Xử lý tín hiệu số I (Phần 2) - Đỗ Huy Khôi

Nội dung text: Xử lý tín hiệu số I (Phần 2) - Đỗ Huy Khôi

1. CHƯƠNG III PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 3.1 Mở đầu Phân tích tần số (còn gọi là phân tích phổ) của một tín hiệu là một dạng biểu diễn tín hiệu bằng cách khai triển tín hiệu thành tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu hình sin hay hàm mũ phức. Cách khai triển này rất quan trọng trong việc phân tích hệ thống LTI, bởi vì đối với hệ thống này, đáp ứng của một tổ hợp tuyến tính các tín hiệu hình sin cũng là tổ hợp tuyến tính các tín hiệu hình sin có cùng tần số, chỉ khác nhau về biên độ và pha. Công cụ để phân tích tần số một tín hiệu là chuổi Fourier (cho tín hiệu tuần hoàn) và biến đổi Fourier (cho tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn). 3.2 TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC Khái niệm tần số của tín hiệu tương tự rất quen thuộc đối với chúng ta. Tuy nhiên, khái niệm tần số của tín hiệu rời rạc có một số điểm cần lưu ý. Đặc biệt, ta cần làm rõ mối quan hệ giữa tần số của tín hiệu rời rạc và tần số của tính hiệu liên tục. Vì vậy, trong mục này ta sẽ khởi đầu bằng cách ôn lại tần số của tín hiệu liên tục tuần hoàn theo thời gian. Mặt khác, vì tín hiệu hình sin và tín hiệu hàm mũ phức là các tín hiệu tuần hoàn cơ bản, nên ta sẽ xét hai loại tín hiệu nầy. 3.2.1. TÍNH HIỆU TƯƠNG TỰ TUẦN HOÀN THEO THỜI GIAN Một dao động đơn hài (simple harmonic) được mô tả bỏi một tín hiệu tương tự (liên tục) hình sin: xa(t) = Acos(Ωt+θ ) với -∞ < t < ∞ (3.1) Trong đó, A là biên độ; Ω là tần số góc (rad/s); θ là pha ban đầu (rad). Ngoài ra, với ký hiệu: F là tần số (cycles/second hay Hertz) và Tp là chu kỳ (second), ta có: W = 2pF = 2p/Tp (3.2) Tín hiệu liên tục hình sin có các tính chất sau: 97
2. 1) Với mỗi giá trị xác định bất kỳ của F hay Tp , xa(t) là một tín hiệu tuần hoàn. Thật vậy, từ tính chất của các hàm lượng giác, ta chứng minh được: xa(t + Tp) = xa(t). F được gọi là tần số cơ bản (fundamental frequency) và Tp là chu kỳ cơ bản (fundamental period) của tín hiệu liên tục. F và Tp có thể có các giá trị không giới hạn (từ 0 đến ∞ ). 2) Các tín hiệu liên tục hình sin có tần số cơ bản khác nhau luôn phân biệt với nhau. 3) Khi tần số F tăng thì tốc độ dao động của tín hiệu tăng, nghĩa là có nhiều chu kỳ hơn trong một khoảng thời gian cho trước. Ta cũng có thể biểu diễn một tín hiệu hình sin bằng hàm mũ phức: xa(t) = Aej(WT+q) (3.3) Ta có thể thấy được mối quan hệ này qua các công thức Euler: Theo định nghĩa, tần số là một đại lượng vật lý dương, bởi vì tần số là số chu kỳ trên một đơn vị thời gian. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, để thuận tiện về mặt toán học, khái niệm tần số âm được thêm vào. Để rõ hơn, pt(3.1) được viết lại: Ta thấy, tín hiệu hình sin có thể thu được bằng cách cộng hai tín hiệu hàm mũ phức liên hợp có cùng biên độ, còn được gọi là phasor. Hình 3.1 biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng phức, 2 đại lượng phasor quay qu /Anh góc tọa độ theo hai chiều ngược nhau với các vận tốc góc là ±Ω(rad/s). Vì tần số dương tương ứng với chuyển động quay đều ngược chiều kim đồng hồ, nên tần số âm tương ứng với chuyển động quay theo chiều kim đồng hồ. Để thuận tiện về mặt toán học, ta sử dụng khai niệm tần số âm, vì vậy khoảng biến thiên của tần số sẽ là -∞ < F < ∞. 3.2.2. TÍN HIỆU RỜI RẠC TUẦN HOÀN HÌNH SIN Một tín hiệu rời rạc hình sin được biểu diễn bởi: 98
3. x(n) = Acos(ωn+θ ) với -∞ 0) nếu và chỉ nếu x(n+N) = x(n) với mọi n, giá trị nhỏ nhất của N thỏa điều kiện này được gọi là chu kỳ cơ bản. Để một tín hiệu hình sin có tần số f0 là tuần hoàn chúng ta phải có: cos[2pf0(N + n) + q] = cos(2pf0 n + q) Quan hệ này chỉ đúng nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên k sao cho: 2pf0N = 2kp hay f0 = k/N (3.9) Theo pt(3.9), một tín hiệu hình sin rời rạc chỉ tuần hoàn khi chỉ khi f0 là tỉ số của hai số nguyên, hay nói cách khác f0 là một số hữu tỉ. Để xác định chu kỳ cơ bản N của một tín hiệu hình sin, ta biểu điễn tần số f0 dưới dạng hữu tỉ tối giản, khi đó chu kỳ cơ bản N của tín hiệu hình sin bằng với mẫu số. Ví dụ: nếu f1 = 31/60 có nghĩa là N1 =60; trong khi đó, nếu f2 = 30/60 thì N2 = 2. 2. Các tín hiệu rời rạc hình sin mà các tần số góc của chúng sai khác nhau bội số nguyên của 2π thì đồng dạng. 99
4. Để chứng minh, ta so sánh một tín hiệu hình sin có tần số ω0 với tín hiệu hình sin có tần số (ω0 + 2kπ), ta thấy: cos[(w0 +2k ) n + q)] = cos(w0n +2 kn + q) = cos(w0n + q) (3.10) Như vậy, tất cả các dãy hình sin : xk(n) = cos (ωkn + q) , ở đây, ωk = ω0 + 2kπ với 0 < ω0 < 2π và k =0, 1, 2, là là đồng nhất. Điều này hàm ý rằng, một tín hiệu hình sin bất kỳ được xác định duy nhất bởi một tần số góc cơ bản duy nhất ở trong khoảng [0 2π], tương ứng tần số f của nó ở trong khoảng [0 1]. Từ nhận xét trên, ta có một kết luận quan trọng: Đối với tín hiệu rời rạc tuần hoàn, ta chỉ cần khảo sát trong khoảng tần số 0 ≤ ω ≤ 2π (hay 0 ≤ f ≤1). Vì với các tần số ngoài khoảng này, chỉ là các mẫu chồng lấp (alias) của các tín hiệu có tần số trong khoảng 0 ≤ ω ≤ 2π. 3. Một dao động được biểu diễn bởi một tính hiệu hình sin, nó có tốc độ dao động cao nhất khi tín hiệu này có tần số góc là ω = π, tương ứng với f = ½ . Để minh họa tính chất này, ta xét dãy x(n) = cosω0n khi tần số ( biến thiên từ 0 đến π. Ta xét các giá trị ω0 = 0, π/8, π/4, π/2 và π , tương ứng với f = 0, 1/16 , 1/8, 1/4, 1/2 và dãy tuần hoàn với các chu kỳ N = ∞, 16, 8, 4, 2 (xem đồ thị trong hình 3.3). Chú ý rằng, tốc độ dao động tăng khi chu kỳ giảm hay tần số tăng. Ta xem những gì xãy ra khi π≤ ω0 ≤ 2π, xét tần số ω1 = ω0 và ω2 = 2π – ω0 Ta thấy khi ω1 tăng từ π đến 2π thì ω2 giảm từ π đến 0 và: x1(n) = Acosw1n = Acosw0n x2(n) = Acosw2n = Acos(2p - w0)n (3.11) = Acos(- w0n) = x1(n) Vậy, dãy có tần số ω2 trùng với dãy có tần số ω1, nếu ta thay hàm cos bằng hàm sin thì kết quả cũng giống như vậy, ngoại trừ sự lệch pha 1800 giữa x1(n) và x2(n). Trong mọi trường hợp, khi ta tăng tín hiệu rời rạc hình sin từ πđến 2π, tốc độ dao động sẽ giảm, khi ω0 = 2π ta có tín hiệu hằng giống như khi ω0 = 0. Rõ ràng, khi ω0 =π thì tốc độ dao động cao nhất. 100
5. Như tín hiệu tương tự, khái niệm tần số âm cũng được đưa vào tín hiệu rời rạc. Vì vậy, ta cũng sử dụng công thức Euler: Vì tín hiệu tuần hoàn rời rạc với các tần số sai khác nhau bội số nguyên của 2π thì hoàn toàn giống nhau. Ta thấy rằng, các tần số trong một dải rộng 2π bất kỳ (nghĩa là w1 £ w £ w1 + 2p, với w1 bất kỳ) có thể mô tả tất cả các tín hiệu rời rạc hình sin hay hàm mũ phức. Vì vậy, khi khảo sát một tính hiệu tuần hoàn rời rạc ta chỉ cần xét trong một khoảng tần số rộng 2π, thông thường ta chọn dải tần 0 £ w £ 2p (ứng với 0 ≤ f ≤ 1) hoặc là-p £ w £ p (ứng với –1/2 £ f £ 1/2), dải tần này được gọi là dải tần cơ bản (fundamental range). 3.2.3. MỐI LIÊN HỆ CỦA TẦN SỐ F CỦA TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ xa(t) VÀ TẦN SỐ f CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC x(n) ĐƯỢC LẤY MẪU TỪ xa(t) Để thiểt lập mối quan hệ giữa F và f, ta xét tín hiệu tương tự hình sin xa(t)=Acos(2pFt + q) (3.13) Gọi TS là chu kỳ lấy mẫu , ta có tín hiệu lấy mẫu x(n)=xa(nTS)=Acos(2pFnTS + q) 101
6. Mặt khác tín hiệu hình sin rời rạc được biểu diễu theo tần số f là: x(n)=Acos(2pfn + q) (3.15) Từ pt(3.14) và pt(3.15) ta được: f = F/ FS hay w = WTS (3.16) Từ pt(3.16), ta thấy f chính là tần số chuẩn hóa (normalized frequency) theo FS còn được gọi là tần số tương đối (relative frequency). Pt(3.16) còn hàm ý rằng: từ tần số của tín hiệu rời rạc f, chúng ta chỉ có thể xác định tần số F của tín hiệu liên tục tương ứng nếu và chỉ nếu tần số lấy mẫu FS được biết. Chúng ta đã biết khoảng biến thiên của biến tần số F hay W của tín hiệu liên tục theo thời gian là: -¥ < F < ¥ hay - ¥ < W < ¥ (3.17) và khoảng biến thiên của biến tần số f hay ω của tín hiệu rời rạc theo thời gian là: - 1/2 £ f £ 1/2 hay -p £ w £ p (3.18) Từ pt(3.16), (3.17) và (3.18) ta tìm được mối quan hệ giữa tần số F của tín hiệu hình sin liên tục theo thời gian với tần số lấy mẫu FS : Các mối quan hệ này được tổng kết trong bảng 1.1 Từ các mối quan này chúng ta thấy rằng, sự khác nhau cơ bản giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu liên tục là khoảng giá trị của các biến tần số f và F, hay Ώ và ω. Sự lấy mẫu tuần hoàn một tín hiệu liên tục theo thời gian tương đương với một phép ánh xa từ một dải tần vô hạn của biến F (hay ω) vào dải tần hữu hạn của biến f (hayω). Vì tần số cao nhất của tín hiệu rời rạc là w = p hay f = 1/2, với tốc độ lấy mẫu là FS, giá trị cao nhất tương ứng của F và W là: Fmax = FS / 2 =1/ 2TS vaì Wmax = p/ FS = p/ TS (3.21) Kết luận này phù hợp với định lý lấy mẫu đã phát biểu ở chương 1 và sẽ được chứng minh trong chương này. Bảng 3.1 tổng kết mối quan hệ giữa F và f. 102
7. 3.2.4. CÁC TÍN HIỆU HÀM MŨ PHỨC CÓ QUAN HỆ HÀI (Harmonically Related Complex Exponentials) Tín hiệu hình sin và tín hiệu hàm mũ phức (điều hòa phức) đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích tín hiệu và hệ thống. Trong nhiều trường hợp, ta xử lý với một tập hợp các tín hiệu hàm mũ phức (hay tín hiệu hình sin) có quan hệ hài. Đó là các tập các hàm mũ phức tuần hoàn có tần số là bội số của cùng một tần số dương. Mặc dù ta đã không đề cập nhiều đến tín hiệu hàm mũ phức, nhưng rõ ràng chúng thỏa mãn tất cả các tính chất của tín hiệu hình sin. Ta sẽ xét tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài trong cả hai trường hợp liên tục và rời rạc theo thời gian. 1/. Tín hiệu hàm mũ liên tục Các tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài liên tục theo thời gian có dạng cơ bản là: Chú ý rằng, với mỗi giá trị của k, sk(t) là một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ cơ bản là 1/(kF0) = Tp/k hay tần số cơ bản là kF0. Vì một tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ Tp/k thì cũng tuần hoàn với chu kỳ k(Tp/k) = Tp , với k là một số nguyên dương bất kỳ, nên tất cả các tín hiệu sk(t) đều có một chu kỳ cơ bản chung Tp. Hơn nữa, với tín hiệu tuần hoàn liên tục, tần số F0 có thể lấy giá trị bất kỳ và tất cả các thành viên trong tập sk(t) là phân biệt với nhau, nghĩa là, nếu k1 ¹ k2 thì sk1(t) ¹ sk2(t). Từ các tín hiệu cơ bản ở pt(3.22), ta có thể xây đựng một tổ hợp tuyến tính các hàm mũ phức có quan hệ hài dưới dạng: 103
8. với ck là một hằng số phức bất kỳ. Tín hiệu sa(t) cũng là một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ cơ bản là Tp =1/F0 và tổng trong pt(1.23) gọi là chuỗi Fourier của xa(t). Các hằng phức ck được gọi là các hệ số của chuỗi Fourier và các tín hiệu sk(t) được gọi là hài thứ k của xa(t). 2/. Tính hiệu hàm mũ rời rạc Vì tín hiệu hàm mũ phức rời rạc là tuần hoàn khi tần số f là một số hữu tỉ, ta chọn f0 =1/N và định nghĩa một tập các hàm mũ phức có quan hệ hài như sau: Ngược lại với tín hiệu liên tục theo thời gian, ta chú ý rằng: Điều này có nghĩa là chỉ có N hàm mũ phức tuần hoàn phân biệt trong tập các hàm mũ phức được mô tả bởi pt(3.24) Hơn nữa, tất cả các thành viên trong tập nầy có một chu kỳ chung là N samples. Rõ ràng, ta có thể chọn N hàm mũ phức bất kỳ liên tiếp nhau (nghĩa là từ k = n0 đến k = n0 + N – 1) để thành lập một tập các quan hệ hài với tần số cơ bản là f0 = 1/N. Thông thường, để thuận tiện, ta chọn tập này tương ứng với n0 = 0, ta có: Như trong trường hợp tín hiệu liên tục, rõ ràng, tổ hợp tuyến tính được thành lập như sau: cũng là một tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là N. Như chúng ta sẽ thấy trong các chương sau, tổng trong pt(3.26) là chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn theo thời gian với {ck} là các hệ số Fourier. Dãy sk(n) được gọi là hài thứ k của x(n). 3.3 Phân tích tần số của tín hiệu liên tục Ánh sáng trắng có thể được phận tích thành một phổ ánh sáng màu bởi một lăng kính. Ngược lại, tổng hợp tất cả các thành phần ánh sáng màu đó với một tỉ lệ như khi đã phân tích được ta sẽ khôi phục được ánh sáng trắng (Hình 3.4). Ta cũng biết rằng, mỗi ánh sáng màu (ánh sáng đơn sắc) tương ứng với một sóùng điện từ đơn hài. Đây là một sự minh họa cho sự phân tích phổ của một tín hiệu, trong đó vai trò của lăng kính được thay bằng công cụ phân tích Fourier. 104
9. 3.3.1. PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA MỘT TÍN HIỆU LIÊN TỤC TUẦN HOÀN THEO THỜI GIAN - CHUỖI FOURIER. Ta đã biết một tín hiệu liên tục tuần hoàn bất kỳ có thể phân tích thành tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu hình sin hay hàm mũ phức. Ở đây, ta chỉ nhắc lại một cách tóm lược. Xét một tín hệu tuần hoàn x(t) với chu kỳ cơ bản làĠ được khai triển bởi chuỗi Fourier như sau : 105
10. Tổng quát, các hệ số Fourier Xk có giá trị phức, đặc trưng cho biên độ và pha của các thành phần tần số F = kFp . Nếu tín hiệu tuần hoàn là thực, thì Xk và X-k là các liên hợp phức, ta có thể biểu diễn dưới dạng phasor. Kết quả là chuỗi Fourier (3.27) có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác : Ở đây : a0 = X0 (có giá trị thực) Điều kiện để tồn tại chuỗi Fourier - Điều kiện đủ để một tín hiệu tuần hoàn có thể khai triển thành chuỗi Fourier là tín hiệu này có bình phương khả tích trên một chu kỳ, nghĩa là : - Một tập các điều kiện khác cho sự tồn tại của chuỗi Fourier của một tín hiệu tuần hoàn x(t) được gọi là điều kiện Dirichlet. Đó là : (1) x(t) có một số hữu hạn điểm bất liên tục trong một chu kỳ của nó. (2) x(t) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ của nó. (3) Tích phân của |X(t)| trong một chu kỳ là hữu hạn, nghĩa là : 106
11. 3.3.2. PHỔ MẬT ĐỘ CÔNG SUẤT CỦA TÍN HIỆU TUẦN HOÀN Quan hệ Parseval: Một tín hiệu hoàn có công suất trung bình được tính bởi : Lấy liên hợp phức của phương trình (3.27) và thay vào phương trình (3.33) ta được : Ta đã thiết lập được quan hệ : Pt(3.35) được gọi là quan hệ Parseval. Để minh họa ý nghĩa vật lý của pt(3.35), ta giả sử rằng x(t) bao gồm chỉ một thành phần tần số Fk = kFp (các hệ số Fourier khác bằng 0): Rõ ràng, nếu x(t) bao gồm nhiều thành phần tần số, thì chính là công suất của thành phần thứ k của tín hiệu. Vì vậy, công suất trung bình tổng của một tín hiệu tuần hoàn đơn giản là tổng công suất trung bình của tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đó. Phổ mật độ công suất – Phổ biên độ – Phổ pha: |Xk|2 là một dãy rời rạc theo tần số Fk = kFp, k = 0, ±1, ±2, , được gọi là phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn x(t). Ta thấy, phổ mật độ công suất có dạng rời rạc, khoảng cách giữa 2 mẫu kề nhau là nghịch đảo của chu kỳ cơ bản Tp. Nói chung, vì các hệ số của chuỗi Fourier có giá trị phức nên ta thường biểu diễn dưới dạng phasor như sau : 107
12. Trong đó : qk = Ð Xk (3.36) Thay vì vẽ mật độ phổ công suất, ta có thể vẽ phổ biên độ {|Xk|}và phổ pha như là một hàm của tần số. Rõ ràng phổ mật độ công suất là bình phương của phổ biên độ. Thông tin về pha không xuất hiện trong phổ mật độ công suất. Nếu tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu thực, các hệ số của chuỗi Fourier thỏa mãn điều kiện Kết quả là : Khi đó , phổ mật độ công suất và phổ biên độ là các hàm đối xứng chẵn (đối xứng qua trục tung), phổ pha là một hàm đối xứng lẻ (đối xứng qua gốc tọa độ). Do tính chất đối xứng, ta chỉ cần khảo sát phổ của một tín hiệu tuần hoàn thực trong miền tần số dương. Ngoài ra, tổng năng lượng trung bình có thể biểu diễn như sau : Ví dụ 3.1 : Xác định chuỗi Fourier và phổ mật độ công suất của một chuỗi xung hình chữ nhật (hình 3.5) Giải : 108
13. Tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ cơ bản là Tp, rõ ràng thỏa mãn các điều kiện Dirchlet. Vì vậy, ta có thể biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi Fourier (3.27) với các hệ số xác định bởi pt(3.28). Vì tín hiệu x(t) là một hàm chẳn (nghĩa là x(t) = x(-t)) nên để thuận tiện, ta chọn giới hạn của tích phân từ đến(Tp /2) theo pt(3.28). Vì x(t) là hàm chẳn và có giá trị thực, nên các hệ số Fourier Xk có giá trị thực. Phổ pha cũng có giá trị thực, nó có giá trị là 0 khi Xk dương và là π khi Xk âm. Thay vì vẽ phổ biên độ và phổ pha tách rời nhau, ta vẽ đồ thị của Xk (Hình 3.6). Ta thấy Xk là các mẫu của tín hiệu liên tục theo tần số F: Hình 3.6.a vẽ dãy Xk (các hệ số Fourier), với chu kỳ không đổi Tp = 0,25s hay và các giá trị t khác nhau lần lượt là : t = 0,05Tp; t = 0,1Tp và t=0,2Tp. Ta thấy khi tăng t và giữ Tp không đổi thì công suất của tín hiệu sẽ trải dài ra trên trục tần số. Hình 3.6.b vẽ dãy Xk với t không đổi và thay đổi chu kỳ Tp, với Tp = 5t;Tp=10t và Tp=20t. Trong trường hợp này khoảng cách giữa hai vạch phổ giảm khi chu kỳ Tp tăng. Khi Tp ® ¥ và t không đổi) tín hiệu chỉ là một xung chữ nhật duy nhất (không tuần hoàn), lúc tín hiệu không còn là tín hiệu công suất (power signal) mà là tín hiệu năng lượng (energy signal), các hệ số Fourier Xk®0, công suất trung bình của nó bằng 0. Phổ của một tín hiệu có năng lượng hữu hạn sẽ được khảo sát trong phần sau . Phổ mật độ công suất của chuỗi xung chữ nhật là : 109
14. 3.3.3. PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU LIÊN TỤC KHÔNG TUẦN HOÀN - BIẾN ĐỔI FOURIER Xét một tín hiệu không tuần hoàn có độ dài hữu hạn (finite duration) x(t) như được minh họa trong hình 3.7.a. Từ tín hiệu không tuần hoàn này, ta có thể tạo ra một tín hiệu tuần hoàn xp(t) chu kỳ Tp bằng cách lặp lại tín hiệu x(t) với chu kỳ Tp (hình 3.7.b). Rõ ràng, khi Tp ® ¥ thì xp(t) = x(t) . 111
15. Cách biểu diễn này hàm ý rằng ta có thể thu được phổ của x(t) từ phổ của xp(t) bằng cách cho Tp ® ¥. Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn xp(t) là : Vì x(t) = 0, khi nên ta có thể thay xp(t) bằng x(t) và giới hạn tích phân trong pt(3.45) từ - ∞ đến +∞, ta có: Định nghĩa : Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn x(t) là một hàm X(F) của biến tần số liên tục F như sau : 112
16. So sánh pt(3.46) và pt(3.47) ta thấy các hệ số của chuỗi Fourier Xk chính là các mẫu của X(F) ở các giá trị F = kFp khi chia cho Tp , ta có: Thay pt(3.48) vào pt(3.44), ta được : Để có giới hạn của pt(3.48) khi Tp = ® ¥, trước tiên ta đặt , sau đó thay vào pt(3.48) ta được : Rõ ràng khi Tp = ® ¥ thì xp(t) ® x(t), ΔF trở thành vi phân dF và kΔF trở thành biến tần số liên tục F, tổng trong pt(3.49) biến thành tích phân với biến tần số F và pt(3.49) trở thành : Quan hệ (3.50) được gọi là biến đổi Fourier ngược. Tóm lại, ta có cặp biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn có độ dài hữu hạn là : - Công thức tổng hợp (biến đổi Fourier ngược) - Công thức phân tích (biến đổi Fourier thuận) Thay F = và dF = vào phương trình (3.51) và phương trình (3.52) ta được cặp công thức biến đổi Fourier theo tần số góc. 113
17. Điều kiện để biến đổi Fourier tồn tại là tích phân trong phương trình (3.54) phải hội tụ. Tích phân này sẽ hội tụ nếu : Một tín hiệu x(t) thỏa pt (3.55) là tín hiệu có năng lượng hữu hạn (Finite energy). Một tập điều kiện khác để cho biến đổi Fourier tồn tại được gọi là điều kiện Dirichlet. Bao gồm : (1) Tín hiệu x(t) có một số hữu hạn các điểm bất liên tục. (2) Tín hiệu x(t) có mố hữu hạn các cực đại và cự tiểu. (3) Tín hiệu x(t) khả tích tuyệt đối, nghĩa là : 3.3.4. PHỔ MẬT ĐỘ NĂNG LƯỢNG CỦA TÍN HIỆU KHÔNG TUẦN HOÀN Xét một tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn và có biến đổi Fourier là X(F). Năng lượng của nó là : Với x*(t) là liên hợp phức của x(t). Quan hệ Parseval: Lấy liên hợp phức của pt(3.51) và thay vào ta có : 114
18. Hay: Suy ra: Kết quả là : (3.57) Pt(3.57) được gọi là quan hệ Parseval của tín hiệu không tuần hoàn, chính là nguyên lý bảo toàn năng lượng trong miền thời gian và miền tần số. Phổ biên độ – Phổ pha: Phổ X(F) của tín hiệu nói chung có giá trị phức, do đó thường được biểu diễn theo tọa độ cực : với q(F) = Ð X(F) Trong đó, là phổ biên độ và q(F) là phổ pha. Phổ mật độ năng lượng: Mặt khác, đại lượng: Sxx(F) = (3.58) biểu diễn sự phận bố năng lượng theo tần số, được gọi là phổ mật độ năng lượng (energy density spectrum) của x(t). Tích phân của Sxx(F) lấy trên toàn trục tần số là tổng năng lượng của tín hiệu. Ta cũng dễ dàng thấy rằng, nếu x(t) là tín hiệu thực thì : (3.59) Ð X(-F) = - Ð X(F) (3.60) Và Sxx(-F) = Sxx(F) (3.61) Như vậy phổ mật độ năng lượng của tín hiệu thực có tính đối xứng chẵn. Ví dụ 3.2 : Hãy xác định biến đổi Fourier và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu xung chữ nhật được định nghĩa như sau : 115
19. Giải : Rõ ràng tín hiệu này là không tuần hoàn và thỏa mãn điều Dirichlet. Áp dụng pt(3.52) : Ta thấy X(F) có giá trị thực, và phổ biên độ có dạng hàm Sa = . Vì vậy phổ của tín hiệu chữ nhật x(t) là đường bao của phổ rời rạc của tín hiệu tuần hoàn có được bằng cách lặp lại tín hiệu xung chữ hiệu này với chu kỳ Tp như hình 3.6. Các hệ số Xk của chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn xp(t) chính là các mẫu của X(F) ở các tần số F = kFp = như đã đề cập ở pt(3.48). Từ pt(3.63), ta thấy rằng đồ thị của X(F) đi qua điểm 0 ở các giá trị F = với k = ±1, ±2, (hình 3.8.b). Ngoài ra, ta thấy dải tần số chính tập trung hầu hết năng lượng của tín hiệu. Khi độ rộng xung t giảm, dải tần chính mở rộng ra và năng lượng phân bố lên vùng tần số cao hơn và ngược lại. 116
20. Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu xung chữ nhật là : (3.64) 3.4 PHẤN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC Như đã trình bày trong phần trước, chuỗi Fourier của một tín hiệu liên tục tuần hoàn có thể bao gồm một số vô hạn các thành phần tần số, và hai thành phần tần số liên tiếp có tần số lệch nhau 1/Tp , với Tp là chu kỳ cơ bản của tín hiệu. Vì dải tần của tín hiệu liên tục trải rộng từ -∞ đến +∞ nên nó có thể chứa đựng vô số các thành phần tần số. Ngược lại, dải tần của tín hiệu rời rạc giới hạn trong khoảng [-π, π] hay là [0, 2π]. Một tín hiệu rời rạc có chu kỳ cơ bản là N có thể bao gồm các thành phần tần số cách nhau radian hay f= cycles. Kết quả là chuỗi Fourier biểu diễn một tín hiệu rời rạc tuần hoàn sẽ bao gồm nhiều nhất là N thành phần tần số. Đây là sự khác biệt cơ bản giữa chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc và tín hiệu liên tục tuần hoàn. 3.4.1. CHUỖI FOURIER CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC TUẦN HOÀN Xét một tín hiệu rời rạc tuần hoàn xp(n) có chu kỳ N. xp(n) có thể biểu diễn tổ hợp tuyến tính của các hàm mũ phức có quan hệ hài : (3.65) Pt(3.65) được gọi là chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn xp(n). Ta sẽ tìm tập các hệ số của chuỗi Fourier {Xp(k)}. Ta bắt đầu với các hàm mũ phức : , với k = 0, 1, , N-1 Đây cũng là các hàm tuần hoàn với chu kỳ N và trực giao nhau được, cụ thể như sau : (3.66) Pt(3.66) có thể được chứng minh bằng cách dựa vào công thức tính tổng của một chuỗi hình học, đó là : 117
21. Bước tiếp theo là nhân hai vế của pt(3.65) cho với r là một số nguyên và lấy tổng từ n = 0 đến n = N-1, ta có : Đổi vị trí các tổng ở vế phải : (3.67) Áp dụng pt(3.66) ta có : Vì vậy, vế phải của pt(3.67) rút gọn về NXp(r) và : (3.68) Các pt(3.65) và pt(3.68) là các công thức phân tích tần số của tín hiệu rời rạc. Ta viết lại : Công thức tổng hợp : (3.69) Công thức phân tích : (3.70) Nhận xét : · Các hệ số Fourier Xp(k) khi vượt ra ngoài khoảng k = [0, N-1] cũng tuần hoàn với chu kỳ N. Từ pt(3.70) ta dễ dàng chứng minh được : Xp(k+N) = Xp(k) (3.71) Kết luận: Phổ của một tín hiệu xp(n) tuần hoàn với chu kỳ N cũng là một dãy tuần hoàn với chu kỳ N. Vậy N mẫu liên tiếp bất kỳ của tín hiệu tuần hoàn mô tả nó một cách đầy đủ tín hiệu trong miền thời gian, hay N mẫu liên tiếp bất kỳ của phổ của tín hiệu này mô tả nó một cách đầy đủ trong miền tần số. 118
22. · Trong thực tế ta thường khảo sát trong một chu kỳ ứng với k = 0, 1, 2, , N-1, tương ứng với dải tần cơ bản 0 £ wk = 2p/N < 2p Bởi vì, nếu khảo sát trong dải tần -p < wk = 2p/N £ p tương ứng vớiĠ sẽ gặp bất tiện khi N lẻ. Ví dụ 3.3: Hãy xác định phổ của tín hiệu : : x(n) = Cos w0 n,khi: (a) w0= , (b) w0 =p/3 Giải : (a) Với w0 = ta có f0 = . Vì f0 không là một số hữu tỉ, nên tín hệu x(n) không tuần hoàn. Kết quả là ta không thể khai triển x(n) bằng chuỗi Fourier. Tuy nhiên tín hiệu này có một phổ riêng của nó, phổ của nó chỉ gồm một thành phần tần số duy nhất ở w = w0 = (b) Với w0 =p/3 , ta có f0 =, vậy x(n) tuần hoàn với chu kỳ N = 6. Từ pt(3.70) ta có : , k = 0, 1, , 5 Tuy nhiên, x(n) có thể biểu diễn như sau : x(n) = cos So sánh với pt (3.69), ta thấy Xp(1) = và Xp(-1) = Điều này có nghĩa là : Xp(-1) = Xp(5) phù hợp với pt(3.71). Nghĩa là Xp(k) tuần hoàn với chu kỳ N = 6. Phổ của x(n) trong một chu kỳ là : Xp(0) = Xp(2) = Xp(3) = Xp(4) = 0 ; Xp(1) = 1/2; Xp(5) = 1/2 và được minh họa trong hình 3.9 3.4.2. PHỔ MẬT ĐỘ CÔNG SUẤT CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC TUẦN HOÀN Quan hệ Parseval: Công suất trung bình của một tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ N được định nghĩa là : (3.72) 119
23. Bằng các thao tác toán học tương tự như khi thiết lập quan hệ Parseval cho tín hiệu liên tục, nhưng ở đây tích phân được thay bằng tổng, ta được quan hệ Parseval cho tín hiệu rời rạc : (3.73) Pt(3.73) là quan hệ Parseval của tín hiệu rời rạc tuần hoàn. Ta thấy công suất trung bình của tín hiệu bằng tổng các công suất của riêng từng thành phần tần số. Phổ mật độ công suất – Phổ biên độ – Phổ pha: Dãy với k = 0, 1, , N-1 biểu diễn sự phân bố năng lượng theo tần số được gọi là phổ mật độ công suất của tín hiệu rời rạc tuần hoàn. Nếu xp(n) là tín hiệu thực (nghĩa là ) cũng tương tự như trong tín hiệu liên tục ta có : (3.74) Pt(3.74) tương đương với : phổ biên độ (đối xứng chẵn) và : phổ pha - Ð Xp(-k) = Ð Xp(k) (đối xứng lẻ) Các tính chất đối xứng này của phổ biên độ và phổ pha liên kết với tính chất tuần hoàn cho ta một kết luận quan trọng về việc mô tả tín hiệu trong miền tần số. Cụ thể hơn ta có thể kiểm chứng lại tính chất đối xứng như sau: Như vậy, với một tín hiệu thực, phổ Xp(k), với k = 0, 1, 2, , cho N chẳn hay k = 0,1,2, , cho N lẻ, hoàn toàn có thể đặc tả được tín hiệu trong miền tần số, với 0 £ k £ thì 0 £ wk = £ p. 120
24. Cũng từ tính chất đối xứng của các hệ số Fourier của một tín hiệu thực. Chuỗi Fourier (3.69) có thể biểu diễn với dạng khác như sau : (3.76) (3.77) Với a0 = Xp(0); ak = 2|Xp(k)|cos(k và bk = 2|Xp(k)|sinθk và M =N/2 nếu N chẵn, M=(N-1)/2 nếu N lẻ. Ví dụ 3.4 Hãy xác định các hệ số chuỗi Fourier và phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn được trình bày trong hình 3.10 Giải : Áp dụng pt(3.70), ta có : Áp dụng công thức tính tổng hữu hạn của một chuỗi hình học ta được : Chú ý rằng : 121
25. Do đó : (3.78) Phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn này là : (3.79) Hình 3.11 vẽ đồ thị của với L = 5; N = 10 và A = 1 3.4.3. PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC KHÔNG TUẦN HOÀN - BIẾN ĐỔI FOURIER Tương tự như trong tín hiệu liên tục không tuần hoàn, phân tích tần số của một tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn là biến đổi Fourier. 3.4.3.1. Định nghĩa biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc Trong chương 2 ta đã đề cập đến biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc, đó là trường hợp đặc biệt của biến đổi Z, khi biến đổi Z được lấy trên đường tròn đơn vị, nghĩa là Z = ejω. Ta có biến đổi Fourier của một dãy x(n) là : (3.80) Nhật xét : Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc và biến đổi Fourier của một tín hiệu liên tục có 2 sự khác nhau cơ bản: § Dải tần số của biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục (hay phổ của nó) trải rộng từ -∞ đến +∞, trong khi đó dải tần của biến đổi Fourier rời rạc là [-π, π](hay [0,2 π]), vượt ra ngoài dải tần này X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2 π. 122
26. (3.81) Vậy X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π. Do đó, các tần số bất kỳ bên ngoài khoảng [-π, π] hay [0, 2π]) là tương đương với một tần số trong khoảng này. § Trong biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc, tổng được thay thế cho tích phân, và vì X(ω) là một hàm tuần hoàn theo biến ω, nó có dạng giống như một khai triển chuỗi Fourier, các hệ số của chuỗi Fourier này là giá trị của dãy x(n). 3.4.3.2. Biến đổi Fourier ngược Từ công thức biến đổi Z ngược , ta thay z = ejω và dz=jejwdw. Ta có biến đổi Fourier ngược như sau : (3.82) Tóm lại , ta có cặp biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc như sau : Công thức biến đổi ngược : (3.83) Công thức biến đổi thuận : (3.84) 3.4.3.3. Điều kiện để tồn tại biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc X(ω) tồn tại khi vế phải của phương trình (3.84) hội tụ. Ta cũng đã đề cập trong chương 2, biến đổi Fourier tồn tại khi biến đổi Z chứa vòng tròn đơn vị. Bây giờ ta xét cụ thể hơn, điều kiện để X(ω) tồn tại là : (3.85) Vì 123
27. Một tín hiệu rời rạc thỏa mãn điều kiện (3.85) (gọi là khả tổng tuyệt đối) là tín hiệu có năng lượng hữu hạn. Thậy vậy : Năng lượng của tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau : (3.86) Ta có: Vì nên năng lượng Ex của tín hiệu hữu hạn. 3.4.4. PHỔ MẬT ĐỘ NĂNG LƯỢNG CỦA TÍN HIỆU KHÔNG TUẦN HOÀN Quan hệ Parseval: Ta xác định mối quan hệ giữa Ex và X(ω) Ta có : Hoán đổi vị trí tổng và tích phân : Ta có mối quan hệ giữa x(n) và X(ω) là : (3.87) Phương trình (3.87) là quan hệ Parseval cho tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn. Phổ biên độ - Phổ pha - Phổ mật độ năng lượng: Nói chung, X(ω) là một hàm phức của tần số. Vì vậy ta có thể biểu diễn bởi một đại lượng phasor. (3.88) Trong đó : là phổ biên độ và q(w) = ÐX(w) là phổ pha. Tương tự như trong trường hợp tín hiệu tương tự đại lượng: 124
28. Sxx(w) = (3.89) biểu diễn sự phân bố năng lượng theo tần số được gọi là phổ mật độ năng lượng của x(n). Rõ ràng, Sxx(ω) không chứa thông tin về pha. Đặc biệt, nếu x(n) là tín hiệu thực thì : X*(w) = X(-w) (3.90) hay (đối xứng chẵn) (3.91) và : ÐX(-w) = -ÐX(w) (đối xứng lẻ) (3.92) Từ pt(3.89) ta cũng có : Sxx(-w) = Sxx(w) (đối xứng chẵn) (3.93) Do tín đối xứng ta chỉ cần khảo sát tính hiệu rời rạc trong dải tần 0 £  £ . Ví dụ 3.5 Xác định và vẽ phổ mật độ năng lượng Sxx(ω) của tín hiệu : x(n) = anu(n) với -1 êaï (3.94) Vì |a|< 1 nên ROC của X(z) chứa vòng tròn đơn vị, vì vậy biến đổi Fourier tồn tại. Ta thay z = ejω để có được biến đổi Fourier của x(n), đó là : (3.95) (3.96) 125
29. Mật độ phổ năng lượng : Ta thấy Sxx(-ω) = Sxx(ω), phù hợp với pt(3.93). Hình 3.12 vẽ tín hiệu x(n) và phổ tương ứng với a = 0,5 và a = -0,5. Ta thấy với a=-0,5 tín hiệu biến đổi nh /Anh hơn và kết quả là phổ của nó tập trung ở vùng tần số cao. Ví dụ 3.6: Xác định tín hiệu x(n), biết rằng phổ của nó là : (3.97) Giải : Từ pt(3.83) ta có : Khi n = 0, ta có : Vậy: (3.98) 126
30. Cặp biến đổi Fourier được minh họa trong hình 3.13. Ta thấy, x(n) là một tín hiệu có năng lượng hữu hạn và Ex =. Ví dụ 3.7 : Xác định biến đổi Fourier và phổ mật độ năng lượng của dãy (3.99) Đồ thị của tín hiệu này được vẽ trong hình 3.14 Giải : Tín hiệu đã cho là tín hiệu khả tổng tuyệt đối thật vậy : Do đó biến đổi Fourier của nó tồn tại. Hơn nữa, đây là một tín hiệu có năng lượng hữu hạn, ta tính được Ex = êAï2L 127
31. Biến đổi Fourier của tín hiệu có thể được tính như sau : Cho ω = 0, ta có X(0) = AL (dùng qui tắc L’Hospital) Phổ biên độ của x(n) là : (3.101) và (3.102) Ta nhớ rằng, pha của một số thực là 0 nếu đó là một số thực dương và là (nếu đó là số thực âm. Hình 3.15 trình bày phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu (3.99) với A = 1 và L=5 phổ mật độ năng lượng chỉ là bình phương của phổ biên độ. Nhận xét : Cho ω các giá trị tần số rời rạc có quan hệ hài với nhau, nghĩa là : 128
32. w = wk = , k = 0,1, N-1 Ta có : So sánh với chuỗi Fourier, pt(3.78) dãy hệ số của chuỗi xung chữ nhật tuần hoàn ở ví dụ 3.4 ta thấy rằng : X() = NXp(k), k = 0, 1, N-1 Ở đây ta đã xét một tín hiệu xung chữ nhật bằng với một chu kỳ của chuỗi xung chữ nhật tuần hoàn có chu kỳ N. Giá trị của biến đổi Fourier ở các tần số w = , k = 0,1, N-1 chính là tích của chu lỳ N với các hệ số của chuỗi Fourier {Xp(k)} ở các hài tương ứng. Hay nói ngược lại các hệ số Xp(k) của chuỗi Fourier bằng với mẫu thứ k của biến đổi Fourier X(ω)(được lấy mẫu đều với chu kỳ lấy mẫu l nhân cho N). 3.4.5. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN Vì biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc là trường hợp đặc biệt của biến đổi Z. Nên các tính chất của biến đổi Z cũng đúng với biến đổi Fourier. Ngoài ra, biến đổi Fourier còn có một tính chất riêng của nó. Trước tiên ta sẽ tóm tắt các tính chất đã được trình bày trong phần biến đổi Z (xem bảng 3.2 ở trang sau). Sau đó, ta sẽ phân tích thêm một số tính chất khác của biến đổi Fourier. Một số tính chất khác của biến đổi Fourier 1. Định lý Wiener - Khintchine Nếu x(n) là một tín hiệu thực thì (3.104) Định lý này là một trường hợp đặc biệt của tính chất tương quan, theo đó, phổ mật độ năng lượng của một tín hiệu năng lượng là biến đổi Fourier của dãy tự tương quan của nó. Đây là một hệ quả quan trọng, nó hàm ý rằng, dãy tự tương quan của một tín hiệu và mật độ phổ năng lựng của nó chứa cùng một thông tin về tín hiệu. Vì vậy, nó không chứa thông tin về pha (giống như mật độ phổ năng lượng), ta không thể phục hồi tín hiệu một cách duy nhất từ dãy tự tương quan hay phổ mật độ năng lượng của nó. 129
33. STT Tính chất Miền thời gian Miền tần số Ký hiệu x(n) X(w) x1(n) X1(w) x2(n) X2(w) 1 Tuyến tính a1x1(n) + a2x2(n) a1X1(w) + a2X2(w) Dịch trong 2 miền thời x(n-k) e-jwkX(w) gian Đảo trục thời 3 x(-n) X(-w) gian Vi phân trong 4 n x(n) miền tần số 5 Chập x1(n)* x2(n) X1(w)X2(w) R (w) X (w)X (-w) x1x2 1 2 r (l) x (l) * x (-l) 6 Tương quan x1x 2 1 2 =X1(w)X2*(w) 7 Nhân x1(n).x2(n) Liên hợp 8 * * phức x (n) X (-w) Định lý 9 Parseval Bảng 3.2 : Một số tính chất của biến đổi Fourier rời rạc 2. Dịch trong miền tần số (Frequency Shifting) (3.105) Tính chất này được chứng minh một cách dễ dàng bằng cách thay x(n) trực tiếp vào công thức phân tích (3.84). Theo tính chất này, việc nhân dãy x(n) với tương đương với sự dịch chuyển trong miền tần số của phổ X(ω) một khoảng ω0. Sự dịch chuyển này được minh họa trong hình 3.16. Vì phổ của X(ω) là tuần hoàn, nên ta chỉ cần khảo sát trong một chu kỳ (hình 3.16d) 3. Định lý biến điệu (Modulation Theorem) 130
34. (3.106) Để chứng minh định lý biến điệu, ta biểu diễn cosω0 n dưới dạng : Và áp dụng tính chất dịch trong miền tần số. Định lý biến điệu được minh họa trong hình 3.17 4. Tính chất đối xứng Các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier rất hữu dụng, giúp ta có thể tính toán hoặc biểu diễn phổ của tín hiệu một cách đơn giản hơn. Tổng quát, cả 2 tín hiệu x(n) và X(ω) đều có giá trị phức. Ta có thể biểu diễn các tín hiệu này dưới dạng : 131
35. x(n) = xR(n) + jxI(n) (3.107) X(w) = XR(w) + jXI(w) (3.108) Thay pt(3.107) và e-jωn = cosωn - jsinωn vào công thức biến đổi Fourier thuận (3.84) ta thu được : (3.109) (3.110) Tương tự, thay pt(3.108) và ejωn = cosωn + j sinωn vào công thức biến đổi Fourier ngược (3.83) ta thu được : (3.111) 132
36. (3.112) Ø Đặc biệt, nếu x(n) là tín hiệu thực, nghĩa là xR(n) = x(n) và xI(n) = 0. Khi đó pt(3.109) và pt(3.110) trở thành : (3.113) (3.114) Vì cos(-ω) n = cos ωn và sin(-ω) n = -sin ωn Nên : XR(-ω) = XR(ω) (đối xứng chẵn) (3.115) XI(-ω) = -XI(ω) (đối xứng lẻ) (3.116) n Nếu x(n) là tín hiệu thực và lẻ Nếu x(n) là tín hiệu thực và lẻ (nghĩa là x(-n) = -x(n)) thì x(n)cosωn là hàm lẻ và x(n)sinωn là hàm chẵn. Từ pt(3.113), pt(3.114) ta thu được : (3.117) vì x(0) = -x(-0) = -x(0) = 0 (3.118) (3.119) n Nếu x(n) là tín hiệu thuần ảo Trong trường hợp này xR(n) = 0 và x(n) = jxI(n). Khi đó pt(3.109), pt(3.110) trở thành : (3.120) (3.121) 133
37. (3.122) Nếu xI(n) lẻ nghĩa là xI(-n) = xI(n)) thì : (3.123) XI (w) = 0 (3.124) (3.125) Nếu xI(n) chẳn nghĩa là xI(-n) = xI(n)) thì : XR (w) = 0 (3.126) (3.127) Ví dụ 3.8: Xác định biến đổi Fourier của tín hiệu: (3.128) Giải : Rõ ràng x(-n) = x(n). Vậy x(n) là một tín hiệu thực và chẳn. ta được (3.129) 134
38. Vì X(ω) là thực, nên phổ biên độ và pha được tính như sau : (3.130) Và (3.131) 135
39. Hình 3.18 trình bày đồ thị của tín hiệu x(n), biến đổi Fourier X(ω) phổ biên độ và phổ pha của nó. Bảng 3.3: Một số cặp biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn thông dụng. 3.5 LẤY MẪU TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN VÀ MIỀN TẦN SỐ Như đã đề cập ở chương 1, lấy mẫu tín hiệu trong miền thời gian là khâu quan trọng trong việc xử lý tín hiệu tương tự bằng kỹ thuật xử lý tín hiệu số. Mặt khác, tín hiệu cũng có thể được xử lý trong miền tần số. Trong trường hợp tín hiệu được xử lý là tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn, phổ của nó là liên tục. Vì vậy cũng cần phải lấy mẫu trong miền tần số. 3.5.1. Lấy mẫu trong miền thời gian và khôi phục tín hiệu tương tự. Gọi xa(t) là tín hiệu tương tự cần xử lý. Giả sử tín hiệu này được lấy mẫu tuần hoàn với chu kỳ lấy mẫu là TS, tín hiệu rời rạc thu được là : x(n) = xa(nTS) , - ¥ < n < ¥ (3.132) Các mẫu sau đó được lượng tử hóa trở thành tín hiệu số. Trong các khảo sát sau này, ta giả sử số mức lượng tử đủ lớn để có thể bỏ qua sai số lượng tử trong quá trình biến đổi A/D. Ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa phổ của tín hiệu liên tục xa(t) và phổ của tín hiệu rời rạc x(n). Nếu xa(t) là một tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn, thì phổ của nó được cho bởi công thức biến đổi Fourier. (3.133) 136
40. Ngược lại, tín hiệu xa(t) có thể được phục hồi từ phổ của nó bằng biến đổi Fourier ngược : (3.134) Chú ý rằng, việc tính toán được thực hiện trên tất cả các thành phần tần số trong một dải tần vô hạn - ¥ < F < ¥ là cần thiết cho sự khôi phục tín hiệu tương tự, nếu tín hiệu có băng tần không giới hạn. Phổ của tín hiệu rời rạc x(n) được cho bởi : Hay: (3.135) Dãy x(n) có thể được khôi phục từ phổ X(ω) hoặc X(f) bằng biến đổi ngược: Hay (3.136) Quan hệ giữa các biến thời gian t và n trong sự lấy mẫu tuần hoàn là : t = nTS = (3.137) Tương ứng ta có mối quan hệ giữa các biến tần số F và f. (3.138) Suy ra : (3.139) Từ mối quan hệ giữa F và f, đó là f =, ta thực hiện một sự biến đổi đơn giản cho vế trái của pt(3.139) và thu được : 137
41. (3.140) Tích phân trong vế phải của pt(3.140) có thể viết dưới dạng tổng vô hạn của các tích phân được lấy trong khoảng FS, ta có : (3.141) Ta thấy rằng Xa(F) trong khoảng tần số bằng với Xa(F - kFS) trong khoảng , kết hợp với tính tuần hoàn của hoàn mũ phức: ta được kết quả là : (3.142) Liên kết các pt(3.142), pt(3.141) và pt(3.140) ta thu được : (3.143) Hay (3.144) Từ pt(3.143) hay pt(3.144) ta thấy được mối quan hệ giữa phổ X(F/Fs ) hay X(f) của tín hiệu rời rạc với phổ Xa(F) của tín hiệu liên tục. Vế phải của các phương trình này bao gồm sự lặp lại một cách tuần hoàn của FsXa(F) với chu kỳ 138
42. Fs. Sự tuần hoàn này là hợp lý, bởi vì như ta đã biết, phổ X(f) hay X(F/Fs) của tín hiệu rời rạc là tuần hoàn với chu kỳ fp = 1 hay Fp = FS. Giả sử phổ Xa(F) của một tín hiệu có băng tần giới hạn xa(t) được trình bày trong hình 3.19a. Theo đó, phổ bằng 0 khi|F|. Nếu tần số lấy mẫu được chọn Fs > 2B thì phổ X(F/Fs) của tín hiệu rời rạc sẽ xuất hiện như hình 3.19b. Vậy, nếu tần số lấy mẫu Fs được chọn lớn hơn tần số Nyquist (2B) thì : X(F/Fs) = FSXa(F) , |F| ≤Fs /2 (3.145) Trong trường hợp này không có sự biệt d /Anh (aliasing), và do đó phổ tín hiệu rời rạc đồng dạng với phổ của tín hiệu tương tự nhân với thừa số Fs trong dải tần cơ bảnF| ≤Fs /2 ( tương đương với |F| ≤Fs /2). Ngược lại, nếu tần số FS được chọn sao cho Fs < 2B thì sự xếp chồng tuần hoàn của Xa(F) sẽ đưa đến sự chồng lấp phổ (spectral ovelap) (hình 3.19c và d). Do đó, phổ của X(F/Fs) của tín hiệu rời rạc chứa các thành phần tần số biệt d /Anh (aliasing) của phổ Xa(F) của tín hiệu tương tự. Hiện tượng biệt d /Anh xuất hiện và ta không thể khôi phục tín hiệu tương tự từ các mẫu của nó.Cho một tín hiệu rời rạc x(n) với phổ là X(F/Fs) (hình 3.19b), không có hiện tượng biệt d /Anh, ta có thể khôi phục lại tín hiệu tương tự từ các mẫu x(n). Ta có : (3.146) Với X(F/Fs) là: (3.147) Biến đổi ngược của Xa(F) là : (3.148) Giả sử rằng Fs = 2B thay thế phương (3.156) và phương trình (3.147) vào phương trình (3.148) ta được : 139
43. (3.149) Trong đó : x(n) = xa(nTs) và là thời khoảng lấy mẫu. Pt(3.149) được gọi là công thức nội suy lý tưởng (ideal interpolation formula) dùng để khôi phục xa(t) từ các mẫu của nó. Hàm: (3.150) được gọi là hàm nội suy, như đã đề cập ở chương 1. Công thức (3.149) là cơ sở cho định lý lấy mẫu đã được phát biểu ở chương 1, đó là: Một tín hiệu liên tục có băng tần hữu hạn, với tần số cao nhất là B Hz, có thể được khôi phục một cách duy nhất từ các mẫu của nó mà đã được lấy mẫu với tốc độ lấy mẫu là FS ≥ 2B mẫu/giây. Vừa rồi, ta đã thảo luận về vấn đề lấy mẫu và khôi phục các tín hiệu tương tự có băng tần hữu hạn. Vấn đề này sẽ như thế nào đối với tín hiệu có băng tần vô hạn, ta hãy xét trường hợp này trong ví dụ sau đây. Ví dụ 3.9 : Sự lấy mẫu một tín hiệu có băng tần không giới hạn Xét tín hiệu liên tục: xa(t) = xa(t) = e-Aêtï ; A > 0 Phổ của nó được cho bởi : Hãy xác định phổ của tín hiệu lấy mẫu : x(n) º xa(nT) Giải : Nếu ta lấy mẫu xa(t) với tần số lấy mẫu là Fs = 1/Ts, ta có : x(n) = xa(nTS) = e-ATs|n| = (e-ATs)ênï ; -¥ < n < ¥ Phổ của x(n) tìm được một cách dễ dàng bằng cách áp dụng trực tiếp công thức biến đổi Fourier. Ta tính được : 141
44. Vì cos2pFTS = cos2p() tuần hoàn theo F với chu kỳ Fs, nên X() cũng tuần hoàn với chu kỳ Fs. Vì Xa(F) không được giới hạn băng tần, nên không thể tránh được hiện tượng biệt d /Anh, phổ của tín hiệu được khôi phục : (t) là : Hình 3.20a vẽ tín hiệu nguyên thủy xa(t) và phổ Xa(t) của nó với A = 1. Tín hiệu x(n) và phổ X() của nó được vẽ trong hình 3.20b, với Fs=1Hz. Méo dạng do biệt d /Anh (aliasing) rõ ràng là đáng chú ý trong miền tần số. Tín hiệu được khôi 142
45. phục Xa được vẽ trong hình 3.20c. Sự méo dạng do chồng phổ được làm giảm một cách đáng kể khi tăng tần số lấy mẫu. Chẳng hạn tăng tần số lấy mẫu lên đến Fs = 20 Hz, tín hiệu được khôi phục có dạng gần giống với tín hiệu nguyên thủy được vẽ trong hình 3.20d. 3.5.2. LẤY MẪU TRONG MIẾN TẦN SỐ VÀ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN Nhắc lại rằng, tín hiệu năng lượng hữu hạn không tuần hoàn có phổ liên tục. Ta xét một tín hiệu rời rạc không tuần hoàn x(n) có biến đổi Fourier là : (3.151) Giả sử ta lấy mẫu X(ω) một cách tuần hoàn trong miền tần số với khoảng cách lấy mẫu là dw (radians). Vì X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π nên chỉ cần khảo sát các mẫu trong một chu kỳ cơ bản, ta lấy N mẫu cách đều trong khoảng 0 £ w < 2p, khoảng cách lấy mẫu tương ứng làP (hình 3.21) Giá trị của X(ω) ở các tần số ωk = là : (3.152) Tổng trong pt(3.152) có thể chia thành tổng của vô số tổng con như sau : Đổi biến m = n - lN hay n = m + lN, ta được: 143
46. Hoán đổi vị trí của 2 tổng và thay lại ký hiệu biến m bằng n, ta được : (3.153) Với k = 0, 1, 2, , N-1 Đặt: (3.154) Tín hiệu xp(n) thu được bằng phép lặp tuần hoàn x(n) với mỗi đoạn N mẫu, rõ ràng nó tuần hoàn với chu kỳ N. Vì vậy, nó có thể khai triển thành chuỗi Fourier. (3.155) Với các hệ số của chuỗi Fourier được xác định bởi : (3.156) So sánh pt(3.156) với pt(3.153) ta thu được : (3.157) Do đó: (3.158) Quan hệ (3.158) cho phép ta khôi phục xp(n) từ các mẫu của phổ X(ω). Tuy nhiên, nó chưa cho ta thấy khả năng khôi phục X(ω) hay x(n) từ các mẫu của X(w). Để thiết lập công thức nội suy khôi phục X(ω) hoặc x(n) từ các mẫu của X(ω)ta xét mối quan hệ giữa x(n) và xp(n). Vì xp(n) là sự mở rộng tuần hoàn của x(n) từ pt(3.154), nên ta có thể khôi phục x(n) từ xp(n) nếu không có sự biệt d /Anh hay chồng mẫu trong miền thời gian . Xét trường hợp x(n) là một dãy có độ dài hữu hạn và nhỏ hơn chu kỳ N của xp(n). Trường hợp này được minh họa trong hình 3.22 (không làm mất đi tính tổng quát), giả sử các mẫu khác 0 của x(n) nằm trong khoảng 0 £ n £ L-1 và L £ N thì : x(n) = xp(n) ; 0 £ n £ N-1 144
47. Vì vậy x(n) có thể khôi phục từ xp(n) mà không bị nhằm lẫn. Ngược lại nếu L > N, chiều dài của dãy x(n) lớn hơn chu kỳ của xp(n) ta không thể khôi phục x(n) từ xp(n) bởi vì có sự chồng mẫu trong miền thời gian. Kết luận : Phổ của một tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có độ dài hữu hạn x(n) hay chính x(n) có thể được khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của phổ ở các tần số, nếu chiều dài L của x(n) nhỏ hơn N, N là số mẫu được lấy trong khoảng tần số 2π. Khi đó xp(n) được tính từ phương (3.168) và x(n) được khôi phục như sau : (3.159) Sau cùng X(ω) có thể được tính từ pt(3.161) 145
48. Phổ X(ω) được xem như là một tín hiệu liên tục theo ω, nó có thể được biểu diễn bằng các mẫu X() của nó k = 0, 1, , N-1. Giả sử rằng N³L, khi đó x(n) = xp(n) với 0 £ n £ N-1, từ pt(3.158) ta có : (3.160) Thay pt(3.160) và pt(3.151) ta được : = (3.161) Tổng bên trong dấu ngoặc của pt(3.171) là một hàm nội suy cơ bản được dịch trong mieàn taàn soá. Thật vậy ta định nghĩa hàm: (3.162) Pt(3.160) được viết lại : (3.163) Pt(3.173) là công thức nội suy dùng để khôi phục X(ω) từ các mẫu của nó. 146
49. Hàm nội suy P(ω) có dạng đồ thị được vẽ trong hình 3.23 Ví dụ 3.10 : Xét tín hiệu : x(n) = anu(n) , 0 < a < 1 phổ của tín hiệu này được lấy mẫu ở các tần số (k =, k = 0, 1, , N-1. Xác định phổ được khôi phục với a=0,8 khi N=5 và N = 50. Giải : Biến đổi Fourier của dãy x(n) là : Thay a = 0,8 và w = wk = , ta được : Dãy tuần hoàn xp(n) tương ứng với các mẫu X(), k = 0, 1, , N-1 thu được từ pt(3.158), và: , vớin = 0, 1, , N-1 Kết quả được minh họa trong hình 3.24 với N = 5 và N = 50. Để có sự so sánh, dãy nguyên thủy x(n) và phổ của nó cũng được vẽ. Ảnh hưởng của hiện tượng chồng mẫu khá rõ trong trường hợp N = 5. Trong trường hợp N=50 ảnh hưởng do sự chồng mẫu rất yếu và kết quả x’(n) » x(n), với n=0, 1, 2, , N-1. 3.6 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT DISCRETE FOURIER TRANFORM) 3.6.1. KHÁI NIỆM: 147
50. Trong phần trước, ta đã trình bày về sự lấy mẫu trong miền tần số của một tín hiệu có năng lượng hữu hạn không tuần hoàn. Nói chung, các mẫu X() của biến đổi Fourier X(ω), với k = 0,1, N-1 không đặc trưng cho sự duy nhất của dãy x(n) khi x(n) là một dãy có độ dài vô hạn. Thay vào đó, các mẫu tần số X() này lại tương ứng với một dãy tuần hoàn xp(n) có chu kỳ N. Ở đây, xp(n) là dãy được tạo ra từ sự xếp chồng tuần tuần của x(n). Như đã được xác định bởi phương trình (3.154) đó là : (3.164) Khi x(n) có chiều dài hữu hạn L ≤ N thì xp(n) chính là sự lặp lại tuần hoàn của x(n), trong một chu kỳ xp(n) được xác định bởi : (3.165) Ngược lại, dãy x(n) có thể được khôi phục lại từ xp(n) bằng cách cắt lấy một chu kỳ của xp(n) nghĩa là : (3.166) 148
51. Cần khẳng định lại rằng x(n) chỉ có thể khôi phục lại từ xp(n) khi L ≤ N và lúc này ta coi như x(n) có độ dài N bằng cách thêm vào các mẫu có giá trị 0 ở các thời điểm L ≤ n ≤ N-1. Khi đó, trong miền tần số các mẫu của X(ω) là X(), với k = 0,1, N-1, biểu diễn một cách duy nhất dãy có độ dài hữu hạn x(n). Ta có thể được khôi phục X(ω) từ các mẫu bằng công thức nội suy (3.163). Tóm lại, một dãy x(n) có độ dài hữu hạn có biến đổi Fourier là : (3.167) Trong đó các chỉ số trên và dưới của tổng hàm ý rằng x(n) = 0 với các giá trị của n ở ngoài khoảng [0, L–1]. 149
52. Khi ta lấy mẫu X(ω) tại những tần số cách đều nhau ωk =, với k = 0,1, N-1 với N ≤ L ta được : (3.168) Để thuận tiện, chỉ số trên của tổng có thể được tăng lên từ L-1 đến N-1, vì x(n)=0, khi n ³ L. Ta có : (3.169) Quan hệ (3.169) là công thức biến đổi một dãy {x(n)} có độ dài L ≤ N trong miền thời gian thành dãy {X(K)} có độ dài N trong miền tần số. Vì các mẫu tần số này thu được bằng cách tính biến đổi Fourier X(ω) ở một tập N tần số rời rạc (cách đều nhau), nên quan hệ (3.169) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của x(n). Ngược lại, quan hệ (3.158) cho phép ta khôi phục x(n) từ các mẫu tần số X(K) (3.170) Pt(3.180) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT: Inverse DFT). Khi x(n) có chiều dài L < N, IDFT N điểm sẽ cho kết quả x(n)=0 với L≤n≤N-1. Như vậy, ta có cặp công thức biến đổi DFT như sau : Ví dụ 3.11 : Xét một dãy có chiều dài hữu hạn L được định nghĩa như sau : Xác định DFT N điểm của dãy này với N ≥ L Giải : Biến đổi Fourier của dãy này là : 150
53. Biên độ và pha của X(ω) được vẽ trong hình 3.25 với L = 10. DFT N điểm của x(n) đơn giản là giá trị của X(ω) tại tập N tần số ωk =, k = 0,1, N-1 , vậy : Nếu N được chọn sao cho N = L, thì DFT trở thành : Ta thấy, trong trường hợp này chỉ có một giá trị khác 0 trong DFT. Ta có thể kiểm tra lại rằng x(n) có thể được khôi phục từ X(K) bằng cách thực hiện biến đổi IDFT L điểm. Mặc dù DFT L điểm đủ để đặc trưng một cách duy nhất cho dãy x(n) trong miền tần số, nhưng rõ ràng nó không cung cấp đủ chi tiết để có một hình ảnh tốt về đặc tính phổ của x(n). Nếu muốn có một hình ảnh tốt hơn, ta phải ước lượng X(ω) ở các tần số có khoảng cách gần nhau hơn, nghĩa là ωk = , vôùi N > L. Ta thaáy caùch tính naøy töông ñöông vôùi söï keùo daøi chieàu daøi của dãy x(n) bằng cách thêm vào N - L mẫu có giá trị bằng 0. Hình 2.26 vẽ đồ thị của DFT N điểm, biên độ và pha với L = 10, N = 50 và N = 100. Ta thấy đặc tính phổ của dãy rõ ràng hơn. 151
54. Hình 3.26a Biên độ và pha của DFT N điểm trong ví dụ 3.11 với L=10 và N=50 152
55. Hình 3.26 b : Biên độ và pha của DFT N điểm trong ví dụ 3.11 với L=10 và N =100 DFT và IDFT là các biến đổi tuyến tính trên các dãy {x(n)} và {X(K)}. Để thấy được tính chất này ta định nghĩa một vectơ XN(n) của các mẫu tần số và một ma trận WN bậc N x N như sau : 153
56. Với các định nghĩa này DFT N điểm có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau : XN = WN xN (3.185) Ở đây WN là một ma trận của sự biến đổi tuyến tính . Ta thấy WN là một ma trận đối xứng. Giả sử rằng nghịch đảo của WN tồn tại thì pt(3.185) có thể viết lại như sau : (3.186) Đây chính là biểu thức cho IDFT Thực ra, IDFT chobởi phương trình (3.182) có thể biểu diễn dưới dạng ma trận : (3.187) Ở đây là ma trận liên hợp phức của WN . So sánh pt(3.187) và pt(3.156) ta suy ra : (3.188) Pt(3.188) hàm ý rằng : WN = NIN Với IN là ma trận đồng dạng (đơn vị) bậc N x N. Do đó ma trận WN là một ma trận trực giao. Hơn nữa ma trận đảo của nó tồn tại và bằng /N 154
57. DFT và IDFT đóng vai trò rất quan trọng trong nhiều ứng dụng của xứ lý tín hiệu số như: phân tích phổ, ước lượng phổ mật độ công suất, phân tích tương quan, lọc tuyến tính Có nhiều thuật toán có hiệu quả để tính DFT và IDFT một cách nhanh chóng và chính xác. Trong đó thuật toán được sử dụng rộng rãi gọi là biến đổi fourier nhanh (FFT : Fast Fourier Transform) (Tham khảo [11], [4], [7]). 3.6.2. QUAN HỆ GIỮA DFT VÀ CÁC BIẾN ĐỔI KHÁC Trong phần này ta sẽ tổng kết lại mối quan hệ của DFT với một số biến đổi khác. 3.6.2.1. Quan hệ giữa DFT với các hệ số chuỗi Fourier của dãy tuần hoàn Một dãy tuần hoàn xp(n) với chu kỳ N có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier, ta viết lại: , với ∞ < n < ∞ (3.189) Trong đó, các hệ số của chuỗi Fourier được cho bởi biểu thức: , với k = 0,1, , N-1 (3.190) để so sánh, ta viết lại cặp biến đổi DFT: Ta thấy các hệ số của chuỗi Fourier có cùng dạng với DFT. Thật vậy, nếu ta định nghĩa một dãy x(n) bằng một chu kỳ của dãy tuần hoàn xp(n), thì DFT của dãy này là: X(k) = N.Xp(k) (3.193) Hơn nữa, pt(3.189) có dạng của IDFT. Vậy, DFT cho ta sự liên kết đặc tính tần số giữa tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn có độ dài hữu hạn. Ghi chú: DFT của một dãy rời rạc tuần hoàn Từ định nghĩa, ta thấy DFT của một dãy có độ dài hữu hạn x(n) là các mẫu X(k) của biến đổi Fourier X(ω) của tín hiệu rời rạc x(n). Để đi đến định nghĩa này, ta đã dựa vào mối quan hệ giữa X(k) và các hệ số của chuỗi Fourier của dãy tuần hoàn xp(n), với xp(n) được thành lập bằng cách xếp chồng tuần hoàn x(n) với chu kỳ N. Ngược lại, với một dãy tuần hoàn xp(n) bất kỳ, N mẫu trong một chu kỳ có 155
58. thể biểu diễn tín hiệu này một cách đầy đủ trong miền thời gian, và DFT của dãy có chiều dài bằng một chu kỳ (có quan hệ với các hệ số của chuỗi Fourier theo pt(3.193)) cũng có thể biểu diễn tín hiệu một cách đầy đủ trong miền tần số. Vì vậy, các công thức định nghĩa DFT (3.191) và (3.192) cũng được áp dụng cho tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N. 3.6.2.2. Quan hệ giữa DFT với phổ của của dãy có độ dài hữu hạn Xét một dãy x(n) không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn, biến đổi Fourier của nó là: (3.194) nếu X(ω) được lấy mẫu ở N tần số cách đều nhau, ωk = 2πk/N, k=0,1, ,N-1, thì: (3.195) Các thành phần phổ {X(k)} tương ứng với phổ của một dãy tuần hoàn chu kỳ N, đó là: (3.196) Nếu x(n) là tín hiệu năng lượng hữu hạn, nhưng có độ dài vô hạn, thì x(n) không thể khôi phục chính xác từ một chu kỳ của xp(n). Nếu x(n) là một dãy có độ dài L hữu hạn và L ≤ N, thì ta có thể khôi phục chính xác x(n) từ xp(n) như sau: Trong trường hợp này, IDFT của {X(k)} đúng là dãy nguyên thủy x(n). 3.6.2.3. Quan hệ giữa DFT và biến đổi Z Xét một dãy x(n) có biến đổi Z: , với ROC chứa vòng tròn đơn vị. Nếu X(z) được lấy mẫu ở N điểm cách đều nhau trên vòng tròn đơn vị zk = ej2πk/N, k = 0, 1, 2, , N-1, ta thu được: , k = 0, 1, 2, , N-1 (1.198) 156
59. Ta thấy X(k) trong pt(1.198) đồng dạng với biến đổi Fourier X(ω) được lấy mẫu ở N tần số cách đều nhau ωk = 2πk/N, k = 0, 1, 2, , N-1, ngoại trừ chỉ số trong tổng được lấy trong khoảng vô hạn. Nếu dãy x(n) có chiều dài N hữu hạn, biến đổi Z của nó có thể biểu diễn như là một hàm của DFT X(k). Đó là: (1.199) Vì biến đổi Fourier là biến đổi Z lấy trên vòng tròn đơn vị, ta có: (1.200) pt(1.200) chính là công thức nội suy để khôi phục X(ω) từ DFT. 3.6.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC Ta đã thiết lập được các mối quan hệ giữa DFT với chuỗi fourier, biến đổi Fourier và biến đôi Z của tín hiệu rời rạc theo thời gian. DFT là một dạng biểu diễn đặc biệt của các biến đổi này, nên nó có các tính chất tương tự như biến đổi Fourier và chuỗi Fourier, tuy nhiên, cũng tồn tại một vài sự khác biệt quan trọng. Trước khi trình bày các tính chất của DFT, ta cần tham khảo một số khái niệm sau đây. 3.6.3.1. Phép dịch vòng và tính đối xứng vòng của một dãy: Như ta đã biết, DFT- N điểm của một dãy x(n) có chiều dài hữu hạn L, với L≤N, tương đương với DFT – N điểm của dãy tuần hoàn xp(n), chu kỳ N, mà nó được thành lập bằng cách xếp tuần hoàn dãy x(n) với chu kỳ N theo pt(3.196). Bây giờ, giả sử xp(n) được dịch phải k mẫu, dãy tuần hoàn thu được sẽ là: (3.201) Vì ta vẫn khảo sát tín hiệu trong khoảng 0 ≤ n ≤ N – 1, nên dãy có chiều dài hữu hạn tương ứng là: x|(n) quan hệ với dãy nguyên thủy x(n) bởi phép dịch vòng. Hình 3.27 minh họa phép dịch vòng với N = 4. 157
60. Định nghĩa phép dịch vòng: dịch vòng chỉ số modulo N (ta sẽ gọi tắt là dịch vòng modulo N) một dãy x(n) có chiều dài hữu hạn L, với L ≤ N là phép dịch mà theo đó các mẫu ra khỏi khoảng [0,N-1] sẽ quay vòng lại đầu kia. Nếu x|(n) là tín hiệu thu được trong phép dịch vòng k mẫu modulo N của dãy x(n) , ta ký hiệu: x|(n) = x(n – k,(mod N)) (3.203) Ví dụ: nếu k = 2 và N = 4, ta có: x|(n) = x(n – 2,(mod 4)) cụ thể là: x|(0) = x( – 2,(mod 4)) = x(2) 158
61. x|(1) = x( – 1,(mod 4)) = x(3) x|(2) = x( 0 , (mod 4)) = x(0) x|(3) = x( 1 , (mod 4)) = x(1) Một cách hình ảnh, ta có thể coi phép dịch vòng như là các mẫu thu được trong một cửa sổ có chiều dài N đứng yên khi dãy tuần hoàn xp(n) được dịch ngang qua cửa sổ này. Thay vì biểu diễn N mẫu, từ 0 đến N – 1, dọc theo một trục nằm ngang, để thuận tiện ta xếp chúng trên một vòng tròn và chọn một chiều dương. Ở đây, ta chọn chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ. Các mẫu của dãy x(n) (hay x|(n)) và giá trị của chúng được ghi bên cạnh các điểm tương ứng (Hình 3.28). Ta thấy, nếu giữ cố định các điểm và quay tập các giá trị k mẫu (theo chiều dương khi k>0, ngược chiều dương khi k<0) ta thu được dãy x|(n) trong phép dịch vòng k mẫu modulo N. Từ việc sắp xếp một dãy có chiều dài hữu hạn theo N điểm trên vòng tròn, ta có các định nghĩa khác về sự đối xứng chẳn, đối xứng lẻ và đảo thời gian của một dãy. § Một dãy N điểm được gọi là chẵn nếu nó đối xứng xung qu /Anh điểm không trên vòng tròn. Điều này có nghĩa là: x(N – n) = x(n) với 0 ≤ n ≤ N-1 (3.204) § Một dãy N điểm được gọi là lẻ nếu nó phản đối xứng xung qu /Anh điểm không trên vòng tròn. Điều này có nghĩa là: x(N – n) = - x(n) với 0 ≤ n ≤ N-1 (3.205) 159
62. § Đảo thời gian của một dãy N điểm là một dãy thu được bằng cách nghịch đảo các mẫu xung qu /Anh điểm không trên vòng tròn. Nếu ta ký hiệu dãy đảo thời gian chỉ số modulo N là x(-n,(mod N)), thì định nghĩa này hàm ý rằng: x(– n, (mod N)) = x(N - n) với 0 ≤ n ≤ N-1 (3.206) Phép đảo thời gian tương đương với việc xếp x(n) theo ngược chiều kim đồng hồ trên vòng tròn (Hình 3.29.(b)). 3.6.3.2. Chập vòng của 2 dãy: Chập vòng chỉ số modulo N của 2 dãy x1(n) và x2(n), ký hiệu là: , được định nghĩa như sau: Ghi chú: Các khái niệm về phép dịch vòng, tính đối xứng vòng và phép chập vòng đã được định nghĩa cho các dãy trong miền thời gian n cũng được sử dụng cho các dãy trong miền tần số rời rạc k. 3.6.3.3. Các tính chất của DFT Trong giáo trình này, ta sẽ trình bày các tính chất của DFT mà không chứng minh. Để khảo sát các tính chất đặc biệt của DFT, ta ký hiệu cặp DFT-N điểm x(n) và X(k), như sau: 1/. Tính chất tuyến tính 160
63. trong đó a1 và a2 là các hằng số bất kỳ có giá trị thực hoặc phức. 2/. Tính chất đảo thời gian: 3/. Tính chất dịch vòng thời gian 4/. Tính chất dịch vòng tần số 5/. Tính chất liên hợp phức 6/. Tính chất chập vòng 7/. Tính chất tương quan vòng 161
64. 8/. Tính chất nhân hai dãy 9/. Định lý Parseval 10/. Tính chất đối xứng của DFT Các tính chất đối xứng của DFT có thể thu được bằng các thao tác toán học như đã dùng ở phần 3.4.5 cho biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc. Tổng quát, ta xét trường hợp dãy N điểm x(n) và DFT X(k) của nó là các dãy giá trị phức. Ta có thể biểu diễn các tín hiệu này dưới dạng : x(n) = xR(n) + jxI(n) (3.220) X(k) = XR(k) + jXI(k) (3.221) Thay pt(3.220) vào công thức DFT (3.181) ta thu được : Tương tự, thay pt(3.221) vào công thức IDFT (3.182) ta thu được : 162
65. Ø Đặc biệt, nếu x(n) là dãy thực, theo pt(3.181) ta có : X(N –k) = X*(k) = X(-k) (3.226) Kết quả là |X(N – k)| = |X(k)| và ÐX(N – k) = - ÐX( k) Hơn nữa, xI(n) = 0 và vì vậy x(n) có thể xác định bằng pt(3.224). Đây là một dạng khác của IDFT. § Nếu x(n) là dãy thực và chẵn Nếu x(n) là tín hiệu thực và chẵn, nghĩa là xI(n) = 0 và x(n) = x(N - n), với 0≤ n ≤ N-1. Thay vào pt(3.223) ta có XI(k) = 0. Vì vậy công thức DFT trở thành: (3.227) Ta thấy X(k) cũng thực và chẵn. Hơn nữa, vì XP(k) = 0, nên công thức IDFT trở thành: (3.228) § Nếu x(n) là dãy thực và lẻ Nếu x(n) là tín hiệu thực và lẽ, nghĩa là xI(n) = 0 và x(n) = -x(N - n), với 0≤ n ≤ N-1. Thay vào pt(3.222) ta có XR(k) = 0. Vì vậy công thức DFT trở thành: (3.229) Ta thấy X(k) là thuần ảo và lẻ. Hơn nữa, vì XR(k) = 0, nên công thức IDFT trở thành: (3.230) § Nếu x(n) là dãy thuần ảo Trong trường hợp này xR(n) = 0 và x(n) = jxI(n). Khi đó pt(3.222) và pt(3.223) trở thành : 163
66. Ta thấy XR(k) là lẻ và XI(k) là chẵn. Nếu xI(n) là lẻ, thì XI(k) = 0 và vì vậy X(k) là thuần thực. Ngược lại, nếu XI(n) là chẳn, thì XI(k) = 0 và vì vậy X(k) là thuần ảo. Tính chất đối xứng được tổng kết trong bảng 3.4. x(n) X(k) Thực Phần thực là chẵn Phần ảo là lẻ Ảo Phần thực là lẻ Phần ảo là chẵn Thực và chẵn Thực và chẵn Thực và lẻ Ảo và lẻ Ảo và chẵn Ảo và chẵn Ảo và lẻ Thực và lẻ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 3.1. Tính và vẽ phổ biên độ và phổ pha của các tín hiệu sau đây: 3.2. Xét tính hiệu xa(t) = |Asin(t)| (A là một hằng số). Hãy: (a) Xác định phổ Xa(F) của tín hiệu này. (b) Tính công suất của tính hiệu. (c) Vẽ mật độ phổ công suất. (d) Kiểm chứng lại quan hệ Parseval. 3.3. Hãy xác định và vẽ phổ biên độ, phổ pha của các tín hiệu tuần hoàn sau đây: 164
67. 3.4. Xác định các tín hiệu tuần hoàn x(n), với chu kỳ cơ bản là N = 8, nếu các hệ số Fourier của chúng được cho bởi: 3.5. Hãy tính biến đổi Fourier của các tín hiệu sau đây: (a) x(n) = u(n) – u(n - 6) (b) x(n) = 2n u(-n) (c) (1/4)nu(n + 4) 3.6. Hãy xác định các tín hiệu tương ứng với các biến đổi Fourier sau đây: (b)X(w) = cos2w 3.7. Giả sử xp(n) là một dãy tuần hoàn với chu kỳ N. Khi đó xp(n) cũng tuần hoàn với chu kỳ 3N. Gọi Xp(k) là các hệ số Fourier của xp(n), dãy Xp(k) cũng tuần hoàn với chu kỳ N. Gọi Xp3(k) là các hệ số Fourier của xp(n) nhưng được coi như tuần hoàn với chu kỳ 3N: (a) Hãy biểu diễn Xp3(k) theo Xp(k) (b) Cho , tuần hoàn với chu kỳ N = 2, tính Xp(k) và Xp3(k), kiểm tra lại kết quả của câu (a) 165
68. 3.8. Cho tín hiệu: ,với biến đổi Fourier được biểu diễn dưới dạng X(ω) =XR(ω) +j XI(ω). Hãy xác định và vẽ tín hiệu y(n) tương ứng với biến đổi Fourier là Y(ω) =XI(ω) +j XR(w)ej2w. 3.9. Cho tín hiệu: với biến đổi Fourier là X(ω). Hãy tính các đại lượng sau đây, mà không cần phải xác định X(ω): 3.10. Hãy tính các DFT N điểm của các tín hiệu: (a) x(n) = d(n) (b) x(n) = d(n – n0), 0 < n0 < N (c) x(n) = an, 0 £ n £ N –1 3.11. (a) Hãy tính biến đổi Fourier X(ω) của tín hiệu: (b) Hãy tính DFT 6 điểm V(k) của tín hiệu: (c) Giữa X(ω) và V(k) có quan hệ gì không? Giải thích. .3.12. DFT 8 điểm của một dãy thực có 5 mẫu đầu tiên là: {0.25, 0.125 – j0.3018, 0, 0.125 – j0.0518, 0}. Hãy xác định 3 mẫu còn lại. 3.13. Tính chập vòng 8 điểm (modulo 8) của các cặp dãy trong các câu (a) và (b) sau đây: 166
69. (c) Tự tương quan vòng của x1(n). (d) Tự tương quan vòng của x2(n). 3.15. Xác định DFT 8 điểm X(k) của tín hiệu x(n) = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0} Vẽ đồ thị biên độ và pha của X(k). 3.16. Gọi X(k) là DFT N điểm của x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1. Tính DFT của dãy s(n) = X(n), 0 ≤ n ≤ N – 1. Nhận xét. 167
70. CHƯƠNG IV BIỂU DIỄN VÀ PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 4.1 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ Để khảo sát đặc tính của hệ thống LTI trong miền tần số, ta sẽ bắt đầu bằng cách xét đáp ứng của hệ thống đối với các kích thích cơ bản, đó là tín hiệu mũ phức và tín hiệu hình sin. 4.1.1. ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG LTI Trong miền thời gian, một hệ thống LTI được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n) của nó. Với một tín hiệu vào x(n) bất kỳ, đáp ứng của hệ thống được xác định bởi công thức tổng chập : với các điều kiện đầu xác định. Trong miền z, hệ thống được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(z) và đáp ứng y(n) được tính thông qua biến đổi Z, Y(z), của nó : Y(z) = H(z) X(z) (4.3) với : H(z) hàm truyền đạt của hệ thống và X(z) biến đổi z của tín hiệu vào. Bây giờ, để nghiên cứu đặc trưng của hệ thống trong miền tần số, ta xét trường hợp kích thích là tín hiệu mũ phức, đó là : x(n) = Aejwn ; - ¥ < n < ¥ (4.4) với A là biên độ và ( là tần số được giới hạn trong khoảng [-π, π]. Thay phương trình (4.4) vào phương trình (4.1) ta được : 4.1.1.1. Đáp ứng tần số 168
71. Ta thấy, thừa số trong dấu ngoặc của phương trình (4.5.b) là một hàm của biến tần số ω. Đây chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(k) của hệ thống. Ta đặt : H(w) cũng chính là hàm truyền đạt H(z) khi z được lấy trên vòng tròn đơn vị H(w) được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống LTI Phương trình (4.5) được viết lại : y(n) = A H(w)ejwn (4.7) Ta thấy, đáp ứng với tín hiệu vào là hàm mũ phức cũng là một hàm mũ phức có cùng tần số với tín hiệu vào nhưng có biên độ và pha thay đổi (do nhân với H(w)) 4.1.1.2. Hàm riêng (eigenfunction) và trị riêng (eigenvalue) của hệ thống Xét một tín hiệu vào x(n) sao cho đáp ứng y(n) thỏa điều kiện : y(n) = b x(n) (4.8) Với b là một hằng đối với biến n. Khi đó x(n) được gọi là hàm riêng của hệ thống và thừa số b được gọi là trị riêng của hệ thống. Từ phương trình (4.7) ta thấy tín hiệu hàm mũ phức x(n) = Aej(n chính là hàm riêng của hệ thống LTI và H(w) được xác định ở tần số của tín hiệu vào chính là trị riêng tương ứng. Ví dụ 4.1 : Hãy xác định tín hiệu ra của hệ thống có đáp ứng xung là : Với tín hiệu vào là 1 dãy hàm mũ phức : Giải : Đáp ứng tần số : 169
72. 4.1.1.3. Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha Nói chung, H(w) là một hàm có giá trị phức của biến tần số. Vì vậy nó có thể biểu diễn dưới dạng cực : H(w) = êH(w)ïejq(w) (4.12) Trong đó |H(w)| là biên độ và pha, q=Ð H(w) là sự dịch pha được truyền vào tín hiệu vào ở tần số w. Để làm nổi các múi bên (sidelobes) hay các gợn sóng (ripples) trên đặc tuyến biên độ, người ta dùng giai logarit hay decibel (dB) cho trục biên độ, còn trục tần số vẫn theo giai số tuyến tính. Biên độ theo dB được định nghĩa như sau : êH(w)ïdB = 20log10êH(w)ï Nhận xét: (1) H(w) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ là 2p. Đây là một tính chất quan trọng của H(w). Thậy vậy, từ định nghĩa (4.6) với một số nguyên m bất kỳ ta có : H(w + 2pm) = H(w) (2) Từ công thức biến đổi Fourier ngược ta có : 170
73. (3) Vì H(w) là biến đổi Fourier của ‘tín hiệu’ rời rạc h(n) nên nó thỏa mãn các tính chất của biến đổi Fourier đã trình bày trong chương 3. (4) Vì H(w) là biến đổi Z của h(n) với z trên vòng tròn đơn vị nên các phương trình của H(z) cũng có thể áp dụng cho H(w), nếu miền hội tụ của H(z) chứa vòng tròn đơn vị (hệ thống ổn định) và thay z = eJw. Ví dụ 4.2 : Hãy xác định biên độ và pha của H(w) cho một hệ thống trung bình di động ba điểm được biểu diễn bởi quan hệ vào ra như sau : Và vẽ đồ thị của 2 hàm này với 0 £ w £ p. Giải : Đáp ứng xung của hệ thống là : Đáp ứng tần số (sử dụng tính chất dịch trong miền thời gian) Kết quả : Hình 4.1 vẽ giản đồ biên độ và pha của H(w), ta thấy |H(w)| đối xứng chẵn và q(w)đối xứng lẻ. Rõ ràng, từ đặc tuyến đáp ứng tần số H(w) ta thấy hệ thống trung bình động ba điểm này là một mạch lọc làm trơn (smooth) tín hiệu vào, điều này cũng có thể hiện trong quan hệ vào ra. Nói chung các hệ thống trung bình di động là các mạch lọc làm trơn. Bây giờ ta xét đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu vào có dạng sin. Vì tín hiệu dạng sin là tổng hay hiệu của các hàm mũ phức. Vì vậy đáp ứng của hệ thống LTI 171
74. đối với tín hiệu vào hình sin có dạng giống như đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là hàm mũ phức. Thậy vậy, nếu tín hiệu vào là : x1(n) = Aejwn Tín hiệu ra là : y1(n) = AêH(w)ïejq(w)ejwn Nếu tín hiệu vào là : x2(n) = Ae-jwn Tín hiệu ra là : y2(n) = AêH(-w)ïejq(-w)e -jwn = AêH(w)ïe-jq(w)e- jwn 172
75. Trong biểu thức của y2(n), ta đã dùng tính chất đối xứng |H(ω)|= |H(-ω)| và q(w) = - q(-w). Áp dụng tính chất tuyến tính Thì đáp ứng của hệ thống là : = AêH(w)ïcos [wn + q (w)] (4.14) = AêH(w)ïsin [wn + q (w)] (4.15) Nhận xét : - Từ các kết quả trên ta thấy đối với hệ thống LTI, tín hiệu vào là tín hiệu sin thì tín hiệu ra cũng là tín hiệu sin có cùng tần số, chỉ thay biên độ và pha. - Đáp ứng tần số H(ω), tương đương với nó là đáp ứng biên độ |H(ω)|và đáp ứng phaθ (ω), đặc trưng một cách đầy đủ cho tác dụng của hệ thống với tín hiệu vào hình sin có tần số bất kỳ. Ví dụ 4.3 : Hãy xác định đáp ứng của hệ thống trong ví dụ 4.1 với tín hiệu vào là : Giải : Đáp ứng tần số của hệ thống đã được cho trong phương trình (4.10) Số hạng đầu tiên của tín hiệu vào là một tín hiệu hằng, có tần số ω = 0, ở tần số này: 173
76. 2 0 Số hạng thứ hai trong x(n) có tần số , H ( ) e- j 26,6 2 2 2 Vậy đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x(n) là : Ví dụ 4.4 : Một hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân như sau : y(n) = ay(n-1) + bx(n), 0 < a < 1 (a) Xác định biên độ và pha của đáp ứng tần số của hệ thống. (b) Chọn tham số b sao cho giá trị cực đại của |H(ω)| là đơn vị, vẽ đồ thị |H(ω)| và Ð H(ω) với a = 0,9. (c) Xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là : Giải : Đáp ứng xung của hệ thống là : h(n) = ban u(n) Vì |a|< 1, nên hệ thống là BIBO, vì vậy H(ω) tồn tại (b) Vì tham số a là dương, mẫu số của |H(ω)| cựa tiểu khi ω = 0. Vậy |H(ω)| sẽ cựa đại tại ω = 0. Ở tần số này ta có : 174
77. Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha được vẽ trong hình 4.2. Ta thấy, đây là hệ thống làm suy giảm tín hiệu ở tần số cao. q (p) = 0 Tín hiệu ra của hệ thống là : 175
78. TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT : Tín hiệu vào là một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu sin có dạng như sau : Trong đó : Ai và fi là các biên độ và pha của thành phần hình sin có tần số ωi Đáp ứng của hệ thống là : 176
79. Rõ ràng, tùy thuộc vào đáp ứng tần số H(ω) của hệ thống, các tín hiệu hình sin có tần số khác nhau sẽ bị tác động một các khác nhau bởi hệ thống. Ví dụ : Một số thành phần tần số hình sin có thể bị nén hoàn toàn, nếu H(ω) = 0 ở các thành phần tần số này. Các thành phần tần số khác có thể thu được ở ngã ra mà không bị làm suy giảm (hay có thể được khuếch đại) bởi hệ thống. Về mặt tác dụng, ta có thể coi hệ thống LTI như một mạch lọc đối với các thành phần hình sin có tần số khác nhau. Bài toán thiết kế các mạch lọc số cơ bản bao gồm việc xác định các tham số của hệ thống LTI để thu được đáp ứng tần số H(ω) mong muốn. 4.1.2. ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ VÀ ĐÁP ỨNG XÁC LẬP VỚI TÍN HIỆU VÀO HÌNH SIN Trong các phần trước, ta đã xác định đáp ứng của một hệ thống LTI với tín hiệu vào là tín hiệu hàm mũ phức hoặc tín hiệu sin mà nó đã được đưa vào hệ thống ở thời đểm rất lâu trước đó (n = -∞). Ta thường gọi các tín hiệu này là các tín hiệu hàm mũ hay sin thường xuyên (eternal). Trong trường hợp này, đáp ứng mà chúng ta khảo sát ở ngã ra của hệ thống là đáp ứng xác lập. Không có đáp ứng quá độ trong trường hợp này. Ngược lại, nếu tín hiệu sin hay hàm mũ phức được cung cấp ở một thời điểm xác định nào đó, gọi là thời điểm n = 0, đáp ứng của hệ thống bao gồm 2 thành phần, đáp ứng quá độ và đáp ứng xác lập. Để chỉ rõ các đáp ứng này, ta xét một hệ thống được mô tả bởi một phương trình sai phân bậc nhất (như là một ví dụ): y(n) = ay(n - 1) + x(n), a là một hằng số. (4.17) Tín hiệu vào được cung cấp ở thời điểm n = 0. Ta sẽ dùng thủ tục đệ qui tiến để xác định đáp ứng y(n) và thu được : Với y(-1) là điều kiện đầu. Bây giờ, ta giả sử tín hiệu vào là hàm mũ phức : x(n) = Aejwn ; n ³ 0 (4.19) Thay vào pt(4.18), ta được : 177
80. Ta cũng đã biết rằng, hệ thống ổn định nếu |a| < 1. Trong trường hợp này, hai số hạng có chứa an+1 sẽ giảm về 0 khi n ® ¥ Kết quả, ta tách ra được đáp ứng xác lập (ký hiệu yxl ) với n ≥ 0 Ta thấy yqd ® 0 khi n ® ¥ Số hạng đầu tiên trong đáp ứng quá độ (4.21) là đáp ứng tín hiệu vào bằng không (zero - input response) của hệ thống, số hạng thứ hai là đáp ứng quá độ được sinh ra bởi tín hiệu vào hàm mũ. 4.1.3. ĐÁP ỨNG XÁC LẬP VỚI TÍN HIỆU VÀO TUẦN HOÀN Giả sử tín hiệu vào x(n) là một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ cơ bản là N và hệ thống LTI có tính ổn định. Vì tín hiệu tồn tại với thời gian -∞ < n < ∞. Đáp ứng tổng của hệ thống ở một thời điểm n bất kỳ bằng với đáp ứng xác lập. Để xác định đáp ứng y(n) của hệ thống ta sử dụng chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn, đó là : 178
81. Trong đó : là các hệ số của chuỗi Fourier. Ta xét tín hiệu vào có dạng hàm mũ phức: Áp dụng tính chất tuyến tính của hệ thống LTI, ta thu được đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu tuần hoàn x(n) Kết quả này hàm ý rằng đáp ứng của hệ thống với tín hiệu tuần hoàn x(n) cũng tuần hoàn với cùng chu kỳ N. Các hệ số chuỗi Fourier của y(n) là : Ta thấy, hệ thống LTI có thể làm thay đổi dạng sóng của tín hiệu vào tuần hoàn thông qua việc thay đổi thang biên độ và sự dịch pha của các thành phần tần số trong chuỗi Fourier nhưng không ảnh hưởng đến chu kỳ (hay tần số) của tín hiệu vào. 4.2. Phân tích hệ thống LTI trong miền tần số Trong phần trước, phương pháp trong miền tần số đã được dùng để xác định đáp ứng xác lập của hệ thống LTI ổn định với tín hiệu vào tuần hoàn, phương pháp này có thể được tổng quát hóa để giải các bài toán tính đáp ứng trạng thái không của tín hiệu có năng lượng hữu hạn không tuần hoàn. Công cụ toán học được dùng là biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc. 4.2.1. QUAN HỆ VÀO - RA TRONG MIỀN TẦN SỐ Xét một hệ thống LTI có đáp ứng xung h(n) được kích thích bởi tín hiệu có năng lượng hữu hạn x(n). Đáp ứng của hệ thống là : 179
82. Pt(4.27) chính là quan hệ vào - ra trong miền tần số. Theo đó, phổ của tín hiệu ra bằng phổ của tín hiệu vào nhân với đáp ứng tần số của hệ thống. Quan hệ này có thể được viết được dưới dạng cực : Kết quả, biên độ và pha của Y(ω) là : ïY(w)ï=ïH(w)ïïX(w)ï (4.29) và ÐY(w) = ÐX(w) + ÐH(w) (4.30) hay qy(w) = qx(w) + qh(w) (4.31) Về bản chất, tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn có phổ bao gồm một dải tần liên tục. Hệ thống LTI thông qua hàm đáp ứng tần số của nó, làm suy giảm một số thành phần tần số nào đó của tín hiệu vào đồng thời có thể khuếch đại các thành phần tần số khác. Đồ thị của |H(ω)| có thể cho ta biết được các vùng tần số này. Mặt khác, góc pha của H(ω) xác định sự dịch pha của tín hiệu vào khi đi qua hệ thống như một hàm của tần số. Ta thấy, tín hiệu ra của một hệ thống LTI không chứa các thành phần tần số mà nó không có trong tín hiệu vào. Nghĩa là, hệ thống không sinh ra các thành phần tần số mới (hệ thống biến đổi theo thời gian hoặc phi tuyến tính sẽ sinh ra các thành phần tần số không chứa trong tín hiệu vào) Hình 4.3 minh họa một hệ thống LTI ổn định (BIBO)-nghỉ với các phương pháp phân tích trong miền thời gian và miền tần số. Ta thấy, phân tích trong miền thời gian xử lý bằng tổng chập giữa tín hiệu vào và đáp ứng xung để thu được đáp ứng của hệ thống trong miền thời gian, ngược lại, phân tích trong miền tần số, ta sẽ xử lý phổ X(ω) của tín hiệu và đáp ứng tần số H(ω) thông qua phép nhân để thu được phổ của tín hiệu ở ngã ra của hệ thống. Một cách tương đương, ta có thể dùng biến đổi Z của tín hiệu vào X(z) và hàm truyền đạt H(z) để thu được biến đổi Z của tín hiệu ra Y(z) và tìm đáp ứng y(n) qua biến đổi Z ngược. 180
83. Trở lại quan hệ (4.27), giả sử rằng ta đã có Y(ω), ta sẽ tìm biểu thức của tín hiệu ra trong miền thời gian bằng biến đổ Fourier ngược. Ở đây Syy(ω) và Sxx(ω) lần lượt là phổ mật độ năng lượng của y(n) và x(n) ta có quan hệ Parseral cho năng lượng của tín hiệu ra, đó là : Ví dụ 4.6 : Cho một hệ thống LTI được đặc tả bởi đáp ứng xung : Xác định phổ và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu ra, khi hệ thống được kích thích bởi tín hiệu : Giải : 181
84. 4.2.2. TÍNH HÀM ĐÁP ỨNG TẦN SỐ Nếu đáp ứng xung h(n) của hệ thống LTI đã được biết, hàm đáp ứng tần số H(ω) được tính từ công thức biến đổi Fourier Nếu hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số bằng : H(ω) thu được bằng cách tính H(z) trên vòng tròn đơn vị : a b Ta thấy H(ω) chỉ phụ thuộc vào các hệ số k  và k của phương trình sai phân. 182
85. Đặc biệt đối với hệ thống thuần zero (FIR) nghĩa là ak = 0, k = 1,2, N thì H(ω) có dạng : Điều này phù hợp với hệ thống FIR đã đề cập ở chương 1, có đáp ứng xung là: Nếu hệ thống thuần cực hay thuần đệ qui nghĩa là bk = 0, k = 1,2, , M; H(ω) có dạng : Nếu hệ thống là hệ cực - zero, được mô tả bởi phương trình sai phân (4.36). Hàm truyền đạt H(z) có thể viết dưới dạng tích : Trong đó z1, z2 zM là M zero khác không của H(z) và p1, p2, pN là N cực khác không của H(z). G là một hằng số. Hàm đáp ứng tần số H(ω) có được bằng cách tính H(z) trên vòng tròn đơn vị (thay z = ejω). Ta có : Khi đó, biên độ của H(ω) là : 183
86. (vì biên độ của ejω(N-M) = 1) Pha của H(ω) là tổng pha của các thừa số ở tử số trừ cho tổng pha của các thừa số ở mẫu số cộng cho pha của G và cộng ω (N - M). Ta có : ÐH(w) = ÐG + w(N - M) + q1(w) + q2(w) + + qM(w) - [f1(w) + f2(w) + + fN(w)] (4.49) Trong đó, pha của G là 0 khi G dương và là π khi G âm. Rõ ràng, khi biết được các cực và zero của hàm hệ thống H(z), ta có thể tính đáp ứng tần số từ các pt(4.48) vàpt(4.49), cách tính này rõ ràng là khá phức tạp, nhưng nó thuận lợi khi tìm thuật toán cho một chương trình máy tính. Hình 4.4 trình bày cách biểu diễn tương đương của các hệ thống mắc song song và mắc liên tiếp trong miền thời gian và miền tần số. Ví dụ 4.7 : Lọc Hanning Xác định và vẽ đồ thị đáp ứng biên độ, đáp ứng pha của hệ thống FIR được đặc tả bởi phương trình sai phân (hệ thống trung bình di động). Giải : Áp dụng phương trình (4.39) ta được : 184
87. Hình 4.5 vẽ đồ thị của đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống này. Ta thấy lọc Hanning có đặc tuyến đáp ứng tần số của một bộ lọc hạ thông. 185
88. Đáp ứng biên độ bằng 1 ở ω = 0 (dc) và suy giảm đến 0, ở ω =π. Đáp ứng pha của nó là một hàm tuyến tính theo tần số. Bộ lọc đơn giản này được dùng để ‘làm trơn’ (smooth) dữ liệu trong nhiều ứng dụng. 4.3. Hệ thống LTI và mạch số lọc Trong xử lý tín hiệu số, hệ thống phổ biến nhất là lọc số (digital filter). Lọc số có thể là một mạch điện tử (phần cứng) hoặc chương trình (phần mềm) hoặc kết hợp cả hai. Như vậy, lọc số thật ra chưa hẳn là một mạch điện hay một thiết bị cụ thể, nhưng để thuận tiện ta vẫn gọi là mạch lọc hay bộ lọc. Cũng giống như các mạch lọc tương tự, tác động của mạch lọc gồm lọc bỏ và lọc chọn các thành phần tần số khác nhau trong tín hiệu vào để tạo một tín hiệu ra có phổ khác với phổ của tín hiệu vào. Bản chất của tác động lọc này được xác định bởi đặc tuyến của đáp ứng tần số H(ω). Đặc tuyến này phụ thuộc vào sự chọn lựa các tham số của hệ a b thống (ví dụ : các hệ số hằng k  và k  trong phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng). Như vậy bằng cách chọn một tập các tham số hệ thống, ta có thể thiết kế một mạch lọc chọn tần. Như ta đã thấy trong một số ví dụ ở phần trước, hệ thống LTI có tác động lọc tần số. Tổng quát, một hệ thống LTI biến đổi một tín hiệu vào có phổ là X(ω) theo đáp ứng tần số H(ω) của nó để cho một tín hiệu ra có phổ là Y(ω) = H(ω)X(ω). Theo cách tiếp cận này, H(ω) tác động như là một hàm sửa dạng phổ (spectral shaping function) của tín hiệu vào. Động tác sửa dạng phổ đồng nghĩa với chọn lựa tần số, vì vậy một hệ thống LTI có thể coi như là một mạch lọc chọn tần. Mạch lọc được dùng phổ biến trong xử lý tín hiệu số với nhiều cức năng khác nhau. Ví dụ như : loại bỏ nhiễu trong tín hiệu, sửa dạng phổ trong xử lý tín hiệu âm th /Anh, hình ảnh hay sự cân bằng các kênh truyền thông; tách tín hiệu trong radar, sonar và truyền dữ liệu; thực hiện phân tích phổ của tín hiệu, 4.3.1. LỌC CHỌN TẦN LÝ TƯỞNG Trong nhiều ứng dụng thực tế, ta phải giải quyết bài toán tách các tín hiệu mà phổ của chúng không có sự chồng lấp với yêu cầu là tín hiệu mong muốn không bị méo dạng bởi tác động của các mạch lọc được dùng. Bài toán này thường nảy sinh 186
89. trong truyền tin, nơi mà nhiều tín hiệu được ghép kênh theo cách chia tần và được truyền trên một kênh chung (chẳng hạn như cáp đồng trục, cáp quang, hay kênh truyền vệ tinh) ở đầu cuối thu nhận của hệ thống truyền tin, tín hiệu phải được tách ra bởi các mạch lọc chọn tần và được truyền đi đến đích cuối cùng của chúng. Mạch lọc chọn tần phải được thiết kế sao cho sự méo dạng không đáng kể khi tín hiệu đi qua nó. Xét tín hiệu x(n) có băng tần là ω1 < ω < ω2 nghĩa là : X(ω) = 0 khi ω ≥ ω2 và w£ w1 Giả sử tín hiệu đi qua mạch lọc có đáp ứng tần số là : Ở đây C và k là các hằng số dương Tín hiệu ra của mạch lọc có phổ là : Y(w) = X(w)H(w) = C X(w)e-jwk ;w1 < w < w2 (4.52) Áp dụng tính chất dịch trong miền thời gian của biến đổi Fourier như sau : Kết quả, tín hiệu ra của mạch lọc đơn giản là một bản sao của tín hiệu vào được dịch k mẫu và thay đổi thang biên độ bởi thừa số C. Một phép trể thuần túy không làm méo tín hiệu. Vì vậy mạch lọc được đặc trưng bởi hàm truyền (4.51) được gọi là mạch lọc lý tưởng. Phổ biên độ là một hằng, đó là : ïH(w)ï = C ; w1 < w < w2 và phổ pha là một hàm tuyến tính của tần số : q(w) = -wk Đặc tuyến của đáp ứng tần số được minh họa trong hình 4.6 187
90. Một cách tổng quát mọi sự sai lệch của đặc tuyến (của đáp ứng) tần số của một mạch lọc tuyến tính so với đặc tuyến tần số lý tưởng là sự méo dạng. Nếu một mạch lọc có đặc tuyến của đáp ứng biên độ biến đổi theo tần số trong băng tần mong muốn của tín hiệu thì mạch lọc tạo ra một sự méo dạng biên độ (amplitude distortion). Nếu đặc tuyến pha không tuyến tính trong băng tần mong muốn thì tín hiệu bị một sự méo pha (phase distortion) vì sự lệch pha theo tần số đồng nghĩa với sự trễ, nên độ trễ của tín hiệu được định nghĩa như là một hàm của tần số đó là : Ta thấy rằng, một mạch lọc pha tuyến tính có độ trễ là một hằng số, độc lập với tần số. Như vậy, một mạch lọc mà nó gây ra một sự méo pha thì có độ trễ biến thiên theo tần số. Ta nói mạch lọc đã đưa vào một sự méo trễ (delay distortion). Vì vậy, sự méo trễ là đồng nghĩa với sự méo pha. Giống như trong mạch tương tự, mạch lọc cũng được phân loại theo đặc tuyến của đáp ứng tần số, ta có các loại mạch lọc như sau : - Lọc thông thấp lý tưởng, có đáp ứng tần số là : 188
91. Ở đây ωc được gọi là tần số cắt. - Lọc thông cao lý tưởng, có đáp ứng tần số là : Đặc tuyến của đáp ứng tần số của các mạch lọc này được minh họa trong hình4.7 189
92. 4.3.2. TÍNH KHÔNG KHẢ THI CỦA BỘ LỌC LÝ TƯỞNG Trong thực tế, ta có thể thực hiện một bộ lọc lý tưởng hay không? Để trả lời câu hỏi này, ta hãy khảo sát đáp ứng xung h(n) của một bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số là : 190
93. Rõ ràng bộ lọc thông thấp lý tưởng là không nhân quả. Hơn nữa h(n) có chiều dài vô hạn và không khả tổng tuyệt đối. Vì vậy, nó không thể thực hiện được trong thực tế. Chúng ta cũng quan sát thấy rằng, độ rộng của múi chính (main lobe) của h(n) là tỉ lệ nghịch với bằng tần ωc của bộ lọc. Khi băng tần của bộ lọc tăng, đáp ứng xung trở nên hẹp hơn. Khi ωc =π, bộ lọc trở thành bộ lọc thông tất (All-pass) và đáp ứng xung trở thành xung đơn vị. Nếu đáp ứng xung bị trễ n0 mẫu, bộ lọc thông thấp lý tưởng là bộ lọc pha tuyến tính, đó là: Ta có thể chọn một độ trễ n0 khá lớn (một cách tùy ý) để cho có thể coi như h(n)=0 với n < n0. Tuy nhiên, hệ thống thu được sẽ không có đáp ứng tần số lý tưởng nữa. Kết luận trên cũng đúng cho tất cả các bộ lọc lý tưởng khác. Tóm lại, tất cả các bộ lọc lý tưởng đều không thể thực hiện về mặt vật lý. 4.3.3. Mạch lọc thực tế Mặc dù bộ lọc lý tưởng là điều chúng ta mong muốn, nhưng trong ứng dụng thực tế, không nhất thiết phải có sự chính xác tuyệt đối như vậy. Ta có thể thực hiện các bộ lọc nhân quả có đáp ứng tần số xấp xĩ với mạch lọc lý tưởng mà ta mong muốn. Đặc biệt, không nhất thiết phải có biên độ |H(ω)| là hằng trên toàn bộ dãi thông của bộ lọc. Một lượng gợn sóng nhỏ trong dải thông (hình 4.9) thường có thể chấp nhận được. Tương tự, không cần thiết |H(ω)| phải bằng 0 trong dải chặn (stopband), một giá trị nhỏ hay một lượng gợn sóng nhỏ cũng có thể chấp nhận. 191
94. Biên độ |H(ω)|cũng không thể giảm đột ngột từ 1 xuống 0 ở tần số cắt. Như vậy phải có một dải tần quá độ giữa dải thông và dải chặn, ta gọi là dải quá độ (transition band) hay vùng chuyển tiếp (transition region) của bộ lọc (hình 4.9). Từ đặc tuyến của đáp ứng biên độ của một bộ lọc thực tế (hình (4.9)) ta định nghĩa các thông số sau : ω1: là biên độ của gợn sóng dải thông gọi tắt là gợn sóng dải thông (passband ripple) ω2 : là biên độ của gợn sóng dải chặn gọi tắt là gợn sóng dải chặn (stopband ripple) ωp : tần số cạnh dải thông. ωs: tần số cạnh dải chặn. ωs - ωp : độ rộng của dải quá độ. Băng tần của một mạch lọc chính là độ rộng của dải thông. Trong mạch lọc thông thấp này, ta thấy, biên độ H(ω)| dao động trong khoảng 1 ± d1 Trong các bài toán thiết kế mạch lọc, ta cần xác định các chi tiết kỹ thuật sau: (1) Gợn sóng dải thông cực đại có thể chấp nhận. (2) Gợn sóng dải chặn cực đại có thể chấp nhận. (3) Tần số cạnh của dải thông. (3) Tần số cạnh của dải chặn. Nhắc lại rằng, một hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng : 192
95. Có thể là một hệ thống nhân quả và có thể thực hiện trong thực tế. Đáp ứng tần số của nó là : BÀI TẬP CHƯƠNG 4 4.1. Cho một hệ thống LTI có đáp ứng xung là a - Hãy xác định biên độ và đáp ứng xung |H(w)| và đáp ứng pha ÐH(w). b - Hãy xác định và vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu vào và tín hiệu ra lần lược cho các tín hiệu sau đây 4.2 Hãy xác định và vẽ đáp ứng biên độ và pha của các hệ thống sau đây : a) y(n) = (1/2)[x(n) + x(n-1)] b) y(n) = (1/2)[x(n) - x(n-1)] c) y(n) = (1/2)[x(n) + x(n-2)] d) y(n) = (1/2)[x(n) - x(n-2)] e) y(n) = (1/3)[x(n) + x(n-1) + x(n-2)] f) (f) y(n) = 2x(n-1) - x(n-2) g) y(n) = (1/8)[x(n) + 3x(n-1) + 3x(n-2) + x(n-3)] h) y(n) = x(n-4) (a) y(n) = x(n+4) 4.3. Xét một bộ lọc số có sơ đồ khối như hình 4.27 193
96. Hình 4.27 (a) Hãy xác định quan hệ vào ra và đáp ứng xung h(n). (b) Hãy xác định và vẽ phổ biên độ, phổ pha của bộ lọc và tìm dải tần hoàn toàn bị chận bởi bộ lọc. (c) Khi ω0= π/2, xác định tín hiệu ra tương ứng với tín hiệu vào là: 4.4. Xét bộ lọc FIR: y(n) = x(n) - x(n-4) (a) Tính và ve đáp ứng biên độ và đáp ứng pha. (b) Tính đáp ứng của bộ lọc với tín hiệu vào là: (c) Giải thích kết quả ở câu (b) bằng kết quả ở câu (a). 4.5. Hãy xác định đáp ứng xác lập của hệ thống có quan hệ vào ra như sau: y(n) = (1/2)[x(n) - x(n-2)] với tín hiệu vào là: 4.6. Cho các hệ thống con có đáp ứng xung h1(n), h 2(n) vaø h3(n) được liên kết như hình vẽ Cho biết: h 1(n) = {0, 1, -2, 1, 0}; 194
97. h2(n) = u(n) - u(n-6); h3(n) = d(n) + 2d(n-1) - d(n-2) - d(n-7). (a) Tìm hệ thống H(z) của hệ thống tương đương (b) Tính đáp ứng xung h(n) củ hệ thống tương đương (c) Xác định đáp ứng tần số H(w) của hệ thống tương đương. (d) Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là: 4.7. Một hệ thống số có hàm truyền đạt là (a) Xác định đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống. (b) Tính đáp ứng của hệ thống với kích thích là: Nhận xét và giải thích. Chức năng của hệ thống này là gì? 195
98. TÀI LIỆU THAM KHẢO (1) Quách Tuấn Ngọc - XỬ LÍ TÍN HIỆU SỐ - NXB Giáo Dục - 1995. (2) Nguyễn Quốc Trung - XỬ LÝ TÍN HIỆU VÀ LỌC SỐ TẬP 1- NXB Khoa Học Kỹ Thuật - 1999. (3) Nguyễn Quốc Trung - XỬ LÝ TÍN HIỆU VÀ LỌC SỐ TẬP II- NXB Khoa Học Kỹ Thuật - 2001. (4) Doãn Hòa Minh, Xử lý tín hiệu số, Đại học Cần Thơ – 2000. (5) Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer - DISCRETE-TIME SIGNAL PROCESSING - Prentice-Hall, Inc. - 1989 . (6) C. Sidney Burrus, James H. McClellan, Alan V. Oppenheim, Thomas W. Parks, Ronald W. Schafer, Hans W. Schuessler - COMPUTER-BASED EXERCICES FOR SIGNAL PROCESSING USING MATLAB - Prentice Hall International, Inc. - 1994. (7) Emmanuel C. Ifeachor - Barrie W. Jervis - DIGITAL SIGNAL PROCESSING A PRACTICAL APPROACH - Prentice Hall - 2002. (8) William D. Stanley - Gary R. Dougherty - Ray Dougherty - DIGITAL SIGNAL PROCESSING - Reston Publishing Company, Inc. - 1984. 196
99. Phụ lục. MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH MẪU DÙNG NGÔN NGỮ MATLAB TRONG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Các chương trình được viết trong phụ lục này nhằm mục đích minh họa và giúp sinh viên làm quen với ngôn ngữ MATLAB cũng như các tiện ích của nó dành cho xử lý tín hiệu số. Để chương trình đơn giản và dễ dàng thấy được thuật toán của nó, ta sẽ không thực hiện giao diện cho người dùng và chương trình được viết theo cách đối thoại trực tiếp trên cửa sổ lệnh (Command Window) của MATLAB, bằng cách dùng các lệnh disp và input. Hầu hết các chương trình sau đây được viết dưới dạng Script và lưu vào các M-file cùng tên của chương trình. Sau khi nhập vào một thư mục nào đó của MATLAB và tạo đường dẫn (nếu thư mục này chưa có sẳn đường dẫn), để chạy chương trình, ta chỉ cần nhập tên chương trình vào, trên Command Window, và gõ Enter. Nếu chương trình được viết dưới dạng Function, người sử dụng cần nắm được các thông số vào, ra, để nhập lệnh đúng cú pháp. 1. dsp13 % Nhập vào vector biến thời gian và biểu thức của tín hiệu, vẽ các loại tín hiệu: tương tự, rời rạc, số. % t=input('Nhap khoang thoi gian, VD:0:0.1:40, t= '); y=input('Nhap ham so muon ve co bien t, VD:sin(t/4+1), y= '); loai=input('(analog,type=1;discrete,type=2;digital,type=3)Type = '); duong=input('(___,style=1; ,style=2;-.,style=3) stype = '); if loai==1 DS1=figure('Name','Type of signal','Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 400 300]); if duong = =1 plot(t,y,'r-'); 197
100. elseif duong = =2 plot(t,y,'r:'); elseif duong = =3 plot(t,y,'r-.'); end; elseif loai= =2 cham=input('(cham den,cham=1;cham trang,cham=2; khong,cham=3) cham= '); DS1=figure('Name','Type of signal', 'Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 400 300]); if cham= =1 stem(t,y,'fulled'); elseif cham= =2 stem(t,y); elseif cham= =3 stem1(t,y); end; elseif loai= =3 [x,z]=stairs(t,y); xt(1)=x(1);zt(1)=z(1); for n=1:length(x)/2-1 ni=2*n+1; xt(n)=x(ni);zt(n)=z(ni); end; cham=input('(cham den,cham=1;cham trang,cham=2; khong,cham=3) cham= '); plot(x,z,'g:');hold on; if cham= =1 stem(xt,zt,'fulled'); elseif cham= =2 stem(xt,zt); elseif cham= =3 stem1(xt,zt); end; end axis off; 2. function dsphinh3_26(N,L) %Ve bien do va pha cua DFT n diem cua day co do dai L. % Doan hoa minh 2001 % function dsphinh3_26(N,L) xn=ones(1,L); 198
101. X=fft(xn,N); X1=abs(X); theta1=angle(X); DS2=figure('Name','DFT N diem’,'Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 580 300]); stem(X1,'filled') DS2=figure('Name','Type of signal','Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 580 300]); stem(theta1,'filled') 3. dsphinh5_16 % Ve dac tuyen cua mach loc thiet ke bang cua so co chieu dai bang 9 va bang 61. % Doan Hoa Minh syms w v; y=sin((w-v)*9/2)/sin((w-v)/2); z=int(y,v,-pi/4,pi/4); z=simple(z) w=0:0.01:pi; for n=1:length(w) Ht(n)=subs(z,'w',w(n)); end H=exp(-j*4.*w)./(2*pi).*Ht; tHt=abs(H); Hdb=20*log10(tHt); DS1=figure('Name','Type of signal','Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 500 200]); plot(w,tHt) grid on DS1=figure('Name','Type of signal','Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 500 200]); plot(w,Hdb,'k') grid on syms w v; y1=sin((w-v)*61/2)/sin((w-v)/2); z1=int(y1,v,-pi/4,pi/4); z1=simple(z1) w=0:0.01:pi; for n=1:length(w) Ht1(n)=subs(z1,'w',w(n)); end H1=exp(-j*4.*w)./(2*pi).*Ht1; tHt1=abs(H1); 199
102. Hdb1=20*log10(tHt1); DS3=figure('Name','Type of signal', 'Color','w','NumberTitle','off','Position',[50 50 500 200]); plot(w,tHt1) grid on DS4=figure('Name','Type of signal', 'Color','w','NumberTitle','off','Position',[50 50 500 200]); plot(w,Hdb1,'k') grid on 4.firequiripple % Thiet ke bo loc FIR thong thap pha tuyen tinh dung thuat toan Remez exchange. % Doan Hoa Minh M=input('Nhap chieu dai cua dap ung xung, M = '); dx=11; pdx=12; disp('Chon dieu kien doi xung, neu doi xung thi nhap: dx') disp(' , neu phan doi xung thi nhap: pdx') dk=input('Dieu kien doi xung : '); W=input('Nhap vector trong so,so phan tu bang so dai bang, Vd: W=[1.2 1],W= '); disp('Nhap vector cac tan so c /Anh bang tan, mot cap tan so cho moi ') disp('bang tan, cac tan so nay nam giua 0 va 1, Vd F=[0 .1 .15 1]') F=input('F = '); disp('Nhap vector gia tri dap ung tan so mong muon A (gia tri thuc),') disp('tai cac diem tan so bang c /Anh, A co kich thuoc bang F') disp ('Vi du: A=[1 1 0 0]') A=input('A = '); N=M-1; if dk= =11 [hn,err]=remez(N,F,A,W) elseif dk= =12 [hn,err]=remez(N,F,A,W,'Hilbert') end w=0:0.001:pi; f=w./pi; H= freqz(hn,1,w); H1=20*log10(abs(H)); DS1=figure('Name','Impulse Response','Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 500 300]); 200
103. n=0:1:M-1; stem(n,hn,'filled','k') axis off DS1=figure('Name','Frequency Response', 'Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 500 300]); plot(f,abs(H),'k') grid on DS1=figure('Name','Frequency Response (dB)','Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 500 300]); plot(f,H1,'k') ylim([-100 10]) grid on 5. firsample % Thiet ke bo loc FIR thong thap pha tuyen tinh bang phuong phap lay may tan so. % Doan hoa minh 2001. % M=input('Nhap chieu dai cua dap ung xung, M = '); dx=11; pdx=12; disp('Chon dieu kien doi xung, neu doi xung thi nhap: dx') disp(' , neu phan doi xung thi nhap: pdx') dk=input('Dieu kien doi xung : '); alpha=input('Chon he so alpha, alpha= '); disp('Voi h(n) dx k=[0:(M-1)/2] neu M le, k=[0:(M/2)-1] neu M chan') disp('Voi h(n) pdx k=[0:(M-3)/2] neu M le, k=[1:(M/2)] neu M chan') disp('Nhap dac tuyen tan so mong muon, tai cac diem tan so wk=2*pi*k/M') if mod(M,2)= =0 U=M/2-1; else U=(M-1)/2; end for ii=1:U+1 %kk=int2str(ii); %disp('k = 'kk); Hrk(ii)=input('Hr(k) = '); end G=zeros(U+1,1); hn=zeros(M,1); for k=1:U+1 G(k)=((-1)^(k-1))*Hrk(k); end 201
104. if alpha= =0 if dk= =11 for n=1:M for k=2:U+1 hn(n)=hn(n)+G(k)*cos(pi*(k-1)*(2*(n-1)+1)/M); end hn(n)=(2*hn(n)+G(1))/M; end elseif dk = =12 if mod(M,2)= =1 for n=1:M for k=1:U+1 hn(n)=hn(n)-2*G(k)*sin(2*pi*(k-1)*((n-1)+0.5)/M)/M; end end else for n=1:M for k=1:U hn(n)=hn(n)-2*G(k)*sin(2*pi*k*((n-1)+0.5)/M)/M; end hn(n)=hn(n)+((-1)^(n))*G(U+1)/M; end end end elseif alpha= = 0.5 if dk= =11 for n=1:M for k=1:U+1 hn(n)=hn(n)+2*G(k)*sin(2*pi*(k-1+1/2)*((n-1)+0.5)/M)/M; end end elseif dk= =12 for n=1:M for k=1:U+1 hn(n)=hn(n)+2*G(k)*cos(2*pi*(k-1+1/2)*((n-1)+0.5)/M)/M; end end end end hn om=0:0.01:pi; if mod(M,2)= =0 Hr=hn(1).*cos(om.*((M-1)/2)); n=1; 202
105. while n<=U n=n+1; Hr=Hr+hn(n).*cos(om.*((M-1)/2-n+1)); end Hr=2.*Hr; else Hr=hn(1).*cos(om.*((M-1)/2)); n=1; while n<=(M-3)/2 n=n+1; Hr=Hr+hn(n).*cos(om.*((M-1)/2-n+1)); end Hr=2.*Hr; Hr=Hr+hn(U+1); end modunH=abs(Hr); DS1=figure('Name', 'Dap ung bien do', 'Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 400 300]); plot(om,modunH,'k'); grid on modunHdb=20.*log10(modunH); DS2=figure('Name','Type of signal', 'Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 400 300]); plot(om,modunHdb,'k'); grid on teta=-om.*(M-1)/2+angle(Hr); DS3=figure('Name','Dap ung pha','Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 400 300]); plot(om,teta,'k'); grid on DS4=figure('Name','Dap ung xung', 'Color','w', 'NumberTitle','off','Position',[50 50 400 300]); stem(hn,'filled','k'); grid on 6. dsphinh 5_15 % Ve dap ung tan so cua cua so chu nhat co chieu dai bang M=9, % M=51 va m=101. % Doan hoa minh 2001 om=0:0.001:pi; 203
106. M=9; W1=20*log10(abs(sin(om.*M/2)./sin(om./2))); DS1=figure('Name','Dap ung tan so cua cua so chu nhat M=9', 'Color','w','NumberTitle','off','Position',[50 50 500 200]); plot(om,W1,'k') title('M = 9'); xlabel('w (rad)'); ylabel('|W(w)|(dB)'); axis on grid on M=51; W2=20*log10(abs(sin(om.*M/2)./sin(om./2))); DS2=figure('Name',' Dap ung tan so cua cua so chu nhat M=51', 'Color','w','NumberTitle','off','Position',[50 50 500 200]); plot(om,W2,'k') title('M = 51'); xlabel('w (rad)'); ylabel('|W(w)|(dB)'); axis on grid on M=101; W3=20*log10(abs(sin(om.*M/2)./sin(om./2))); DS2=figure('Name','Dap ung tan so cua cua so chu nhat M=101', 'Color','w','NumberTitle','off','Position',[50 50 500 200]); plot(om,W3,'k') title('M = 101'); xlabel('w (rad)'); ylabel('|W(w)|(dB)'); axis on grid on function hh = stem1(varargin) % Hàm này được cải biên từ hàm stem của MATLAB, vẽ dãy rời rạc không có chấm trêm đầu. %STEM1 Discrete sequence or "stem" plot. % STEM1(Y) plots the data sequence Y as stems from the x axis % % STEM1(X,Y) plots the data sequence Y at the values specfied % in X. % STEM1( ,'LINESPEC') uses the linetype specifed for the stems and % markers. See PLOT for possibilities. % % H = STEM( ) returns a vector of line handles. % 204
107. % See also PLOT, BAR, STAIRS. % Copyright (c) by Doan Hoa Minh. % Date: 2000/6/4. nin = nargin; fill = 0; ls = '-'; ms = 'o'; col = ''; % Parse the string inputs while isstr(varargin{nin}), v = varargin{nin}; if ~isempty(v) & strcmp(lower(v(1)),'f') fill = 1; nin = nin-1; else [l,c,m,msg] = colstyle(v); if ~isempty(msg), error(sprintf('Unknown option "%s".',v)); end if ~isempty(l), ls = l; end if ~isempty(c), col = c; end if ~isempty(m), ms = m; end nin = nin-1; end end error(nargchk(1,2,nin)); [msg,x,y] = xychk(varargin{1:nin},'plot'); if ~isempty(msg), error(msg); end if min(size(x))= =1, x = x(:); end if min(size(y))= =1, y = y(:); end % Set up data using fancing /indexing [m,n] = size(x); xx = zeros(3*m,n); xx(1:3:3*m,:) = x; xx(2:3:3*m,:) = x; xx(3:3:3*m,:) = NaN; [m,n] = size(y); yy = zeros(3*m,n); yy(2:3:3*m,:) = y; yy(3:3:3*m,:) = NaN; cax = newplot; next = lower(get(cax,'NextPlot')); hold_state = ishold; 205
108. h2 = plot(xx,yy,[col,ls],'parent',cax); if nargout>0, hh = h2; end 206