Ứng dụng phương pháp mô phỏng monte carlo để tính xác suất rủi ro trong bảo hiểm

Nội dung text: Ứng dụng phương pháp mô phỏng monte carlo để tính xác suất rủi ro trong bảo hiểm

1. 42 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO ĐỂ TÍNH XÁC SUẤT RỦI RO TRONG BẢO HIỂM Nguyễn Thị Thúy Hồng1 Trường Đại học Thủ đô Hà Nội Tóm tắt: Trong bài báo này nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, trong đó dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Kỹ thuật được sử dụng ở đây là phương pháp Monte Carlo. Từ khoá: Mô hình rủi ro, xác suất rủi ro (xác suất thiệt hại), phí bảo hiểm, yêu cầu đòi trả bảo hiểm, phương pháp mô phỏng Monte Carlo. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Một khảo sát tự nhiên thường được quan tâm khi nghiên cứu về rủi ro liên quan đến khả năng thanh toán của một công ty bảo hiểm là đánh giá công ty đó có khả năng hoạt động trong khoảng thời gian chi trả bảo hiểm. Lý thuyết rủi ro đặc biệt quan tâm đến sự liên hệ giữa thu nhập và chi phí của hoạt động bảo hiểm và đại lượng đặc trưng cho liên hệ này được gọi là thặng dư. Thặng dư là một đại lượng thay đổi theo thời gian và được xác định như sau: Thặng dư = Thu nhập – Chi phí. Rủi ro được cho là xảy ra nếu giá trị thặng dư ở dưới ngưỡng xác định theo nghĩa [4]. Để có thể xác định thặng dư đầu tiên chúng ta phải xác định thu nhập và chi phí. Tính toán xác suất rủi ro là bài toán rất quan trọng trong ngành bảo hiểm. Đây là bài toán khó và cho đến nay vẫn được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Một số tác giả như Cai, J và Dickson, D.C.M. ([5], 2002), Dickson, D.C.M. và Wates, H.R. ([7] ,1996) đã sử dụng kỹ thuật mô phỏng này để tính toán xác suất rủi ro trong vòng 10 năm, khi mở rộng mô hình 1, 2 và 5 năm của Ramlau – Hansen [14] với lãi suất là tất định, như trong [5] và dãy số tiền đòi trả bảo hiểm có dạng đặc biệt của phân phối Gamma tịnh tiến như trong [14]. Tuy nhiên, các tác giả trong [5] đã mô phỏng quá trình thặng dư bởi những biểu thức giải tích, 1 Nhận bài ngày 16.01.2016, gửi phản biện và duyệt đăng ngày 25.01.2016. Liên hệ tác giả: Nguyễn Thị Thúy Hồng; Email: ntthong05@gmail.com
2. TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 2/2016 43 không thuận lợi cho việc sử dụng các quá trình lặp trên máy tính. Việc đưa ra trong đó ước lượng chệch (là phương sai mẫu) cho phương sai cũng là vấn đề cần bàn về mặt thống kê. Ngoài ra, đối với các bộ tham số khác nhau, các tác giả trên đã tiến hành số những phép thử khác nhau. Cách làm này không những mang tính chủ quan mà còn cản trở tham số hóa chương trình tính. Nhằm mở rộng và khắc phục những nhược điểm nói trên, bài báo này sẽ trình bày một tiếp cận mô phỏng để ước lượng xác suất của sự kiện chi phí của một công ty bảo hiểm vượt quá thu nhập trong một khoảng thời gian định sẵn nào đó. Xác suất này, được gọi là xác suất rủi ro và sẽ được khảo sát trong mục tiếp theo. 2. NỘI DUNG 2.1. Tổng quan về sai số phương pháp Monte – Carlo tính kỳ vọng Tư tưởng chính của phương pháp Monte Carlo trong việc xấp xỉ giá trị kỳ vọng E(X) của biến ngẫu nhiên X bởi trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X (ta gọi chúng là các thể hiện độc lập của biến ngẫu nhiên X). Cơ sở toán học của phương pháp này chính là luật mạnh số lớn của lý thuyết xác suất. Phương pháp này có ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực như phân tích và thiết kế hệ thống phục vụ, các hệ thống kỹ thuật, thiết kế mạng viễn thông, ước lượng rủi ro trong đầu tư và bảo hiểm Dưới đây, chúng tôi trình bày một vài nội dung cơ bản của phương pháp Monte Carlo liên quan đến vấn đề trên, trong đó quan trọng là khái niệm hội tụ theo một nghĩa nào đó (hầu chắc chắn, theo xác suất, theo phân phối của trung bình số học một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối ()X nn 1 tới giá trị kỳ vọng chung  EX()1 . Chúng tôi trình bày trước hết luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov. Định lý 2.1. [15] (tr.56) Giả sử ()X nn 1 là dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập, cùng phân phối, xác định trên không gian xác suất (Ω,ℱ,P) và có kỳ vọng hữu hạn. Giả sử:  EX()1 (2.1) Khi đó với n và với mọi thì hầu chắc chắn (a.s.) rằng: 1 n X ()  i (2.2) n i 1 Nghĩa là trung bình số học của các thể hiện của các biến ngẫu nhiên X i tiến tới a.s trung bình lý thuyết của mỗi , đó là kỳ vọng . Nhận xét [15] (tr. 57) - Ta có thể giảm nhẹ giả thiết độc lập bởi giả thiết độc lập từng cặp.
3. 44 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI - Ta cũng có thể bỏ giả thiết cùng phân phối của dãy biến ngẫu nhiên. Khi đó ta cần 2 giả thiết dãy biến ngẫu nhiên X n độc lập. Giả sử rằng  j Var(X j ) , sao cho:  2 j (2.3)  2 . j 1 j 1 n as X E(X ) 0,n . Khi đó ta có:  j j (2.4) n j 1 Giới thiệu thuật toán Monte Carlo: Cho X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, kỳ vọng E(X) hữu hạn. Một phương pháp phổ biến để tính xấp xỉ kỳ vọng này là được đưa ra trong thuật toán sau đây: Thuật toán 2.1. Phương pháp Monte Carlo tính kỳ vọng ([13], tr.35) 1 N Xấp xỉ E(X) bởi trung bình số học  X i () , với N là số tự nhiên. Ở đây, X i () là N i 1 thể hiện độc lập thứ i (1 i N ) của biến ngẫu nhiên X. Để xem xét độ chính xác của phương pháp Monte Carlo, chúng ta nhận thấy rằng, vì đây là một phương pháp ngẫu nhiên, nên những lần tính toán khác nhau của phương pháp sẽ dẫn tới những kết quả khác nhau (mặc dù chúng khá gần nhau), khi xấp xỉ một biểu thức nhất định. Do đó, chúng ta cần xét đánh giá sai số của phương pháp, nghĩa là cận trên của các sai số ngẫu nhiên. Liên quan đến điều này, dưới đây chúng tôi phát biểu phương pháp Monte Carlo nhằm xấp xỉ giá trị kỳ vọng. Định lý 2.2. Tính không chệch của các ước lượng Monte Carlo ([13], tr.36) Cho (X N )N là một dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn, giá trị thực, độc lập cùng phân phối với X và xác định trên cùng không gian xác suất (Ω,ℱ, P). 1 N Khi đó, ước lượng Monte Carlo X N :  X i (2.5) là một ước lượng không chệch N i 1 cho  E(X) , tức là chúng ta có:  E(X N ). (2.6) Nhằm đánh giá sai số tuyết đối của ước lượng X N nói trên, ta xem rằng 2 Var(X ) :  và xét độ lệch chuẩn của đại lượng sai khác giữa X N và . 1 N  2 Do đó, chúng ta có: Var(X N ) Var(X N ) 2 Var(X i ) . N i 1 N Khi đó, ta có bất đẳng thức Tchebyshev như sau: [13](tr.30)   P X N   1 với o 1. (2.7.) N 
4. TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 2/2016 45 P Nghĩa là: X N  khi N và với độ tin cậy p 1 , sai số X N  có bậc là (1/ N ). Do đó, phương pháp tính toán này có hệ quả quan trọng sau đây: Tăng độ chính xác của các ước lượng Monte Carlo Việc tăng độ chính xác (trung bình) của các ước lượng Monte Carlo lên một chữ số (tức là giảm độ lệch chuẩn của nó xuống 10 lần) sẽ đòi hỏi phải tăng số lần chạy thuật toán Monte Carlo lên 100 lần. Tuy nhiên công thức (2.7.) chỉ cho ta một đánh giá thô về sai số. Để đạt được đánh giá độ chính xác cao hơn, cần một biện pháp khác. Đó là định lý giới hạn trung tâm dưới đây. Định lý 2.3. ([15], tr. 58). Định lý giới hạn trung tâm (trường hợp độc lập cùng phân phối) N Cho {X n}n 1 là một dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X và xác định trên một không gian xác suất (Ω,ℱ, P). Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên này có kỳ vọng  E(X) và có phương sai  2 Var(X ) hữu hạn . Khi đó tổng chuẩn hóa Z của các biến ngẫu nhiên này hội tụ về phân phối chuẩn tắc, tức là ta có sự hội tụ theo phân phối: N XN   i D Z : i 1 풩 (0,1) khi N .  N Từ định lý trên, ta suy ra quy tắc k – sigma dưới đây: x2 k  k e 2 P X  2F(k),với F() k dx (N » 1). (2.8) N  N  2 Khi đã cho độ tin cậy p 1 , ta có thể dùng bảng giá trị của hàm F(x) để xác định k k khoảng tin cậy X N ; X N tương ứng cho kỳ vọng  , với k cho từ nghiệm N N của phương trình Fk( ) 1 / 2. Ta xét dưới đây một thí dụ về điều này. Xấp xỉ khoảng tin cậy (1 ) cho kỳ vọng  là: 11NN XZXZii 1 /2, 1 /2 (2.9) NNii 11NN Ở đây z(1 )/2 là phân vị bậc (1 ) / 2của phân phối chuẩn. Vì phân vị 97,5% của phân phối chuẩn là vào khoảng 1,96 cho nên người ta thường chọn một phân vị 95% đối xứng xấp xỉ cho kỳ vọng ước lượng bởi phương pháp Monte Carlo. Đó là quy tắc 2 cho một khoảng tin cậy xấp xỉ đối với  như sau:
5. 46 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 11NN  XXi N, i N , với N Z1 /2 (2.10) NNii 11 N Trong đó bán kính N của khoảng tin cậy gọi là sai số tuyệt đối của ước lượng 1 N X N :  X i . N i 1 Nhận xét: 1) Vì độ dài của khoảng tin cậy tỷ lệ với 1/ N , người ta phải tăng số lượt N chạy mô phỏng lên 100 lần nhằm làm giảm độ dài khoảng tin cậy đi 10 lần. 2) Do độ lệch chuẩn  cần cho thiết lập khoảng tin cậy là không biết nên để có các khoảng tin cậy xấp xỉ, chúng ta phải ước lượng  2 bởi phương sai mẫu không chệch: N N 1 2 N 1 2 2  N  X i X N  X i X N (2.11) N 1 i 1 N 1 N i 1 Và sau đó quy tắc 2 có thể sử dụng cho một khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho  NN 11  N XXi N, i N , với NN: Z1 /2 (2.12) NNii 11 N Trong đó, ta thay  trong (2.10) bằng phương sai mẫu không chệch  N . Tất nhiên, ta có thể dùng cách này để xây dựng cho khoảng tin cậy tổng quát cho như trong (2.8). Tuy nhiên ta luôn luôn sử dụng giá trị 1,96 thay cho 2 khi tính toán một khoảng tin cậy xấp xỉ 95%, vì 2F(2) 95,44% 95% 2F(1,96) . 3) Khi đã cho bán kính  của khoảng tin cậy và độ tin cậy 0,95 1 , ta có thể dựa 4 2 4 2 vào (2.8) để suy ra: N N . Đây là tiêu chuẩn dừng máy, khi tính đồng  2  2 2 thời X N , N bằng thuật toán đệ quy (xem [13], tr. 42 - 43), nhằm xác định số N các phép thử cần thiết. Như là một ví dụ của khoảng tin cậy nói trên, ta xét trường hợp sau. Ước lượng xác suất rủi ro Trong bảo hiểm xã hội, bài toán ước lượng xác suất rủi ro là một ứng dụng quan trọng của phương pháp Monte Carlo. Gọi A là sự kiện công ty bảo hiểm bị rủi ro. Chúng ta có thể ước lượng xác suất của sự kiện P(A), bằng cách sử dụng ký hiệu hàm chỉ tiêu của A là: 1 khi  A 1A () (2.13) 0khi  A Và chú ý rằng xác suất của A có thể viết thành là: P(A) E(1A ) .
6. TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 2/2016 47 Khi đó, ước lượng Monte Carlo cho P(A) chỉ là tần suất tương đối xảy ra của A trong N thử nghiệm độc lập. Ký hiệu Ai là sự xuất hiện của A trong lần thử nghiệm thứ i. Chúng ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A) là: 1 N ~ : 1 . (2.14)  Ai N i 1 Ta cũng có: Var(1A ) P(A)(1 P(A)) (2.15) 2 2 Đưa vào phương sai mẫu ˆ N và phương sai mẫu không chệch  N dưới dạng: N ˆ 2 ~ 1 ~ , 2 ˆ 2 (2.16) N N N 1 N Để có được một khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là: 1,96 %% NNNN,   , :  (2.17) N 2.2. Phương pháp Monte Carlo tính xác suất rủi ro Để mô tả phương pháp, trong phần này, chúng tôi xét mô hình rủi ro trong vòng T năm, với giả thiết X1, X 2 , ,XT là các dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối, biểu thị cho số tiền đòi bảo hiểm cho một danh mục đầu tư của hãng bảo hiểm trong những năm kế tiếp. Gọi: uU: (0) 0 là vốn ban đầu của hãng bảo hiểm B là thu nhập hàng năm của hãng bảo hiểm (xem là hằng số) và B được lựa chọn sao cho By ,cụ thể Bb (1 ), với  là phụ phí bảo hiểm an toàn. i1,i2, ,iT là dãy biến ngẫu nhiên không âm, biểu thị cho lãi suất thu được từ việc đầu tư tài sản của hãng bảo hiểm trong những năm kế tiếp. Khi đó, giá trị tài sản của hãng bảo hiểm ở cuối của năm t(t 1,2,3, ,T) là biến ngẫu nhiên U(t) được xác định bởi công thức UtUt( ) ( 1) (1 iBXttt ) ;( 1,2, TU ), (0) u (2.18) Xác suất rủi ro  (u,T) được định nghĩa bởi:  (u,T) P{t 1,2, T :U(t) 0}. Để ước lượng xác suất rủi ro, chúng tôi mô phỏng một số lượng lớn N các thể hiện của quá trình thặng dư U(t) và đếm số kết quả rủi ro L trong N thể hiện của quá trình này. Khi đó, xác suất rủi ro   (u,T) của quá trình (giá trị này là chưa biết), có thể ước lượng
7. 48 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI L cho ~ : . Với khoảng tin cậy 95% cho dưới dạng (2.17), trong đó (xem 2.16) N N~(1 ~)  . N N 1 Để minh họa cho phương pháp, chúng tôi xét dưới đây một dạng cụ thể của các dãy T T biến ngẫu nhiên {it }t 1,{X t }t 1 trong trường hợp số tiền chi trả bảo hiểm và lãi suất là các dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Trong phần này chúng tôi khảo sát mô hình (2.18) ở trên với giả thiết dãy lãi suất 2 i1,i2, ,iT là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, có phân phối chuẩn 풩 (,)00và độc lập với dãy số tiền đòi trả bảo hiểm. Khi đó, ta có thể tạo it từ công thức trong [13](tr. 76): 1/ 2  0 ( 2ln R2n 1) cos2 R2n 0 (t 2n 1), it gt (0 , 0 ) : 1/ 2 (2.19)  0 ( 2ln R2n 1) sin 2 R2n 0 (t 2n). Trong đó: Rn ~ U(0,1)(n 1). Giả sử dãy số tiền đòi trả bảo hiểm X1, X 2 , ,XT là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối và được giả thiết là tuân theo phân phối mũ E() với hàm mật độ 1 f (x)  1e  x (x 0, 0) . Xt Khi X t ~ E( ) ta tạo X t từ công thức [8] (tr. 151) : X t  ln Rt , Rt ~ U(0,1) với t = 1, 2, , T (2.20) Khi đó, việc ước lượng xác suất phá sản  (u,T) và khoảng tin cậy 95% tương ứng bằng phương pháp Monte Carlo được thức hiện bởi thuật toán sau: Thuật toán 2.1. Bước 1: Xác định tham số: T,,,,,, u b 00   hoặc (, ) và N » 1 T Bước 2: Xác định các biến cố mô phỏng A :  U (t) 0 t 1 Bước 3: Thiết lập thuật toán mô phỏng U(t) (theo (2.18)) với it xác định theo (2.19) và X(t) xác định theo (2.20), t 1,2, ,T . Bước 4: Ước lượng xác suất phá sản  (u,T) a. Cho n 1,2, ,N và tạo các thể hiện U n (t) (t 1,2, ,T ) (theo bước 3): o Nếu tồn tại t : min t :U (t) 0 T thì đặt 1 : 1. n n An o Nếu U (t) 0 với t 1,2, T thì đặt 1 : 0. n An
8. TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 2/2016 49 1 1 N N%%(1 ) 2 b. Tính ~ 1 (theo 2.14), tính  (theo 2.16) và tính  An N N n 1 N 1 1,96 :  (theo 2.17). N N N Khi thử nghiệm thuật toán trên với it ~ 풩 (0,1),XEt ~ 0,0493 ta thu được kết quả cho trong bảng 1 sau đây: 2 Bảng 1: Ước lượng của  (u,T) khi X t ~ E( ) , 풩 (,)00 với tham số 1  0.00492915,T 10, b 200,  1,  0, u 0  100,  0  , N 106 . 00 4  0%  5%  10%  15%  20%  25% 10 ~ 0.5053 0.4739 0.4464 0.4198 0.3952 0.3720 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 30 0.4411 0.4127 0.3871 0.3638 0.3409 0.3204 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 50 0.3839 0.3592 0.3366 0.2881 0.29452 0.2763 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 Từ bảng 1 ta thấy rằng: Với số lần mô phỏng (N =106), để đạt đước một mức độ chính xác nhất định, khi tăng  hoặc u thì xác suất phá sản  (u ,10) giảm, điều này là hoàn toàn phù hợp với thực tế. 3. KẾT LUẬN Sử dụng phương pháp Monte Carlo để nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, khi dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối, bài báo đã ước lượng được xác suất thiệt hại cho mô hình và đánh giá được sai số mắc phải. Một ví dụ số minh họa cho mô hình được đưa ra. Trong thực tế, các quá trình thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm không phải là độc lập mà là phụ thuộc: Phụ thuộc Markov, phụ thuộc Copula Các hướng nghiên cứu tiếp theo là mở rộng mô hình cho các trường hợp phụ thuộc.
9. 50 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Asmussen, S. (2000), Ruin probabilities. World Scientific, Singapore. 2. Buhlman, H. (1970), Mathematical Methods in Risk Theory. Berlin - Heidelberg - New York: Springer. 3. Cai, J. (2002), Discrete time risk models under rates of interest. Probability in the Engineering and Informational Sciences. 16, pp.309-324. 4. Cai, J. (2002), Ruin Probabilities with Dependent Rates of Interest. J. Appl. Probab. 39, N0.2, pp.312-323. 5. Cai, J và Dickson, D.C.M. (2002), Ruin Probabilities with a Markov Chain Interest Model. Res. Pap, N.101, ISBN 073402196, U.Melboune Viet. 3010, Australia. 6. Chow, Y. S. and Teicher, H. (1978), Probability Theory. Berlin - Heidelberg - New York: Springer – Verlag. 7. Dickson, D.C.M and Wates, H.R. (1996), Ruin Problem: Simulation or Calculation? B.A.J, III, pp.727-740. 8. Fishman, George S. (1996), Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications, Springer- Verlag, New York. 9. Korn, Ralf & Korn,Elke & Kroisandt, Gerald (2010), Monte Carlo Methods and Models in Finance and Insurance, CRC Press. 10. Muller, A. and Pfug, G. (2001), Asymptotic ruin probabilities for risk processes with dependent increments. Insurance: Mathematics and Economics. 728, pp.1-12. 11. Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., and Teugels, J.L. (1999), Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley, Chichester. 12. Ross, S. (2000), Introduction to Probability models (Seventh Edition). Academic Press. 13. Nguyễn Quý Hỷ (2004), Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 14. Ramlau – Hansen, H. (1888b), A solvency study in non-life insurance. Part 2. Solvency margin requirements, Scandinavian Actuarial Journal, pp.35-59. 15. Ralf Korn, Elke Korn, and Gerald Kroisandt. (2010), Monte Carlo – Methods – and Models in Finance and Insurance, Berlin - Heidelberg - New York: Springer. THE APPLICATION OF MONTE CARLO SIMULATION METHOD IN TO CALCULATION FOR RUIN PROBABILITIES IN INSURANCE Abstract: In this paper, after introducing main ideas of Monte – Carlo approximation method we study ruin probabilities in discrete time risk models with the
10. TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 2/2016 51 independentrandom claim sizes. We apply Monte – Carlo method to simulate ruin probabilities on a basis of some concrete data. Keywords: Risk models, ruin probability, premiums, claims, Monte Carlo simulation method.