Tài liệu Giải tích 1 - Bài 2 - Nguyễn XUân Thảo

Nội dung text: Tài liệu Giải tích 1 - Bài 2 - Nguyễn XUân Thảo

1. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ) GI I TÍCH I BÀI 2. (§6, §7, §8) §6. Gi i h n hàm s ••• t v n 1 1 a) lim 2x = ? b) lim= ? c) lim= ? x →1 x→0 x x→∞ x I. nh ngh a − N1. x0 ∈ X ⊂ » là im t c a X ⇔ ∃ x ∈ Uε(x0)\ { x0}, ∀ ε > 0. − N2. f(x) xác nh trên X, x0 là im t c a X. Ta b o lim f( x) = a ⇔ ∀ ( xn) ⊂ X, xn ≠ x0, xn → x0 ⇒ f(xn) → a. x→ x 0 − N3. f(x) xác nh trên X, x0 là im t c a X. Ta b o lim f( x) = a ⇔ ∀ ε > 0 bé tu ý, ∃ δ(ε) > 0: 0 p ⇒ f(x) > p, ∀xU ∈ x\ x ε0 ( 0) { 0 } x→ x 0 2. Phép toán a) limfx( ) = a , lim gx( ) = b ⇒ lim (fx( ) ± gx( )) = ab ± xx→0 xx → 0 x→ x 0 6
2. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ) f( x) a b) limfx( ) = a , lim gx( ) = b ⇒ lim(fxgx( ) .( )) = ab . và lim = , ( b ≠ 0) xx→0 xx → 0 x→ x 0 x→ x 0 g() x b 3. Kh d ng vô nh 0 ∞ a) Các d ng vô nh ; ;0.;∞∞−∞ ;1;0;∞ 0 ∞ 0 0 ∞ b) Kh d ng vô nh. S d ng các phép bi n i i s và các gi i h n c bi t x sin x 1  lim= 1 ; lim 1 +  = e x →0 x x→∞ x  x +4 − 2 π x Ví d 1. lim Ví d 2. lim() 2− x tan x→0 x x→2 4 2x+ 1 1 x + 2  cot 2 x − Ví d 3. lim   Ví d 4. lim() cos x (e 2 ) x→1 x −1  x→0 III. Gii h n hàm h p, m t phía, vô c c 1. Gi i h n hàm h p. lim u( x) = u 0 , lim f( u) = a ⇒⇒⇒ lim fux( ( )) = a x→ x 0 u→ u 0 x→ x 0 2. Gi i h n m t phía. nh ngh a 4. lim f( x) = a ⇔ ∀ ε > 0 bé tu ý, ∃ δ(ε) > 0: 0 0 bé tu ý, ∃ δ(ε) > 0: 0 0 bé tu ý, ∃ N(ε) > 0: | x| > N(ε) ⇒ | f(x) − a| < ε. x→∞ Chú ý. N6 ∼ N7. 1 x2 +4 + x Ví d 1. lim Ví d 2. lim( x+ 1 − x ) Ví d 3. lim x1−x 5 4 x→+∞ x +x + 2 x x→+∞ x→1 7
3. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ) Ví d 4. lim( sinx− sin 1 + x 2 ) (0) x→+∞ Ví d 5. lim( cosx− 1 − cos x + 1 ) (0) x→+∞ nh ngh a 8. lim f( x ) = ∞ ⇔ ∀ ( xn) → ∞ có lim f( x n ) = ∞ x →∞ n→∞ nh ngh a 9 lim f( x ) = ∞ ⇔ ∀ N > 0 l n tu ý, ∃ δ(N) > 0: | x − x0| N. x→ x 0 §7. Vô cùng bé, vô cùng l n • t v n I. Vô cùng bé I. nh ngh a. α(x) là VCB, x → x0 ⇔ limα (x) = 0 . x→ x 0 2. Tính ch t. a) α(x) là VCB, x → x0, c = const ⇒ cα(x) là VCB khi x → x0. n b) αi(x), i= 1, n là VCB khi x → x0 ⇒ ∑αi ()x là VCB khi x → x0 i =1 c) α(x) là VCB khi x → x0, f(x) b ch n trong U (x0) ⇒ α(x)f(x) là VCB, x → x0 ε0 3. Liên h gi a VCB và gi i h n nh lí. limf ( x ) = L ⇔ f(x) − L là VCB khi x → x0 (hay f(x) = L + α(x), α(x) là VCB) x→ x 0 4. So sánh VCB. Gi s α(x), β(x) là các VCB khi x → x0. α (x) nh ngh a. α(x) ∼ β(x) ⇔ lim= 1 x→ x 0 β ()x α (x) nh ngh a. α(x) là VCB cùng cp v i VCB β(x) khi x → x0 ⇔ lim =a ∈ » \{0} x→ x 0 β ()x α (x) nh ngh a. α(x) là VCB cp cao h ơn VCB β(x) khi x → x0 ⇔ lim= 0 x→ x 0 β ()x Ví d 1. a) sin x ∼ x, ex − 1 ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, (1 + x)α − 1 ∼ αx khi x → 0 ex 1 b) Cho α()x=, β ()() xe =−+ 1 x x . 2 Ch ng minh r ng α( x) ∼ β ( x ) khi x → 0. 8
4. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ) 1 c) Cho α()()xe=−+1 2 x2x , β () xex = . Ch ng minh r ng α( x) ∼ β ( x ) khi x → 0. 5. ng d ng tìm gi i h n α(x) α ( x ) a) α(x) ∼ α (x), β(x) ∼ β (x) , x → x0 ⇒ lim= lim xx→0β()x xx → 0 β () x (ex −1) tan x 313+x 4 14 + x − 1 Ví d 2. lim Ví d 3. lim (− 4) x→0 sin 2 x x→0 1−x − 1 b) β(x) là VCB cp cao h ơn α(x) khi x → x0 ⇒ α(x) + β(x) ∼ α(x) x− sin x Ví d 4. lim x→ 0 x3 c) α(x), β(x) là các VCB khi x → x0; m α()()x= ∑ α k x , α1(x) là VCB có cp th p nh t; k =1 n β()()x= ∑ β k x , β1(x) là VCB có cp th p nh t k =1 α (x) α (x) ⇒ lim= lim 1 xx→0β()x xx → 0 β 1() x x+sin3 x + tan 4 x Ví d 5. lim x→0 4x+ x4 + 5 x 8 II. Vô cùng l n 1. nh ngh a. f(x) xác nh U (x0) (có th tr x0), f(x) là VCL khi x → x0 ε0 ⇔ lim f( x ) = ∞ x→ x 0 Chú ý. Hàm là VCL ⇒ không b ch n ⇐ Ví d 6. f(x) = x sin x là không b ch n nh ưng không ph i là VCL. 2. Liên h gi a VCB và VCL 1 a) f(x) là VCB, x → x0 và f(x) ≠ 0 ⇒ là VCL khi x → x0. f() x 1 b) f(x) là VCL, x → x0 ⇒ là VCB khi x → x0. f() x 9
5. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ) 3. So sánh các VCL. Gi s A(x), B(x) là các VCL khi x → x0, A( x ) a) A(x) là VCL c p cao h ơn VCL B(x), x → x0 ⇔ lim = ∞ x→ x 0 B() x A( x ) b) A(x), B(x) là các VCL cùng c p, x → x0 ⇔ lim = a ≠ 0 x→ x 0 B() x A( x ) c) A(x), B(x) là các VCL t ươ ng ươ ng, x → x0 ⇔ lim= 1 . x→ x 0 B() x 4. ng d ng tìm gi i h n a) Cho các VCL t ươ ng ươ ng A(x) ∼ A( x ) , B(x) ∼ B( x ), x → x0 ⇒ Ax( ) Ax( ) lim= lim xx→0B() x xx → 0 B() x b) Cho A(x), B(x) là các VCL khi x → x0; m Ax()()= ∑ Axk , A1(x) là VCL có cp cao nh t; k =1 n Bx()()= ∑ Bxk , B1(x) là VCL có cp cao nh t k =1 A( x ) A( x ) ⇒ lim= lim 1 xx→0Bx() xx → 0 Bx1 () 9x4+ x 3 + x + 2 9 Ví d 7. lim = x→∞ 2009x4+ 3 x 2 + x + 1 2009 Ví d 8. Tính gi i h n 1 1 2 − 2 a) lim(2− x ) cot(x − 1) (e 2 ) b) lim (2+ x ) cot(1−x ) (e2 ) x→1 x→− 1 (1− 4x )ln(1 + 2x ) (1− 9x )ln(1 + 3x ) c) lim (−2 ln 4 ) d) lim (−2 ln 3 ) x→0 x2+ 2 x 3 x→0 3x2− 4 x 3 § 8. HÀM S LIÊN T C • t v n I. Hàm liên t c 1. nh ngh a. f(x) liên t c t i x0 ⇔ +) f(x) xác nh trên U (x0) ε0 +) limfx ()= fx (0 ) ( ⇔ lim∆f( x ) = 0 ) x→ x 0 ∆x → 0 10
6. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ) f(x) liên t c trái t i x0 ⇔ +) f(x) xác nh trên U (x0) ∩ { x 0 liên t c t i x = 0. (a = 0). acos( arctan x) , x ≤ 0 b) Tìm a y =  sinln()xx+2 − sinln xx , > 0 liên t c t i x = 0. (a = 0). 2. Tính liên t c c a các hàm s ơ c p. M i hàm s s ơ c p liên t c trên các kho ng mà hàm s ó xác nh. 3. Phép toán. Cho f(x), g(x) liên t c t i x0 ⇒ f(x) ± g(x) liên t c t i x0, f(x)g(x) liên t c f( x ) ti x0 và liên t c t i x0 n u g(x0) ≠ 0 g() x 4. Ý ngh a. f(x) liên t c trên [ a ; b] ⇒ th là ưng li n nét. 11
7. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ) 5. Tính ch t nh lí 1. (Weierstrass 1) f(x) liên t c trên [ a ; b] ⇒ f(x) b ch n trên [ a ; b] nh lí 2. (Weierstrass 2) f(x) liên t c trên [ a ; b] ⇒ f(x) t giá tr l n nh t và bé nh t trên [ a ; b] nh lí 3. f(x) liên t c trên [ a ; b], M = max f , N = min f , µ ∈ [ m ; M] ⇒ ∃ c ∈ [ a ; b]: []a; b []a; b f(c) = µ. H qu . f(x) liên t c trên [ a ; b], f(a)f(b) 0 bé tu ý. ∃ δ(ε) > 0, ∀ x1, x2 ∈ X, |x1 − x2| < δ(ε) ⇒ | f(x1) − f(x2)| < ε. Ví d 7. y = x + 2. nh lí (Cantor). f(x) liên t c trong [ a ; b] ⇒ f(x) liên t c u trong [ a ; b] HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 12