ số sản xuất, bao gồm các yếu tố β β 1−α còn lại dành cho sản xuất. 1 + 2 = (9) α α ̅ Hiệu quả sản xuất của doanh nghiệp là: + 1 + 2 α + (1 − α) ở đó: 퐾α 1−α − r퐾 − w 푗 푗 푗 푗 푗 푗 α 푗 = (1 − α) 푗 푗퐾̅ ; j = 1,2 Trong đó: 푗 là giá của loại hàng j; r là lãi suất và w là tiền lương (tính trên một đơn vị thời gian). 1 훽 훽1 = ; 훽2 = ∙ Khi đưa hàng hóa đến với người tiêu dùng, mỗi 1 + 훽 1 + 훽 ∗ đơn vị hàng j sẽ mất một thời gian là 푗. Giả sử số Nhận xét thấy kết quả tính không phụ thuộc lượng hàng j được chuyển đi là 푗 và hàm lợi ích là vào giá 푗, r và w. u( 1, 2) = ln 1 + β ln 2, 4. Từ đó cũng xác định được số lượng hàng hóa cần Trong đó: hệ số 훽 thể hiện tỷ lệ ảnh hưởng của sản xuất và chuyển đi: (j=1,2) hai loại hàng hóa trên đối với hàm lợi ích. 훽푗 푗 ∗ [ ∗ ̅] ̅α 푗 = ∗ 훼 α + (1 − α) 퐾 . Điều kiện về ngân sách: 푗 + ( ) 1 1 + 2 2 ≤ 퐾̅ + 푤 (1) 5. Thời gian dành cho sản xuất tương ứng: (j=1,2) ̅ β Trong đó: 퐾 là tài sản vốn ban đầu của doanh ∗ 푗 [ ∗ ̅] ∗ α 푗 = ∗ α α + (1 − α) ( ) . nghiệp. 푗 + ( ) Tổng thời gian cả sản xuất và vận chuyển là ̅. 6. Nếu tham số 훽 của hàm lợi ích thay đổi làm cho Khi đó điều kiện về thời gian là: tổng thời gian dành cho sản xuất T* giảm thì lương 1 1 + 2 2 + T ≤ ̅. (2) w tăng và lãi suất r giảm. Để toàn bộ hàng hóa đã sản xuất đều được sử dụng 7. Khi hệ số thời gian vận chuyển tăng, nếu doanh thì: nghiệp muốn đạt lợi ích lớn nhất thì tổng thời gian dành cho sản xuất phải giảm đi. 푗 = 퐹푗(퐾푗, 푗); 푗 = 1,2. (3) Để toàn bộ vốn và thời gian đều được huy động Hơn nữa nếu hệ số 푗 tăng, tức là thời gian vận hết thì: chuyển mỗi đơn vị hàng hóa loại j tăng lên. Khi đó doanh nghiệp cần điều chỉnh giảm thời gian 퐾 + 퐾 = 퐾̅, (4) 1 2 là thời gian sản xuất loại hàng đó để đảm bảo + = . (5) 푗 1 2 giao hàng đúng hạn ( ̅ không đổi) và vẫn đạt lợi Bài toán đặt ra là doanh nghiệp tối ưu hóa sản xuất: ích tối đa. α 1−α max{ 푗 푗퐾푗 푗 − r퐾푗 − w 푗} (6) 2.3. Tóm tắt quá trình chứng minh các kết quả trên đồng thời đạt lợi ích lớn nhất: 1. Xét hàm Lagrange cho bài toán (6). Các đạo hàm max{u( , )} (7) 1 2 riêng cấp 1 cho kết quả: thỏa mãn các điều kiện về ngân sách và điều kiện 훼퐾훼−1 1−훼 = , về thời gian với các biến > 0, > 0, 퐾 ≥ 푗 푗 푗 푗 1 2 1 훼 −훼 푗 푗(1 − 훼)퐾푗 푗 = 푤. 0, 퐾2 ≥ 0, 1 ≥ 0, 2 ≥ 0. 2.2. Các kết quả có được từ mô hình Chia hai phương trình trên cho nhau ta được: (1 − α)퐾 푤 1. Điều kiện (1) tương đương với: 푗 = , ∀푗 = 1,2 α 푗 1 2 훼 1−훼 + ≤ 퐾̅ (8) Suy ra: 1 2 퐾 퐾 퐾 + 퐾 퐾̅ α 푤 tức là ràng buộc về ngân sách không liên quan đến 1 = 2 = 1 2 = = (10) giá của hàng hóa mà chỉ phụ thuộc vào các yếu tố 1 2 1 + 2 1 − α cấu thành nên sản xuất. α푤1−α 1 1 = 2 2 = α 1−α . (11) 2. Tại trạng thái tối ưu, các bất đẳng thức (1) và (2) α (1 − α) 112 SỐ 67 (8-2021)
3. TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI KINH TẾ - XÃ HỘI JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY Do đó: 퐾̅ α r퐾̅ + wT = 퐾α 1−α + 퐾α 1−α = 퐾α 1−α = ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 푗 푗 푗 푗 푗 푗 α 1−α = 1 1퐾̅ . ∗ Thay vào điều kiện (1) và chia cả hai vế cho ∗ 푗 ⇒ 푗 = α −α 푗퐾̅ 1 1 = 2 2 ta nhận được điều kiện (8). ∗ ∗ 2. Giả sử tại trạng thái tối ưu (2) không xảy ra dấu Từ đó tính được 1 và 2 . bằng. Ta có thể tăng và 1 sao cho cả hai điều 6. Từ các đẳng thức (10) và (11) có thể biểu diễn 푤 kiện (1) và (2) đều thỏa mãn. Khi đó giá trị hàm lợi và theo và 퐾̅ như sau: ích tăng, mâu thuẫn với giả thiết về tính tối ưu. 퐾̅ α Nếu = 0 thì 퐾̅α 1−α = 0, suy ra x = x = 1 2 w = (1 − α) 푗 푗 ( ∗) ; 0, mâu thuẫn vì T̅ > 0. Còn nếu tại trạng thái tối ưu (1) không xảy ra dấu ∗ 1−α = α ( ) . bằng. Vì T > 0 ta có thể giảm một chút và tăng 푗 푗 퐾̅ x một chút sao cho cả hai điều kiện (1) và (2) đều 1 Suy ra nếu T* giảm thì w tăng và r giảm. thỏa mãn: mâu thuẫn. 7. Xét biểu thức ( ( , ), , ) = 0 từ phương 3. Xét bài toán tối ưu hàm lợi ích. Các đạo hàm riêng 1 2 1 2 trình (9). Đạo hàm riêng theo cho thấy: cấp một của hàm Lagrange cho thấy: (λ > 0, λ > 0) 1 2 3 (1 − α)2 ̅ 1−2α ∂ β 1−α 1 1 [Δ + 2] = − α 2 = λ2 + λ3 1 (12) (α + (1 − α) ̅) ∂ 1 ( + 1) 1 1 Từ (9) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: β 1 = λ + λ (13) 2 3 2 1−α 2 2 2 2 α αβ αβ ( ) = ( 1 + 2 ) ̅α −α α α λ3 = λ2(1 − α)K T (14) α + (1 − α) ̅ + 1 + 2 Suy ra: αβ αβ ≤ α ( 1 + 2 ) 1 2 α 2 α 2 1 + β = λ ( + ) ( + 1) ( + 2) 2 1 2 αβ1 αβ2 α −α ≤ α 2 + α 2 +λ2(1 − α)퐾̅ ( 1 1 + 2 2). ( + 1) ( + 2) Thay các điều kiện (8) và (2) vào đẳng thức trên 휕 Suy ra : ∆ > 0. Do đó 0 và f( ̅, 1, 2) < 0 . Hơn nữa hàm đơn điệu với nên phương trình có duy Tối ưu hóa quá trình vận chuyển từ cảng đến người ∗ nhất nghiệm = ( 1, 2) ∈ (0, ̅). nhận; ∗ ∗ 4. Từ (15), (16), (17) suy ra 1 và 2. Xác định lộ trình tối ưu của tàu giữa các cảng, sao 5. Vì tất cả hàng sản xuất ra đều được sử dụng nên: cho đảm bảo mức độ tiêu thụ nhiên liệu thấp nhất; Tối ưu hóa tải tàu, sao cho mức độ ổn định của tàu cao nhất. SỐ 67 (8-2021) 113
4. TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X KINH TẾ - XÃ HỘI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY ̅̅̅̅ Sau đây là một ví dụ về việc tối ưu hóa vận chuyển 푖푗 ≥ 0, ∀푖 = (1,5), j = (1̅̅,̅4̅). container giữa các cảng. Doanh nghiệp vận tải có 4 tàu container S1, S2, S3 và S4 với tải trọng lần lượt là 2600, 4200, 2100, 1100TEU. Cần phải lên kế hoạch để vận chuyển 10000 container từ Singapore tới 5 cảng của châu Âu P1, P2, P3, P4, P5 với số lượng tương ứng là 1800; 2100, 3100, 1800, 1100 TEU. Bảng sau đây mô tả chi phí vận chuyển 1TEU container: Bảng 1. Số liệu cho bài toán vận chuyển container Số Tàu lượng S1 S2 S3 S4 cần vận Cảng chuyển P1 500 450 640 620 1800 Lisbon USD USD USD USD TEU P2 600 540 660 690 2100 Le Havre USD USD USD USD TEU P3 700 610 710 730 3100 Bremerhaven USD USD USD USD TEU Hình 1. Code R cho bài toán tối ưu tuyến tính P4 740 735 870 810 1800 Gdansk USD USD USD USD TEU Phương án tối ưu cho bài toán này là: ∗ ∗ ∗ ∗ P5 900 890 960 930 1200 11 = 700; 12 = 1100; 13 = 0; 14 = 0; ∗ ∗ ∗ ∗ St Petesburg USD USD USD USD TEU 21 = 0; 22 = 2100; 23 = 0; 24 = 0; ∗ ∗ ∗ ∗ Tải trọng của 2600 4200 2100 1100 31 = 0; 32 = 1000; 33 = 2100; 34 = 0; ∗ ∗ ∗ ∗ tàu TEU TEU TEU TEU 41 = 1800; 42 = 0; 43 = 0; 44 = 0; ∗ ∗ ∗ ∗ Gọi số lượng container mà tàu Sj (j = 1, 2, 3, 4) 51 = 100; 52 = 0; 53 = 0; 54 = 1100. vận chuyển tới cảng Pi (i = 1, 2, 3, 4, 5) là 푖푗 (TEU). Chi phí vận chuyển khi đó bằng: Khi đó tổng chi phí vận chuyển là: 퐹∗( ) = 6525000USD. F( ) = 500 11 + 450 12 + 640 13 + 620 14 Bảng 2. Phương án vận chuyển container + 600 21 + 540 22 + 660 23 + 690 24 Tàu Số lượng + 700 31 + 610 32 + 710 33 + 730 34 S1 S2 S3 S4 container + 740 41 + 735 42 + 870 43 + 810 44 Cảng đến cảng + 900 + 890 + 960 + 930 . P1 1800 51 52 53 54 700 1100 Cần giải bài toán chi phí tối thiểu, tức là: Lisbon TEU minF( ) thỏa mãn điều kiện: P2 2100 2100 Le Havre TEU 11 + 12 + 13 + 14 = 1800 P3 3100 21 + 22 + 23 + 24 = 2100 1000 2100 Bremerhaven TEU 31 + 32 + 33 + 34 = 3100 P4 1800 + + + = 1800 1800 41 42 43 44 Gdansk TEU + + + = 1200 51 52 53 54 P5 1200 100 1100 11 + 21 + 31 + 41 + 51 = 2600 St Petesburg TEU 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 4200 Tải trọng của 2600 4200 2100 1100 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 2100 tàu TEU TEU TEU TEU 14 + 24 + 34 + 44 + 54 = 1100 Cần lưu ý rằng, mặc dù thu thập dữ liệu từ tài liệu [4], tuy nhiên với cách xây dựng và giải quyết bài toán 114 SỐ 67 (8-2021)
5. TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI KINH TẾ - XÃ HỘI JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY tối ưu như trên, kết quả nhận được từ mô hình này tỏ TÀI LIỆU THAM KHẢO ra ưu việt hơn hẳn so với bài báo gốc. [1]. Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston, Jerry 4. Kết luận R. Green, Microeconomic Theory, Oxfort Bằng cách sử dụng các công cụ toán học lý thuyết University Press, 1995. và công cụ phần mềm mô phỏng, bài báo đã xây dựng [2]. Binh Tran-Nam, Makoto Tawada, Masayuki và giải quyết hai bài toán tối ưu trong kinh tế. Các kết Okawa, Recent Developments in Normative Trade quả trên còn có thể được mở rộng theo nhiều hướng Theory and Welfare Economics, Springer nghiên cứu khả thi. Chẳng hạn mô hình thứ nhất có Singapore, 2018. thể mở rộng cho bài toán cân bằng tổng quát với nhiều [3]. Cuong Le-Van, Rose-Anne Dana, Dynamic doanh nghiệp tham gia, hoặc bài toán kinh tế nhiều Programming in Economics, Springer US, 2003. thời điểm. Mô hình thứ hai có thể được xem xét cùng với bài toán logistic, kết hợp giữa vận chuyển đường [4]. Józef Lisowski, Optimization methods in biển và vận chuyển từ cảng đến người tiêu dùng. maritime transport and logistics, Polish Maritime research 4 (100), Vol.25, pp.30-38. 2018. Lời cảm ơn [5]. Nguyễn Hữu Hùng, Giáo trình kinh tế vận tải Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học đường biển, NXB Hàng hải, 2014. Hàng hải Việt Nam trong đề tài mã số DT20-21.90. Ngày nhận bài: 05/5/2021 Ngày nhận bản sửa: 17/5/2021 Ngày duyệt đăng: 25/5/2021 SỐ 67 (8-2021) 115