Ứng dụng spectral risk measures đo lường rủi ro danh mục đầu tư

Nội dung text: Ứng dụng spectral risk measures đo lường rủi ro danh mục đầu tư

1. Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH tồn quốc lần thứ IV các Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD ỨNG DỤNG SPECTRAL RISK MEASURES ĐO LƯỜNG RỦI RO DANH MỤC ĐẦU TƯ APPLY SPECTRAL RISK MEASURES TO MEASURE INVESTMENT PORTFOLIO RISK Nguyễn Thị Hoa GVHD: TS. Hồ Hồng Hải Đại học Ngoại Thương Hà Nội Nguyenthihoa610@gmail.com TĨM TẮT Đo lường rủi ro danh mục đầu tư đã trải qua nhiều bước tiến, từ mơ hình Mean-Variance, sau đĩ đến mơ hình Value-at-Risk, Expected Shortfall và cuối cùng là Spectral Risk Measures. Thước đo này cĩ nhiều đặc điểm hấp dẫn của các thước đo rủi ro liền mạch được đề xuất bởi Artzner et al. (1997, 1999) và cho phép tích hợp khẩu vị rủi ro của nhà đầu tư một cách liên tục. Tuy nhiên trên thế giới, các nhà nghiên cứu mới nghiên cứu việc áp dụng lý thuyết lợi ích vào thước đo rủi ro này. Vì vậy tác giả kiểm tra việc áp dụng lý thuyết biến dạng (distortion theory) vào thước đo này và nhận thấy rằng lý thuyết biến dạng cĩ thể được áp dụng hiệu quả nhưng nhà đầu tư cần xem xét kỹ lưỡng các tham số sao cho phù hợp với hành vi khơng ưa rủi ro của chính họ. Từ khĩa: đo lường rủi ro, danh mục đầu tư, Value-at-Risk, Expected Shortfall, Spectral Risk Measures, Lý thuyết Biến dạng. ABSTRACT Investment portfolio measures have achieved several breakthroughs from the development of Mean-Variance model, to Value-at-Risk, Expected Shortfall and eventually Spectral Risk Measures. The latest risk measures share many desirable features with Coherent Risk Measures as proposed by Artzner et. al. (1997, 1999) and are able to incorporate investors’ risk aversion continuously. However, existing literature has just concerned the application of utility theory to the measure. The author therefore examines the application of distortion theory to the measure and finds that the distortion theory can be effectively utilized on an in-depth investigation into parameters to match risk aversion behavior of each investor. Keywords: risk measure, investment portfolio, Value-at-Risk, Expected Shortfall, Spectral Risk Measures, Distortion Theory 1. Giới thiệu Một trong những mơ hình đo lường rủi ro cổ điển nhất là mơ hình Mean-Variance (1952). Nối tiếp là mơ hình Value-at-Risk, mơ hình đang là tiêu chuẩn của ngành cơng nghiệp tài chính. Hai mơ hình này đều cĩ những đặc điểm khơng phù hợp để đo lường rủi ro danh mục của nhà đầu tư, đặc biệt khi thu nhập của tài sản khơng tuân theo phân phối elip (Grootveld và Hallerbatch, 2004). Hơn nữa, mơ hình VaR cũng khơng chỉ ra được các mức tổn thất vượt quá VaR và khơng đồng nhất với lý thuyết về hiệu ứng đa dạng hĩa danh mục khi thị trường biến động mạnh, tức VaR khơng cĩ tính sub additivity. Hai mơ hình đo lường rủi ro được nghiên cứu nhiều gần đây là Expected Shortfall (ES) và Spectral Risk Measures (SRM). Trong khi ES là trung bình các quantiles vượt quá VaR, thì SRM là trung bình cĩ trọng số của tất cả các quantiles của phân phối tổn thất. Trọng số tăng theo mức độ khơng ưa rủi ro của nhà đầu tư. Nhà đầu tư càng khơng ưa rủi ro, rủi ro mà nhà đầu tư kỳ vọng sẽ càng cao và vì vậy SRM càng lớn. SRM cĩ thể được sử dụng để giải quyết rất nhiều vấn đề, ví dụ như để xác định yêu cầu vốn cho ngân hàng hay điểm hốn đổi rủi ro – lợi nhuận tối ưu (Acerbi, 2004), để 47
2. Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng phân bổ vốn (Overbeck, 2004; Abad và Iyengar (2015), Adam et al. (2007)) và để xác định yêu cầu margin cho clearing house (Cotter và Dowd, 2006). Hơn nữa, SRM cũng được chứng minh là đồng nhất với lý thuyết lợi ích kỳ vọng và quy tắc second order stochastic dominance (Adam et al., 2007). Tuy nhiên, hiện tại hầu như khơng cĩ hướng dẫn về cách lựa chọn một hàm khơng ưa rủi ro hợp lý. Acerbi (2004) chỉ kiểm tra hàm khơng ưa rủi ro dựa vào lý thuyết lợi ích mũ (exponential utility theory). Dowd et al. (2008) kiểm tra tính hợp lý của hàm khơng ưa rủi ro mũ và lũy thừa và nhận thấy rằng hàm mũ phù hợp được các đặc điểm cơ bản của SRM trong khi hàm lũy thừa khơng phù hợp. Tuy nhiên, tác giả tin rằng quá trình suy ra hàm khơng ưa rủi ro tùy lý thuyết lợi ích mũ cần được xem xét lại để cĩ kết quả chính xác hơn. Bên cạnh hàm lợi ích, hàm khơng ưa rủi ro cũng cĩ thể suy ra được từ lý thuyết biến dạng (Distortion theory), ví dụ như được đề xuất bởi Gzyl và Mayoral (2006) hay Sriboonchitta et al. (2010). Bài nghiên cứu này kiểm tra tính phù hợp và chính xác của SRM dựa trên ba hàm biến dạng phổ biến được sử dụng để định giá bảo hiểm, cụ thể là Dual Power, Proportional Hazard và Wang’s. Mặc dù lý thuyết biến dạng được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực bảo hiểm và cĩ thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhưng lý thuyết ít được chú ý để đo lường rủi ro của tài sản hoặc danh mục theo hiểu biết của tác giả. Đặc biệt trong bối cảnh nền kinh tế Việt Nam đang bước vào thời kỳ hội nhập, thị trường tài chính càng trở nên phức tạp và đa dạng hơn, với sự sắp xuất hiện của sản phẩm phái sinh chỉ số đầu tiên, thì việc đo lường rủi ro danh mục đầu tư càng trở nên quan trọng hơn bao giờ hết. 2. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu 2.1. Cơ sở lý thuyết 2.1.1. Thước đo Spectral Risk Measures SRM cĩ nhiều điểm chung hấp dẫn với thước đo rủi ro liền mạch (coherent risk measures) (Artzner et al., 1999). Nếu X và Y là hai giá trị của hai vị thế rủi ro, một thước đo rủi ro (.) được coi là liền mạch nếu thỏa mãn bốn đặc điểm sub-additivity, homogeneity, monotonicity, translational invariance. Bên cạnh bốn điều kiện trên, một thước đo rủi ro (.) là một thước đo SRM nếu nĩ thỏa mãn thêm hai điều kiện là law invariance và comonitonic addivity. Trong đĩ, mơ hình Value-at-risk khơng thỏa mãn đặc điểm sub-additivity, do đĩ khiến mơ hình khơng phù hợp để đo lường rủi ro của danh mục trong trường hợp thị trường biến động: (X) + (Y) (X+Y) SRM được định nghĩa là trung bình cĩ trọng số các quantile của phân phối thu nhập của danh mục: Mϕ= = (1) = là hàm quantile của X và là hàm trọng số hay hàm khơng ưa rủi ro] Hai trường hợp đặc biệt của SRM là VaR và ES. Cả VaR và ES đều khơng thể tich hợp được mức độ khơng ưa rủi ro của nhà đầu tư. Xét trên gĩc độ rủi ro, VaR phù hợp với các nhà đầu tư khơng ưa rủi ro trong khi ES phù hợp hơn với các nhà đầu tư lãnh đạm với rủi ro. là hàm trọng số phù hợp nếu nĩ thỏa mãn ba yêu cầu sau: 48
3. Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH tồn quốc lần thứ IV các Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD (Khơng âm) (Chuẩn hĩa) = 1 1 1) ≥ 2), for any p1 ≥ p2 or ) 0 (Tính tăng yếu dần – Weakly increasing) Hai điều kiện đầu tiên hiển nhiên đúng với một hàm trọng số. Điều kiện cốt lõi là điều kiện thứ ba, nghĩa là trọng số phân bổ cho tổn thất cao hơn sẽ cao hơn trọng số phân bổ cho tổn thất thấp hơn. Tuy nhiên đặc điểm thứ ba khơng loại bỏ trường hợp lãnh đạm với rủi ro ra khỏi tập hợp SRM. Ví dụ ES cĩ thể sẽ được phân loại là một SRM, nhưng ES khơng tích hợp mức độ khơng ưa rủi ro của nhà đầu tư. Do đĩ Dowd et al. (2008) thay thế điều kiện thứ ba với một điều kiện giới hạn hơn một chút: ) 0 Hơn nữa, chúng ta cĩ thể kỳ vọng rằng nhà đầu tư càng khơng ưa rủi ro, trọng số được phân bổ cho các tổn thất cao hơn sẽ càng cao hơn. Do đĩ chúng ta cần một điều kiện nữa để trọng số cĩ thể tăng mượt cho những nhà đầu tư khơng ưa rủi ro hơn. Coi ү là thước đo phản ánh mức độ khơng ưa rủi ro của nhà đầu tư. Điều kiện này cĩ thể là 1) ≥ 2), với ү 1 ≥ ү 2 hay nĩi cách khác 1) ≥ 0, với p , . Dowd et al. (2008) đã khơng cân nhắc điều kiện này, vì thế họ khơng thể giải thích các trường hợp đường SRM “cư xử tệ”. 2.1.2. Thước đo Distortion Risk Measure (DRM) Thước đo DRM xuất phát từ lý thuyết Lựa chọn Đối ngẫu (Dual Theory of Choice) (Yaari, 1987), đo lường rủi ro dựa trên hàm distortion f dựa trên hàm FX. Denneberg (1994) đã phát triển lý thuyết tích phân để thiết lập sự liên kết giữa DRM lõm và SRM: (X) = = = Mϕ Trong đĩ, f(p) = với p [0,1]. Như vậy, bất kỳ thước đo DRM lõm nào đều thỏa mãn sáu điều kiện của một SRM như đề cập bên trên. DRM đã được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực bảo hiểm. Trong bài nghiên cứu này, tác giả sử dụng ba trong số các hàm distortion phổ biến nhất được sử dụng trong định giá bảo hiểm là hàm Dual Power, Proportional Hazard Transform, và hàm distortion của Wang. Để DRM lõm (X) bằng với một SRM Mϕ, hàm khơng ưa rủi ro bằng với f’(p). Tương ứng với ba hàm distortion trên, chúng ta cĩ thể tính được hàm khơng ưa rủi ro như sau: Thước đo Dual-power: Thước đo Proportional hazard: DRM của Wang: Cĩ thể thấy rằng thước đo rủi ro từ hàm distortion của Wang tăng nhanh hơn so với thước đo Proportional hazard, vì vậy nhà đầu tư sử dụng hàm khơng ưa rủi ro từ hàm distortion của Wang sẽ 1 Acerbi (2002, 2004) đã định nghĩa điều kiện này là tính giảm. Tuy nhiên, ơng đang xem xét phân phối mà tổn thất là số âm, cịn trong bài nghiên cứu này tổn thất là số dương nên điều kiện này là tính tăng. 49
4. Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng khơng ưa rủi ro hơn những nhà đầu tư sử dụng thước đo Proportional hazard. Hơn nữa, dễ thấy cả ba thước đo này đều thỏa mãn hai điều kiện đầu tiên của một hàm khơng ưa rủi ro phù hợp đề xuất bởi Acerbi (2002) và các giới hạn tham số để điều kiện thứ ba của ba hàm đúng đều là cũng được xác định. Ta cĩ thể minh họa như sau: Hình 1. Biểu đồ hàm trọng số lần lượt từ hàm Dual Power, Proportion Hazard và Wang’s theo xác suất tích lũy, với hệ số khơng ưa rủi ro bằng 1.5, 5 và 10. Hình 1 cũng chỉ ra rằng lambda càng cao, nhà đầu tư càng khơng ưa rủi ro và trọng số phân bổ cho tổn thất cao hơn càng cao. Tuy nhiên, nhà đầu tư cần phải hết sức cẩn trọng khi sử dụng một trong ba thước đo này vì mặc dù trọng số gắn với tổn thất cao hơn tăng theo hệ số khơng ưa rủi ro, tuy nhiên điều đĩ khơng đúng với tất cả hệ số, mà chỉ đúng với một khoảng hệ số, phụ thuộc vào thước đo nào được sử dụng và số lượng khoảng mà xác suất tích lũy được chia ra. Hơn nữa, cũng cần lưu ý rằng đối với cả ba thước đo, SRM tiến đến trung bình của phân phối tổn thất khi hệ số khơng ưa rủi ro tiến đến một: dp as Đây cĩ thể là một đặc điểm hơi lạ của SRM như Dowd nĩi, tuy nhiên khi chúng ta loại bỏ trường hợp lamda bằng 1, SRM khơng bao giờ bằng trung bình của phân phối tổn thất hay nĩi cách khác, SRM luơn nhạy cảm với điều kiện thị trường. 2.2. Phương pháp nghiên cứu 2.2.1. Ước tính Spectral Risk Measures SRM theo cơng thức (1) khá phức tạp, vì vậy ta cần phải tính tốn theo phương pháp số học. Trong bài này tác giả sử dụng quy tắc Simpson để ước lượng vì theo Dowd et. al. (2007) nĩ cho ra kết quả chính xác hơn các quy tắc như Trapezoid, quy tắc Simpson, Niederreiter và Weyl quasi Monte Carlo (Borse, 1997). Để đảm bảo tính chính xác và để lại chỗ cho lỗi ước tính do rủi ro của thể giới thực, tác giả sẽ chia xác suất của phân phối ra thành 99982 khoảng hay nĩi cách khác, 9999 điểm, mỗi điểm tương ứng với một quantile. Mỗi quantile bằng thu nhập kỳ vọng của danh mục trừ đi tích của hàm mật độ tích lũy chuẩn hĩa và độ lệch chuẩn của danh mục (ký hiệu là qp = – zp * ) và sau đĩ nhân với trọng số . 2 Chọn 9998 khoảng, chứ khơng phải 1000 khoảng như trong Dowd et. al. (2007) vì hàm mật độ phân phối tích lũy chuẩn hĩa với xác suất bằng 0 và 1 là vơ cùng, nên chúng ta cần loại bỏ chúng để đo lường rủi ro. 50
5. Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH tồn quốc lần thứ IV các Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD 2.2.2. Ước tính khoảng tin cậy cho Spectral Risk Measures Để ước tính chính xác hơn, chúng ta cĩ thể sử dụng phương pháp bootstrap tham số hoặc phi tham số (parametric hoặc non-parametric bootstrap), đặc biệt trong trường hợp điều kiện thị trường biến động mạnh. Bootstrap dựa trên dữ liệu danh mục gần đây sẽ phản ánh biến động danh mục trong tương lai hiệu quả hơn dữ liệu lịch sử đơn thuần vì dữ liệu lịch sử quá xa sẽ khơng phản ánh đúng tình trạng tương lai gần của danh mục, cịn dữ liệu gần hơn sẽ phản ánh tốt hơn. Tác giả chia xác suất của phân phối ra thành 9998 khoảng và sử dụng 1000 phép thử bootstrap để làm ví dụ, mơ phỏng thu nhập của danh mục tuân theo phân phối chuẩn và sau đĩ ước tính quantile dựa trên phương pháp bootstrap tham số, từ đĩ ước tính được SRM. Tác giả sẽ lấy ví dụ SRM khi a bằng 25, 100 và 200 và tính khoảng tin cậy của SRM ở mức tin cậy cĩ thể chấp nhận được, 95 phần trăm. Sau đĩ, tác giả lấy 14 thu nhập tiếp theo của danh mục trong 14 ngày tiếp theo, mỗi ngày ứng với một SRM mơ phỏng được tính từ 99 thu nhập ngày trước đĩ cộng với thu nhập hằng ngày trong số 13 ngày trên trong ba trường hợp a bằng 25, 100 và 200. Tiếp theo, tác giả so sánh mỗi SRM với thu nhập thực tế của danh mục và đếm các trường hợp tổn thất thực vượt quá SRM. Tác giả làm tương tự như vậy với VaR và ES ở độ tin cậy 95 và 99 phần trăm và so sánh kết quả thu được giữa ba thước đo. 2.3. Phạm vi nghiên cứu Bài nghiên cứu này được thực hiện với hai danh mục đa dạng hĩa là S&P500 và Vnindex trong điều kiện thị trường bình thường và thị trường biến động. Rủi ro của danh mục được đo lường dựa vào hai tập dữ liệu. Tập thứ nhất gồm 100 thu nhập của 100 ngày giao dịch liên tiếp trong năm 2015. Tập dữ liệu thứ hai gồm hơn 750 giá danh mục của hơn 750 ngày giao dịch liên tiếp, trong đĩ bao gồm 100 thu nhập của tập dữ liệu thứ nhất và cịn lại là thu nhập của danh mục trước đĩ. Tập này được sử dụng để minh họa đường SRM so với hệ số khơng ưa rủi ro và để so sánh SRM với VaR và ES. 3. Kết quả và đánh giá 3.1. Kết quả 3.1.1. Ước tính Spectral Risk Measures Thước đo Dual Power: Mϕ = Hình 2. Biểu đồ đường SRM của hai danh mục theo hệ số khơng ưa rủi ro dựa trên thước đo Dual Power, tính tốn bằng Matlab 2014a. 51
6. Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng Trong cả bốn trường hợp, SRM tăng khá dốc khi a chạy từ 1 đến 30, nhưng sau đĩ vẫn tăng với tốc độ giảm dần khi a tăng trên 30. Thước đo Proportional Hazard: Mϕ = Hình 3. Biểu đồ đường SRM của hai danh mục theo hệ số khơng ưa rủi ro dựa trên thước đo Proportional Hazard, tính tốn bằng Matlab 2014a. Hình 7 chỉ ra rằng tăng khá dốc khi a tăng từ 1 đến xấp xỉ 10 và sau đĩ bắt đầu giảm về khơng nhưng với tỷ lệ thấp hơn. Thước đo rủi ro của Wang: Mϕ = Vnindex trong điều kiện thị trường bình thường Vnindex trong điều kiện thị trường biến động S&P500 trong điều kiện thị trường bình thường S&P500 trong điều kiện thị trường biến động Hình 4. Biểu đồ đường SRM của hai danh mục theo hệ số khơng ưa rủi ro dựa trên thước đo của Wang, tính tốn bằng Matlab 2014a. 52
7. Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH tồn quốc lần thứ IV các Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD Từ hàm distortion của Wang, rủi ro trong tất cả các trường hợp đều tăng mạnh và giảm sau khi đạt đến đỉnh xấp xỉ ES ở độ tin cậy 95 phần trăm. 3.1.2. Ước tính khoảng tin cậy cho Spectral Risk Measures Như đã đề cập ở trên, thước đo Dual Power với tất cả các giả thuyết đã đặt ra cĩ thể được so sánh với VaR và ES tại độ tin cậy 95 và 99 phần trăm, vì thế nĩ sẽ được sử dụng để làm ví dụ ước tính trong trường hợp này. Bảng 1. Khoảng tin cậy rủi ro của hai danh mục trong hai điều kiện thị trường được đo lường với ba thước đo SRM, VaR và ES bằng Matlab 2014a. Danh mục Vnindex S&P500 Điều kiện thị trường Bình thường Biến động mạnh Bình thường Biến động mạnh SRM a=25 [0.0232, 0.0233] [0.0413, 0.0414] [0.0151, 0.0152] [0.0325, 0.0326] a=100 [0.0294, 0.0295] [0.0519, 0.0520] [0.0191, 0.0192] [0.0407, 0.0408] a=200 [0.0318, 0.0319] [0.0561, 0.0562] [0.0207, 0.0208] [0.0439, 0.0440] VaR 95% [0.0195, 0.0196] [0.0350, 0.0351] [0.0127, 0.0128] [0.0277, 0.0278] 99% [0.0277, 0.0278] [0.0491, 0.0492] [0.0180, 0.0181] [0.0385, 0.0386] ES 95% [0.0215, 0.0216] [0.0441, 0.0442] [0.0151, 0.0152] [0.0311, 0.0312] 99% [0.0280, 0.0282] [0.0551, 0.0552] [0.0194, 0.0195] [0.0420, 0.0422] Kết quả so sánh các trường hợp tổn thật vượt quá SRM, VaR và ES ở độ tin cậy 95 và 99 phần trăm như sau: Bảng 2. Số lần tổn thất thực của danh mục vượt quá khoảng tin cậy của rủi ro của danh mục, sử dụng Matlab 2014a. VaR ES SRM Khoảng tin cậy/ hệ số khơng ưa rủi ro 95% 99% 95% 99% a=25 a=100 a=200 S&P500 Bình thường 0 0 0 0 0 0 0 Biến động 2 0 1 0 1 0 0 Vnindex Bình thường 0 0 0 0 0 0 0 Biến động 4 0 3 0 3 0 0 Trong điều kiện thị trường bình thường, tất cả các thước đo đều đo lường rủi ro khá chính xác rủi ro của danh mục, một số thước đo cĩ thể quá cẩn trọng. 3.2. Đánh giá Cĩ thể thấy, ba thước đo tương ứng với ba hàm distortion cho ra các kết quả khác nhau về tốc độ tăng và giới hạn tăng của đường cong SRM. Với cả ba thước đo, SRM đều tăng rất nhanh trong giai đoạn đầu tiên, sau đĩ tăng giảm dần và sau đĩ giảm về khơng. Lý do cho đường parabol này đĩ là tới một hệ số khơng ưa rủi ro nhất định, trọng số gắn với tổn thất cao hơn từ hệ số khơng ưa rủi ro cao hơn 53
8. Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng nhỏ hơn so với trọng số từ hệ số khơng ưa rủi ro thấp hơn vì ( là một hệ số khơng ưa rủi ro nhất định). Tuy nhiên, do tốc độ tăng và mức độ tăng của từng đường cong là khác nhau, nên tính hữu ích của từng thước đo cũng khác nhau, tùy thuộc vào khẩu vị rủi ro của các nhà đầu tư. Sự tăng nhanh và sau đĩ tăng giảm dần của SRM theo hệ số khơng ưa rủi ro phù hợp với hành vi khơng ưa rủi ro của một số nhĩm nhà đầu tư ở chỗ khi họ bắt đầu lo lắng về rủi ro, thước đo rủi ro của họ sẽ tăng rất nhanh, nhưng khi mức độ khơng ưa rủi ro đủ cao và vẫn tiếp tục tăng, thước đo rủi ro sẽ vẫn tăng nhưng với tốc độ cẩn trọng hơn với chi phí đắt đỏ hơn, mà cĩ thể làm họ khơng cịn lợi nhuận nữa. Một ưu thế khác của SRM là nĩ cho phép sự thay đổi liên tục của mức độ khơng ưa rủi ro trong khi VaR và ES thường chỉ được dung ở độ tin cậy 95 hay 99 phần trăm trở lên để đảm bảo tính chính xác. SRM vì thế linh hoạt hơn VaR và ES rất nhiều. Tuy nhiên, điểm hạn chế của SRM khi áp dụng lý thuyết distortion đĩ là khơng phải hàm distortion nào cũng được sử dụng phù hợp với hành vi khơng ưa rủi ro của nhà đầu tư. Với thước đo Dual Power, tham số cut-off để SRM bắt đầu giảm lớn, nên phù hợp với nhiều nhà đầu tư với các mức độ khơng ưa rủi ro khác nhau. Tuy nhiên với thước đo Proportional Hazard và Wang’s, hệ số cut-off khơng quá lớn và tốc độ tăng của SRM cho đến đỉnh của parabol cũng lớn hơn nhiều so với Dual Power. Do đĩ chúng ta cĩ thể sử dụng phần tăng đầu tiên của đường cong SRM để đảm bảo hàm trọng số tăng đều theo hệ số khơng ưa rủi ro. Tuy nhiên, trong cả bốn trường hợp, tổn thất kỳ vọng cao nhất đo lường từ hàm Proportional Hazard Transform đều thấp hơn VaR ở độ tin cậy 95 phần trăm, chứ chưa nĩi đến VaR ở độ tin cậy 99 phần trăm và ES ở độ tin cậy 95 và 99 phần trăm, cịn đối với hàm của Wang, thì rủi ro được đo lường thấp hơn rất nhiều so với VaR và ES ở độ tin cậy 99 phần trăm, trong khi VaR và ES ở độ tin cậy 95 và 99 phần trăm thuộc khẩu vị rủi ro của một số nhĩm lớn các nhà đầu tư khơng ưa rủi ro. Mặc dù hai thước đo rủi ro này thỏa mãn ba điều kiện của một hàm khơng ưa rủi ro của SRM, nhưng chúng cĩ lẽ khơng hữu ích đối với một số nhà đầu tư để đo lường rủi ro của danh mục. Tuy nhiên nếu ү được chia thành nhiều khoảng hơn, ví dụ 99998, rủi ro được đo lường sẽ tăng so với tổn thất kỳ vọng được đo lường như trên và do đĩ sẽ hữu ích hơn để đo lường rủi ro. Tuy nhiên việc tăng số lượng khoảng lại dẫn đến tăng thời gian đo lường và nên được cân nhắc kỹ lưỡng khi hàm này được sử dụng. Khi chúng ta sử dụng phương pháp mơ phỏng, kết quả đo lường của mơ hình SRM sẽ cho ra kết quả cẩn trọng hơn so với trường hợp rủi ro chỉ được tính bằng dữ liệu lịch sử và đặc biệt hạn chế được rủi ro xảy ra tốt hơn so với VaR và SRM trong điều kiện thị trường biến động mạnh, phù hợp với lý thuyết. 4. Kết luận Bài nghiên cứu này kiểm tra tính hợp lý của Spectral Risk Measures dựa trên ba hàm distortion. Tác giả thấy rằng mặc dù ba hàm trọng số tương ứng với ba hàm distortion thỏa mãn tất cả các điều kiện của một hàm khơng ưa rủi ro của SRM, nhưng chúng khơng nhất thiết phải tạo ra một thước đo rủi ro cĩ ý nghĩa cho các nhà đầu tư khơng ưa rủi ro, vì thế nhà đầu tư cần kiểm tra kỹ lưỡng về độ lớn của SRM cĩ nằm trong ngưỡng phù hợp về độ lớn rủi ro của nhà đầu tư hay khơng. Trong khuơn khổ của bài nghiên cứu này, Dual Power cĩ lẽ là thước đo hợp lý nhất phù hợp với nhiều nhĩm nhà đầu tư khơng ưa rủi ro và linh hoạt hơn và hữu ích hơn so với Value-at-Risk và Expected Shortfall, đặc biệt khi kết hợp với phương pháp mơ phỏng. Tác giả cũng nhận thấy rằng khi kiểm tra tính hợp lý của SRM, nhà đầu tư nên tìm ra một khoảng hệ số khơng ưa rủi ro phù hợp để hàm khơng ưa rủi ro theo hệ số khơng ưa rủi ro lớn hơn khơng nhưng vẫn đo lường được rủi ro một cách hợp lý. Hơn nữa, khi sử 54
9. Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH tồn quốc lần thứ IV các Trường Đại học khối ngành Kinh tế & QTKD dụng quy tắc của Simpson hay quy tắc khác để ước tính, nhà đầu tư cũng nên xem xét kỹ số lượng khoảng mà xác suất của phân phối tổn thất được chia ra vì số lượng khoảng tăng cĩ thể sẽ làm rủi ro của danh mục được đo lường cũng sẽ tăng theo, tuy nhiên nĩ cũng đồng nghĩa với việc tốn nhiều thời gian hơn để ước tính. Bên cạnh đĩ, tác giả nhận thấy hầu như khơng cĩ sự khác biệt khi áp dụng thước đo SRM trong việc ước tính rủi ro của hai danh mục trong hai thị trường khác nhau. Tuy nhiên, bài nghiên cứu này vẫn cịn một số thiếu sĩt. Thứ nhất, khi đo lường rủi ro, tác giả tính các quantile theo phương pháp tham số dựa trên phân phối chuẩn để vẽ đường SRM và ước tính rủi ro. Nếu tác giả sử dụng phương pháp phi tham số hay dựa vào phân phối khác để tính tốn các quantiles, các con số cĩ thể bị thay đổi. Tuy nhiên về mặt bản chất, kết quả của bài nghiên cứu sẽ khơng bị thay đổi vì khi tính SRM, VaR hay ES, chúng ta đều sử dụng cùng một cách tiếp cận. Lựa chọn cách tiếp cận nào phụ thuộc vào khẩu vị của nhà đầu tư. Thứ hai, khi so sánh SRM, VaR và ES với tổn thất thực, 14 ngày giao dịch là hơi ít để kiểm định tính chính xác của kết quả đo lường. Tuy nhiên do điều kiện hạn chế về mặt thời gian, nên tác giả chỉ cĩ thể so sánh kết quả đo lường từ ba thước đo với tổn thất thực của 14 ngày tiếp theo. Để phát triển lý thuyết và các ứng dụng thực tiễn mơ hình SRM, các bài nghiên cứu sau cĩ thể tập trung vào các hàm distortion khác để mở rộng tính ứng dụng của lý thuyết trong việc đo lường rủi ro của danh mục và tập trung nghiên cứu hành vi của từng đường SRM tương ứng với từng hàm distortion và sự phù hợp của chúng đối với từng nhĩm nhà đầu tư khơng ưa rủi ro. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Abad, C. và Iyengar, G. (2015) Portfolio Selection With Multiple Spectral Risk Constraints. Trích từ [Truy cập: 5/4/2016] [2] Acerbi, C. (2002) Spectral Measures of Risk: A Coherent Representation of Subjective Risk Aversion. Journal of Banking and Finance, 26, 1505-1518. [3] Acerbi, C. (2004) Coherent Representations of Subjective Risk Aversion, 147- 207 in G. Szegư (Ed.) Risk Measures for the 21st Century, New York: Wiley. [4] Adam, A., Houkari, M., Laurent, J. P. (2007) Spectral Risk Measures and Portfolio Selection. Journal of Banking & Finance 32 (9), 1870 – 1882. [5] Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J. M và Heath, D. (1997) Thinking Coherently. Risk, 10 (November), 68-71 [6] Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J. M và Heath, D. (1999) Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, 9, 203-228. [7] Borse, G. J. (1997) Numerical Methods with MATLAB: A Resource for Scientists and Engineers. Boston: PWS Publishing Company. [8] Cotter, J., và Dowd, K. (2006) Extreme Spectral Risk Measures: An Application to Futures Clearinghouse Margin Requirements. Journal of Banking and Finance, 30, 3469-3485. [9] Denneberg, D. (1994). Non-Additive Measure and Integral. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Germany. [10] Dowd, K. và Cotter, J. (2007). Exponential Spectral Risk Measure. Trích từ [Truy cập: 25/3/2016] [11] Dowd, K., Cotter, J. và Sorwar, G. (2008) Spectral Risk Measures: Properties and Limitations. Journal of Financial Services Research, 34, 61–75. [12] Grootveld, H. và Hallerbach, W. G. (2004) Upgrading Value-at-Risk From Diagnostic Metric to 55
10. Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng Decision Variable: A Wise Thing To Do? 33-50 in G. Szegư (Ed.) Risk Measures for the 21st Century, Wiley, New York. [13] Gzyl, H. và Mayoral, S. (2006) On a Relationship Between Distorted and Spectral Risk Measures. Welzia Management. Trích từ [Truy cập: 1/4/2016] [14] Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance 7(1), 77-91. [15] Overbeck, L. (2004) Spectral Capital Allocation. In A. Das (ed.) Capital Allocation. London: Risk Books. [16] Sriboonchitta, S., Nguyen, H. T. và Kreinovich, V. (2010) How to Relate Spectral Risk Measures and Utilities. Departmental Technical Reports. Department of Computer Science. University of Texas. [17] Tasche, C. và Acerbi, C. (2002) Portfolio Optimization With Spectral Measures of Risk. Working paper, Abaxbank (Italy). [18] Wang, S. S. (2000). A Class of Distortion Operators For Pricing Financial and Insurance Risks. Journal of Risk and Insurance 67(1), 15−36. [19] Yaari, M. E. (1987) The Dual Theory of Choice Under Risk. Econometrica 55(1), 95−115. 56